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第4章 图形与坐标
典例精析 1
题型1.定位法及其应用 1
题型2.坐标平面内点的坐标特征 4
题型3.根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 5
题型4.坐标系中的平移 7
题型5.关于坐标轴对称的点的坐标特点 9
题型6.在平面直角坐标系中作图 12
题型7.在平面直角坐标系中求图形的面积 14
题型8.坐标中的规律探究 19
专项训练 22
题型1.定位法及其应用
1．（23-24·浙江·八年级校考期中）下列条件不能确定点的位置的是（ ）
A．第二阶梯教室6排3座 B．小岛北偏东30°，距离1600m
C．距离北京市180千米 D．位于东经114.8°，北纬40.8°
【答案】C
【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．第二阶梯教室6排3座的位置明确，故本选项不符合题意；
B．小岛北偏东30°，距离1600m的位置明确，故本选项不符合题意；
C．距离北京市180千米无法确定的具体位置，故本选项符合题意；
D．东经114.8°，北纬40.8°的位置明确，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．
2.（23-24八年级·重庆·期末）两个小伙伴拿着如下密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是 ．（写汉字）
4 Q R S U V X
3 T B E I N P
2 W D A H L M Y
1 O C G F J K Z
1 2 3 4 5 6 7
【答案】猫
【分析】本题考查了有序数对的应用．根据题意确定所对应的字母位置是解题的关键．
由咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，即表示对应的字母为“”，可知“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”表示对应的字母为“”，然后作答即可．
【详解】解：∵咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，即表示对应的字母为“”，∴“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”表示对应的字母为“”．故答案为：猫．
3.（23-24八年级·广东广州·期中）如图，若点表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．(1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义；
(2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择：①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B．问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？
【答案】(1)点表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，1棵青菜
(2)走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多
【分析】（1）由题可知，数对中第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数，由此可解；
（22）根据第（1）问中求出的结果计算即可
【详解】（1）解：点表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，1棵青菜；
（2）解：走①A→C→D→B可以吃到个胡萝卜，棵青菜；
走②A→E→D→B可以吃到个胡萝卜，棵青菜；
走③A→E→F→B吃到个胡萝卜，棵青菜；
因此走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多．
【点睛】本题考查有序数对，明白第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数是关键．
4.（23-24八年级·贵州安顺·期中）如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，．
(1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______；
(2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置；(3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示．
【答案】(1)，，，
(2)目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站
(3)，
【分析】本题考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，理解题意、熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键．
（1）根据“目标C，F的位置表示为，”， 表示目标A，B，D，E的位置即可；
（2）根据“目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站”，求出每一圈表示，观察图形，根据用方向角和距离确定物体的位置，写出目标A，B，D，E的实际位置即可；（3）根据“目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处”，观察图形并计算，写出G，H的位置表示即可．
【详解】（1）解：∵目标C，F的位置表示为，，
∴按照此方法表示：，，，，
故答案为：，，，；
（2）解：∵，，目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，∴，
又∵，，，，
∴，，，，
∴目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站；
（3）解：∵目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，
∴，，，，∴，．
题型2.坐标平面内点的坐标特征
1、（23-24八年级·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点在轴上，求点的坐标；(2)若点的纵坐标比横坐标大4，求点的坐标；
(3)若点，且与坐标轴平行，求点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】本题考查了，平面内点的坐标．（1）由点在轴上，得到，求解即可，
（2）由，得到，代入，即可求解，（3）当轴时，得到，解得得到点的坐标，当轴时，得到，解得得到点的坐标，
【详解】（1）解：点在轴上，点的纵坐标为零，即，解得，
则，∴点的坐标为，故答案为：，
（2）解：，，
点的坐标为，故答案为：，
（3）解：当轴时，点和点的横坐标相等，即：，解得：，
∴，点的坐标为，
当轴时点和点的纵坐标相等，即，解得，
∴，点的坐标为，故答案为：或．
2、（23-24八年级·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)当时，点m在第______象限；(2)若点M在x轴上，求m的值；
(3)若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值．
【答案】(1)二(2)(3)
【分析】此题考查了点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征．
（1）将代入计算得出点坐标即可；（2）根据点在x轴上纵坐标为0求解；
（3）根据第一、三象限的角平分线上的横坐标，纵坐标相等求解．
【详解】（1）当时，为，此时M在第二象限
（2）∵点M在x轴上，∴解得：；
（3）∵点在第一、三象限的角平分线上，∴，解得：．
3.（23-24八年级·广东·期中）已知点，解答下列各题．
(1)点在轴上，求出点的坐标；(2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标；
(3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案．
（2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案．
（3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案．本题考查了坐标与图形性质及立方根，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：
∵点在轴上，，解得：，则，点的坐标为：；
（2）解：直线轴，直线上所有点的横坐标都相等，
，解得：，则，即点的坐标为；
（3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
，，，即，解得：．
题型3.根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图
1.（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．
(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；(2)用坐标表示位置：食堂是______，图书馆是______；
(3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置；
(4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为______．
【答案】(1)作图见详解(2)，(3)作图见详解(4)
