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第5章 一次函数
典例精析 1
题型1.辨别函数的相关概念 1
题型2.确定自变量和函数值的取值（或范围） 2
题型3.列表法、解析式法、图象法表示函数关系 3
题型4.函数图象的相关运用 5
题型5.一次函数的过象限相关问题 7
题型6.一次函数的增减性相关问题 9
题型7.一次函数中的图形变换（平移与轴对称） 10
题型8.一次函数的图象问题 12
题型9.一次函数的相关性质综合 13
题型10.由一次函数解决最值问题 15
题型10.一次函数中的面积问题 17
题型11.一次函数图象中的规律探 20
题型12.一次函数与几何图形的综合运用 22
专项训练 26
题型1.辨别函数的相关概念
1.（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）下列各曲线中，不表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握“设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量”是解题的关键．
根据函数的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意；
B．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意；
C．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意；
D．当时，y有两个值与之对应，故本选项符合题意．故选：D．
2.（23-24八年级·贵州毕节·期末）一个长方体的长为12，宽为，高为1，体积为，体积随着宽的变化而变化，在这个变化过程中，对变量的描述正确的是（ ）
A．，都是因变量 B．是因变量，是自变量 C．，都是自变量 D．是自变量，是因变量
【答案】D
【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的概念，常量与变量的概念即可求解．
【详解】解：体积随着长的变化而变化，是自变量，是因变量，故选：D．
3.（23-24八年级·广东河源·期末）王司机到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．金额和数量 D．单价
【答案】D
【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量．根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，故选：D．
4.（23-24八年级·福建福州·期中）下列各关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数概念：对于自变量x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，此时称y是x的函数；根据函数概念逐一进行判断即可．
【详解】解：对于，当时，则，表明对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数；对于、、，在使得代数式有意义的自变量取值范围内，对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数；故选：A．
题型2.确定自变量和函数值的取值（或范围）
1.（23-24八年级·河南周口·期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于零列式求解即可．
【详解】解：由题意，得，∴．故选A．
2.（23-24·湖南长沙·二模）在函数，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是函数自变量的取值范围的确定.
【详解】解：由题意得：，解得：．故答案为：．
3.（23-24八年级·北京朝阳·期末）若函数y=，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于 ．
【答案】或4
【分析】把y＝8，分别代入解析式，再解方程，要注意x的取值范围.
【详解】由已知可得x2+2=8或2x=8,分别解得x1=(不符合题意舍去)，x2=-，x3=4故答案为或4
4.（23-24八年级·山东青岛·期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于( )
【答案】-9
【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=﹣1代入y=2x+b可得答案．
【详解】∵当x=7时，y=6﹣7=﹣1，∴当x=4时，y=2×4+b=﹣1，解得：b=﹣9．故答案为－9．
【点睛】本题考查了函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
题型3.列表法、解析式法、图象法表示函数关系
【例5】（23-24八年级·河北秦皇岛·期中）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示，下列说法错误的是（ ）
温度/℃ 0 10 20 30
传播速度/ 318 324 330 336 342 348
A．传播速度是自变量，温度是传播速度的函数 B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为时，声音可以传播 D．温度每升高，传播速度增加
【答案】A
【分析】此题主要考查了常量与变量，关键是掌握在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．根据所给表格，结合变量和自变量定义可得答案．
【详解】解：A、温度是自变量，传播速度是传播速度的函数，故原题说法错误；
B、温度越高，传播速度越快，故原题说法正确；
C、当温度为时，声音可以传播，故原题说法正确；
D、温度每升高，传播速度增加，故原题说法正确；故选：A．
2.（23-24八年级·陕西渭南·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（ ）
A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关
C．x可以取任意大于零的实数 D．当时，
【答案】C
【分析】根据给出的函数关系式结合函数的性质，对四个选项进行一一判断．
【详解】A. 从题意及给出的函数关系式可以得出：时间是自变量，水位高度是因变量，故A选项说法正确；
B. 从函数关系式可以得出：x，y都是变量，并且y的值与x有关, 故B选项说法正确；
C. 根据函数关系式：，可以看出x的取取值范围是：，故C选项说法错误；D. 当时，，故D选项说法正确；故选 ：C
【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：函数解析式是等式．函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
3.（23-24八年级·河南许昌·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（）之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（ ）
A．变量y是x的函数 B．摩天轮转一周所用的时间是
C．摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m D．摩天轮的半径是35m
【答案】D
【分析】分别根据函数的定义以及图象的数据逐一判断即可．
【详解】解：由题意可得：A、变量y是x的函数，说法正确，故本选项不合题意；
B、摩天轮转一周所用的时间是6min，说法正确，故本选项不合题意；
C、摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m，说法正确，故本选项不合题意；
D、摩天轮的半径是：（70-5）÷2=32.5（m），原说法错误，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．
题型4.函数图象的相关运用
1.（23-24·浙江绍兴·一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里.表示离家路程，表示骑行时间，下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】因为小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，可求其行驶的路程对照排除错误选项，“在原地休息”对应在图象上表示时间在增加，而距离不变，即这一线段与x轴平行，“回到原出发地”表示终点的纵坐标为0，综合分析选出正确答案．
【详解】解：∵（米）=2（千米），
∴小刚以400米/分的速度匀速骑车5分行驶的路程为2千米，
而选项A与B中纵轴表示速度，且速度为变量，这与事实不符，故排除选项A与B，
又∵“回到原出发地”表示终点的纵坐标为0，∴排除选项C，故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是理解函数图象的意义．
