一次函数与平行四边形专项练习（含解析）

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一次函数与平行四边形 专项练习
一．选择题（共1小题）
1．若函数y＝（m+1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
二．填空题（共8小题）
2．直线y1＝ax与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不等式的解集为 　 　．
3．如图，已知函数y＝ax+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），则不等式ax+b≤kx﹣3的解集是 　 　．
4．根据图象，可得关于x的不等式kx＜﹣x+3的解集是 　 　．
5．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（a，﹣2），一次函数y＝2x的图象过点A，则不等式2x≤kx+b的解集为 　 　．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，1），则不等式kx+b＞0的解集为 　 　．
7．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax和y＝kx+7的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式ax＞kx+7的解集是 　 　．
8．如图，点A（﹣1，2）在一次函数y＝kx+b（k≠0，且k，b为常数）的图象上，则关于x的不等式kx+b＞2的解集是 　 　．
9．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，3）和点B（﹣4，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为 　 　．
三．解答题（共16小题）
10．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣2，2），B（2，﹣3）．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+b≤2的解集．
11．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3，m为常数．
（1）若该函数是正比例函数，求m的值；
（2）若该函数是一次函数，且函数图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围．
12．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，2），B（4，0），C为直线AB上的动点，正比例函数y＝mx的图象经过点C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点C（1，a），求方程组的解．
13．如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：　 　的解；
（2）不等式kx+b＜0的解集是 　 　；
（3）当x 　 　时，kx+b≥mx﹣n；
（4）直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．
14．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝DF．
15．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF．
16．在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD周长为40，求平行四边形ABCD的面积．
17．已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，∠AFB＝∠CED．
（1）请判断BF、DE的位置关系，并说明理由；
（2）求证：△ABF≌△CDE．
18．如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若DE为∠ADC的平分线，且AD＝3，EB＝2，求 ABCD的周长．
19．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G，AD＝6，EF＝3．求AF的长度．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E．F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当BE⊥EF时，BE＝4，BF＝6，求BD的长．
21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，且∠ABE＝∠CDF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接CE，若CE平分∠DCB，CF＝3，DE＝5，求平行四边形ABCD的周长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OFOA，OEOC，连接BE，BF，DE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若BE⊥AC，CE＝12，DF＝8，求BD的长．
23．如图，E，F是 ABCD的对角线AC上两点，DF∥BE．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若AC＝8，AB＝6，∠CAB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．
24．如图，在△ABC中，F是AB上一点，连接CF，过点A作AD∥FC，E是AC的中点，连接FE并延长，交AD于点D，连接CD．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．
（2）若，BF＝1，∠DCB＝135°，请直接写出FC的长度．
25．如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点．求证：BD＝2EF．
一次函数与平行四边形 专项练习
一．选择题（共1小题）
1．若函数y＝（m+1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【思路点拔】由一次函数的定义可知|m|＝1且m+1≠0，从而可求得m的值．
【解答】解：∵y＝（m+1）x|m|﹣5是一次函数，
∴|m|＝1且m+1≠0，
解得m＝±1且m≠﹣1，
∴m＝1．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
2．直线y1＝ax与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不等式的解集为 　x＞﹣2　．
【思路点拔】根据图象，找直线y1在y2下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知：两条直线的交点横坐标为﹣2，
由知，直线y1在直线y2的下方，
∵当x＞﹣2时，直线l1在直线l2的下方，
∴关于x的不等式的解集为x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
3．如图，已知函数y＝ax+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），则不等式ax+b≤kx﹣3的解集是 　x≤4　．
【思路点拔】直线y＝ax+b落在直线y＝kx﹣3下方的部分对应的x的取值范围即为所求．
【解答】解：∵函数y＝ax+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），
∴不等式ax+b≤kx﹣3的解集是x≤4．
故答案为x≤4．
4．根据图象，可得关于x的不等式kx＜﹣x+3的解集是 　x＜1　．
【思路点拔】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象即可得出答案．
【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx＜﹣x+3的解集为x＜1，
故答案为：x＜1．
5．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（a，﹣2），一次函数y＝2x的图象过点A，则不等式2x≤kx+b的解集为 　x≤﹣1　．
【思路点拔】根据图象可知一次函数y＝kx+b，与一次函数y＝2x的图象的交点，即可得出不等式2x≤kx+b的解集．
【解答】解：∵一次函数y＝2x的图象过点A（a，﹣2），
∴﹣2＝2a，
∴a＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b与一次函数y＝2x的图象的交点为A（﹣1，﹣2），
又∵2x≤kx+b，
∴根据图象可得出直线y＝2x在直线y＝kx+b的下方，
∴2x≤kx+b的解集为x≤﹣1．