【分析】本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点，
（1）根据旗杆的位置是，实验室的位置是即可确定平面直角坐标系；（2）根据平面直角坐标系即可求解；（3）根据坐标表示地理位置的方法即可求解；
（4）根据平面直角坐标系的特点，确定宿舍楼与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解．
【详解】（1）解：已知旗杆的位置是，实验室的位置是，∴建立平面直角坐标系如图所示，
即大门为坐标原点；
（2）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，图书馆，故答案为：，；
（3）解：办公楼的位置是，教学楼的位置是，如图所示，
（4）解：1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为，故答案为：．
2.（23-24八年级·浙江·课后作业）如图，建立平面直角坐标系，使点、的坐标分别为和，写出点、、、、的坐标，并指出它们所在的象限．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角坐标系，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标特征，根据点、的坐标分别为和，建立直角坐标系即可求解．
【详解】解：建立直角坐标系如图：
在第二象限，在第一象限，在第一象限，在第一象限，在第一象限．
3.（23-24八年级·广东阳江·期末）广东省广州市的长隆野生动物世界是国内最大的野生动物保护基地之一，拥有超过500种、逾2万只陆生动物，是游客们了解广州必到的胜地．如图是长隆野生动物世界部分景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，并且“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和．
(1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系．(2)“百虎山”的坐标为______；“熊猫乐园”的坐标为______．
(3)小明现在在“熊猫乐园”，想要前往“百虎山”（只能走网格，每个网格为一个单位长度），可以先向上走______个单位长度，再向______走______个单位长度．
【答案】(1)详见解析(2)，(3)5，左，1
【分析】本题考查坐标与图形性质，能根据题意建立平面直角坐标系是解题的关键．
（1）根据“五彩广场”和“考拉园”的坐标，建立平面直角坐标系即可．（2）根据（1）中所建坐标系即可解决问题．（3）根据“熊猫乐园”和“百虎山”的坐标即可确定；
【详解】（1）解：因为“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和，
所以平面直角坐标系如图所示．
（2）解：由（1）中所建平面直角坐标系可知，
“百虎山”的坐标为，“熊猫乐园”的坐标为． 故答案为：，．
（3）解：根据“熊猫乐园”的坐标为， “百虎山”的坐标为，可以得出从“熊猫乐园”前往“百虎山”可以先向上走5个单位长度，再向左走1个单位长度，故答案为：5 ； 左 ； 1．
题型4.坐标系中的平移
1、（23-24八年级·山东潍坊·期末）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由坐标平移的规则得到点的坐标为，由点正好落在轴上求出的值，从而即可得到答案．
【详解】解：点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，
点的坐标为，
点正好落在轴上，，，
，点的坐标为，故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握坐标平移的规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减．
2.（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，第一象限内有两点，将线段平移使点分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在轴上，在轴上；②在轴上，在轴上．
【详解】解：设平移后点、的对应点分别是、．
分两种情况：①在轴上，在轴上，则横坐标为0，纵坐标为0，
，，点平移后的对应点的坐标是；
②在轴上，在轴上，则纵坐标为0，横坐标为0，
，，点平移后的对应点的坐标是；
综上可知，点平移后的对应点的坐标是或．故选：D．
【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
3.（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是
【答案】或
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握平移的性质是解的关键．由题意可知，由，得出，即可得出，解得或，根据平移的性质，得出，然后分或两种情况解方程组即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，，，或，
线段进行平移得到线段， ，
当时，则，解得：，
当时，则，解得，∴c的值是12或4．故答案为：12或4．
4.（23-24八年级·四川南充·期中）如图所示，是由平移得到的，若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
判断出的值即可解决问题．
【详解】解：由平移变换的性质可知是由向上平移个单位，向右平移4个单位得到，
故．，，故选：A．
题型5.关于坐标轴对称的点的坐标特点
1.（23-24八年级·北京·期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x= ，y= ．点A关于x轴的对称点的坐标是 ．
【答案】 3 4 (3，﹣4)
【分析】根据点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：∵A(x，4)关于y轴的对称点是B(-3，y)，∴x=3，y=4，∴A点坐标为(3，4)，
∴点A关于x轴的对称点的坐标是(3，-4)．故答案为：3；4；(3，-4)．
【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称的特点：点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数，由此即可求解．
2.（23-24八年级·广东·期末）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），移动y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则移动的方法可以是（ ）
A．将B移到（－2，b） B．将B移到（－3.5，b） C．将C移到（－2，b） D．将D移到（－2，b）
【答案】D
【分析】注意到A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，可以将点C（2，b）向左平移到（－3.5，b），平移5.5个单位，或可以将D（3.5，b）向左平移到（－2，b），平移5.5个单位．
【详解】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，
∵A（－1，b），B（1，b），∴A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，
∵C（2，b），D（3.5，b），∴可以将点C（2，b）向左平移到（－3.5，b），平移5.5个单位，
或可以将D（3.5，b）向左平移到（－2，b），平移5.5个单位，故选D．
【点睛】本题考查了生活中的平移和关于坐标轴对称的点的坐标关系，注意关于y轴对称的两个点的坐标的关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
3.（23-24八年级·湖北武汉·期中）已知点和点关于直线(直线上各点的纵坐标都是2)对称，若点的坐标是，则点的坐标是 ．
【答案】（2,7）
【分析】根据题意可知直线∥x轴，画出图形，根据题意可判定点B到m的距离也为5个单位长度，且A、B的横坐标相同，从而求出点B的坐标．
【详解】解：∵直线上各点的纵坐标都是2 ∴直线∥x轴，如下图所示
∵点和点关于直线对称，点A到m的距离为2－（-3）=5
∴点B到m的距离也为5个单位长度，且A、B的横坐标相同
∴点B的坐标为（2,7）故答案为：（2,7）．
【点睛】此题考查的是坐标与对称，掌握对称的性质和点的坐标关系是解决此题的关键．
4.（23-24八年级·湖南永州·期末）任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x1，y1)，Q (x2，y2)的对称中心的坐标为，如图．
（1）在平面直角坐标系中，若点P1(0，-1)，P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为 ；
（2）另取两点，．有一电子青蛙从点P1处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】（1）根据对称中心的坐标公式代入计算即可
（2）利用中心对称的性质依次计算出，然后找到规律，利用规律即可解题．
【详解】（1）∵点P1(0，-1)，P2(2，3)∴A的坐标为
（2）由题意可知 ∵点P2 ， P3关于点B对称
∵点P3，P4关于点C对称 同理可求所以六次一个循环
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查点的坐标规律的探索，找到规律是解题的关键．
题型6.在平面直角坐标系中作图
1.（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图， 在平面直角坐标系中，三角形中，点的坐标是 ，点的标是 ，点的坐标是． 将三角形平移后得到三角形， 其中点的对应点的坐标为．(1)分别写出点和点的坐标： ， ；(2)在坐标系中画出三角形；(3)若点是三角形内的一点，点是三角形内点的对应点，求和 的值．