2.（23-24八年级·安徽滁州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．长方形的周长是 C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A、B、C都可证正确，选项D，面积为8时，对应x值不为10，所以错误．
【详解】解：由图2可知，长方形MNPQ的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A正确；
选项B，长方形周长为2×（4+5）=18，正确；
选项C，x=6时，点R在QP上，△MNR的面积y=×5×4=10，正确；
选项D，y=8时，即，解得，或，解得，
所以，当y=8时，x=3.2或9.8，故选项D错误；故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题分类讨论，对运动中的点R的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问题，读懂函数图象是解题关键．
3.（23-24八年级·河南漯河·期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④．其中说法正确的是 （填写序号）．
【答案】①②③④
【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量
【详解】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2-6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，距离缩短为80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态。
题型5.一次函数的过象限相关问题
1.（23-24九年级·上海宝山·期中）如果，，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据，，可以，且同号，从而可以判断一次函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【详解】解：∵，，∴异号，异号，∴，且同号，∴，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故选B
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
2.（23-24九年级·浙江杭州·期中）一次函数的图象一定经过第 象限．
【答案】一
【分析】由一次函数的定义可知，故可分类讨论：当和时，分别求出的取值范围，结合一次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：∵该函数为一次函数，∴，即
分类讨论：①当，即时，∴，
∴此时该函数图象必经过第一、三象限．
当时，经过第二象限，当时，经过第四象限；
②当，即时，∴，∴此时该函数图象经过第一、二、四象限，
综上可知，该函数图象必经过第一象限．故答案为：一．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．掌握一次函数，当时，其图象经过第一、二、三象限；当时，其图象经过第一、三、四象限；当时，其图象经过第一、二、四象限；当时，其图象经过第二、三、四象限是解题关键．
3.（23-24八年级·宁夏银川·期中）如果直线不经过第二象限，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据图象不经过第二象限可得且，结合不等式的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的方法即可求解，掌握一次函数图象的性质，不等式的取值方法是解题的关键．
【详解】解：∵不经过第二象限，∴，且，∴， 故选：A
4.（2024八年级·浙江·专题练面直角坐标系中，过点的直线l经过一、二、三象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第一、二、三象限且过点，得出y随x的增大而增大，则，再根据点在直线l上，得出，即可解答．
【详解】解：∵直线l经过第一、二、三象限且过点，∴y随x的增大而增大．
∵，∴，∴A、B、C均错；
∵点在直线l上，∴．故选D．
题型6.一次函数的增减性相关问题
1.（23-24九年级·吉林长春·期末）下列一次函数中，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，据此即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，∴随的增大而增大，该选项不合题意；
、∵，∴随的增大而增大，该选项不合题意；
、∵，∴随的增大而增大，该选项不合题意；
、∵，∴随的增大而减小，该选项不合题意；故选：．
2.（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数( )
A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而减小
C．当时，随的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】根据函数图象和各点坐标，可得出各段中函数图象的变化情况，即可得答案．
【详解】∵A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），
∴由图象可知：当x＜1时，y随x的增大而增大，
当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选：C．
【点睛】本题考查分段函数的图象及函数的增减性，正确得出对应的横坐标的取值范围是解题关键．
3.（2024·浙江杭州·一模）若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则W 0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）
【答案】＜
【分析】根据一次函数的性质进行判断即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数，随增大而减小，
∴当时，，∴，∴，
当时，，∴，∴，故答案为：＜．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图形性质．
4.（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k值可能是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数．熟练掌握一次函数的增减性，是解决问题的关键．根据一次函数的增减性质，逐一判断可得答案．
【详解】解：∵一次函数的函数值y随着x的增大而增大，
∴，解得．所以k的值可以是．
5.（23-24九年级·山东聊城·期末）一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小．根据一次函数中的可得出y随x的增大而减小，根据可得出．
【详解】解：∵一次函数中的，∴y随x的增大而减小，
∵，∴，故选：C．
题型7.一次函数中的图形变换（平移与轴对称）
1.（23-24八年级·海南·期末）在平面直角坐标系中，一次函数经变换后得到新的一次函数，则这个变换可以是（ ）
A．先向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度
B．先向上平移7个单位长度，再向右平移3个单位长度
C．先向下平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度
D．先向下平移3个单位长度，再向左平移7个单位长度
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的平移变化，根据一次函数平移变化的规律“左加右减，上加下减”结合题目既可得出答案，牢记平移变化的规律是解题的关键．
【详解】根据一次函数平移变化的规律“左加右减，上加下减”知先向上平移n个单位长度，得，
再向右平移m个单位长度，得
即，，
故一次函数先向上平移7个单位长度，再向右平移3个单位长度．故选B．
2.（23-24八年级·山东青岛·期中）如图，将直线向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，根据一次函数图象的平移规律求出平移后的一次函数的表达式．
【详解】设直线的解析式为,
∵直线经过点，∴,解得：，∴直线的解析式为,
直线向上平移2个单位，得到一次函数的表达式为．故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移、待定系数法求一次函数解析式的一般步骤，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
3.（23-24九年级·陕西西安·开学考试）若直线 与直线 关于直线 对称，则 值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．
