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第3章 圆的基本性质 单元专项提升卷
一、选择题
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
2．已知的半径为4cm，点P在上，则的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm
3．圆内接正六边形的边长为2，则该圆内接正三角形的边长为（ ）
A．4 B． C． D．
4．如图，四边形内接于，已知，则的大小是（ ）
A．80° B．100° C．60° D．40°
5．如图，一个宽为的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“”和“”（单位：），那么该圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，已知矩形的边若以点A为圆心作，使三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在白色区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径
A．6米 B．米 C．7米 D．米
10．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB=120°，OA=6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分(即阴影部分)的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．把一个正五边形绕着它的中心旋转，至少旋转 度，才能与原来的图形重合.
12．的半径是，点P与圆心O的距离是，则点在 .（填写“内”、“上”、“外”）
13．已知直角三角形的两条边长为6和8，则其外接圆的半径为 ．
14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD，则①∠DAC＝∠DBA；②AD2﹣BC2＝AC2﹣BD2；③AP＝FP；④DF＝BF，这些结论中正确的是 ．（请写序号）
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为 ．
16．如图，是的直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是 ．
三、综合题
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°．
（1）求：∠CAD的度数；
（2）若AD=6，求图中阴影部分的面积．
18．如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点D，连接.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，求的长.
19．如图，在半径为6的扇形中，，C是上的一个动点（不与A，B重合），，垂足分别为点D，E.
（1）求的长.
（2）求四边形各内角的度数.
20．如图，AB、BC是⊙O的两条弦，且AB⊥BC，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D、E，AB＝BC.
（1）求证：四边形DBEO是正方形；
（2）若AB＝2，求⊙O的半径.
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，
（1）求证：AB是圆的直径；
（2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；
（3）当∠BAC为锐角时，试写出∠BAC与∠CBE的关系，
并说明理由．
22．如图，AB为⊙O直径，CD是弦，以AC，CD为边构造 ACDE，点E在半径OB上．
（1）已知∠D＝75°．求证：＝4．
（2）延长CO分别交DE，⊙O于点F，G．求证：EB＝FG．
23．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
（2）在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
（3）在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
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第3章 圆的基本性质 单元专项提升卷
一、选择题
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【答案】D
【解析】【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、完全重合的弧就是等弧，故原说法错误.
故答案为：D.
【分析】根据圆的基本性质可得：直径是最长的弦； 同圆中，所有的半径都相等 ； 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 ；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，从而即可一一判断得出答案.
2．已知的半径为4cm，点P在上，则的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点P在上，
∴
故答案为：B.
【分析】根据点在圆上，可得到点到圆心的距离等于圆的半径，据此即可求解.
3．圆内接正六边形的边长为2，则该圆内接正三角形的边长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】如图（一），
∵圆内接正六边形边长为2，
∴，，
∵，
∴可得是等边三角形，圆的半径为2，
如图（二），
连接，过O作于D，
则根据内接正三角形的性质，可得，
∴，
∴，
故.
故答案为：D.
【分析】由圆内接正六边形边长为2，可求出圆的半径为2，利用勾股定理求其圆内接正三角形的边长即可.
4．如图，四边形内接于，已知，则的大小是（ ）
A．80° B．100° C．60° D．40°
【答案】C
【解析】【解答】∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵
∴.
∴.
故答案为：C.
【分析】由圆内接四边形对角互补求出∠B的度数，再根据圆周角定理即可求解.
5．如图，一个宽为的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“”和“”（单位：），那么该圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点O作OA⊥DC于点B，交圆O于点A
设半径为r，则OB=r-2，BC=6cm，
由垂径定理可知BC=3，
由勾股定理可得：
r2=(r-2)2+32，
解得r=，
故答案为：D.
【分析】过点O作OA⊥DC于点B，交圆O于点A，利用垂径定理可求出BC的长，再利用勾股定理求出圆的半径.
6．如图所示，已知矩形的边若以点A为圆心作，使三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∵以点A为圆心作，使三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴的半径r的取值范围是：．
故答案为：C．
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再利用点与圆的位置关系求解即可。
7．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在白色区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，设每个小三角形的面积为a，
则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，白色区域的面积为12a，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为，
故答案为：D.
【分析】按如图所示连线，设每个小三角形的面积为a，根据矩形的性质及等底同高三角形面积相等可得阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，白色区域的面积为12a，进而根据几何概率的意义，用白色区域的面积除以整个六边形的面积即可得出答案.
