2.1直线和圆的位置关系（含答案）
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2.1直线和圆的位置关系
一、单选题
1．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
2．已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交
3．如图，点 为 外一点，过点 作 的切线 ，记切点为 ，点 为 上一点，连接 ．若，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图、是的两条弦，，过点的切线与的延长线交于点，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中， ， ， ，以 为直径作圆与斜边交于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线即圆弧，高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线弧的长为 ．(结果保留)
7．如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，若PO＝25cm，PA＝24cm，则⊙O的半径为 cm.
8．如图，点P为圆外一点，过点P作的切线、，A，B为切点．点C为上一点，若，则的度数为 ．
9．如图，点P为外一点，PA为的切线，A为切点，PO交于点B，，，则线段BP的长为 ．
10．如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB= ．
11．如图，是的直径，，点在上（点不与、重合），过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的长度是 （结果保留）
三、计算题
12．如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB．
13．如图，正六边形是半径为1的的内接六边形，连接并延长到点，过点，交的延长线于点．
（1）是___________（填“直角”“等腰”或“等边”）三角形；
（2）当___________时，直线与相切，此时通过计算比较线段和劣弧长度哪个更长；（参考数据：取3）
（3）已知是上的动点（点不与点A，重合）．
①连接，，求的度数；
②已知，过点作的切线，当切线与直线交于点时，请直接写出长的最小值．
14．在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．
（1）某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东，同时在监测点O测得C位于南偏东，求监测点O到C船的距离．（结果精确到，参考数据：，，，）
（2）当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．
四、解答题
15．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系.
五、作图题
16．下列说法正确吗 若不正确，请画图说明.
（1）垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线.
（2）过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线.
六、综合题
17．如图，是的直径，是半径，连接，．延长至点，使，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
19．如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．
（1）由AB，BD， 围成的曲边三角形的面积是 ；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）求线段DE的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
2．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
5．【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
6．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
7．【答案】7
【知识点】勾股定理；切线的性质
8．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
9．【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
10．【答案】25
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；弧长的计算
12．【答案】解：如图，连接OC交AB于点D∵CA、CB分别是⊙O的切线∴CA=CB，OC平分∠ACB∴OC⊥AB∵AB=6∴BD=3在Rt△OBD中∵OB=∴sin∠BOD=∴∠BOD=60°∵B是切点∴OB⊥BC∴∠OCB=30°∴∠ACB=60°．
【知识点】切线的性质；解直角三角形
13．【答案】（1）等边
（2）
（3）①或，②
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆内接正多边形；解直角三角形
14．【答案】（1）
（2）不会
【知识点】矩形的判定与性质；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
15．【答案】相切
【知识点】直线与圆的位置关系
16．【答案】（1）解：不正确，反例如下图：
直线l垂直于的半径OA，但直线l不是的切线；
（2）解：不正确，反例如下图：
直线l'过的半径OB外端点B，但直线l'不是的切线.
【知识点】切线的判定
17．【答案】（1）证明：∵是的直径
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴，
在中，，即
∴
∴半径长为．
【知识点】切线的判定；解直角三角形的其他实际应用
18．【答案】（1）证明：如图，
连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=BC=3，
又∵AE=7，
∴，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
19．【答案】（1）
（2）证明：由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB．
∵DE∥AB，∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：∵AB=10、AC=6，∴BC= =8． 过点A作AF⊥DE于点F，
则四边形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，
∴tan∠EAF=tan∠CBA，
∴ ，即 ， ∴EF= ，
∴DE=DF+EF= +5= ．
【知识点】勾股定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
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2.1直线和圆的位置关系
一、单选题
1．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
2．已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交
3．如图，点 为 外一点，过点 作 的切线 ，记切点为 ，点 为 上一点，连接 ．若，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图、是的两条弦，，过点的切线与的延长线交于点，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中， ， ， ，以 为直径作圆与斜边交于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线即圆弧，高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线弧的长为 ．(结果保留)
7．如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，若PO＝25cm，PA＝24cm，则⊙O的半径为 cm.
8．如图，点P为圆外一点，过点P作的切线、，A，B为切点．点C为上一点，若，则的度数为 ．
9．如图，点P为外一点，PA为的切线，A为切点，PO交于点B，，，则线段BP的长为 ．
10．如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB= ．
11．如图，是的直径，，点在上（点不与、重合），过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的长度是 （结果保留）
三、计算题
12．如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB．
13．如图，正六边形是半径为1的的内接六边形，连接并延长到点，过点，交的延长线于点．
（1）是___________（填“直角”“等腰”或“等边”）三角形；
（2）当___________时，直线与相切，此时通过计算比较线段和劣弧长度哪个更长；（参考数据：取3）
（3）已知是上的动点（点不与点A，重合）．
①连接，，求的度数；
②已知，过点作的切线，当切线与直线交于点时，请直接写出长的最小值．
14．在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．
（1）某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东，同时在监测点O测得C位于南偏东，求监测点O到C船的距离．（结果精确到，参考数据：，，，）
（2）当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．
四、解答题
15．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系.
五、作图题
16．下列说法正确吗 若不正确，请画图说明.
（1）垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线.
（2）过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线.
六、综合题
17．如图，是的直径，是半径，连接，．延长至点，使，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
19．如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．
（1）由AB，BD， 围成的曲边三角形的面积是 ；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）求线段DE的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
2．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
5．【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
6．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
7．【答案】7
【知识点】勾股定理；切线的性质
8．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
9．【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
10．【答案】25
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；弧长的计算
12．【答案】解：如图，连接OC交AB于点D∵CA、CB分别是⊙O的切线∴CA=CB，OC平分∠ACB∴OC⊥AB∵AB=6∴BD=3在Rt△OBD中∵OB=∴sin∠BOD=∴∠BOD=60°∵B是切点∴OB⊥BC∴∠OCB=30°∴∠ACB=60°．
【知识点】切线的性质；解直角三角形
13．【答案】（1）等边
（2）
（3）①或，②
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆内接正多边形；解直角三角形
14．【答案】（1）
（2）不会
【知识点】矩形的判定与性质；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
15．【答案】相切
【知识点】直线与圆的位置关系
16．【答案】（1）解：不正确，反例如下图：
直线l垂直于的半径OA，但直线l不是的切线；
（2）解：不正确，反例如下图：
直线l'过的半径OB外端点B，但直线l'不是的切线.
【知识点】切线的判定
17．【答案】（1）证明：∵是的直径
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴，
在中，，即
∴
∴半径长为．
【知识点】切线的判定；解直角三角形的其他实际应用
18．【答案】（1）证明：如图，
连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=BC=3，
又∵AE=7，
∴，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
19．【答案】（1）
（2）证明：由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB．
∵DE∥AB，∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：∵AB=10、AC=6，∴BC= =8． 过点A作AF⊥DE于点F，
则四边形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，
∴tan∠EAF=tan∠CBA，
∴ ，即 ， ∴EF= ，
∴DE=DF+EF= +5= ．
【知识点】勾股定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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