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5.3一元一次方程和它的解 紧扣教材复习巩固
一、选择题
1．下列选项中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，解为的一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
3．若进价为100 元的衣服标价150元出售，若准备降价出售，使利润率为20%，设降价率为x，可列方程为（ ）
A．150x-100=150×20% B．150x-100=100×20%
C．150(1-x)=100×20% D．100(1+x)=150×20%
4．下列说法中：①若mx=my，则x=y；②若|a|=-a，则a<0；③若x=y，则mx=my；④若-ab2m与2anb6是同类项，则mn=3；⑤若a、b互为相反数，那么 =-1；其中说法正确数有（ ）个。
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下列方程变形正确的是（ ）
A．由 ，得
B．由 ，得
C．由 ，得
D．由 ，得
6．如图，图①是一个平衡的天平，图②是由图①变化得到的仍保持平衡的天平.能描述这个变化过程的等式性质是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
7．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位.根据题意，列出五个等式：①40m+10=43m﹣2；②40m﹣10=43m+2；③ = ；④ = ；⑤43m=n+2.其中正确的是（ ）
A．②⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
8．下面是一个被墨水污染过的方程： ，答案显示此方程的解是 ，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
9．我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有 人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．笼中有鸡兔共15只，且有40只脚，设鸡有x只，则可列方程为（ ）
A．2x＋4x＝40 B．2x＋2（15－x）＝40
C．4x＋4（15－x）＝40 D．2x＋4（15－x）＝40
二、填空题
11．已知是关于x的一元一次方程，则 ．
12．已知 是方程 的解，则m的值为 ．
13．在国家“双减”政策出台后，同学们的课余生活更加丰富了．为迎接元旦活动，美术兴趣小组要完成学校布置的剪纸作品任务，若每人做5个，则可比计划多9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，求这批剪纸作品任务共多少个？若设美术小组共有x人，则这个方程可以列为 ．
14．写出一个根为 的一元一次方程 .
15．已知是关于的方程的解，则的值是 ．
16．已知一个长方形的周长为36cm，若长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，设原来长方形的长为xcm，则可列方程 ．
三、综合题
17．解方程：
（1）3x＝x﹣2；
（2）8﹣x＝3x+2．
18．已知关于x的整式A、B，其中 ， .
（1）若当 中不含x的二次项和一次项时，求 的值；
（2）当 时， 求此时使x为正整数时，正整数m的值.
19．解答下列问题：
（1）先化简，再求值： ，其中 ；
（2）已知关于x的方程 与 的解是互为相反数，求m的值.
20．根据下列题干设未知数列方程，并判断它是不是一元一次方程．
（1）从60cm的木条上截去2段同样长的木棒，还剩下10cm长的短木条，截下的每段为多少？
（2）小红对小敏说：“我是6月份出生的，我的年龄的2倍加上10，结果正好是我出生的那个月的总天数，你猜我有几岁？”
21．我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为2，且2=4﹣2，则该方程2x=4是差解方程．
请根据上边规定解答下列问题：
（1）判断3x=4.5是否是差解方程；
（2）若关于x的一元一次方程6x=m+2是差解方程，求m的值．
22．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）设运动时间为t（t＞0）秒，数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）；
（2）若点P、Q同时出发，求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
23．已知梯形的面积公式为S=．
（1）把上述的公式变形成已知S，a，b，求h的公式．
（2）若a：b：S=2：3：4，求h的值．
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5.3一元一次方程和它的解 紧扣教材复习巩固
一、选择题
1．下列选项中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：对于A、中，未知数的最高次数是2，不符合题意；
对于B、含有两个未知数，不符合题意；
对于C、可化为，符合题意；
对于D、是代数式，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据一元一次方程的定义(只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程)对各选项进行解答即可.
2．下列方程中，解为的一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、不是整式方程，不是一元一次方程，所以不符合题意，故该选项是错误的；
B、未知数次数为2，不是一元一次方程，所以不符合题意，故该选项是错误的；
C、是一元一次方程，且时，，式子左右两边相等，符合题意，故该选项是正确的；
D、是一元一次方程，当时，，式子左右两边不相等，不符合题意，故该选项是错误的；
故答案为：C．
【分析】根据一元一次方程的解的概念：“含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程；一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”，先判断四个选项的方程是否是一元一次方程，在将代入是一元一次方程的选项中逐一判断即可．
3．若进价为100 元的衣服标价150元出售，若准备降价出售，使利润率为20%，设降价率为x，可列方程为（ ）
A．150x-100=150×20% B．150x-100=100×20%
C．150(1-x)=100×20% D．100(1+x)=150×20%
【答案】B
【解析】【解答】解：设降价率为x，根据题意得：
150x-100=100×20%.
故答案为：B.
【分析】设降价率为x，根据“利润=进价×利润率=实际售价-进价=售价×降价率-进价”，列出方程即可.
