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第4章：图形与坐标培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（1，3），且线段MN=4，则点N的坐标为（ ）
A．（5，3） B．（3，5） C．（5，3）或（﹣3，3） D．（3，5）或（3，﹣3）
2．在平面直角坐标中，已知点 在第二象限，则点P关于直线 直线m上各点的横坐标都是 对称的点的坐标是
A． B． C． D．
3.在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，，将线段平移后得到线段，若点坐标为，则点的坐标为
A． B． C． D．
4． 在平面直角坐标系中，点，，，，，用你发现的规律确定的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，下列说法：
①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab=0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（-2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
6.如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点的对应点的坐标为
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，，， 绕点B逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在 轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A、B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在 轴正半轴上点 处，则点C的对应点 的坐标为（ ）
A． B．(2,1) C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点B，分裂为两个点，分别向左、右运动到点、 点，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，从右往左数的第二个点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(﹣1，2)，B(﹣1，﹣1)，C(1，﹣1)，D(1，2)，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，…，则点的坐标为（ ）
A．(1，0) B．(﹣1，0) C．(1，2) D．(0，﹣1)
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．若点A（a，3a﹣b）、B（b，2a+b﹣2）关于x轴对称，则a= ，b=
12．在平面直角坐标系中，将点A向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得点B，点B的坐标是（2，﹣2），则A点的坐标是
13．在平面直角坐标系中，，，若轴，，则
14．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2），B（5，2），当点C在第一象限，且坐标为 时，△ABC为等腰直角三角形.
15.在平面直角坐标系中，线段是由线段平移所得，已知，，，则下列4个结论中，正确的有 （填序号）
①；②；③四边形的面积为10；④点坐标为．
16．如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，…，按这样的运动规律，则第2024次运动到点的坐标为_________________
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）已知点，试根据下列条件分别求出点的坐标．
（1）点在轴上；（2）点的横坐标比纵坐标大2；（3）点到轴的距离为3．
18.（本题6分）已知点，解答下列各题．
（1）若点在轴上，求点的坐标．（2）点的坐标为，直线轴，求点的坐标．
（3）点到两坐标轴的距离相等，直接写出点的坐标．
19（本题8分）．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2．
（1）求A1、A2的坐标；（2）证明：O为线段A1A2的中点．
20．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，且．
（1）求的值；（2）①在轴的正半轴上存在一点，使，求点的坐标；
②在坐标轴的其他位置是否存在点，使，仍然成立？若存在请直接写出符合条件的点的坐标．
21.（本题10分）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动（1）求点的坐标．（2）当点移动4秒时，请求出点的坐标．（3）当点移动到距离轴5个单位长度时，求点移动的时间．
22．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，点，连接OA，将OA绕点O逆时针方向旋转到OB．（1）求点B的坐标；（用字母表示）
（2）如图2，延长AB交轴于点C，过点B作交轴于点D，求证：OC=OD．
23．（本题12分）在如图的平面直角坐标系中， ABC各个顶点的坐标分别是．
(1)①请在此坐标系中画出 ABC；②判断 ABC的形状是 三角形（填“锐角、直角、钝角”）；
(2)作 ABC关于y轴对称的对称图形，并写出点的坐标为_______________；
(3)已知点P是y轴上一点，若，求点P坐标.
24．（本题12分）已知在直角坐标系中，点，，，由线段绕原点O顺时针转动某个角度得到线段，线段顺时针转动得到线段，连接，作直线交于点R.
（1）如图1，当点P在第一象限
①若时，求点P坐标；②求证：△AOP≌△BOQ；③求证：；
（2）在线段OC绕原点转动的过程中，当△PQR为等腰三角形时，求点P坐标.
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第4章：图形与坐标培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：C
解析：∵MN∥x轴，M点的坐标为（1，3），且线段MN=4，
当N在M的右侧时，则点N的坐标为，
当N在M的左侧时，则点N的坐标为，
故答案为：或，
故选择：C
2.答案:D
解析 直线m上各点的横坐标都是2，
直线为： ，
点 在第二象限，
到2的距离为： ，
点P关于直线m对称的点的横坐标是： ，
故P点对称的点的坐标是： .