先求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入得到b的值，再求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出k的值即可．
【详解】解：∵一次函数与y轴交点为，
∴点关于直线的对称点为，
把代入直线，可得，解得，
则，一次函数与y轴交点为，
关于直线的对称点为，
代入直线，可得，解得．故选：C．
4.（23-24九年级·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（2， m），然后再把B点坐标代入y＝ x＋1可得m的值．
【详解】点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m），
将点B的坐标代入直线y＝﹣x+1得：﹣m＝﹣2+1，解得：m＝1，故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等．
题型8.一次函数的图象问题
1.（23-24八年级·河北保定·期末）若正比例函数的图象经过第二、第四象限，常数和互为相反数，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由正比例函数的图象经过第二、第四象限，得出，结合题意得出，即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、第四象限，∴，
∵常数和互为相反数，∴，∴一次函数经过第一、二、四象限，故选：C．
2.（23-24八年级·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数经过点，则该函数图象为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．把代入，求出的值，根据图象解答即可．
【详解】解：，经过，把代入，
，，，图象过且与轴交于正半轴．故选：A．
3.（2024·山东济南·模拟预测）和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象，根据一次函数图象的性质分别根据，和进行判断即可．
【详解】解：当时，，，，∴的图象经过二、三、四象限，的图象经过一、三、四象限，故可能的图象为：C，
当时，，，，∴的图象经过一、二、四象限，的图象经过一、三、四象限，没有符合要求的选项；
当时，，，，∴的图象经过一、三、四象限，的图象经过一、二、四象限，没有符合要求的选项；故选：C．
题型9.一次函数的相关性质综合
1．（2023·湖南·长沙市八年级期末）一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．的值随值的增大而增大 B．它的图象经过一、二、三象限
C．当时， D．它的图象必经过点（-1，2）
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵-2＜0，1＞0，
∴A的值随值的增大而减小，故本选项错误，不符合题意；
B、它的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，，所以当时，，故本选项正确，符合题意；
D、当时，，它的图象必经过点（-1，3），故本选项错误，不符合题意；故选：C
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
2．（2024·湖南八年级期末）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象与x轴交点为（1，0） B．图象经过第一、二、三象限
C．当时， D．y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质以及图像上的点的坐标特征对各个选项进行判断即可．
【详解】A：当y=0时，x=2，即图象与x轴交点为（2，0），故错误，不符合题意；
B：，则图象经过第一、二、四象限，故错误，不符合题意；
C：，则图像随x增大而减小，当y=0时，x=2，则当时，，故正确，符合题意；
D：，则图像随x增大而减小，故错误，不符合题意．故选：C
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟知，当k<0时，y随x的增大而减小，当k>0时，y随x的增大而增大时关键．
3.（23-24八年级·河北邯郸·期末）如图，一次函数的图象与x 轴的交点坐标为 则下列说法正确的有（ ）
①y随x 的增大而增大；②，；③关于x 的方程的解为；④当时，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
【详解】解：由图象可得，随的增大而增大，故①正确，符合题意；
，，故②错误，不符合题意；当时，，故④正确，符合题意；
关于的方程的解为，故③正确，符合题意；故选：C．
题型10.由一次函数解决最值问题
1.（23-24九年级·四川内江·期中）对于几个实数a、b、c，我们规定符号表示a、b、c中较小的数，如：．按照这个规定，已知函数：，则y的最大值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，求不等式组的解集，分3种情况列出不等式组求出x的取值范围，再结合一次函数的性质求解即可．
【详解】解：当时，即，则，
∵随x的增大而增大，∴当时，y取的最大值；
当时，即，则，
∵随x的增大而增大，∴当时，y取的最大值；
当时，解得，则，
∵随x的增大而减小，∴当时，y取的最大值；
综上可知，y的最大值是．故答案为：．
2.（2024·四川南充·二模）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】//
【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，先利用求出直线解析式为：，再求出，根据点在线段上可得，再表示出，问题得解．
【详解】∵直线与直线交于点，
∴将代入，有：，解得：，
即直线解析式为：，当时，，即，
∵点在线段上，点在直线上，
∴，，且，∴，
∵，∴当时，的值最小，且为，
故答案为：．
3.（23-24九年级·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；(2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ．
【答案】(1)8(2)图见解析，N
【分析】本题考查一次函数的图象和性质得应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，随的增大越明显．
（1）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求的最大值，那么把第二象限内的点代入即可；（2）求的当时直线与轴的交点，进而根据经过点和可得直线扫过的区域，即可求得直线不可能经过的点．
【详解】（1）解：∵一次函数的比例系数为，，
∴一次函数一定经过第一、三象限．
∵求b的最大值，∴图象还应该经过第二象限的点．
∴．∴答：b的最大值为8；
（2）当时，图象经过∵图象必过点，，
∴直线运动的区域为过点和点的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）．
∴直线不可能经过的点是N．故答案为：N．
题型10.一次函数中的面积问题
1.（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点，，且点B在正比例函数的图象上．(1)求a的值；(2)求一次函数的解析式；(3)求的面积．
【答案】(1)(2)(3)5
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数解析式，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键．（1）将代入，即可求出a的值；（2）利用待定系数法求解即可；
（3）根据求解即可．
【详解】（1）解：将代入得：，解得：．
（2）解：将，代入得：
，解得：，故一次函数表达式为：．
（3）解：，，
，，．
2.（23-24八年级·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与x轴、y轴分别交于点，过点M的直线与x轴、y轴分别交于点．
(1)求点的坐标；(2)若点B，O关于点D对称，求直线的解析式；
(3)若直线将的面积分为1：3两部分，直接写出k的值．
【答案】(1)，(2)(3)或
【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积．
（1）把点代入直线中，求得b的值，即得到直线的解析式，再分别令，，即可求得点A，B的坐标；（2）根据点，关于点对称可得，采用待定系数法，将，代入直线即可求解；（3）根据三角形的面积公式求得，连接，可求得，满足题意，此时直线过原点O，根据待定系数法求出k的值；当时，根据三角形面积公式可求出点C的坐标，进而可以待定系数法求出k的值．
【详解】（1）解：将点代入直线得，，
解得：，直线，令，得，令，得，