【答案】(1)，(2)见解析(3)，
【分析】本题主要考查平移作图和点的坐标，解题的关键是掌握平移的性质和变化规律．
（1）根据点的平移变化规律即可求解；（2）根据（1）得到的、坐标，描出坐标点，再依次连接即可；
（3）根据点的平移变化规律，列出方程即可求解．
【详解】（1）解： 的对应点的坐标为 ，
点向右平移个单位，再向下平移个单位得到，
点的标是，点的坐标是， ，，故答案为：，；
（2）如图，三角形即为所求；
（3）点是三角形内的一点，点是三角形内点的对应点，
点向右平移个单位，再向下平移个单位得到，
根据题意可得：，，解得：，， ，．
2.（23-24八年级·河北沧州·期中）如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）．（1）三角形ABC的面积为 ；
（2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1；
（3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为 ；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是 ．
【答案】（1）8.5；（2）见解析；（3），平行且相等
【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积；
（2）利用点P和P1的特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律作图即可；
（3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M，从而得到M点的坐标，然后根据平移的性质判断线段MM1，PP1之间的关系．
【详解】解：（1）△ABC的面积＝；
（2）如图，△A1B1C1为所作；
（3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M点的坐标为(0,6)，
由平移的性质知，MM1与PP1平行且相等．故答案为：8.5，(0,6)；平行且相等．
【点睛】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是掌握由点的坐标确定平移的方向与平移距离．
3.（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点在格点上．已知点，点．(1)画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点）．
(2)现将先向下平移4个单位长度，再沿轴翻折得到，在图中画出，连接，则线段的中点坐标为______．
(3)若内有一点，则点经过（2）中的平移、对称后得到的点的坐标是______．
【答案】(1)见详解(2)(3)
【分析】本题考查作图轴对称变换、平移变换，（1）根据点，的坐标建立平面直角坐标系即可．
（2）根据平移和轴对称的性质画图即可；由图可得线段的中点坐标．（3）由平移和轴对称可知，点经过（2）中的平移后得到的点的坐标为，再沿轴翻折得到点的坐标为．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）如图， 即为所求．
由图可知，线段的中点坐标为．故答案为：．
（3）点先向下平移4个单位长度得到的点的坐标为，
再沿轴翻折得到点的坐标为．故答案为：．
题型7.在平面直角坐标系中求图形的面积
1.（23-24八年级·浙江宁波·阶段练习）如图，，点在轴上，且．
(1)求点的坐标，并画出；(2)求的面积；(3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)点的坐标为，，画图见解析(2)(3)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查了坐标与图形性质；（1）分点在点的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：点在点的右边时，，
点在点的左边时，，所以，的坐标为（）或（），如图所示：
（2）解：的面积 ；
（3）解：设点到轴的距离为，则 ，解得 ，
点在轴正半轴时，（ ），点在轴负半轴时，（ ），
综上所述，点的坐标为（ ）或（ ）．
2.（23-24八年级·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．
(1)如图1，平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，则点D的坐标为 ；(2)如图2，平移线段到线段，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内．
①此时点D的横坐标为 ，设点D的纵坐标为y，点C的纵坐标用y的代数式表示为 ；
②连接，，若的面积为7，求点C，D的坐标；(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使与的面积之比为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)①；；②，(3)存在点P，其坐标为或
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算方法是解题的关键．（1）根据点，点的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解；
（2）①根据点可得平移规律，即可作答；②连接，根据可求点的平移，再求出点的坐标；（3）根据题意，先计算出，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当在轴下方时；根据几何图形面积的计算即可求解．
【详解】（1）解：已知点的坐标为，点的坐标为，平移后点的对应点为的坐标为，
平移后的对应点，设，，，，
即：点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，
∴，，点平移后的对应点；
（2）①点在轴上，点在第二象限，，，∴点向左平移个单位，
∴点向左平移个单位，横坐标为：，即点的横坐标为，
∵对应点在第二象限，点D的纵坐标为y，∴设点向上平移了个单位，
线段向左平移个单位，再向上平移个单位，符合题意，，，
∴，，即点C的纵坐标用y的代数式表示为，故答案为：，；
②如图所示，连接，
∴，∴，
，，，；
（3）由（2）得，∵，，∴，
①当P在x轴上方时，如图1，
，，∴；
②当在轴下方时，如图2，
，，∴，
存在点，其坐标为或．
3.（23-24八年级·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上两点，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D，连接．
(1)直接写出点C，D的坐标．(2)若平移后得到的四边形为平行四边形，求出四边形的面积．
(3)在x轴上是否存在点F，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)存在，或
【分析】本题考查了平移、坐标与图形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
（1）直接根据变化情况，写出两点坐标即可；（2）根据平行四边形的面积公式求解即可；
（3）根据的面积是的面积的2倍求出的长，进而可求出点F的坐标．
【详解】（1）∵，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D，∴，；故答案为：，；
（2）；
（3）存在，
∵，，∴，∵的面积是的面积的2倍
∴∴∴．
∵，∴点F的坐标为或．
4.（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系内，为坐标原点，线段两端点在坐标轴上，点，点，将向右平移4个单位长度至的位置．
(1)点的坐标是 ；(2)如图2，过点作轴于点，在轴上有一动点，求三角形的面积；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，是否存在点，使得三角形的面积为22，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)6(3)点P的坐标为或．
【分析】本题考查了点的平移，在平面直角坐标系中动点产生三角形的面积； （1）由点的平移即可求解；（2）由即可求解；（3）分情况讨论：当在的上方时，将补成直角梯形；当在的下方时，将补成直角梯形，根据割补法求解．
【详解】（1）解：由平移得：即；
（2）解：∵，，动点在轴上，；
（3）解：当在的上方时，如图，将补成直角梯形，
设点P的坐标为，则点E的坐标为，点F的坐标为，
当，则，此时点P的坐标为，
当在的下方时，如图，将补成直角梯形，
设点P的坐标为，则点M的坐标为，点M的坐标为，
当，则， 此时点P的坐标为，
综上所述：点P的坐标为或．
题型8.坐标中的规律探究
1.（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图在平面直角坐标系中，有若干个点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，， 按照这个规律，可得第个点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标系中点的规律探索，结合图象规律和数字规律探索是解题的关键．分别对横坐标和纵坐标结合图象的规律和数字的规律进行探究即可．
【详解】解：∵，，，，，
∴结合图象可得对于纵坐标来说每6个一循环，
∵，∴的纵坐标和的纵坐标相等，为，
∵，，，，，
∴结合图象可得对于对于横坐标来说，，， ∵，∴正好满足此规律，
∴，∴，故答案为：．
2.（23-24八年级·重庆江北·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题是平面直角坐标系中点的规律性问题，求出一些点的坐标并发现规律是解决此类问题的关键.
