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第2章 直线与圆的位置关系 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 义乌市月考）的半径为3，点到直线的距离为4，则反映直线与位置关系的图形
A． B．
C． D．
2．（2023秋 江北区校级期中）下列说法正确的是
A．在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．等弧所对的弦相等
3．（2021秋 拱墅区月考）如图，点是直径的延长线上一点，切于点，已知，．则等于
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024 西湖区校级开学）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形
A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点
5．（2022秋 婺城区期末）如图，量角器的零刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点，直尺另一边交量角器于点，，量得，点在量角器上的读数为，则该直尺的宽度为
A． cm B． cm
C．cm D． cm
6．（2024 浙江一模）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为
A． B． C． D．
7．（2022秋 金东区期末）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是
A．7 B．8 C．9 D．16
8．（2024秋 通州区期中）如图，△中，，，，是△的内切圆，则图中阴影部分的面积是( )
A．（2-π） B． C．（2+π） D．（4+π）
9．（2022秋 金华期末）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧的距离处．如果以的速度沿由向的方向移动，那么 秒钟后与直线相切．
A．2 B．10 C．2或10 D．6或8
10．（2022秋 海曙区期末）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 沭阳县校级月考）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ．
12．（2024秋 泰兴市校级月考）已知△中，，点是它的内心，则 ．
13．（2024春 杭州月考）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数等于 ．
14．（2024秋 鼓楼区期中）如图，四边形是的外切四边形，且，，若四边形的面积等于15，则的半径等于 ．
15．（2024 椒江区校级模拟）如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，以为直径作圆，当圆与矩形的边相切时，的长为 ．
16．（2024 拱墅区一模）在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为．
三．解答题（共8小题）
17．（2023 绍兴）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
18．（2022 鹿城区校级模拟）如图，中，，是其外接圆的切线，为上的点，且．求证：直线过的内心．
19．（2023秋 柯桥区月考）如图，，以为直径作，交于点，过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
20．（2024 红桥区三模）在中，，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，．
（1）如图①，连接，若，求的大小；
（2）如图②，若点为的中点，的半径为2，求的长．
21．（2023 西湖区校级二模）如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
22．（2023 老河口市校级一模）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，交于．
（1）若，，求的度数；
（2）求证：；
（3）若，，，求的长．
23．（2022秋 临海市期末）知识重现：如图1，我们已经分三种情况探究了一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角的数量关系．
直接写出和的数量关系 ；
②任选一种情况进行证明．
迁移应用：如图2，已知内接于，直线是切线，切点为，求证：．
24．（2024 湖州一模）如图，内接于，是的直径，过点的切线交的延长线于点，是上一点，点，分别位于直径异侧，连接，，，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）过点作，垂足为点，若，求的值．
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第2章 直线与圆的位置关系 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 义乌市月考）的半径为3，点到直线的距离为4，则反映直线与位置关系的图形
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】的半径为3，圆心到直线的距离为4，
，即：，
直线与的位置关系是相离．
故选．
2．（2023秋 江北区校级期中）下列说法正确的是
A．在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．等弧所对的弦相等
【答案】
【解析】、在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故本选项说法错误，不符合题意；
、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项说法错误，不符合题意；
、等弧所对的弦相等，本选项说法正确，符合题意；
故选．
3．（2021秋 拱墅区月考）如图，点是直径的延长线上一点，切于点，已知，．则等于
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】、分别为的切线和割线，
，
，，
，
，
．
故选．
4．（2024 西湖区校级开学）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形
A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点
【答案】
【考点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】三角形中面积最大的圆为三角形的内切圆，
在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形三个角的平分线的交点，
故选．
5．（2022秋 婺城区期末）如图，量角器的零刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点，直尺另一边交量角器于点，，量得，点在量角器上的读数为，则该直尺的宽度为
A． cm B． cm
C．cm D． cm
【答案】C
【解析】如图，设圆心为，
连接，．
直尺一边与量角器相切于点，
，
，，
，
，，
，
故答案为：C．
6．（2024 浙江一模）如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】连接、，则，
是的直径，
，，