4．下列说法中：①若mx=my，则x=y；②若|a|=-a，则a<0；③若x=y，则mx=my；④若-ab2m与2anb6是同类项，则mn=3；⑤若a、b互为相反数，那么 =-1；其中说法正确数有（ ）个。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】【解答】①若mx=my，当m≠0时，可得x=y，故错误；
②若|a|=-a，则a≤0，故错误；
③若x=y，则mx=my，故正确；
④若-ab2m与2anb6是同类项，则m=3，n=1，则mn=3，故正确；
⑤若a、b互为相反数（零除外），那么 =-1，故错误.
故答案为：A.
【分析】根等式的性质，绝对值的意义，同类项的定义，相反数的意义对各项分别判断即可.
5．下列方程变形正确的是（ ）
A．由 ，得
B．由 ，得
C．由 ，得
D．由 ，得
【答案】D
【解析】【解答】解：A、从 可得到2x＝5﹣3，故本选项错误；
B、去分母时﹣1没有乘以分母的最小公倍数，故本选项错误；
C、从 得 ，故本选项错误；
D、从 得 ，正确.
故答案为：D.
【分析】根据移项要变号，可对A，D作出判断；去分母时方程两边每一项都要乘以各个分母的最小公倍数，不能漏乘整数项和整式项，可对B作出判断；利用等式的性质2，可对C作出判断.
6．如图，图①是一个平衡的天平，图②是由图①变化得到的仍保持平衡的天平.能描述这个变化过程的等式性质是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】C
【解析】【解答】解：图片可以理解为等式两边同时加上一个数，等式不变，
即如果 ，那么 .
故答案为：C.
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一分析判断即可.
7．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位.根据题意，列出五个等式：①40m+10=43m﹣2；②40m﹣10=43m+2；③ = ；④ = ；⑤43m=n+2.其中正确的是（ ）
A．②⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
【答案】C
【解析】【解答】解：根据总人数列总方程，应是40m+10=43m-2，①正确，②错误；
根据客车数列方程，应该为，③正确，④错误；
根据总人数和客车数列方程得：43m=n+2.
故答案为：C
【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案.
8．下面是一个被墨水污染过的方程： ，答案显示此方程的解是 ，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设被墨水遮盖的常数是a，
根据题意得：3×2-2=2-a，
解得：a=-2，
故答案为：B.
【分析】设被墨水遮盖的常数是a，则把 代入方程得到一个关于a的方程，即可求解．
9．我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有 人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设共有x人，可列方程为：8x-3=7x+4．
故答案为：B
【分析】根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可．
10．笼中有鸡兔共15只，且有40只脚，设鸡有x只，则可列方程为（ ）
A．2x＋4x＝40 B．2x＋2（15－x）＝40
C．4x＋4（15－x）＝40 D．2x＋4（15－x）＝40
【答案】D
【解析】【解答】解： 鸡有 只，则兔有 (15-x)
根据题意得：
故答案为：D．
【分析】鸡有 x 只，则兔有 (15-x)，利用“兔子有4只脚，鸡有2只脚，鸡兔共有40只脚 ”即可列出方程。
二、填空题
11．已知是关于x的一元一次方程，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴，且，
∴，且，
∴，
故答案为：．
【分析】只含有一个未知数，未知数的最大次数是1，且一次项的系数不为0的整式方程就是一元一次方程，据此可得且，求解即可.
12．已知 是方程 的解，则m的值为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：由题意得：2×2+m=6，
解得：m=2.
故答案为：2.
【分析】根据题意，将x=2代入方程得出一个关于m的一元一次方程求解，即可解答.
13．在国家“双减”政策出台后，同学们的课余生活更加丰富了．为迎接元旦活动，美术兴趣小组要完成学校布置的剪纸作品任务，若每人做5个，则可比计划多9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，求这批剪纸作品任务共多少个？若设美术小组共有x人，则这个方程可以列为 ．
【答案】5x-9=4x+15（答案不唯一）
【解析】【解答】解：设美术小组共有x人，
∵若每人做5个，则可比计划多9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，
∴．
故答案为：5x-9=4x+15（答案不唯一）．
【分析】设美术小组共有x人，再根据题意直接列出方程5x-9=4x+15即可。
14．写出一个根为 的一元一次方程 .
【答案】2x+5=11（答案不唯一）
【解析】【解答】解：可以这样来构造方程：
例：把x=3两边同乘2得，2x=6，两边同时加5，得2x+5=11；
故答案为：2x+5=11（答案不唯一）.
【分析】根据题意，此方程必须符合以下条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的次数是1；（3）是整式方程；（4）解为3.根据等式性质，构造即可.
15．已知是关于的方程的解，则的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：把代入方程得：
，
解得：，
所以，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后代入计算求解即可。
16．已知一个长方形的周长为36cm，若长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，设原来长方形的长为xcm，则可列方程 ．
【答案】x-1=2（18-x）
【解析】【解答】解：∵长方形的长为x cm，长方形的周长为36 cm，
∴长方形的宽为（18-x）cm，
∵这长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个方形，
∴x-1=2（18-x）.