首先根据分析可求出点和点每秒相遇一次，再求出每次相遇点的坐标，可发现次一循环，从而可求出的坐标.
【详解】解：由题意可知即长方形的周长为,
分析可知，每一次相遇后出发到再相遇点和点所运动的路程和为，
设点与点每次相遇所需时间为秒，则解得：即每秒相遇一次，
则根据运动方式可求出 ………
可以发现相遇点的坐标次一循环，则的坐标与坐标一样，即故选:A.
3.（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，动点P从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了规律型中点的坐标．根据点的碰撞可得出：，，，，，，，…，根据点的坐标的变化可得出点的坐标6次一循环，再结合即可得出结论．
【详解】解：如图，根据题意得：，，，，，，，…，
∴点的坐标6次一循环．
∵，∴当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为．故选：C．
4.（23-24八年级·广东汕头·期末）如图，如图，在平面直角坐标系中，一动点从出发，按一定规律移动，依次得到，，，，，…点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标的规律，解题的关键是分类讨论奇数点与偶数点的坐标递变规律．
分类讨论奇数点与偶数点的坐标变化规律即可得到结论．
【详解】解：观察图形可得，奇数点坐标 可得奇数点坐标的规律为（n为奇数）；
观察图形可得，偶数点坐标 可得偶数点坐标的规律为（n为偶数），
∵240为偶数，点的坐标为，即，故答案为：
一. 选择题（共10小题）
1．（23-24八年级·广东惠州·期中）如果用有序数对表示课室里第1列第2排的座位，则位于第4排第5列的座位应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有序实数对，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．
根据有序实数对中的第一个数表示列数，第二个数表示排数得出结果即可．
【详解】解：∵用有序数对表示课室里第1列第2排的座位，
∴位于第4排第5列的座位应记作．故选：A．
2．（23-24八年级·河北邢台·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．点到x轴的距离是3
B．在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点
C．若，则点在y轴上
D．在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号
【答案】D
【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
直接利用各象限内点的坐标特点，分别分析得出答案．
【详解】解：A．点到轴距离是2，故此选项不合题意；
B．在平面直角坐标系中，点和点不是同一个点，故此选项不合题意；
C．若，则点在轴上，故此选项不合题意；
D．在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号，故此选项符合题意．故选：D．
3．（23-24八年级·河南洛阳·期中）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，若，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标，根据题意建立平面直角坐标系，得出答案即可，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
【详解】∵ ，，
∴建立平面直角坐标系如图，
∴点的坐标为，故选：C．
4.（23-24八年级·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且为整数，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标，解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，根据四个象限的符号特点列出不等式组，求出m的范围，确定出m的值，即可求出最后结果．
【详解】解：点在第二象限，，，，
为整数，，，则点坐标为，故选：B．
5.（23-24八年级·天津·期中）在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移4个单位长度．再向下平移4个单位长度，得到的对应点A′的坐标为（ ）
A．（-6，7） B．（-6，-1） C．（2，-1） D．（2，7）
【答案】C
【分析】根据坐标的平移规律解答即可．
【详解】解：将点A（-2，3）向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，
那么平移后对应的点A′的坐标是（-2+4，3-4），即（2，-1），故选：C．
【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
6．（23-24八年级·山西吕梁·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若直线轴，则点B的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查考查了坐标与图形，由轴可知点B的纵坐标与点A的纵坐标相同，由此可得解
【详解】解：∵轴，且点A的坐标是，
∴点B的纵坐标与点A的纵坐标相同，为2，所以，选项C符合题意，故选：C
7．（23-24八年级·浙江·假期作业）已知点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（ ）
A．4 B． C．或4 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离与坐标的关系，解答本题的关键在于得出，注意不要漏解．
由点到两坐标轴的距离相等可得出，求出a的值即可．
【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴∴，∴或．故选C．
8.（23-24八年级·河南周口·专题练习）若，表示同一个点，那么这个点一定在（ ）
A．第二、四象限角平分线上 B．第一、三象限角平分线上
C．平行于x轴的直线上 D．平行于y轴的直线上
【答案】B
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据题意得到，可得点的横纵坐标相等，即可解答，熟知第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等是解题的关键．
【详解】解：∵点，表示同一个点，∴，
∴这个点一定在第一、三象限的角平分线上．故选：B．
9．（23-24八年级·江苏南通·期中）三角形ABC在经过某次平移后，顶点A(﹣1，m+2)的对应点为A(2，m﹣3)，若此三角形内任意一点P(a，b)经过此次平移后对应点P1(c，d)．则a+b﹣c﹣d的值为（ ）
A．8+m B．﹣8+m C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】由A（-1，m+2）在经过此次平移后对应点A1（2，m-3），可得△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．
【详解】解：∵A（-1，m+2）在经过此次平移后对应点A1（2，m-3），
∴△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，
∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），
∴a+3=c，b-5=d，∴a-c=-3，b-d=5，∴a+b-c-d=-3+5=2，故选：C．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．
10．（23-24八年级·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P按箭头所示的方向做折线运动，第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，第六次从运动到……，按这样的运动规律（向右始终保持运动一个单位长度，向上或向下比前一次的向下或向上都多运动一个单位长度），经过第2024次，点P的坐标是（ ）