点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）解：∵点，关于点对称，∴点D是的中点，∴点的坐标为，
将，代入，得
，解得，直线的解析式为；
（3）解：∵，，∴．连接，
则，∴，
∴直线过原点O时，满足直线将的面积分成两部分，
将点，代入直线，得，解得；
当时，即，，点的坐标为，
将点，代入直线，得，解得；综上所述，或．
3.（23-24八年级·河南商丘·阶段练习）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A且经过点，直线与交于点．
(1)求k，b和m的值；(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，(2)(3)存在，点E的坐标是
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形以及轴对称图形的性质，根据题意作出轴对称图形是解题的关键．（1）将直线上点的坐标代入直线的函数解析式即可求得答案．
（2）求出A，D，C的坐标，利用三角形面积公式求解即可．（3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短，先求得直线的函数解析式，即可求得点E的坐标．
【详解】（1）解：将代入，得：，解得．
∴直线的解析式为．将代入，得：．∴．
把代入，得：，解得．
（2）解：由（1）得直线的解析式为，直线的解析式为．
令，解得．∴
令，解得．∴． ∴．
∵，．
（3）解：存在．作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，连接EC，此时的周长最小．如图，
设直线的函数解析式是，
将和代入，得解得
∴． 令，解得．则点E的坐标是．
题型11.一次函数图象中的规律探
1.（23-24八年级·河南郑州·期中）如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…，照此规律运动，动点依次经过点，则当动点到达处时，运动的总路径的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键．点，，所在直线与y轴平行，横坐标相同，根据变化的情况分析可得：当动点到达点处时，运动的总路径的长为，据此即可求解．
【详解】解：由直线：可知，，
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知，
，，，，，
，，，，，…，
由此可得，，
∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为，
∴当点到达处时，运动的总路径的长为．故选：B．
2.（2024·山东日照·二模）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为
A．(2n，2n-1) B．(，) C．(2n+1，2n) D．（，）
【答案】B
【分析】先根据题意求出点A2的坐标，再根据点A2的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标．
【详解】∵∴
∵过点作轴的垂线，交直线于点∴∵∴
∵过点作轴的垂线，交直线于点∴
∵点与点关于直线对称∴
以此类推便可求得点An的坐标为，点Bn的坐标为故答案为：B．
【点睛】本题考查了坐标点的规律题，掌握坐标点的规律、轴对称的性质是解题的关键．
3.（23-24八年级·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，交直线于点B，以为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，再过点作轴，分别交直线和于两点，以为直角顶点．为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，按此规律进行下去，点的横坐标为 ，点的横坐标为 ．
【答案】 3
【分析】先据题目中的已知条件求出点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为…，由此总结得出点的横坐标为，最后求出结果即可．本题主要考查了一次函数的规律探究问题，解题关键是根据题意总结得出点的横坐标为．
【详解】解：∵点，轴交直线于点B，∴，∴，即，
∵，∴点的横坐标为，
∵过点作轴，分别交直线和于，两点，
∴，∴，∴，∴点的横坐标为，；
以此类推，，即，∴点的横坐标为，
，即；点的横坐标为…
∴，即．∴点的横坐标为，
∴点的横坐标为．故答案为：．
题型12.一次函数与几何图形的综合运用
1.（23-24九年级·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．(1)求三角形的面积．(2)若点 P 的坐标为(m，0)，
①请直接写出线段的长为 ；(用含m的式子表示)
②当 时，求m的值．(3)若交y轴于点 M，求点 M的坐标．
【答案】(1)8(2)①；②10或(3)
【分析】本题考查了坐标与图形性质、三角形面积的计算方法、待定系数法求直线的解析式；熟练掌握坐标与图形性质是解题的关键．（1）过点作轴，垂足为，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，由题意得出，，．得出，，，，，，．，即可得出结果；
（2）①根据题意容易得出结果；②由三角形面积关系得出方程，解方程即可；
（3）与待定系数法求出直线的解析式，即可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：过点作轴，垂足为，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于．如图1所示：
，，，，，．
，，，，，，．
．
答：的面积是8．
（2）解：①根据题意得：；故答案为：；
② ，
或，或；
（3）解：设直线的解析式为，
根据题意得：，解得：，；
直线的解析式为，当时，，．
2.（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（ ）
A．k，b B．k，b C．k，b D．k，b
【答案】D
【分析】首先由图可知A(-2,0)，B(2,3)，再把A、B的坐标分别代入解析式，解方程组，即可求得．
【详解】解：由图可知A(-2,0)，B(2,3)，
把A、B的坐标分别代入解析式，得 解得 故选：D．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，结合题意和图形得到A、B的坐标是解决本题的关键．
3.（2024·陕西·一模）问题探究：（1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可）（2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：；
问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．
①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程；
②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线的解析式为
【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）根据网格和梯形的面积公式求解即可；
（2）根据，，即可求解；
（3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N，量出的中点Q，连接，由，可得，从而可得，可证，再由平分梯形的面积，即可求解；②由题意可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再根据一次函数平移的规律可设直线的解析式为，再把代入求得直线的解析式为，从而可得，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一），
理由如下：如图，直线l分别交、于点E、F，
∵，，
∵；
（2）设、之间的距离为h，∵， ，
，．
（3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N，
量出的中点Q，连接，的位置如图所示．∵，∴，
又∵，∴，，
∵平分梯形的面积，∴平分五边形的面积，
②由题意得，，，，，，．
设直线的解析式为，
将，，代入得，解得，
∴直线的解析式为，故可设直线的解析式为，
将代入，得，∴直线的解析式为．
当时，，解得．．，
设直线的解析式为，
将，，代入得，解得，
∴直线的解析式为．
一. 选择题（共10小题）
1.（23-24八年级·浙江温州·期中）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设苹果单价提高x元，则销售量为千克，再根据销售额售价数量进行求解即可．
【详解】解：设苹果单价提高x元，则销售量为千克，
由题意得，，
故选D．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
2．（2024·浙江·八年级期末）若正比例函数图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象过一、三象限 B．函数图象过点
