2.3三角形的内切圆（含答案）
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2.3三角形的内切圆
一、填空题
1．已知直角中，，，那么它的内切圆半径为
2．如图是的内切圆，切点分别是D，E，F，其中，若与相切与G点，与相交于M，N点，则的周长等于 ．
3．如图，在 中， ，半径为2的圆O与的各边均相切，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．
4．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为 ．
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r= ．
6．如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝ .（用含a的代数式表示）
二、单选题
7．如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
9．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧；
B．相等的圆周角所对的弧相等；
C．三角形的内心到三角形三边的距离相等；
D．垂直于半径的直线是圆的切线．
10．下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；⑨一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列关于三角形的内心说法正确的是（ ）
A．内心是三角形三条角平分线的交点
B．内心是三角形三边中垂线的交点
C．内心到三角形三个顶点的距离相等
D．钝角三角形的内心在三角形外
12．下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．相似三角形对应周长的比等于相似比的平方
C．圆内接四边形的对角互补
D．三角形的内心是三边的垂直平分线的交点
13．已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（ ）
A． B． C．2 D．3
14．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是 ( )
A． B．1 C．2 D．
16．如图，一块四边形材料，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
17．已知△ABC的三边AC=6，BC=8，AB=10，求△ABC的内切圆的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点B、C都在第一象限内，CA⊥x轴，垂足为点A，反比例函数y1= 的图象经过点B；反比例函数y2= 的图象经过点C（ ，m）．
（1）求点B的坐标；
（2）△ABC的内切圆⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，求圆心M的坐标．
四、计算题
19．阅读材料：如图，的周长为，面积为，内切圆☉的半径为，探究与，之间的关系．
解：连接、、．
∵，
，
，
∴，
∴
解决问题：
（1）利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
（2）如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式．
（3）若一个边形(为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，…，，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心
2．【答案】14
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
3．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
4．【答案】2 ﹣2
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
5．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
6．【答案】a-1
【知识点】等式的基本性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-AAS
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质；三角形的内切圆与内心
8．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的判定；三角形的内切圆与内心
10．【答案】B
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；三角形的内切圆与内心；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题
11．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
12．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的性质；真命题与假命题
13．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
14．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
15．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心
16．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
17．【答案】解：∵62+82=102，
∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°；
∴；
设△ABC内切圆的圆心为O，半径为r，
则圆心O到三边的距离均为r；
连接OA、OB、OC；
则S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，
即24=，
解得r=2，
∴△ABC的内切圆的面积
=πr2=4π，
即△ABC的内切圆的面积为4π．
【知识点】三角形的内切圆与内心
18．【答案】（1）解：∵CA⊥x轴，∠ACB=90°，
∴CB∥x轴．
∵将C（ ，m）代入函数y2= 得：n= = ，
∴点C（ ， ）．
∴点B的纵坐标为 ．
∵将y1= 代入得： = ，解得；x=2 ，
∴点B的坐标为（2 ， ）。
（2）解：如图所示：连接ME、MD、MF．
∵⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，
∴ME⊥AC，MD⊥BC，MF⊥AB．
∴∠ECD=∠CDM=∠CEM=90°．
∴四边形CDME为矩形．
∵MD=ME，
∴四边形CDME为正方形．
∵在Rt△ACB中，AC= ，BC= ，
∴AB=2．
∵S△ACB= AC BC= （AC+BC+AB） r，
∴⊙M的半径= = ﹣1．
∴点M的坐标为（2 ﹣1，1）．
【知识点】三角形的面积；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；反比例函数图象上点的坐标特征
19．【答案】（1）∵，∴此三角形为直角三角形，
∴三角形面积，
∴r==2.
（2）设四边形内切圆的圆心为，连接、、，.
则
∴r=.
（3）类比（1）（2）的结论，
易得在圆内切边形中，有成立
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；直角三角形的性质
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2.3三角形的内切圆
一、填空题
1．已知直角中，，，那么它的内切圆半径为
2．如图是的内切圆，切点分别是D，E，F，其中，若与相切与G点，与相交于M，N点，则的周长等于 ．
3．如图，在 中， ，半径为2的圆O与的各边均相切，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．
4．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为 ．
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r= ．
6．如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝ .（用含a的代数式表示）
二、单选题
7．如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
9．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧；
B．相等的圆周角所对的弧相等；
C．三角形的内心到三角形三边的距离相等；
D．垂直于半径的直线是圆的切线．
10．下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；⑨一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列关于三角形的内心说法正确的是（ ）
A．内心是三角形三条角平分线的交点
B．内心是三角形三边中垂线的交点
C．内心到三角形三个顶点的距离相等
D．钝角三角形的内心在三角形外
12．下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．相似三角形对应周长的比等于相似比的平方
C．圆内接四边形的对角互补
D．三角形的内心是三边的垂直平分线的交点
13．已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（ ）
A． B． C．2 D．3
14．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是 ( )
A． B．1 C．2 D．
16．如图，一块四边形材料，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
17．已知△ABC的三边AC=6，BC=8，AB=10，求△ABC的内切圆的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点B、C都在第一象限内，CA⊥x轴，垂足为点A，反比例函数y1= 的图象经过点B；反比例函数y2= 的图象经过点C（ ，m）．
（1）求点B的坐标；
（2）△ABC的内切圆⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，求圆心M的坐标．
四、计算题
19．阅读材料：如图，的周长为，面积为，内切圆☉的半径为，探究与，之间的关系．
解：连接、、．
∵，
，
，
∴，
∴
解决问题：
（1）利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
（2）如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式．
（3）若一个边形(为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，…，，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心
2．【答案】14
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
3．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
4．【答案】2 ﹣2
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
5．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
6．【答案】a-1
【知识点】等式的基本性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-AAS
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质；三角形的内切圆与内心
8．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的判定；三角形的内切圆与内心
10．【答案】B
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；三角形的内切圆与内心；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题
11．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
12．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的性质；真命题与假命题
13．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
14．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
15．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心
16．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
17．【答案】解：∵62+82=102，
∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°；
∴；
设△ABC内切圆的圆心为O，半径为r，
则圆心O到三边的距离均为r；
连接OA、OB、OC；
则S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，
即24=，
解得r=2，
∴△ABC的内切圆的面积
=πr2=4π，
即△ABC的内切圆的面积为4π．
【知识点】三角形的内切圆与内心
18．【答案】（1）解：∵CA⊥x轴，∠ACB=90°，
∴CB∥x轴．
∵将C（ ，m）代入函数y2= 得：n= = ，
∴点C（ ， ）．
∴点B的纵坐标为 ．
∵将y1= 代入得： = ，解得；x=2 ，
∴点B的坐标为（2 ， ）。
（2）解：如图所示：连接ME、MD、MF．
∵⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，
∴ME⊥AC，MD⊥BC，MF⊥AB．
∴∠ECD=∠CDM=∠CEM=90°．
∴四边形CDME为矩形．
∵MD=ME，
∴四边形CDME为正方形．
∵在Rt△ACB中，AC= ，BC= ，
∴AB=2．
∵S△ACB= AC BC= （AC+BC+AB） r，
∴⊙M的半径= = ﹣1．
∴点M的坐标为（2 ﹣1，1）．
【知识点】三角形的面积；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；反比例函数图象上点的坐标特征
19．【答案】（1）∵，∴此三角形为直角三角形，
∴三角形面积，
∴r==2.
（2）设四边形内切圆的圆心为，连接、、，.
则
∴r=.
（3）类比（1）（2）的结论，
易得在圆内切边形中，有成立
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；直角三角形的性质
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