新浙教版七上数学专题讲义12-一元一次方程的应用（含解析）

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一元一次方程的应用
【知识梳理】
1、列一元一次方程解应用题：
（1）读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”。
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套等”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。
（2）画图分析法：多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础。
2、列方程解应用题的常用公式：
（1）行程问题：距离=速度·时间
（2）工程问题：工作量=工效·工时
（3）比率问题：部分=全体·比率
（4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；
（5）商品价格问题：售价=定价·折；利润=售价-成本 ；
（6）周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥= 1/3πR2h。
【课堂练习】
选择题
1.我国古代数学名著算法统宗中，有一道“群羊逐草”的问题，大意是：牧童甲在草原上放羊，乙牵着一只羊来，并问甲：“你的羊群有只吗？”甲答：“如果在这群羊里加上同样的一群，再加上半群，四分之一群，再加上你的一只，就是只．”问牧童甲赶着多少只羊？若设这群羊有只，则下列方程中，正确的是( )
A. B.
C. D.
2.用长的铁丝围成一个长和宽之比为的长方形．设长方形的宽为，则可列方程 ．
A. B. C. D.
3.一船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用若设甲、乙两码头的距离为，则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
4.一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成．若甲先做天，然后甲、乙合作完成了此项工作，设乙做了天，则可列方程为( )
A. B. C. D.
5.制作一张桌子需个桌面和条桌腿木材可制作个桌面，或者制作条桌腿现有木材制作桌子，设用木材制作桌面，根据制成的桌面与桌腿刚好配套，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
6.一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损在这次买卖中，这家商店．
A. 不盈不亏 B. 盈利元 C. 亏损元 D. 亏损元
7.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到个小正方形，称为第三次操作；，根据以上操作，若要得到个小正方形，则需要操作的次数是( )
A. B. C. D.
8.如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数如阴影部分所示，请你运用所学的数学知识来研究，在本月历中这个数的和可能的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.买一件上衣和一条裤子，共用了元，其中上衣按标价打七五折，裤子按标价打八折，上衣的标价为元，则裤子的标价为______元
10.一个两位数，个位数字与十位数字之和为，如果交换个位数字与十位数字的位置，那么所得的新数比原数大，则原来的两位数是 ．
11.有一列数，按一定规律排列成：、、、、、、其中某三个相邻数的和是，则这三个数中，中间的一个数为______
12.有一玻璃密封器皿如图所示，测得其底面直径为，高，现内装蓝色溶液若干．如图放置时，测得液面高；如图放置时，测得液面高，则该玻璃密封器皿总容量为 结果保留
13.小明从家里骑自行车到学校，若每小时骑千米，可早到分钟，每小时骑千米，就会迟到分钟他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程是，根据题意列出的方程是 ．
三、解答题
14.某校举行了主题为“扛红旗、当先锋、学党史”的知识竞赛，一共有道题，每答对一题得分，答错或不答扣分．
小明参加了此竞赛，得分，则他答对了多少道题？
小刚也参加了此竞赛，考完后自信满满，说：“这次竞赛我会得分”你认为可能吗？并说明理由．
15.如图，宽为的长方形图案由个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为多少？
16.水是生命之源，某自来水公司为鼓励居民节约用水，规定按以下标准收费：
用水量月 单价元
不超过 元
超过 元
另：每立方米用水加收元的城市污水处理费．
若月份某用户用水量为，则应交水费______元？
某用户月共交水费元，那用户月可用水多少立方米？
若该用户月分水表出了故障，只有的用水量记入了表中，这样该用户在月份只交了元的水费，问该用户实际应交水费多少元？
【课后巩固】
1.七年级学生在参加校外实践活动中，有位师生乘坐辆客车．若每辆客车乘人，则还有人不能上车，若每辆客车乘人，则最后一辆车空了个座位．在下列四个方程：；；；中，其中正确的有( )