故答案为：x-1=2（18-x）.
【分析】先求出长方形的长和宽，再利用正方形的边长相等，即可列出方程x-1=2（18-x）.
三、综合题
17．解方程：
（1）3x＝x﹣2；
（2）8﹣x＝3x+2．
【答案】（1）解：移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：移项：得，
合并同类项得：，
系数化1得：．
【解析】【分析】（1）（2）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解.
18．已知关于x的整式A、B，其中 ， .
（1）若当 中不含x的二次项和一次项时，求 的值；
（2）当 时， 求此时使x为正整数时，正整数m的值.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴
= +2( )
= +
= ，
∵ 中不含x的二次项和一次项，
∴3+2n=0，m-1+6=0，
∴n= ，m=-5，
∴ =-5 = ；
（2）把 ， 代入 ，得
= -2m+7，
∴ - -2m+7-1，
∴(3-n)x2+(m-1-3)x=6，
∵ ，
∴ (m-1-3)x=6，
∴x= ，
∵x为正整数，
∴m-4=1，2，3，6，
∴m=5，6，7，10.
【解析】【分析】（1）利用去括号、合并同类项将A+2B进行整理，令x的二次项系数与一次项系数分别为0，求出m、n的值，再代入计算即可；
（2） 将A、B式子代入 中，可求出x= ，根据m、x都为正整数求解即可.
19．解答下列问题：
（1）先化简，再求值： ，其中 ；
（2）已知关于x的方程 与 的解是互为相反数，求m的值.
【答案】（1）解：
，
，
∵ ，
∴ ， ，
则原式
（2）解：解方程 ，得： ，
解方程 ，得： ，
∴由题意，得： ，
∴ .
【解析】【分析】（1）经过去括号、合并同类项把原式化简，再由已知推得 ，整体代入计算即可；
（2）先分别解一元一次方程，再根据互为相反数的性质得到关于m的一元一次方程求解即可.
20．根据下列题干设未知数列方程，并判断它是不是一元一次方程．
（1）从60cm的木条上截去2段同样长的木棒，还剩下10cm长的短木条，截下的每段为多少？
（2）小红对小敏说：“我是6月份出生的，我的年龄的2倍加上10，结果正好是我出生的那个月的总天数，你猜我有几岁？”
【答案】（1）解：设截下的每段为xcm，根据题意，可列出方程为：60－2x=10，
它是一元一次方程．
（2）解：设小红的岁数为x，根据题意可列出方程为：2x+10=30.它是一元一次方程.
【解析】【分析】（1）设截下的每段为xcm，根据“从60cm的木条上截去2段同样长的木棒，还剩下10cm长的短木条”即可得到方程；
（2）设小红的岁数为x，根据“我是6月份出生的，我的年龄的2倍加上10，结果正好是我出生的那个月的总天数”即可得到方程。
21．我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为2，且2=4﹣2，则该方程2x=4是差解方程．
请根据上边规定解答下列问题：
（1）判断3x=4.5是否是差解方程；
（2）若关于x的一元一次方程6x=m+2是差解方程，求m的值．
【答案】（1）解：∵3x=4.5，
∴x=1.5，
∵4.5﹣3=1.5，
∴3x=4.5是差解方程
（2）解：∵关于x的一元一次方程6x=m+2是差解方程，
∴m+2﹣6= ，
解得：m=
【解析】【分析】（1）求出方程的解，再根据差解方程的意义得出即可；（2）根据差解方程得出关于m的方程，求出方程的解即可．
22．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）设运动时间为t（t＞0）秒，数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）；
（2）若点P、Q同时出发，求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【答案】（1）﹣4；6﹣5t
（2）解：①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得5t＝10+3t，
解得t＝5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则10+3a﹣5a＝8，解得a＝1；
当P超过Q，则10+3a+8＝5a，解得a＝9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【解析】【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为﹣4；
点P运动t秒的长度为5t，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣5t，
故答案为：﹣4，6﹣5t；
【分析】（1）根据题意可先标出点A，然后根据B在A的左侧和它们之间的距离确定点B，由点P从点A出发向左以每秒5个单位长度匀速运动，表示出点P即可；（2）①由于点P和Q都是向左运动，故当P追上Q时相遇，根据P比Q多走了10个单位长度列出等式，根据等式求出t的值即可得出答案；
②要分两种情况计算：第一种是点P追上点Q之前，第二种是点P追上点Q之后.
23．已知梯形的面积公式为S=．
（1）把上述的公式变形成已知S，a，b，求h的公式．
（2）若a：b：S=2：3：4，求h的值．
【答案】（1）解：∵S=，∴2S=（a+b）h，
∴h=
（2）解：∵a：b：S=2：3：4，∴设a=2x，b=3x，S=4x，
∴h===
【解析】【分析】（1）利用等式的基本性质2，变形得出即可；
（2）利用a：b：S=2：3：4，设a=2x，b=3x，S=4x，进而代入求出即可．
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