C．函数值随自变量的增大而增大 D．函数图像向右平移1个单位后的函数的解析式是
【答案】D
【分析】设正比例函数为，待定系数法求得解析式，根据解析式以及正比例函数的性质即可判断各选项即可求解．
【详解】解：正比例函数图象过点，设正比例函数为，
则解得正比例函数的解析式为
，函数图象经过二、四象限，故A选项不正确，
当时，，则函数图象经过点，故B选项不正确，
，则函数值随自变量的增大而减小，故C选项不正确，函数图像向右平移1个单位后的函数的解析式是，即，故D选项正确，故选D．
【点睛】本题考查正比例函数的性质，一次函数的平移，待定系数法求解析式，掌握以上知识是解题关键．
3.（23-24八年级·辽宁鞍山·期中）一个蓄水池有水60，打开放水阀门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（ ）
放水时间（min） 2 3 5 8 …
水池中的水量（） 54 51 45 36 …
A．放水时间是自变量，水池中的水量是放水时间的函数 B．每分钟放水3
C．放水30min后，水池中的水全部放完 D．放水10min后，水池中还有水30
【答案】C
【分析】根据表格数据找到每分钟排水量即可．
【详解】解：A、根据表格数据知：蓄水池原有水，每分钟水闸排水．
水池剩余水量可以看以时间为自变量的函数，故A正确，不符合题意．
B、每分钟水闸排水．故B正确，不符合题意．
C、．故放水20min后，水池中的水全部放完，故C错误，符合题意．
D、放水10分钟，还剩水：，故D正确，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是提取表格数据反应的信息．
4.（23-24九年级·河北唐山·期中）一次函数的图像经过点P，且，则点P的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，即，则y的值随x值的增大而增大．又因为，所以一次函数的图像经过第一、二、三象限．然后根据选项的点所在的象限即可解答．
【详解】解：∵，∴，∴y的值随x值的增大而增大，
又∵，∴一次函数的图像经过第一、二、三象限．
∵在第四象限，∴点P的坐标不可能为．故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系等知识点，由一次函数解析式系数确定一次函数图像的位置是解题的关键．
5.（23-24八年级·四川广安·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴∴
∴一次函数图象第一、二、三象限，故选：B．
6.（23-24九年级·福建福州·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将，两点坐标代入一次函数解析式，再将两式相减即可解决问题．
【详解】解：将，两点坐标分别代入一次函数解析式得，，
两式相减得， ，所以，
因为，所以，则，所以，则．故选：A．
7.（23-24八年级·四川宜宾·期末）甲乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上骑行到目的地B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的函数关系的图象，如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都骑行了18千米，但不是同时到达目的地．②甲在中途停留了小时．
③乙比甲晚出发了小时，却早到了小时．④相遇后甲的速度大于乙的速度．
其中不符合图象描述的说法是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【详解】解：①观察图象得：他们都行驶了18千米，故①正确；
②观察图象得：甲在中途停留了（小时），故②正确；
③观察图象得：乙比甲晚出发了小时，故③正确；
④观察图象得：相遇后，甲到达目的地用的时间比乙到达目的地所用时间多用小时，而行驶的路程相等，因此相遇后甲的速度小于乙的速度，故④错误；∴不符合图象描述的说法是④．故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象以及通过函数图象的知信息的能力，利用数形结合思想解答是解题的关键．
8.（23-24八年级·安徽蚌埠·阶段练习）已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在正数n，使得，则称函数和是“正和谐函数”．下列函数和是“正和谐函数”的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】分别列方程计算即可．
【详解】A、，解得，不合题意；
B、，解得，不合题意；
C、，解得，符合题意；
D、，解得，不合题意；故选C．
【点睛】本题考查了新定义，函数的知识，以及解一元一次方程，掌握新定义的含义是解题的关键．
9.（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点，则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的解析式之间的关系．平行线的解析式一次项系数相等，设直线为，将点代入可求直线的解析式，可得点，，再根据、的取值范围求解．
【详解】解：根据题意，设一次函数的解析式为，
由点在该函数图象上，得，解得．
所以，．可得点，．
由，且为整数，取，2，4，6时，对应的是整数．
因此，在线段上（包括点、，横、纵坐标都是整数的点有4个．故选：B．
10.（23-24九年级·江苏南通·期中）已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，以及不等式的性质．掌握一次函数中，当，时函数的图象不经过第四象限是解题的关键．
根据一次函数图象与系数的关系可得，，将点代入，得到，即．由，得出不等式组，解不等式组求出a的范围，再根据不等式的性质即可求出S的取值范围．
【详解】过点的直线不经过第四象限，
，，， ，
，解得：， ，
， ，即S的取值范围为：，故选B．
二．填空题（共6小题）
11.（23-24八年级·山东烟台·期末）函数自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．
【详解】解：由题意得：，∴；故答案为．
【点睛】本题主要考查函数的自变量及分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
12.（23-24九年级·四川达州·期中）如果 ab>0， <0 则直线 不经过第 象限；
【答案】一
【分析】先根据ab＞0，＜0讨论出a、b、c的符号，进而可得出，的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【详解】∵ab＞0，＜0，∵a、b同号，a、c异号，
当a＞0，b＞0时，c＜0，∴＞0，＜0，∴直线y=-x+过二、三、四象限；
当a＜0，b＜0时，c＞0，∴＞0，＜0，∴直线过二、三、四象限．
∴这条直线不经过第一象限，故答案为：一．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是根据ab＞0，＜0讨论出a、b、c的符号，进而可得出，的符号．
13.（23-24九年级·辽宁鞍山·阶段练习）函数的图象平行于直线，且交y轴于点，则其函数表达式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了求一次函数解析式，涉及了两直线平行的问题，熟知两直线平行时，k值相等是解题的关键．根据平行直线的解析式求出k值，再把点的坐标代入解析式求出b值即可．
【详解】解：∵函数的图象平行于直线，
∴，∴交y轴于点，∴，
∴函数的表达式是，故答案为：．
14.（2024·江西南昌·一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式 ．
【答案】y＝x﹣
【分析】求出函数y＝2x+1与x轴、y轴的交点坐标，再求出其对称的点的坐标，利用待定系数法1求得函数解析式即可．
【详解】y＝2x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣，
即函数和x轴的交点为（﹣，0），和y轴的交点坐标为（0，1），
所以两点关于直线y＝x对称的点的坐标分别为（0，﹣）和（1，0），设反函数的解析式是y＝kx+b，
代入得：，解得：k＝，b＝﹣，即y＝x﹣，故答案为y＝x﹣．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意求得对称点的坐标是解决问题的关键.
15.（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y的值为1≤y≤9，则kb的值为 ．
【答案】9或1
【分析】本题分情况讨论：①x=-3时对应y=1，x=1时对应y=9；②x=-3时对应y=9，x=1时对应y=1；将每种情况的两组数代入即可得出答案．
【详解】①当x= 3时，y=1；当x=1时，y=9，
则解得：所以k+b=9；
②当x= 3时，y=9；当x=1时，y=1，
则解得：所以k+b=1. 故答案为9或1.