故选择：D.
3.答案:
解析:点向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到，
点向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到的对应点的坐标为．
故选择：．
4.答案：B
解析：∵点，，，，
∴ 点P1，P2，P3，P4的横坐标依次是：0，1，2，3，
点P1，P2，P3，P4的纵坐标依次是：2，6，12，20，
∴ 横坐标变化规律是n-1，
纵坐标变化规律是n（n+1）
则P8的坐标是（7，72）
故选择：B.
5.答案：A
解析：①∵点A在坐标轴上，∴a和b中至少要由一个数为0，∴ab=0，∴①正确；
②当m=0时，m2=0，∴点（2，m2）在x轴上，∴②不正确；
③当点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2时，点P的坐标为（2，2），（-2，-2），（-2，2）和（2，-2）共4个，∴③不正确；
④∵点M的坐标为（2，3），点N的坐标为（-2，3），∴MN//x轴，∴④正确，
综上，正确的结论是①④，
故选择：A.
6.答案:
解析:点的坐标为，点和点关于轴对称，
点的坐标为，
．
点坐标为，
．
过点作轴的垂线，垂足为，
由旋转可知，
，，
，
．
在△和△中，
，
△△，
，，
，
点的坐标为．
故选择．
7.答案：D
解析：过点作轴，如下图：
由题意可得：，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为，
故选择：D．
8.答案：D
解析：∵AD′=AD=2，AO= AB=1，
∴OD′= = ，
∵C′D′=2，C′D′∥AB，
∴C'（2， ）.
故选择：D．
9.答案：C
解析：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最右边的点的横坐标增加1，左右两个点的横坐标相差2，
则动点A完成第2023次跳跃时，所有到达点的纵坐标为，最右边的点的横坐标为：，
则从右往左数的第二个点的坐标是．
故选择C．
10.答案：D
解析：长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，
根据题意得2t+3t＝10，
解得t＝2，
∴当t＝2时，P、Q第一次相遇，此时相遇点M1坐标为（1，0），
当t＝4时，P、Q第二次相遇，此时相遇点M2坐标为（﹣1，0），
当t＝6时，P、Q第三次相遇，此时相遇点M3坐标为（1，2），
当t＝8时，P、Q第四次相遇，此时相遇点M4坐标为（0，﹣1），
当t＝10时，P、Q第五次相遇，此时相遇点M5坐标为（﹣1，2），
当t＝12时，P、Q第六次相遇，此时相遇点M6坐标为（1，0），
∴五次相遇一循环，
∵2024÷5＝404......4，
∴的坐标为（0，﹣1）．
故选择：D．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：2；2
解析：∵A（a，3a﹣b）、B（b，2a+b﹣2）关于x轴对称，
∴a=b，3a﹣b=2a+b﹣2，
∴a=2，b=2，
故答案为：2，2．
12.答案：（3，2）
解析：设点A的坐标是（x，y），
∵将点A向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得点B，可得B的对应点坐标为（x﹣1，y﹣4），
∵得到点B的坐标是（2，﹣2），
∴x﹣1=2，y﹣4=﹣2，
∴x=3，y=2，
∴B的坐标是（3，2），
故答案为（3，2）．
13.答案：4或-8
解析：∵AB∥x轴，A（-1，2），
∴A、B纵坐标相同，AB=，n=2，
∵AB=3，
∴=3，
∴m=2或-4，
∴mn=4或-8.
故答案为：4或-8.
14.答案：（1，6）（5，6）（3，4）
解析：如图，
∵A（1，2），B（5，2），
∴AB=5-1=4，
∵△ABC为等腰直角三角形．
①当∠BAC为直角时，
∴CA=AB=4，
∴C（1，2+4），
即：C（1，6）
②当∠ABC为直角时，
∴AB=BC=5，
∴C（5，2+4），
即：C（5，6）
③当∠ACB为直角时，
∴AC=BC，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∴C的横坐标为3，，
∴C的纵坐标为2+2=4，
∴C（3，4）
∴C（1，6）或（5，6）或（3，4），
故答案为：（1，6），（5，6），（3，4）.