8．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，作的垂直平分线，如图所示：
在的垂直平分线上找到一点，则满足：
，
点是过、、三点的圆的圆心，
即的坐标为，
故答案为：C．
【分析】分别作出线段BD和AB的垂直平分线，它们的交点即是点D的坐标。
9．高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径
A．6米 B．米 C．7米 D．米
【答案】B
【解析】【解答】设此圆的半径为r，则OA=r，OD=9 r，
∵AB=12米，CD⊥AB，
∴AD=AB=×12=6米，、
在Rt△AOD中，
∵OA=r，OD=9 r，AD=6米，、
∴OA2=OD2+AD2，即r2=(9 r)2+62，
解得r=米.
故答案为：B.
【分析】设此圆的半径为r，则OA=r，OD=9 r，根据AB=12米，CD⊥AB，得出AD的值，在Rt△AOD中，由OA=r，OD=9 r，AD=6米，即可得解。
10．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB=120°，OA=6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分(即阴影部分)的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图：连接AD，OD
由折叠可知：S弓形AD=S弓形OD，DA= DO
∵OA= OD
∴AD=OD=OA=6
∴△AOD为等边三角形
∴∠AOD=60°，∠DOB=60°
∴
∴S弓形AD=S弓形OD=S扇形ADO-S△ADO=
∵
∴阴影部分的面积为：
-S弓形OD= 6π -（）=.
故答案为：A.
【分析】连接AD，OD，得出：△AOD为等边三角形，∠AOD=60°，∠DOB=60°，S弓形AD=S弓形OD和
，再求出，从而求出S弓形AD=S弓形OD=S扇形ADO-S△ADO=，再根据阴影部分的面积=-S弓形OD进行计算即可.
二、填空题
11．把一个正五边形绕着它的中心旋转，至少旋转 度，才能与原来的图形重合.
【答案】72
【解析】【解答】解：∵正五边形被半径分为5个全等的三角形，且每个三角形的顶角为72 ，
正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是72 .
故答案为：72.
【分析】根据正五边形的性质得出该五边形的中心角是根据旋转的性质，最小旋转角就是正五边形的中心角，从而即可得出答案.
12．的半径是，点P与圆心O的距离是，则点在 .（填写“内”、“上”、“外”）
【答案】内
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为，点P到圆心O的距离为，，
∴点P在⊙O内，
故答案为：内.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此解答即可.
13．已知直角三角形的两条边长为6和8，则其外接圆的半径为 ．
【答案】4或5
【解析】【解答】∵中，两条边的长分别是6和8，
当6和8为直角边时，由勾股定理可得斜边长为10．
根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，
得的外接圆的半径是5，
当6为直角边，8为斜边时，
根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，
得的外接圆的半径是4，
故答案为：5或4．
【分析】根据勾股定理求出直角三角形中斜边的长度，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，进行计算．
14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD，则①∠DAC＝∠DBA；②AD2﹣BC2＝AC2﹣BD2；③AP＝FP；④DF＝BF，这些结论中正确的是 ．（请写序号）
【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA，故①正确，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，
∴PD＝PA，
∵∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°，
∴∠PDF＝∠PFD，
∴PD＝PF，
∴PA＝PF，故③正确，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴AD2+BD2＝AC2+BC2＝AB2，
∴AD2﹣BC2＝AC2﹣BD2，故②正确，
如图1中，当△ABC是等腰直角三角形时，显然DF≠BF，故④错误．
故答案为：①②③.
【分析】由角平分线概念得∠CBD=∠DBA，根据圆周角定理得∠DAC=∠CBD，则∠DAC=∠DBA，据此判断①；由圆周角定理可得∠ADB＝90°，根据同角的余角相等可得∠ADE=∠ABD=∠DAP，∠PDF＝∠PFD，推出PD＝PA，PD＝PF，进而判断③；由圆周角定理可得∠ADB＝∠ACB＝90°，结合勾股定理可判断②；当△ABC是等腰直角三角形时，显然DF≠BF，据此判断④.
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，
∴CP＝DP＝4，
设⊙O的半径为R，
∵AP＝8，
∴OP＝8﹣R，
在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，
即（8﹣R）2+42＝R2，
解得：R＝5，
∴⊙O的直径为2×5＝10.
故答案为：10.
【分析】连接OC，由垂径定理可得CP＝DP＝4，设⊙O的半径为R，则OP＝8-R，在Rt△COP中，由勾股定理可得R的值，进而可得⊙O的直径.