A．(1011，506) B．(1011，) C．(1012，506) D．(1012，)
【答案】D
【分析】本题考查了坐标系中坐标规律问题，根据题意得到第次的横坐标为，第次的横坐标也为，第次和第次纵坐标的为即可求解，正确探索变换规律时解题的关键．
【详解】根据题意可得，第一次从原点运动到，第二次从运动到，
第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，
第六次从运动到，第七次从运动到，第八次从运动到，
第九次从运动到， …∴第一次和第二次的横坐标都为1，
第三次和第四次的横坐标都为2，第五次和第六次的横坐标都为3，
∴第次的横坐标为，第次的横坐标也为；∴第2024次的横坐标为；
第二次和第三次的纵坐标都是1，第四次和第五次的纵坐标都是，第六次和第七次的纵坐标都是2，
第八次和第九次的纵坐标都是，∴从第二次开始纵坐标依次为1，1，，，2，2，，，3，，…
∵第四次和第五次的纵坐标都是，第八次和第九次的纵坐标都是，
∴第次和第次纵坐标的为，∴第2024次和第2025次的纵坐标都是，
∴经过第2024次，点P的坐标是．故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．（23-24八年级·辽宁辽阳·期中）点到y轴的距离为 ，到x轴的距离为 ．
【答案】 6 4
【分析】本题主要考查了求点到坐标轴的距离，坐标系中点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为其横坐标的绝对值，据此求解即可．
【详解】解：点到y轴的距离为6，到x轴的距离为，故答案为：6；4．
12．（23-24八年级·福建厦门·期中）若直线轴，点，点在第三象限且，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查的是平面坐标系各象限中点的坐标的特点；先根据条件设B点的坐标为，然后再根据B在第一象限且，即可求解．
【详解】解：∵轴， ，∴设，
∵∴，解得：或，
∵B在第三象限∴B点的坐标为 故答案为：．
13．（23-24八年级·四川德阳·期中）甲，乙，丙三人在同一平面内，分别以自己所处的位置为坐标原点，建立了三个不同的坐标系，但他们的坐标系x轴，y轴的正方向相同，且单位长度相同．甲说：“以我为坐标原点，乙的坐标是．”乙说：“以我为坐标原点，丙的坐标是．”如果以丙为坐标原点，那么甲的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查坐标表示位置；由题意易得当以乙为坐标原点时，甲和丙的位置分别为，，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可知：当以乙为坐标原点时，甲和丙的位置分别为，，
所以甲和丙的水平距离为1，竖直距离为1，且甲在丙的左下方，
故当以丙为坐标原点时，甲的位置是；故答案为：．
14．（23-24八年级·河南漯河·期中），两点的坐标分别为，，点是轴上一点，且三角形的面积为，则点的坐标为 ．
【答案】 或，
【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积公式，设点坐标为，则根据三角形面积公式得到 ，然后去绝对值求出的值，再写出点坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设点坐标为，根据题意得：，解得或，
∴点坐标为 或，故答案为： 或．
15．（23-24八年级·江苏·期末）在平面直角坐标系中，，现将平移后得到，且点与点B重合，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据平移的性质进行解答即可．
【详解】解：∵将平移后得到，且点与点B重合，
∴将向右平移3个单位，向下平移2个单位到，
∴点的坐标为，即．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的特点，右加左减，上加下减．
16．（23-24八年级·湖北恩施·期中）已知点在坐标轴上，则点的坐标是 ．
【答案】或/或
【分析】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特征，理解坐标轴上点的坐标特征是解题关键．平面直角坐标系中，轴上的点的纵坐标为0，轴上的点的横坐标为0．分点在轴上和点在轴上两种情况，分别求解即可．
【详解】解：分两种情况讨论，
①当点在轴上时，可有，解得，∴，∴；
②当点在轴上时，可有，解得，∴，∴．
综上所述，点的坐标是或．故答案为：或．
17.（23-24八年级·黑龙江鸡西·期末）小颖同学观看台球比赛，从中受到启发，把它抽象成数学问题：如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，若不考虑阻力，小球运动的轨迹如图所示，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置用坐标表示是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标规律探究，根据图象可知，每6次一个循环，进行求解即可．
【详解】解：由图象，可知，第1次到达，第2次到达，第3次到达，
第4次到达，第5次到达，第6次到达，第7次到达，；∴小球每6次一个循环，
∵，∴小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置：．
18.（23-24八年级·江西南昌·期中）已知点，，点在轴上，且的面积是的面积的3倍，那么点的坐标可以为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；设点，则有，，然后根据与的面积关系可进行求解．
【详解】解：设点，则有，，
∵的面积是的面积的3倍，∴
解得：或，∴点或；故答案为或．
三．解答题（共7小题）
19．（23-24八年级·河南濮阳·期中）2009年是执行法定节日的第一年，法定节日的确定为大家带来了很多便利．我们可以用坐标法来表示这些节日：如元旦1月1日用表示；清明节4月4日用表示；端午节5月初5用表示．
(1)请用坐标法表示出中秋节（ ）；国庆节（ ）；
(2)依次连接，在给出的坐标系中画出来，并求出所画图形的面积．
【答案】(1)8，15；10，1(2)49
【分析】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．计算坐标系中不规则图形的面积时，可运用割补的方法把不规则的图形转化为常见图形的和差求其面积．
（1）根据已知条件，和中秋节、国庆节具体日期，月为横坐标，日为纵坐标确定其坐标；（2）先在坐标系中找到各点的位置，再按的顺序连接画出图形；运用割补的方法求出图形的面积．
【详解】（1）中秋节，国庆节；
（2）如图：
将图形补成一个长方形 则：，，， ∴．
答：该图形的面积为49．
20．（23-24八年级·河北唐山·期中）如图是阶梯的横截面，每个台阶的高、宽分别是1和2，每个台阶拐角的顶点分别为A、B、C、D、E．
(1)若以C为原点，在图中补画出x轴、y轴，并直接写出点A，D的坐标；
(2)若使台阶拐角顶点中的3个顶点落在第一象限，直接写出符合原点的位置．
【答案】(1)坐标系见解析， (2)保证x轴在点C下方，y轴在点C左方，且要保证点B不在第一象限，则此时x轴于y轴的交点即为原点的位置
【分析】本题主要考查了坐标与图形：（1）根据题意建立坐标系，再写出对应点坐标即可；
（2）根据题意可知保证x轴在点C下方，y轴在点C左方，且要保证点B不在第一象限，则此时x轴于y轴的交点即为原点的位置．
【详解】（1）解：如图所示坐标系即为所求；
∴；
（2）解：根据题意可知，只有C、D、E三个顶点能同时落在第一象限，
∴此时要保证x轴在点C下方，y轴在点C左方，且要保证点B不在第一象限，
∴此时x轴于y轴的交点即为原点的位置．
21．（23-24八年级·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知点，解答下列各题：
(1)点P在x轴上，求出点P的坐标；(2)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标；
(3)若点P在第二象限，且它到x轴的距离与y轴的距离相等，求的值.