故答案为：x≤﹣1．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，1），则不等式kx+b＞0的解集为 　x＞﹣2　．
【思路点拔】从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标．根据直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣2，0），结合函数图象，即可求出不等式kx+b＞0的解集．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，1），
∴根据函数图象可知，不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
7．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax和y＝kx+7的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式ax＞kx+7的解集是 　x＞2　．
【思路点拔】根据图象正比例函数在一次函数图象上方对应的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知：一次函数y＝ax和y＝kx+7的交点处x＝2，
∴ax＞kx+7的解集是x＞2，
故答案为：x＞2．
8．如图，点A（﹣1，2）在一次函数y＝kx+b（k≠0，且k，b为常数）的图象上，则关于x的不等式kx+b＞2的解集是 　x＜﹣1　．
【思路点拔】由图象可得出答案．
【解答】解：由图象可得：关于x的不等式kx+b＞2的解集应是x＜﹣1；
故答案为：x＜﹣1．
9．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，3）和点B（﹣4，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为 　﹣4＜x＜﹣2　．
【思路点拔】利用函数图象，写出在x轴上方且函数y＝kx+b的函数值小于函数y＝mx的函数值对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＞﹣4时，y＝kx+b＞0；
当x＜﹣2时，kx+b＜mx，
所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣4＜x＜﹣2．
故答案为：﹣4＜x＜﹣2．
三．解答题（共16小题）
10．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣2，2），B（2，﹣3）．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+b≤2的解集．
【思路点拔】（1）将A、B两点代入一次函数，利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出函数值小于等于2的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣2，2），B（2，﹣3），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：，
故答案为：．
（2）观察图像可知：kx+b≤2时，x≥﹣2，
故答案为：x≥﹣2．
11．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3，m为常数．
（1）若该函数是正比例函数，求m的值；
（2）若该函数是一次函数，且函数图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围．
【思路点拔】（1）根据y是x的正比例函数列方程，即可得到结论；
（2）根据y是x的一次函数，且图象经过一、三、四象限列不等式组，即可得到结论．
【解答】解：（1）对于y关于x的函数y＝（2m+1）x+m﹣3，
∵y是x的正比例函数，
∴m﹣3＝0且2m+1≠0，
解得：m＝3；
（2）∵y是x的一次函数，且图象经过一、三、四象限，
∴，
解得：，
故m的取值范围为．
12．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，2），B（4，0），C为直线AB上的动点，正比例函数y＝mx的图象经过点C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点C（1，a），求方程组的解．
【思路点拔】（1）直接利用待定系数法解答，即可求解；
（2）求出点C的坐标，将方程组整理为，可得方程组的解为一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝mx的交点坐标，即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数图象过点A（0，2），B（4，0），
，解得，
∴一次函数的表达式为：．
（2）将C（1，a）代入得：
，
∴，
将方程组整理为，
∴方程组的解为一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝mx的交点坐标，
∴方程组的解为．
13．如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：　　的解；
（2）不等式kx+b＜0的解集是 　x＞3　；
（3）当x 　x≤1　时，kx+b≥mx﹣n；
（4）直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．
【思路点拔】（1）根据函数图象即可求解；
（2）根据函数图象即可求解；
（3）根据函数图象即可求解；
（4）利用待定系数法求出直线l1、l2的解析式，求出点N、M的坐标，再根据计算即可求解．
【解答】解：（1）由图象可得，交点P的坐标（1，1）是一元二次方程组的解，
故答案为：；
（2）由图象可得，不等式kx+b＜0的解集是x＞3，
故答案为：x＞3；
（3）由图象可得，当x≤1时，kx+b≥mx﹣n，
故答案为：x≤1；
（4）把P（1，1），B（3，0）代入y＝kx+b得，
，
解得，
∴直线l2的解析式为，
∴，
∴，
同理可得直线l1的解析式为y＝2x﹣1，
当y＝0时，0＝2x﹣1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形OMPN的面积．
14．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝DF．
【思路点拔】可以把要证明相等的线段BE、DF分别放到两个三角形中，即△ABE和△CDF中，寻找它们全等的条件（AAS），得出对应边相等BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD（平行四边形对边平行且相等），
∴∠BAE＝∠DCF（两直线平行内错角相等），
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°（垂直定义），
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF（全等三角形的对应边相等）．
15．如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF．
【思路点拔】先判断出DE＝BF，进而判断出△DOE≌△BOF即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，且∠DOE＝∠BOF，∠ODE＝∠OBF，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴OE＝OF
16．在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD周长为40，求平行四边形ABCD的面积．
【思路点拔】由平行四边形ABCD的周长为40，求得BC+CD＝20，由BC AE＝CD AF＝S四边形ABCD，得4BC＝6CD，则BCCD，所以CD+CD＝20，求得CD＝8，进而求得S四边形ABCD＝48，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∵平行四边形ABCD的周长为40，
∴2BC+2CD＝40，
∴BC+CD＝20，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE＝4，AF＝6，
∴BC AE＝CD AF＝S四边形ABCD，
∴4BC＝6CD，
∴BCCD，
∴CD+CD＝20，
∴CD＝8，
∴S四边形ABCD＝CD AF＝8×6＝48，
故答案为：48．
17．已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，∠AFB＝∠CED．
（1）请判断BF、DE的位置关系，并说明理由；
（2）求证：△ABF≌△CDE．
【思路点拔】（1）根据平行四边形性质，结合平行线的判定与性质即可得到BF、DE的位置关系；
（2）由平行四边形性质得到AB＝CD，∠A＝∠C，再由两个三角形全等的判定定理AAS求证即可得到答案．