16．如图，是的直径，C为上一点，，P为圆上一动点，M为的中点，连接，若的半径为4，则长的最大值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，取中点，连接，，，
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的，
∴交于点M，此时的值最大，
由题意得，，，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】取中点，连接，，，根据圆周角定理可得，根据直角三角形性质可得，当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的，则交于点M，此时的值最大，根据勾股定理可得O'C，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、综合题
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°．
（1）求：∠CAD的度数；
（2）若AD=6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-60°=30°.
（2）解：连接OC，
在Rt△DAC中，∠DAC=30°，OA=OC
∴AD=2CD=6，∠OAC=∠OCA=30°，
∴AO=OD=CD=3，∠AOC=180°-2×30°=120°，
∴，
∴；
S扇形AOC=
∴S阴影部分=3π-
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠ADC的度数；再利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ACD=90°，然后利用直角三角形的两锐角互余可求出∠CAD的度数.
（2）连接OC，利用三角形的内角和定理和30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD的度数及∠AOC的度数，利用勾股定理求出AC的长；再利用三角形的面积公式和扇形的面积公式，可求出△AOC和扇形AOC的面积，然后利用阴影部分的面积=扇形AOC的面积-△AOC的面积，代入计算可求解.
18．如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点D，连接.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，求的长.
【答案】（1）解：∵ 为 的直径，
∴ .
∵ 分别平分 和 ，
∴ ， .
∵ ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形；
（2）解：如图，连接 ，交 于点F.
∵ ，
∴ ，
∴ ， .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，∠CAE=∠CBD，根据角平分线的概念可得∠BAE=∠CAE，∠ABE=∠CBE，由外角的性质可得∠BED=∠BAE+∠ABE，根据角的和差关系可得∠EBD=∠CBD+∠CBE，则∠BED=∠EBD，推出BD=ED，据此证明；
（2）连接OD，交BC于点F，根据角平分线的概念可得∠BAE=∠CAE，则，由垂径定理可得BF=CF=BC=6，利用勾股定理可得OF，由DF=OD-OF可得DF，再次利用勾股定理就可求出BD.
19．如图，在半径为6的扇形中，，C是上的一个动点（不与A，B重合），，垂足分别为点D，E.
（1）求的长.
（2）求四边形各内角的度数.
【答案】（1）解：如图所示，连接，过点O作于F，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴由垂径定理得：，
∵，
∴D、E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：如图所示，在优弧上取一点H，连接，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
【解析】【分析】（1）连接AB，过点O作OF⊥AB于点F，由等腰三角形的性质及三角形内角和得∠ABO=30°，由含30°直角三角形的性质得OF=3，在Rt△AOF中，利用勾股定理算出AF，根据垂径定理得AB=2AF，据此求出AB的长，再根据垂径定理得 D、E分别是AC、BC的中点 ，根据三角形的中位线定理求出ED；
（2） 在优弧AB上取一点H，连接AH、BH， 根据圆周角定理得∠H=60°，根据圆内接四边形的性质得∠C的度数，根据垂直定义得∠ODC=∠OEC=90°，最后根据四边形的内角和定理即可算出∠DOE的度数.
20．如图，AB、BC是⊙O的两条弦，且AB⊥BC，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D、E，AB＝BC.
（1）求证：四边形DBEO是正方形；
（2）若AB＝2，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，
∴BD＝ AB，BE＝ BC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形DBEO是矩形，
∵AB＝AC，
∴BD＝BE，
∴四边形DBEO是正方形，
（2）解：∵∠ABC＝90°，
∴AC为直径，
∵AB＝BC＝2，
∴AC＝ ＝2 ，
∴OA＝ ，
∴⊙O的半径为 .
【解析】【分析】（1）根据垂径定理并结合已知可得BD=BE，根据有三个角是直角的四边形是矩形得 四边形DBEO是矩形， 进而根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出答案；
（2）根据圆周角定理得 AC为直径， 根据勾股定理算出AC，从而即可得出答案.