【答案】(1)点P的坐标为；(2)点P的坐标为；(3)的值为2022．
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点的坐标特征．
（1）根据x轴上的点纵坐标为0列式求解即可；（2）根据平行于y轴的直线上的点横坐标都相等进行求解；
（3）根据第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，并且由它到两坐标轴的距离相等，可利用横纵坐标互为相反数列式求解即可．
【详解】（1）解：∵点P在x轴上，∴，∴，
∴，∴点P的坐标为；
（2）解：∵点Q的坐标为，直线轴，
∴，解得：，∴，∴；
（3）解：∵点P在第二象限，且它到x轴的距离与y轴的距离相等，∴，∴，
∴，∴的值为2022．
22．（23-24八年级·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．
(1)将沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移4个单位长度得到，请画出；(2)求出四边形的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使得的面积为4？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)16(3)存在，或．
【分析】本题考查了平移作图，坐标与图形，解题的关键是要掌握平移图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）根据平移性质求解即可；（2）利用平行四边形面积公式求解即可；
（3）设点P的坐标为，根据的面积为4列方程求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；（2）
四边形的面积；
（3）设点P的坐标为
∵的面积为4∴整理得，解得或
∴点P的坐标为或．
23．（23-24八年级·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线向终点C运动，运动时间为t秒（）．
(1) ________， ________．
(2)当点P运动1秒时，点P的坐标为________﹔当点P运动3秒时，点P的坐标为________．
(3)点P在运动过程中，存在点P使的面积为6，请直接写出点P的坐标________．
(4)若有一点Q与点P同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线向终点A运动，当点P、Q相遇时，求t的值．
【答案】(1)3，5；(2) 或 ；(3)或(4)4．
【分析】本题考查绝对值与偶次方的非负性，坐标与图形的性质．（1）根据非负数的性质可得出的值；
（2）当点P运动1秒时，点P在上，点P运动3秒时，点P在上，据此解答即可；
（3）分点在三种情况运用三角形面积公式进行计算即可得解；
（4）设点和运动时间为，根据相遇问题列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，且，
∴∴故答案为：3；5；
（2）解：∵∴∴
∵轴，∴C点、B点的纵坐标相等，∴∴
当P运动1秒时，点P运动了个单位长度，
∵，∴点P在线段上，∴；
当点P运动3秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上，
∵，∴，∴点P的坐标是；
（3）解：当点在上时，设，则的底边，高为，
∴的面积为，即，∴，∴；
当点在上时，则的底边，高为，
∴的面积为，∴这样的点不存在；，
当点在上时，设，则的底边，高为，
∴的面积为，即，∴，∴；
综上，点P的坐标为：；；
（4）解：设点和运动时间为，根据题意得：
解得，，即当点P、Q相遇时，
24．（23-24八年级·吉林延边·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点．当点时，解答下列问题．(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________．
(2)简要说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的．(3)若点是由点通过（2）中的平移得到的，求a，b的值．(4)直接写出三角形的面积．
【答案】(1)；(2)先向左平移3个单位长度，又向下平移3个单位长度或先向下平移3个单位长度，又向左平移3个单位长度(3)；(4)
【分析】本题考查已知点平移前后的坐标，判断平移方式、利用网格求三角形面积、解一元一次方程，利用数形结合的思想确定出平移方式是解题关键．
（1）由题意可知对应点C与点F的坐标，即可得出平移方式，进而确定点坐标；
（2）由题意可知对应点C与点F的坐标，即可得出平移方式；
（3）由题意可列出关于一元一次方程，求解即可；
（4）根据平移的性质得，利用网格求解即可．
【详解】（1）解：∵点C与点F分别是对应点，且，
∴由先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，或先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到 ∵点，∴，．
（2）∵点C与点F分别是对应点，且，
∴由先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，或先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到
（3）∵点是由点通过（2）中的平移得到的，
∴， 解得，．
（4）由平移得，．
25．（23-24八年级·河南新乡·期中）在平面直角坐标系内的两点坐标分别为，，当两点所在的直线平行于x轴或平行于y轴时，两点间的距离可表示为或．
(1)已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点之间的距离为______．(2)线段平行于x轴，且，若点B的坐标为，则点A的坐标是______．
(3)若点，，且点D的横坐标，纵坐标都为整数，请判断点D的位置______（填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请写出所有满足条件的点D的坐标．
【答案】(1)3(2)或
(3)不唯一，所有满足条件的点，，，
【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握两点间距离的求法是解题关键．
（1）根据两点间距离公式即可求解；（2）根据两点间距离公式即可求解；
（3）根据两点间距离公式即可求解．
【详解】（1）解：A、B两点之间的距离为，故答案为：3；
（2）线段平行于x轴，且，若点B的坐标为，
点A的坐标是或，即或故答案为：或；
（3）点，，且点D的横坐标，纵坐标都为整数，
点D的位置不唯一，所有满足条件的点D的坐标为，，，，
故答案为：不唯一，，，，
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第4章 图形与坐标
典例精析 1
题型1.定位法及其应用 1
题型2.坐标平面内点的坐标特征 4
题型3.根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 5
题型4.坐标系中的平移 7
题型5.关于坐标轴对称的点的坐标特点 9
题型6.在平面直角坐标系中作图 12
题型7.在平面直角坐标系中求图形的面积 14
题型8.坐标中的规律探究 19
专项训练 22
题型1.定位法及其应用
1．（23-24·浙江·八年级校考期中）下列条件不能确定点的位置的是（ ）
A．第二阶梯教室6排3座 B．小岛北偏东30°，距离1600m
C．距离北京市180千米 D．位于东经114.8°，北纬40.8°
2.（23-24八年级·重庆·期末）两个小伙伴拿着如下密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是 ．（写汉字）
4 Q R S U V X
3 T B E I N P
2 W D A H L M Y
1 O C G F J K Z
1 2 3 4 5 6 7
3.（23-24八年级·广东广州·期中）如图，若点表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．(1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义；
(2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择：①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B．问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？
4.（23-24八年级·贵州安顺·期中）如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，．
(1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______；
