第一章解直角三角形综合题（含答案）
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第一章解直角三角形综合题
一、填空题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为BC上一点，AD=BD，CD=1，AC= ，则∠B的度数为 .
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，…都是菱形，点，，，…都在x轴上，点，，，…都在直线上，且，，则点C 的坐标是 ．
3．已知tanA=1，则∠A= °.
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB= ，tanB= 。
5．如图，中，，O为AC边上一点，且．点D在射线上，且，连接．则的最小值是 ．
6．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线 上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是
二、单选题
7．如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12 m，AB与AC的夹角为α，则高BC是（ ）
A．12sin α m B．12cos α m C． m D． m
9．如图，要测量河两相对的两点P、A之间的距离，可以在AP的垂线PB上取点C，测得PC＝100米，用测角仪测得∠ACP＝40°，则AP的长为（ ）
A．100sin40°米 B．100tan40°米
C． 米 D． 米
10．图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．π B．4π C．π D．π
13．sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
14．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（ ）
A． B． C． D．
15．如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD= ．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
16．如图，点A，B，C，D在上，连接，，．若，，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．5
三、解答题
17．如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
18．某中学九年级学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度，如图，他们先在点C测得教学楼的顶点A的仰角为，然后向教学楼前进20米到达点D，又测得点A的仰角为，请根据这些数据，求这幢教学楼的高度．（最后结果精确到1米，参考数据）
19．如图，小明站在斜坡AB上的点A处，看到坡下一棵大树顶端的影子刚好落在山脚下的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面成60°角，在点A处测得大树顶端的俯角为15°.已知山坡AB的坡比为，AB为10米，请帮助小明计算这棵大树的高度.（结果精确到0.1米，参考数据：）
20．如图，二次函数的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），且，与y轴交于点C．点P是第四象限抛物线上一点，过点P作轴，垂足为D，交直线于点E．
（1）填空：______；
（2）若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）连接，过点P作直线交y轴正半轴于点F，若，求点P的横坐标．
四、计算题
21．计算： ．
22．计算：
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接，过点作射线交轴的正半轴于点，点与点关于原点对称，点是第四象限抛物线上一动点，过点作的垂线交于点，求线段长度的最大值及此时点的坐标；
（3）如图，把点向上平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点，在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】30°
【知识点】解直角三角形
2．【答案】(47，16)
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形
3．【答案】45
【知识点】求特殊角的三角函数值
4．【答案】；
【知识点】锐角三角函数的定义
5．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形
6．【答案】2
【知识点】点到直线的距离；勾股定理的应用；解直角三角形
7．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
10．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
11．【答案】D
【知识点】解直角三角形
12．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；解直角三角形
13．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
14．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
15．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；几何概率
16．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
17．【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
18．【答案】27米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
19．【答案】解：过D作DM⊥AB于M，过A作AF⊥BC于F，
∵山坡AB的坡比为，
∴tan∠ABF=，
∴∠ABF=60°，
∴∠ABD=180°-∠ABF-∠DBC=60°，
∴在Rt△MBD中，
tan∠MBD=，
设MB=x，则MD=x，
∵AE∥CB，
∴∠EAB=∠ABF=60°，
∴∠DAM=∠EAM-∠EAD=45°，
在Rt△AMD中，
tan∠MAD==1，
∴AM=MD=x，
∴x+x=10，
∴x=5-5，
在Rt△MBD中，cos∠MBD==，
∴BD=2x=10-10，
∵sin∠DBC==，
∴DC=15-5≈6.3(米)，
答：这棵大树的高度约为6.3米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
20．【答案】（1）
（2）
（3）点P的横坐标是4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；解直角三角形
21．【答案】
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
22．【答案】解：原式=1-3- 2+1+3
=
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
23．【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2），此时；
（3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；旋转的性质
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第一章解直角三角形综合题
一、填空题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为BC上一点，AD=BD，CD=1，AC= ，则∠B的度数为 .
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，…都是菱形，点，，，…都在x轴上，点，，，…都在直线上，且，，则点C 的坐标是 ．
3．已知tanA=1，则∠A= °.
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB= ，tanB= 。
5．如图，中，，O为AC边上一点，且．点D在射线上，且，连接．则的最小值是 ．
6．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线 上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是
二、单选题
7．如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12 m，AB与AC的夹角为α，则高BC是（ ）
A．12sin α m B．12cos α m C． m D． m
9．如图，要测量河两相对的两点P、A之间的距离，可以在AP的垂线PB上取点C，测得PC＝100米，用测角仪测得∠ACP＝40°，则AP的长为（ ）
A．100sin40°米 B．100tan40°米
C． 米 D． 米
10．图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．π B．4π C．π D．π
13．sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
14．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（ ）
A． B． C． D．
15．如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD= ．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
16．如图，点A，B，C，D在上，连接，，．若，，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．5
三、解答题
17．如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
18．某中学九年级学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度，如图，他们先在点C测得教学楼的顶点A的仰角为，然后向教学楼前进20米到达点D，又测得点A的仰角为，请根据这些数据，求这幢教学楼的高度．（最后结果精确到1米，参考数据）
19．如图，小明站在斜坡AB上的点A处，看到坡下一棵大树顶端的影子刚好落在山脚下的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面成60°角，在点A处测得大树顶端的俯角为15°.已知山坡AB的坡比为，AB为10米，请帮助小明计算这棵大树的高度.（结果精确到0.1米，参考数据：）
20．如图，二次函数的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），且，与y轴交于点C．点P是第四象限抛物线上一点，过点P作轴，垂足为D，交直线于点E．
（1）填空：______；
（2）若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）连接，过点P作直线交y轴正半轴于点F，若，求点P的横坐标．
四、计算题
21．计算： ．
22．计算：
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接，过点作射线交轴的正半轴于点，点与点关于原点对称，点是第四象限抛物线上一动点，过点作的垂线交于点，求线段长度的最大值及此时点的坐标；
（3）如图，把点向上平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点，在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】30°
【知识点】解直角三角形
2．【答案】(47，16)
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形
3．【答案】45
【知识点】求特殊角的三角函数值
4．【答案】；
【知识点】锐角三角函数的定义
5．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形
6．【答案】2
【知识点】点到直线的距离；勾股定理的应用；解直角三角形
7．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
10．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
11．【答案】D
【知识点】解直角三角形
12．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；解直角三角形
13．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
14．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
15．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；几何概率
16．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
17．【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
18．【答案】27米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
19．【答案】解：过D作DM⊥AB于M，过A作AF⊥BC于F，
∵山坡AB的坡比为，
∴tan∠ABF=，
∴∠ABF=60°，
∴∠ABD=180°-∠ABF-∠DBC=60°，
∴在Rt△MBD中，
tan∠MBD=，
设MB=x，则MD=x，
∵AE∥CB，
∴∠EAB=∠ABF=60°，
∴∠DAM=∠EAM-∠EAD=45°，
在Rt△AMD中，
tan∠MAD==1，
∴AM=MD=x，
∴x+x=10，
∴x=5-5，
在Rt△MBD中，cos∠MBD==，
∴BD=2x=10-10，
∵sin∠DBC==，
∴DC=15-5≈6.3(米)，
答：这棵大树的高度约为6.3米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
20．【答案】（1）
（2）
（3）点P的横坐标是4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；解直角三角形
21．【答案】
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
22．【答案】解：原式=1-3- 2+1+3
=
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
23．【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2），此时；
（3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；旋转的性质
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