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求一次函数解析式.
16.（23-24八年级·山西晋中·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴，垂足为，将直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线恰好经过点．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】先求出一次函数的表达式，根据平移可知平移后的解析式，最后把点代入即可．
【详解】∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，∴一次函数表达式为，
∵一次函数的图象与轴交于点，∴，解得，
∴一次函数的表达式为，由直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线，
∴直线的函数表达式为，
∵，且点位于轴的正半轴，∴点的坐标为，
∵直线恰好经过点，∴，解得，故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
17.（23-24九年级·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义:若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．若函数 (，)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的增减性、边界值确定a=-1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值范围．
【详解】解：∵k=-1，y随x的增大而减小，
∴当x=a时，-a+1=2，解得a=-1，而x=b时，y=-b+1，
∴-2≤-b+1≤2，且b＞a，∴-1＜b≤3．故答案为-1＜b≤3．
【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
18.（23-24八年级·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形 依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ；第个正方形的边长是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型问题，根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为，依次得出第三个正方形的边长为，以此类推，可得，，从而得到答案．
【详解】解：由题意，，，，则第一个正方形的边长为，
即，，，，
则第二个正方形的边长为，即，，，
，则第三个正方形的边长为，即，
，，以此类推，可得，，
第2020个正方形的边长为．故答案为：；
三．解答题（共7小题）
19.（23-24八年级·山西运城·期末）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水/立方米 858 780 702 546
(1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？(2)请将上述表格补充完整；(3)设放水时间为小时，游泳池的存水量为立方米，写出与的函数关系式．（不要求写自变量范围）
【答案】(1)放水时间，游泳池的存水；(2)见解析；(3)．
【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识；
（1）根据题中表格即可完成；
（2）根据排水孔以每小时78立方米的速度放水，即可完成填写表格；
（3）根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式．
【详解】（1）解：由题意知，两个变量分别是：放水时间及游泳池的存水；
（2）解：根据每小时放水78立方米，完成表格如下：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水/立方米 858 780 702 624 546 468 390
（3）解：与的函数关系式为．
20.（23-24八年级·全国·课后作业）画出函数的图象．
(1)列表：
x … 0 1 …
y … …
(2)描点并连线；(3)判断点，，是否在函数的图象上；
(4)若点在函数的图象上，求出m的值．
【答案】(1)3，1，-1(2)见解析(3)点A、B不在函数的图象上，点C在其图象上(4)-4
【分析】本题考查了画函数的图象，函数图象上的点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标特征是解题的关键
（1）分别把的值代入函数的解析式，计算求出的值；
（2）在平面直角坐标系中描出点、和，再连线即可；
（3）分别把点的横坐标代入函数的解析式，计算求出点的纵坐标，再判定即可；
（4）把点的坐标代入函数的解析式建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，当时，，故答案为：3，1，；
（2）解：如图：
（3）解：∵当时，；
当时，；当时，，
∴点不在函数的图象上，点C在其图象上．
（4）解：∵点在函数的图象上，
∴，解得．
21.（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则．
(1)已知直线经过，两点，请直接写出______．(2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）直接根据求解即可；（2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可
【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)，∴k=，故答案为：；
（2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)，∴k1=，
∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)，∴k1=，∴k1k2=-2×=-1．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键．
22．（2024·浙江·八年级校考期中）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；（2）①y＝ 50x＋20000，②商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；（3）①0＜m＜50时，商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大，②m＝50时，商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润，③当50＜m＜100时，商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解；（2）①据题意得，y＝ 50x＋20000；②利用不等式求出x的范围，再根据y＝ 50x＋20000的增减性，即可得到答案；（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80 x），即y＝（m 50）x＋20000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m 50＝0，y＝20000，③当50＜m＜100时，m 50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
，解得，
答：每台A型电脑销售利润为200元，每台B型电脑的销售利润为250元；
（2）①据题意得，y＝200x＋250（80 x），即y＝ 50x＋20000，
②据题意得，80 x≤2x，解得x≥26，∵y＝ 50x＋20000， 50＜0，∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，∴当x＝27时，y取最大值，则80 x＝53，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；
（3）据题意得，y＝（200＋m）x＋250（80 x），即y＝（m 50）x＋20000，
∵250（80 x）≥10000，解得：x≤40， 26≤x≤40，且为正整数，
①0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝27时，y取最大值，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m 50＝0，，
即商店购进A型电脑数量满足26≤x≤40的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m 50＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝40时，y取得最大值．
即商店购进40台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性．
23.（23-24九年级·天津蓟州·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，直线与直线相交于点M．(1)求直线的解析式及点M的坐标；
(2)点P是直线上的一点．①当时，求点P的坐标；
②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当取最小值时，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)点的坐标为；(2)①点P的坐标为或点；②点Q的坐标为或．
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，两点之间线段最短进是解题的关键．（1）利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立解方程组求交点坐标即可；
（2）①先求出点A的坐标，然后设点，根据列方程解题即可；
②利用①的结论分两种情况讨论，利用两点之间线段最短进行解题即可．
【详解】（1）解：将点代入，得，解得，，
解方程组，解得，点的坐标为；
（2）解：①令，则，解得，∴直线与轴的交点，
设点，，
∴，即或，解得或，则点P的坐标为或；
②当点P的坐标为时，如图，作点M关于轴的对称点，连接交轴于点，
此时有最小值，∵点的坐标为，∴点的坐标为，
设的解析式为，
则，解得，∴的解析式为，
令，则，解得，∴点Q的坐标；
当点P的坐标为时，如图，
当点Q与点重合时，此时有最小值，∴点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或．
24.（23-24八年级·江西南昌·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，从函数角度进行了实验探究，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下表：
供水时间 0 1 2 3 4 5 6 …
水位读数 2 …
(1)建立平面直角坐标系，如图，横轴表示观察时间，纵坐标表示水位读数，描出以表中的数据为坐标的各点．判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请连接各点，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．(2)若观察时间为，水位读数为多少？
(3)若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？