(2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置；(3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示．
题型2.坐标平面内点的坐标特征
1、（23-24八年级·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点在轴上，求点的坐标；(2)若点的纵坐标比横坐标大4，求点的坐标；
(3)若点，且与坐标轴平行，求点的坐标．
2、（23-24八年级·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)当时，点m在第______象限；(2)若点M在x轴上，求m的值；
(3)若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值．
3.（23-24八年级·广东·期中）已知点，解答下列各题．
(1)点在轴上，求出点的坐标；(2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标；
(3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值．
题型3.根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图
1.（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．
(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；(2)用坐标表示位置：食堂是______，图书馆是______；
(3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置；
(4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为______．
2.（23-24八年级·浙江·课后作业）如图，建立平面直角坐标系，使点、的坐标分别为和，写出点、、、、的坐标，并指出它们所在的象限．
3.（23-24八年级·广东阳江·期末）广东省广州市的长隆野生动物世界是国内最大的野生动物保护基地之一，拥有超过500种、逾2万只陆生动物，是游客们了解广州必到的胜地．如图是长隆野生动物世界部分景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，并且“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和．
(1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系．(2)“百虎山”的坐标为______；“熊猫乐园”的坐标为______．
(3)小明现在在“熊猫乐园”，想要前往“百虎山”（只能走网格，每个网格为一个单位长度），可以先向上走______个单位长度，再向______走______个单位长度．
题型4.坐标系中的平移
1、（23-24八年级·山东潍坊·期末）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，第一象限内有两点，将线段平移使点分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
3.（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是
4.（23-24八年级·四川南充·期中）如图所示，是由平移得到的，若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
题型5.关于坐标轴对称的点的坐标特点
1.（23-24八年级·北京·期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x= ，y= ．点A关于x轴的对称点的坐标是 ．
2.（23-24八年级·广东·期末）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），移动y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则移动的方法可以是（ ）
A．将B移到（－2，b） B．将B移到（－3.5，b） C．将C移到（－2，b） D．将D移到（－2，b）
3.（23-24八年级·湖北武汉·期中）已知点和点关于直线(直线上各点的纵坐标都是2)对称，若点的坐标是，则点的坐标是 ．
4.（23-24八年级·湖南永州·期末）任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x1，y1)，Q (x2，y2)的对称中心的坐标为，如图．
（1）在平面直角坐标系中，若点P1(0，-1)，P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为 ；
（2）另取两点，．有一电子青蛙从点P1处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则点的坐标为 ．
题型6.在平面直角坐标系中作图
1.（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图， 在平面直角坐标系中，三角形中，点的坐标是 ，点的标是 ，点的坐标是． 将三角形平移后得到三角形， 其中点的对应点的坐标为．(1)分别写出点和点的坐标： ， ；(2)在坐标系中画出三角形；(3)若点是三角形内的一点，点是三角形内点的对应点，求和 的值．
2.（23-24八年级·河北沧州·期中）如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）．（1）三角形ABC的面积为 ；
（2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1；
（3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为 ；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是 ．
3.（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点在格点上．已知点，点．(1)画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点）．
(2)现将先向下平移4个单位长度，再沿轴翻折得到，在图中画出，连接，则线段的中点坐标为______．
(3)若内有一点，则点经过（2）中的平移、对称后得到的点的坐标是______．
题型7.在平面直角坐标系中求图形的面积
1.（23-24八年级·浙江宁波·阶段练习）如图，，点在轴上，且．
(1)求点的坐标，并画出；(2)求的面积；(3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由
2.（23-24八年级·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．
(1)如图1，平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，则点D的坐标为 ；(2)如图2，平移线段到线段，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内．
①此时点D的横坐标为 ，设点D的纵坐标为y，点C的纵坐标用y的代数式表示为 ；
②连接，，若的面积为7，求点C，D的坐标；(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使与的面积之比为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3.（23-24八年级·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上两点，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D，连接．(1)直接写出点C，D的坐标．(2)若平移后得到的四边形为平行四边形，求出四边形的面积．(3)在x轴上是否存在点F，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
4.（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系内，为坐标原点，线段两端点在坐标轴上，点，点，将向右平移4个单位长度至的位置．
(1)点的坐标是 ；(2)如图2，过点作轴于点，在轴上有一动点，求三角形的面积；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，是否存在点，使得三角形的面积为22，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型8.坐标中的规律探究