与相切于点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选．
7．（2022秋 金东区期末）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是
A．7 B．8 C．9 D．16
【答案】
【解析】、、、都和相切，
，，，．
，
．
故选．
8．（2024秋 通州区期中）如图，△中，，，，是△的内切圆，则图中阴影部分的面积是( )
A．（2-π） B． C．（2+π） D．（4+π）
【答案】B
【解析】设与、、分别相切于点、、，连接、，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
9．（2022秋 金华期末）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧的距离处．如果以的速度沿由向的方向移动，那么 秒钟后与直线相切．
A．2 B．10 C．2或10 D．6或8
【答案】
【解析】由题意与圆相切于点，点在射线上，点只能在直线的左侧．
，
又，，
在中，
又，
，
圆到达圆需要时间为：（秒，
与直线相切时，时间为2秒，
当点在点的右侧时，同法可得秒，
故选．
10．（2022秋 海曙区期末）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】
【解析】如图，连接，
是的内心，
，，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 沭阳县校级月考）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 相离 ．
【答案】相离．
【解析】，
，
，，
的半径为，
圆心到直线的距离，
，
直线与的位置关系是相离；
故答案为：相离．
12．（2024秋 泰兴市校级月考）已知△中，，点是它的内心，则 ．
【答案】．
【解析】如图，
，
，
是△内心，
、分别平分、，
，
，
，
故答案为：．
13．（2024春 杭州月考）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数等于 ．
【答案】．
【解析】连接，如图，
切于点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．（2024秋 鼓楼区期中）如图，四边形是的外切四边形，且，，若四边形的面积等于15，则的半径等于 ．
【答案】．
【解析】如图，连接、、、，
设四边形与的切点分别为、、、，连接、，
则，，
由切线长定理得：，，，，
，
设的半径为，
由题意得：，
解得：，
故答案为：．
15．（2024 椒江区校级模拟）如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，以为直径作圆，当圆与矩形的边相切时，的长为 或 ．
【答案】或．
【解析】为直径的圆的圆心为，作于，于，如图，
设的半径为，
在矩形中，，，
，
当时，与相切，
，
，即，解得，
此时；
当时，与相切，
，
，即，解得，
此时；
综上所述，的长为或．
故答案为或．
16．（2024 拱墅区一模）在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为．
【答案】．
【解析】如图所示，设直线与交于、，与轴交于，过点作于，连接，
，
，
在中，由勾股定理得，
当最小时，最大，即此时最小，
，
当点与点重合时，最大，即此时最小，
直线关于的“圆截距”的最小值为，即，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．（2023 绍兴）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【解析】（1）于点，
；
（2）是的切线，
半径，
，
，，
，
．
，
，
，
，
．
18．（2022 鹿城区校级模拟）如图，中，，是其外接圆的切线，为上的点，且．求证：直线过的内心．
【解答】证明：设的平分线与交于，连接、，
是外接圆的切线，
，
又，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
为的平分线，
直线过的内心．
19．（2023秋 柯桥区月考）如图，，以为直径作，交于点，过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【解析】（1）连接．
，
；
，
，
，
，
，
，且为半径；
是的切线；
（2），
，
，，
，
，
，
，
，
，
即的半径为4．
20．（2024 红桥区三模）在中，，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，．
（1）如图①，连接，若，求的大小；
（2）如图②，若点为的中点，的半径为2，求的长．
【解析】（1）连接，
为半径的圆与相切于点，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，，
由（1）得：，
，
，点为的中点，
，，
，
，
，
，
．
21．（2023 西湖区校级二模）如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
【解答】（1）证明：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
与边相切于点，
，
，
；
（2）解：在，，，，
，
，
设的半径为，则，
在中，，
，
．
22．（2023 老河口市校级一模）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，交于．
（1）若，，求的度数；
（2）求证：；
（3）若，，，求的长．
【解析】（1），，
，
点是的内心，
，
．
答：的度数为；
（2）证明：如图，连接，
，，
，
，
，
，
，
；
（3），，，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
解得，
．
答：的长为．
23．（2022秋 临海市期末）知识重现：如图1，我们已经分三种情况探究了一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角的数量关系．
①直接写出和的数量关系 ；
②任选一种情况进行证明．
迁移应用：如图2，已知内接于，直线是切线，切点为，求证：．
【解答】知识重现：①解：猜想：，
故答案为：；
②证明：情况①，作直径，
，
．
，
同理，
，
；
情况2，当点在的一边上时，
，
，
由外角可得，，
，
，即，
情况3，作直径，
，
，
，
同理，
，
．
迁移应用：证明：作直径，交于，连接，如图2，
为的切线，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
．
24．（2024 湖州一模）如图，内接于，是的直径，过点的切线交的延长线于点，是上一点，点，分别位于直径异侧，连接，，，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）过点作，垂足为点，若，求的值．
【解答】（1）证明：是的直径，为的切线，
，，
，，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接并延长交于，如图所示：
，
，
，
由（1）的结论可知：，
，
，
是的直径，
，
即，
，
，
；
（3）解：是的直径，，
，，
又，
，
，
，
，，
设的半径为，，
则，，
，，
，
，
即，
解得：，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
．
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