【答案】(1)描点作图见解析，这些点是在同—条直线上，表达式为；
(2)水位读数为；(3)水位读数为时是．
【分析】（1）根据表格描点以及用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）令解得值即可；（3）令求出的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：描点作图如下：
这些点是在同—条直线上，设它们所在直线表达式为，把代入得∶
，解得，∴它们所在直线表达式为；
（2）解：在中，令，得，∴水位读数为8cm ；
（3）解：在中，令得∶，解得，
∵本次实验开始记录的时间是上午，∴水位读数为时是．
【点睛】本题考查作一次函数的图像，求自变量的值、求函数值以及—次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
25.（23-24九年级·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足．
(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接，，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形的面积．
(3)在（2）的条件下，记与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接，，若三角形的面积与三角形的面积相等，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)(2)30(3)或
【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b的值，即可确定点A的坐标；（2）根据“过点A作x轴的垂线，点B为垂足”可得点B的坐标；由平移的性质可得点C的坐标；结合图形，利用三角形面积公式即可计算三角形的面积；（3）设直线交y轴于点D，直线的解析式为，由待定系数法求得直线的解析式，即可确定点D的坐标；设点，根据题意可得，求解即可获得答案．
【详解】（1）∵实数a，b满足，且，，
∴，，∴，，∴点A的坐标为；
（2）过点A作x轴的垂线，点B为垂足，∴，
若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，
则点C坐标为，即，，
∴，即三角形的面积为30；
（3）如图，设直线的解析式为，
将点，点代入，
可得，解得，∴直线的解析式为，
令，则，∴点，∴ 设点，
∵三角形的面积与三角形的面积相等，
∴，即，∴，
解得或，∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形、点的平移、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征等知识，理解题意，利用数形结合的思想分析问题是解题关键
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第5章 一次函数
典例精析 1
题型1.辨别函数的相关概念 1
题型2.确定自变量和函数值的取值（或范围） 2
题型3.列表法、解析式法、图象法表示函数关系 3
题型4.函数图象的相关运用 5
题型5.一次函数的过象限相关问题 7
题型6.一次函数的增减性相关问题 9
题型7.一次函数中的图形变换（平移与轴对称） 10
题型8.一次函数的图象问题 12
题型9.一次函数的相关性质综合 13
题型10.由一次函数解决最值问题 15
题型10.一次函数中的面积问题 17
题型11.一次函数图象中的规律探 20
题型12.一次函数与几何图形的综合运用 22
专项训练 26
题型1.辨别函数的相关概念
1.（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）下列各曲线中，不表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级·贵州毕节·期末）一个长方体的长为12，宽为，高为1，体积为，体积随着宽的变化而变化，在这个变化过程中，对变量的描述正确的是（ ）
A．，都是因变量 B．是因变量，是自变量 C．，都是自变量 D．是自变量，是因变量
3.（23-24八年级·广东河源·期末）王司机到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（ ）
A．金额 B．数量 C．金额和数量 D．单价
4.（23-24八年级·福建福州·期中）下列各关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
题型2.确定自变量和函数值的取值（或范围）
1.（23-24八年级·河南周口·期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24·湖南长沙·二模）在函数，自变量x的取值范围是 ．
3.（23-24八年级·北京朝阳·期末）若函数y=，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于 ．
4.（23-24八年级·山东青岛·期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于( )
题型3.列表法、解析式法、图象法表示函数关系
【例5】（23-24八年级·河北秦皇岛·期中）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示，下列说法错误的是（ ）
温度/℃ 0 10 20 30
传播速度/ 318 324 330 336 342 348
A．传播速度是自变量，温度是传播速度的函数 B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为时，声音可以传播 D．温度每升高，传播速度增加
2.（23-24八年级·陕西渭南·期中）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（ ）
A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关
C．x可以取任意大于零的实数 D．当时，
3.（23-24八年级·河南许昌·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（）之间的关系如图2所示．从图中获取的信息错误的是（ ）
A．变量y是x的函数 B．摩天轮转一周所用的时间是
C．摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是54m D．摩天轮的半径是35m
题型4.函数图象的相关运用
1.（23-24·浙江绍兴·一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里.表示离家路程，表示骑行时间，下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（23-24八年级·安徽滁州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．长方形的周长是 C．当时， D．当时，
3.（23-24八年级·河南漯河·期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④．其中说法正确的是 （填写序号）．
题型5.一次函数的过象限相关问题
1.（23-24九年级·上海宝山·期中）如果，，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.（23-24九年级·浙江杭州·期中）一次函数的图象一定经过第 象限．
3.（23-24八年级·宁夏银川·期中）如果直线不经过第二象限，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4.（2024八年级·浙江·专题练面直角坐标系中，过点的直线l经过一、二、三象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型6.一次函数的增减性相关问题
1.（23-24九年级·吉林长春·期末）下列一次函数中，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数( )
A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而减小
C．当时，随的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小
3.（2024·浙江杭州·一模）若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则W 0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）
4.（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k值可能是（ ）
A．1 B． C． D．
5.（23-24九年级·山东聊城·期末）一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型7.一次函数中的图形变换（平移与轴对称）
1.（23-24八年级·海南·期末）在平面直角坐标系中，一次函数经变换后得到新的一次函数，则这个变换可以是（ ）
A．先向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度
B．先向上平移7个单位长度，再向右平移3个单位长度
C．先向下平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度
D．先向下平移3个单位长度，再向左平移7个单位长度
2.（23-24八年级·山东青岛·期中）如图，将直线向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为 ．
3.（23-24九年级·陕西西安·开学考试）若直线 与直线 关于直线 对称，则 值分别为（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24九年级·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
题型8.一次函数的图象问题
1.（23-24八年级·河北保定·期末）若正比例函数的图象经过第二、第四象限，常数和互为相反数，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24八年级·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数经过点，则该函数图象为（ ）
A． B．C． D．
3.（2024·山东济南·模拟预测）和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型9.一次函数的相关性质综合
1．（2023·湖南·长沙市八年级期末）一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．的值随值的增大而增大 B．它的图象经过一、二、三象限
C．当时， D．它的图象必经过点（-1，2）
2．（2024·湖南八年级期末）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象与x轴交点为（1，0） B．图象经过第一、二、三象限
C．当时， D．y随x的增大而增大
3.（23-24八年级·河北邯郸·期末）如图，一次函数的图象与x 轴的交点坐标为 则下列说法正确的有（ ）
①y随x 的增大而增大；②，；③关于x 的方程的解为；④当时，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型10.由一次函数解决最值问题