15.答案：①②③．
解析：线段是由线段平移所得，
．
故①正确．
线段是由线段平移所得，
，，
，，
．
故②正确．
，，，且线段是由线段平移所得，
，且点的坐标为，
，
．
故③正确．
，，且点是点平移之后的对应点，
线段是由线段向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
点坐标为，
点的坐标为．
故④错误．
故答案为：①②③．
16.答案：
解析：由图可知，
第1次从原点运动到点，，，；
第2次运动到点，，，；
第3次运动到点，，，；
第4次运动到点，，，；
第5次运动到点，，，；
第6次运动到点，，，；
，
则点坐标的运动规律为：点的横坐标为，纵坐标以六个数为一组，进行循环，
设，且为正整数，则点纵坐标，，，，，；
，
点的横坐标为，纵坐标；
第2024次运动到点是，
故答案为：
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）点在轴上，
点纵坐标是0，即，
解得，
故，，
；
（2）点的横坐标比纵坐标大2，
，
解得，
故，，
；
（3）点到轴的距离为横坐标的绝对值，
，
解得或，
当时，，，
；
当时，，，
．
18.解析：（1）因为点在轴上，
所以，
解得，
所以，
所以点的坐标为．
（2）因为轴，且点坐标为，
所以，
解得，
所以，
所以点的坐标为．
（3）因为点到两坐标轴的距离相等，
所以，
解得或7，
当时，
，，
所以点的坐标为．
当时，
，，
所以点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
19.解析：∵点A（2x+y﹣3，x﹣2y）与A1（x+3，y﹣4）关于x轴对称，
∴ ，
解得 ，
所以，A（8，3），
所以，A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）
（2）证明：设经过O、A1的直线解析式为y=kx，
易得：yOA1=﹣ x，
又∵A2（﹣8，3），
∴A2在直线OA1上，
∴A1、O、A2在同一直线上，
由勾股定理知OA1=OA2= = ，
∴O为线段A1A2的中点
20.解析：（1），，，
，，
解得：，；
（2）解：①设，
，，，，
，
解得：，
；
②：当在轴负半轴时，设，
，，，，
，
解得：，
；
：当在轴上时，设，
，，，，
，
解得：，
或；
综上所述：或或．
21.解析：（1）、满足，
，，
解得，，
点的坐标是；
（2）点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，
点的路程：，
，，
当点移动4秒时，在线段上，，
即当点移动4秒时，此时点的坐标是；
（3）由题意可得，在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点在上时，
点移动的时间是：（秒，
第二种情况，当点在上时．
点移动的时间是：（秒，
故在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，点移动的时间是4.5秒或7.5秒．
22.解析：（1）如图，过作轴，过作轴，
，
，
将绕点逆时针方向旋转到，
，，
，
，
在和中
，
()，
，，
，
，，
，，
.
（2）解：证明：如图，在轴上取点，
将绕点逆时针方向旋转到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
()，
．
23.解析：（1）①△ABC如图所示：
②∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）解：如图所示，
点C关于y轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴轴，且点C到直线的距离等于2，
∵点P是y轴上一点，且，
∴点P到的距离等于2，点P的横坐标为0，
∴点P坐标为或．
故答案为：或．
24.解析：（1）①作轴于点N，
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
由勾股定理得，
∴点P坐标为；
②∵，
∴，
∵，，
∴；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：由③知，，
要使为等腰三角形，
必定，
∴，
当点P与点C重合时，显然为等腰直角三角形，
此时，；
当点P与点C关于x轴对称点重合时，显然为等腰直角三角形，
此时，；
当点P在第一象限时，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
由勾股定理得，
作轴于点N，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
点P坐标为；
当点P在第二象限时，
同理可证四边形是正方形，
由勾股定理得，
作轴于点N，
同理求得，
由勾股定理得，
点P坐标为；
综上，点P坐标为或或或.
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