【解答】（1）解：BF∥DE，理由如下：
在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵∠AFB＝∠CED，
∴∠CBF＝∠CED．
∴BF∥DE；
（2）证明：在 ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（AAS）．
18．如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若DE为∠ADC的平分线，且AD＝3，EB＝2，求 ABCD的周长．
【思路点拔】（1）由平行四边形的在得AB＝CD，AB∥CD，再证BE＝DF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC＝3，AB∥CD，再证∠ADE＝∠AED，得AE＝AD＝3，则AB＝AE+EB＝5，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝3，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
∵DE为∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝3，
∴AB＝AE+EB＝3+2＝5，
∴ ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×（5+3）＝16．
19．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G，AD＝6，EF＝3．求AF的长度．
【思路点拔】根据平行四边形的性质可得：AB＝CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE＝∠AEB，推出AB＝AE，同理求出DF＝CD，即可证明AE＝DF，再根据线段的和差求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
同理可得：DF＝CD，
∴AE＝DF，
即AF+EF＝DE+EF，
∴AF＝DE，
∵AD＝6，EF＝3，
∴AF+DE＝AD﹣EF＝3，
∴AF．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E．F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当BE⊥EF时，BE＝4，BF＝6，求BD的长．
【思路点拔】（1）连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由勾股定理求得EF的长，得出OE的长，再由勾股定理求出OB的长，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴EF2，
由（1）可知，OE＝OF，OB＝OD，
∴OE＝OFEF，
∴OB，
∴BD＝2OB＝2，
即BD的长为2．
21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，且∠ABE＝∠CDF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接CE，若CE平分∠DCB，CF＝3，DE＝5，求平行四边形ABCD的周长．
【思路点拔】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出AE＝CF，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出DE＝CD＝5，再求出BC＝BF+CF＝5+3＝8，求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠DCF，AB＝CD，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BF＝DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝5，
∴BF＝DE＝5，
∴BC＝BF+CF＝5+3＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝2×（8+5）＝26．
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OFOA，OEOC，连接BE，BF，DE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若BE⊥AC，CE＝12，DF＝8，求BD的长．
【思路点拔】（1）由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，再证OF＝OE，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得BE＝DF＝8，再求出OECE＝6，然后由勾股定理得OB＝10，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵OFOA，OEOC，
∴OF＝OE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，OB＝OD，四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF＝8，
∵OEOC，CE＝12，
∴OECE＝6，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO＝90°，
∴OB10，
∴BD＝2OB＝20，
即BD的长为20．
23．如图，E，F是 ABCD的对角线AC上两点，DF∥BE．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若AC＝8，AB＝6，∠CAB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．
【思路点拔】（1）由平行四边形的性质得CD∥AB，CD＝AB，则∠DCF＝∠BAE，由DF∥BE，得∠CFD＝∠AEB，即可证明△CFD≌△AEB，得DF＝BE，则四边形DEBF是平行四边形；
（2）作CG⊥AB交AB的延长线于点G，因为∠CAB＝30°，所以CGAC＝4，则S平行四边形ABCD＝6×4＝24．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴∠DCF＝∠BAE，
∵DF∥BE，
∴∠CFD＝∠AEB，
在△CFD和△AEB中，
，
∴△CFD≌△AEB（AAS），
∴DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）解：作CG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠G＝90°，
∵∠CAB＝30°，AC＝8，AB＝6，
∴CGAC8＝4，
∴S平行四边形ABCD＝AB CG＝6×4＝24，
∴平行四边形ABCD的面积是24．
24．如图，在△ABC中，F是AB上一点，连接CF，过点A作AD∥FC，E是AC的中点，连接FE并延长，交AD于点D，连接CD．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．
（2）若，BF＝1，∠DCB＝135°，请直接写出FC的长度．
【思路点拔】（1）由E是AC的中点，得到AE＝CE，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠FCE．根据全等三角形的性质得到AD＝CF，由平行四边形的判定定理得到四边形AFCD是平行四边形；
（2）根据平行四边形 到现在得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠B+∠DCB＝180°，求得∠B＝45°，过点F作FH⊥BC于H，根据勾股定理得到结论．
【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵AD∥FC，
∴∠DAE＝∠FCE．
在△DAE和△FCE 中，
，
∴△DAE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠DCB＝180°，
∵∠DCB＝135°，
∴∠B＝45°，
过点F作FH⊥BC于H，
∴∠BFH＝45°＝∠B，
∴BH＝FH，
在Rt△BFH中，BF＝1，BH2+FH2＝BF2，
∴2BH2＝1，
∴BH＝FH，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
在Rt△CFH中，FC2＝FH2+CH2，
∴FC5．
25．如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点．求证：BD＝2EF．
【思路点拔】根据题意可推出点E是AD的中点，结合点F是AB的中点可得EF是△ABD的中位线，据此即可求证．
【解答】证明：∵DC＝AC，CE⊥AD，
∴点E是AD的中点．
∵点F是AB的中点．
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD＝2EF.