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，
（1）求证：AB是圆的直径；
（2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；
（3）当∠BAC为锐角时，试写出∠BAC与∠CBE的关系，
并说明理由．
【答案】（1）证明：连接AD，OE，
∵D点是弧BE的中点，
∴，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB是圆的直径
（2）解： 过点O作OF⊥BE，
∴∠OFB=90°，BE=2BF，
∵AB=AC，∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵，
∴∠BOE=2∠BAC=120°，∠AOE=180°-120°=60°，
∵AB=8，
∴圆的半径为4，
∵OB=OE，∠BOE=120°，OF⊥BE，
∴∠BOF=∠BOE=60°，
∴∠OBF=90°-60°=30°，
∴OF=OB=2，
∴，
∴
∴S阴影部分=
（3）结论：∠BAC=2∠CBE
证明∵AB是直径，
∴∠BEA=90°，
∴∠EBC+∠C=90°，∠CAD+∠CAD=90°，
∴∠EBC=∠CAD，
∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠BAC=2∠CBE
【解析】【分析】（1）连接AD，OE，利用D点是弧BE的中点，可证得，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠BAD=∠CAD，利用等腰三角形的性质可推出∠ADB=90°，然后利用90°的圆周角所对的弦是直径，可证得结论.
（2）过点O作OF⊥BE，利用垂径定理可证得BE=2BF，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得∠BAC=60°，利用圆周角定理可求出∠BOE，∠AOE的度数，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出OF，BF的长，即可得到BE的长；再根据阴影部分的面积=扇形AOE的面积+△BOE的面积，利用三角形和扇形的面积公式求出阴影部分的面积.
（3）利用直径所对圆周角是直角，可证得∠BEA=90°，利用余角的性质可证得∠EBC=∠CAD，利用等腰三角形的性质可证得∠BAC=2∠CAD，由此可证得结论.
22．如图，AB为⊙O直径，CD是弦，以AC，CD为边构造 ACDE，点E在半径OB上．
（1）已知∠D＝75°．求证：＝4．
（2）延长CO分别交DE，⊙O于点F，G．求证：EB＝FG．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵四边形ACDE是平行四边形，∠CDE＝75°，
∴∠A＝∠CDE＝75°，AB∥CD，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝75°，
∴∠AOC＝180°-75°-75°＝30°，
∴∠DCO＝∠AOC＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠CDO＝∠DCO＝30°，
∴∠COD＝180°-30°-30°＝120°，
∴∠COD＝4∠AOC，
∴ ＝4 ；
（2）证明：如图，延长CO分别交DE，⊙O于点F，G，
∵AB∥CD，
∴∠OEF＝∠CDE＝75°，
∵∠EOF＝∠AOC＝30°，
∴∠OFE＝180°-30°-75°＝75°，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF，
∵OB＝OG，
∴OB-OE＝OG-OF，
即EB＝FG．
【解析】【分析】（1 ）连接OD，根据平行四边形的性质可得∠A＝∠CDE＝75°，AB∥CD，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠AOC＝30°，由平行线的性质可得∠DCO＝∠AOC＝30°，根据三角形的内角和定理得∠COD＝120°，则∠COD＝4∠AOC，最后根据圆心角、弧、弦的关系即可得出结论；
（2）延长CO分别交DE，⊙O于点F，G，根据平行线的性质可得∠OEF＝∠CDE＝75°，利用内角和定理可得∠OFE＝75°，则∠OEF＝∠OFE，推出OE＝OF，然后根据线段的和差关系进行证明.
23．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
（2）在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
（3）在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：
四边形是圆美四边形，
，
，
．
（2）解：①，
②如图，连接，在（1）的条件下，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，延长到，使得，
又，，
，
，，
，
为等边三角形，
则，
即，
．
（3）解：如图，延长和交于点，
在（1）的条件下，，，
是直径，
，，
，
，，
在中，
，
，
即，
解得：．
【解析】【解答】解：（2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接，
，，，
，
，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据圆美四边形的定义及圆内接四边形的性质，即可求解；
（2）①连接并延长，交圆于点，连接，则，，
，根据勾股定理求得；
②连接，由等边三角形的判定定理得到是等边三角形，延长到，使得，由全等三角形的判定SAS得到，由全等三角形的性质得到，，推出为等边三角形，进而得出结论；
（3）延长和交于点，根据圆周角定理、含角的直角三角形的性质，在中，根据勾股定理得到．
（1）解：由题意得：
四边形是圆美四边形，
，
，
．
（2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接，
，，，
，
，，
．
故答案为：．
②如图，连接，在（1）的条件下，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，延长到，使得，
又，，
，
，，
，
为等边三角形，
则，
即，
．
（3）如图，延长和交于点，
在（1）的条件下，，，
是直径，
，，
，
，，
在中，
，
，
即，
解得：．
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