1.（23-24九年级·四川内江·期中）对于几个实数a、b、c，我们规定符号表示a、b、c中较小的数，如：．按照这个规定，已知函数：，则y的最大值是 ．
2.（2024·四川南充·二模）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ．
3.（23-24九年级·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；(2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ．
题型10.一次函数中的面积问题
1.（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点，，且点B在正比例函数的图象上．(1)求a的值；(2)求一次函数的解析式；(3)求的面积．
2.（23-24八年级·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与x轴、y轴分别交于点，过点M的直线与x轴、y轴分别交于点．
(1)求点的坐标；(2)若点B，O关于点D对称，求直线的解析式；
(3)若直线将的面积分为1：3两部分，直接写出k的值．
3.（23-24八年级·河南商丘·阶段练习）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A且经过点，直线与交于点．(1)求k，b和m的值；(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
题型11.一次函数图象中的规律探
1.（23-24八年级·河南郑州·期中）如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…，照此规律运动，动点依次经过点，则当动点到达处时，运动的总路径的长为（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·山东日照·二模）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为
A．(2n，2n-1) B．(，) C．(2n+1，2n) D．（，）
3.（23-24八年级·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，交直线于点B，以为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，再过点作轴，分别交直线和于两点，以为直角顶点．为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，按此规律进行下去，点的横坐标为 ，点的横坐标为 ．
题型12.一次函数与几何图形的综合运用
1.（23-24九年级·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，．(1)求三角形的面积．(2)若点 P 的坐标为(m，0)，①请直接写出线段的长为 ；(用含m的式子表示)②当 时，求m的值．(3)若交y轴于点 M，求点 M的坐标．
2.（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（ ）
A．k，b B．k，b C．k，b D．k，b
3.（2024·陕西·一模）问题探究：（1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可）（2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：；
问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程；②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式．
一. 选择题（共10小题）
1.（23-24八年级·浙江温州·期中）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·八年级期末）若正比例函数图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象过一、三象限 B．函数图象过点
C．函数值随自变量的增大而增大 D．函数图像向右平移1个单位后的函数的解析式是
3.（23-24八年级·辽宁鞍山·期中）一个蓄水池有水60，打开放水阀门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（ ）
放水时间（min） 2 3 5 8 …
水池中的水量（） 54 51 45 36 …
A．放水时间是自变量，水池中的水量是放水时间的函数 B．每分钟放水3
C．放水30min后，水池中的水全部放完 D．放水10min后，水池中还有水30
4.（23-24九年级·河北唐山·期中）一次函数的图像经过点P，且，则点P的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
5.（23-24八年级·四川广安·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
6.（23-24九年级·福建福州·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是( )
A． B． C． D．
7.（23-24八年级·四川宜宾·期末）甲乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上骑行到目的地B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的函数关系的图象，如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都骑行了18千米，但不是同时到达目的地．②甲在中途停留了小时．
③乙比甲晚出发了小时，却早到了小时．④相遇后甲的速度大于乙的速度．
其中不符合图象描述的说法是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8.（23-24八年级·安徽蚌埠·阶段练习）已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在正数n，使得，则称函数和是“正和谐函数”．下列函数和是“正和谐函数”的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
9.（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点，则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10.（23-24九年级·江苏南通·期中）已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11.（23-24八年级·山东烟台·期末）函数自变量x的取值范围是 ．
12.（23-24九年级·四川达州·期中）如果 ab>0， <0 则直线 不经过第 象限；
13.（23-24九年级·辽宁鞍山·阶段练习）函数的图象平行于直线，且交y轴于点，则其函数表达式是 ．
14.（2024·江西南昌·一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式 ．
15.（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y的值为1≤y≤9，则kb的值为 ．
16.（23-24八年级·山西晋中·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴，垂足为，将直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线恰好经过点．若，则的值为 ．
17.（23-24九年级·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义:若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．若函数 (，)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，则的取值范围是 ．
18.（23-24八年级·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形 依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ；第个正方形的边长是 ．
三．解答题（共7小题）
19.（23-24八年级·山西运城·期末）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水/立方米 858 780 702 546
(1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？(2)请将上述表格补充完整；(3)设放水时间为小时，游泳池的存水量为立方米，写出与的函数关系式．（不要求写自变量范围）
20.（23-24八年级·全国·课后作业）画出函数的图象．(1)列表：
x … 0 1 …
y … …
(2)描点并连线；(3)判断点，，是否在函数的图象上；
(4)若点在函数的图象上，求出m的值．
21.（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则．
(1)已知直线经过，两点，请直接写出______．(2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值．
22．（2024·浙江·八年级校考期中）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案．
23.（23-24九年级·天津蓟州·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，直线与直线相交于点M．(1)求直线的解析式及点M的坐标；
(2)点P是直线上的一点．①当时，求点P的坐标；
②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当取最小值时，直接写出点Q的坐标．
24.（23-24八年级·江西南昌·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，从函数角度进行了实验探究，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下表：
供水时间 0 1 2 3 4 5 6 …
水位读数 2 …
(1)建立平面直角坐标系，如图，横轴表示观察时间，纵坐标表示水位读数，描出以表中的数据为坐标的各点．判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请连接各点，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．(2)若观察时间为，水位读数为多少？
(3)若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？
25.（23-24九年级·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足．
(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接，，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形的面积．
(3)在（2）的条件下，记与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接，，若三角形的面积与三角形的面积相等，直接写出点P的坐标．
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