A. B. C. D.
2.如图，一个大长方形恰好分成个小正方形，其中最小的正方形面积是平方厘米，则这个大长方形的面积为( )
A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米
3.如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的倍，则它们第次相遇在边 ．
4.如图，将一段标有均匀刻度的绳子铺平后折叠绳子无弹性，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为、、三段，若这三段的长度由短到长的比为：：，则折痕对应的刻度可能是________________．
5.有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面积为的正方形盒内，它们之间互相叠合，如图所示，已知露在外的部分中，红色、黄色和绿色三块面积之比为：：记没被盖住的两部分的面积分别为和，求的值．
6.如图已知数轴上点表示原点，点表示的数为动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，从点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒．
点在数轴上表示的数为______，点在数轴上表示的数为______用含的代数式表示；
如图数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
【解析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是找到等量关系．根据“这群羊里加上同样的一群，再加上半群，再加上四分之一群，再加上你的一只，就是只”这一等量关系列出方程即可．
解：设甲原有只羊，根据题意得：．故选B．
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
【解析】解：设用木材制作桌面，木材制作桌腿，则可制作桌面个，制作桌腿个，
由一张桌子需个桌面和条桌腿，可得：，故选：．
制作的桌面数、桌腿数，根据一张桌子需个桌面和条桌腿，列方程即可．
6.【答案】
7.【答案】
【解析】根据前几次操作的结果得出规律：第次操作得到了个小正方形，进而可得方程，解方程即可求出答案．
解：第一次操作得到了个小正方形，，
第二次操作得到了个小正方形，，
第三次操作得到了个小正方形，，
，
所以，第次操作得到了个小正方形；
当时，解得：，故选：．
8.【答案】
【解析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握“”型框中的个数的数字的排列规律是解决问题的关键．设“”型框中的正中间的数为，则其他个数分别为，，，，表示出这个数之和，然后分别列出方程求解并判断即可得出答案．
解：如图，设“”型框中的正中间的数为，则其他个数分别为，，，，
这个数之和为：．
由题意得：
A、，解得，的值不是整数，不符合题意；
B、，解得，的值不是整数，不符合题意；
C、，解得，能求出这个数，但这个数不符合月历中的数的排列规律，不符合题意；
D、，解得，能求出这个数，且都符合月历中的数的排列规律，符合题意；
故选D．
9.【答案】
【解析】解：设裤子的标价为元，
依题意，，解得，
则裤子的标价为元．
设裤子的标价为元，根据题干对应关系，列式计算，即可作答．
10.【答案】
11.【答案】
【解析】解：设这三个数中，中间的一个数为，则另两个数分别为，，
依题意，得：，解得：．
设这三个数中，中间的一个数为，则另两个数分别为，，根据三个数的和是，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
12.【答案】
【解析】根据圆柱体的体积公式和图和图中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
解：设该玻璃密封器皿总容量为，
，
解得，
13.【答案】
【解析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决．
解：由题意可得，，
化简，得
14.【答案】【小题】解：设小明答对了道题．根据题意，得，解得所以小明答对了道题．
【小题】不可能．理由如下：设小刚答对了道题．若他的得分是分，则，解得因为不能为分数，所以小刚不可能得分．
15.【答案】
【解析】解：设小长方形的长为，则宽为，根据题意可得：
，
解得：，
故．
则一个小长方形的面积为：．
根据已知图形表示出长与宽，再利用小长方形的长小长方形宽的倍小长方形长的倍，进而得出等式求出边长，即可得出其面积．