1.（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图在平面直角坐标系中，有若干个点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，， 按照这个规律，可得第个点的坐标是 ．
2.（23-24八年级·重庆江北·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，动点P从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24八年级·广东汕头·期末）如图，如图，在平面直角坐标系中，一动点从出发，按一定规律移动，依次得到，，，，，…点的坐标为 ．
一. 选择题（共10小题）
1．（23-24八年级·广东惠州·期中）如果用有序数对表示课室里第1列第2排的座位，则位于第4排第5列的座位应记作（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级·河北邢台·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．点到x轴的距离是3 B．在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点
C．若，则点在y轴上 D．在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号
3．（23-24八年级·河南洛阳·期中）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，若，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24八年级·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且为整数，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5.（23-24八年级·天津·期中）在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移4个单位长度．再向下平移4个单位长度，得到的对应点A′的坐标为（ ）
A．（-6，7） B．（-6，-1） C．（2，-1） D．（2，7）
6．（23-24八年级·山西吕梁·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若直线轴，则点B的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级·浙江·假期作业）已知点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（ ）
A．4 B． C．或4 D．或
8.（23-24八年级·河南周口·专题练习）若，表示同一个点，那么这个点一定在（ ）
A．第二、四象限角平分线上 B．第一、三象限角平分线上
C．平行于x轴的直线上 D．平行于y轴的直线上
9．（23-24八年级·江苏南通·期中）三角形ABC在经过某次平移后，顶点A(﹣1，m+2)的对应点为A(2，m﹣3)，若此三角形内任意一点P(a，b)经过此次平移后对应点P1(c，d)．则a+b﹣c﹣d的值为（ ）
A．8+m B．﹣8+m C．2 D．﹣2
10．（23-24八年级·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P按箭头所示的方向做折线运动，第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，第六次从运动到……，按这样的运动规律（向右始终保持运动一个单位长度，向上或向下比前一次的向下或向上都多运动一个单位长度），经过第2024次，点P的坐标是（ ）
A．(1011，506) B．(1011，) C．(1012，506) D．(1012，)
二．填空题（共6小题）
11．（23-24八年级·辽宁辽阳·期中）点到y轴的距离为 ，到x轴的距离为 ．
12．（23-24八年级·福建厦门·期中）若直线轴，点，点在第三象限且，则点的坐标为 ．
13．（23-24八年级·四川德阳·期中）甲，乙，丙三人在同一平面内，分别以自己所处的位置为坐标原点，建立了三个不同的坐标系，但他们的坐标系x轴，y轴的正方向相同，且单位长度相同．甲说：“以我为坐标原点，乙的坐标是．”乙说：“以我为坐标原点，丙的坐标是．”如果以丙为坐标原点，那么甲的坐标是 ．
14．（23-24八年级·河南漯河·期中），两点的坐标分别为，，点是轴上一点，且三角形的面积为，则点的坐标为 ．
15．（23-24八年级·江苏·期末）在平面直角坐标系中，，现将平移后得到，且点与点B重合，则点的坐标是 ．
16．（23-24八年级·湖北恩施·期中）已知点在坐标轴上，则点的坐标是 ．
17.（23-24八年级·黑龙江鸡西·期末）小颖同学观看台球比赛，从中受到启发，把它抽象成数学问题：如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，若不考虑阻力，小球运动的轨迹如图所示，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置用坐标表示是 ．
18.（23-24八年级·江西南昌·期中）已知点，，点在轴上，且的面积是的面积的3倍，那么点的坐标可以为 ．
三．解答题（共7小题）
19．（23-24八年级·河南濮阳·期中）2009年是执行法定节日的第一年，法定节日的确定为大家带来了很多便利．我们可以用坐标法来表示这些节日：如元旦1月1日用表示；清明节4月4日用表示；端午节5月初5用表示．(1)请用坐标法表示出中秋节（ ）；国庆节（ ）；
(2)依次连接，在给出的坐标系中画出来，并求出所画图形的面积．
20．（23-24八年级·河北唐山·期中）如图是阶梯的横截面，每个台阶的高、宽分别是1和2，每个台阶拐角的顶点分别为A、B、C、D、E．
(1)若以C为原点，在图中补画出x轴、y轴，并直接写出点A，D的坐标；
(2)若使台阶拐角顶点中的3个顶点落在第一象限，直接写出符合原点的位置．
21．（23-24八年级·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知点，解答下列各题：
(1)点P在x轴上，求出点P的坐标；(2)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标；
(3)若点P在第二象限，且它到x轴的距离与y轴的距离相等，求的值.
22．（23-24八年级·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．
(1)将沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移4个单位长度得到，请画出；(2)求出四边形的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使得的面积为4？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（23-24八年级·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线向终点C运动，运动时间为t秒（）．
(1) ________， ________．(2)当点P运动1秒时，点P的坐标为________﹔当点P运动3秒时，点P的坐标为________．(3)点P在运动过程中，存在点P使的面积为6，请直接写出点P的坐标________．
(4)若有一点Q与点P同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线向终点A运动，当点P、Q相遇时，求t的值．
24．（23-24八年级·吉林延边·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点．当点时，解答下列问题．(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________．
(2)简要说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的．(3)若点是由点通过（2）中的平移得到的，求a，b的值．(4)直接写出三角形的面积．
25．（23-24八年级·河南新乡·期中）在平面直角坐标系内的两点坐标分别为，，当两点所在的直线平行于x轴或平行于y轴时，两点间的距离可表示为或．
(1)已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点之间的距离为______．(2)线段平行于x轴，且，若点B的坐标为，则点A的坐标是______．
(3)若点，，且点D的横坐标，纵坐标都为整数，请判断点D的位置______（填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请写出所有满足条件的点D的坐标．
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