16.【答案】解：根据题意得：元，
应交水费元．
故答案为：；
设该用户月份用水 ，
根据题意得：，
解得：．
答：该用户月可用水；
设该用户月份实际用水 ，
，
该用户上交水费的单价为元．
根据题意得：，
解得：，
，
该用户月份实际应该缴纳水费为元．
答：该用户月份实际应该缴纳水费元．
【解析】利用应交水费用水量，即可求出结论；
设该用户月份用水 ，利用应交水费超过的部分，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设该用户月份实际用水 ，根据所交水费用水量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合该值超过，在利用该用户实际应交水费超过的部分，即可求出结论．
【课后巩固】
1.【答案】
【解析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．
解：根据总人数列方程，应是：，
根据客车数列方程，应该为：；
故选：．
2.【答案】
【解析】本题考查一元一次方程的应用解决此题关键是理解图，找出正方形边长之间的关系，求出长方形的长和宽，进一步用长乘宽求得面积由中间小正方形面积为平方厘米，可求出小正方形的边长为厘米，设这个正方形中最大的一个边长为厘米，其余几个边长分别是、、、单位厘米，根据长方形中几个正方形的排列情况，列方程求出最大正方形的边长，从而求得长方形长和宽，进而求出长方形的面积．
解：因为小正方形面积为平方厘米，所以小正方形的边长为厘米，
设这个正方形中最大的一个边长为厘米，
因为图中最小正方形边长是厘米，
所以其余的正方形边长分别为，，，，
则，
解这个方程得：．
所以长方形的长为，宽为，
长方形的面积为平方厘米．
故选B．
3.【答案】
【解析】因为乙的速度是甲的速度的倍，所以第次相遇，甲走了正方形周长的；从第次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第次相遇起，次一个循环，从而不难求得它们第次相遇位置．
解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的倍，故第次相遇，甲走了正方形周长的；从第次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第次相遇起，次一个循环．
因此可得：从第次相遇起，每次相遇的位置依次是：上，点，上，上，上；依次循环．
或，
故它们第次相遇位置与第四次相同，在边上．
4.【答案】或或或
【解析】解：设折痕对应的刻度为，依题意有
绳子被剪为，，的三段，
，，
综上所述，折痕对应的刻度可能为、、，．
可设折痕对应的刻度为，根据折叠的性质和三段长度由短到长的比为：：，长为的卷尺，列出方程求解即可．
5.【答案】
【解析】解：已知露在外的部分中，红色，黄色和绿色三块面积之比为：：，
设露在外的部分中，红色，黄色和绿色三块面积分别为、、，
如图，将黄色部分向左平移，
黄色部分减少的面积为绿色部分增加的面积，
红黄绿三块一样大的正方形，整个盒子为正方形，
平移后，黄色部分与绿色部分面积相等，
平移前，黄色的面积是，绿色的面积是，
平移后黄色部分与绿色部分面积为：，右上角空白部分面积为：，
平移后黄色部分面积：红色部分面积空白部分面积：绿色部分面积，
，
，
，解得：，
先将黄色部分向左平移，黄色部分减少的面积为绿色部分增加的面积，即可得出平移后黄色部分与绿色部分面积相等，设露在外的部分中，红色黄色和绿色三块面积分别为、、，根据平移后黄色部分面积：红色部分面积空白部分面积：绿色部分面积列方程求出，进而求出结论．
6.【答案】【详解】动点从点原点出发，以每秒个单元长度的速度运动，设运动的时间为秒，
点表示的数为：；
点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回
，
，
故答案为：；或．
由得，，，，
当点还没有折返时，存在两种情况，
：如下图：
两个正方形的重叠部分面积为，且，，
，
解得：，
，
，
，
解得：；
：如下图：
，
解得：，
，
，
，
解得：；
点折返后，存在两种情况，
：如下图：，，
，
，
解得：，
，
，
，
解得：；
：如下图：，，
，
，
，
，
解得：舍；
综上所述，当，，时，两个正方形的重叠部分面积为．
【解析】根据题意，则点在数轴上表示的数为：，点表示的数为：，即可；
根据点、运动轨迹，分类讨论：点还没有折返；点折返后；根据重叠的面积为，，则重叠的一边边长为，进行计算，即可．
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