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专题6.3.线段的长短比较+6.4.线段的和差
1、经历叠合法比较两条线段的大小关系的过程，并会用数学符号表示它们的大小关系；
2、会用直尺、圆规等学习工具画线段，初步体会用作图语言叙述画法；
3、能用线段表示和差倍分关系，并能计算线段的数量关系；
4、理解中点定义，并进行相关的计算；
5、理解并掌握线段公理（两点之间线段最短）、两点之间距离公式。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.线段的长短比较 2
考点2.两点之间线段最短的应用 4
考点3.两点之间的距离 5
考点4.作一条线段等于已知线段 6
考点5.线段和差的相关计算 7
考点6.线段和差的相关计算（分类讨论） 9
考点7.线段的中点相关计算问题 11
考点8.线段的n等分问题 12
模块3：能力培优 9
1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
2.基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
即：如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的。
3.两点之间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．
4.线段的长短比较：
①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短；
②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短；
③估算法（目测法）。
5.线段的和与差：
1）如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和；
如图，有AC＝AB+BC，或AC＝a+b。
2）如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差；
如图，有AD＝AB-BD，或AD＝a-b。
6.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图，有：.
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.
如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.
考点1.线段的长短比较
1．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图．我们可借助圆规判断线段和的长短，由图可知（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，用圆规比较两条线段的长短，则正确的结果是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．（23-24七年级上·山东济宁·期中）点，，在直线上的位置如图所示，下列结论中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点2.两点之间线段最短的应用
1．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线
2．（24-25七年级上·浙江·课后作业）有下列三个生活、生产现象：①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中，可用基本事实“两点之间的所有连线中，线段最短”来解释的现象有（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2024·湖南·模拟预测）媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短
考点3.两点之间的距离
1．（23-24七年级上·浙江·课堂例题）下列说法中正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短 B．画出A，B两点的距离
C．连接点A与点B的线段，叫A，B两点的距离
D．两点的距离是线段的长度，不是指线段本身
2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，哪条线的长度表示A、两点之间的距离（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
3．（23-24七年级上·北京大兴·期末）如图所示，点A，点D这两点间的距离是线段 的长度．
考点4.作一条线段等于已知线段
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如下图，用圆规和直尺作线段AB，使（不写作法，保留作图痕迹）．
2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于．
（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知线段，，，利用尺规作图法作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
考点5.线段和差的相关计算
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）在一条直线上有四点，已知点C在线段上，，且．求的长．
2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，．(1)若，求的长；(2)若，为的中点，求的长．
3．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，点C，D 是线段上两点，若 且点D 是线段的中点，求线段的长．
考点6.线段和差的相关计算（分类讨论）
1．（22-23七年级下·福建福州·开学考试）已知点A，B，C在同一条直线上，若，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______．
3．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图．线段，C是线段的中点，D是线段的中点．
(1)求线段的长；(2)在直线上有一点E，，求的长．
4．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”．已知点D是图中折线的“折中点”，请解答以下问题：(1)①若，点D在线段______（填“”或“”）上；②若，则的长度为______．(2)若E为线段的中点，，求的长度．
考点7.线段的中点相关计算问题
1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，一条线段，E，F分别是线段的中点，且，则线段的长为 ．
3．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，A，B，C三点共线，M，N分别是的中点．若，则 ．
考点8.线段的n等分问题
1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ， 则 的长为 ．
2．（23-24七年级上·西藏日喀则·期末）已知：点在同一条直线上，线段，点是线段的三等分点，求线段的长．
3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，，分别是，的中点，则______．
②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．
③若，分别是，的等分点，即，，则______．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图所示，从学校到公园有①②③④四条路线可走，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．在所有连结两点的线中，线段最短 B．连结两点的线段叫做两点的距离
C．过三点中的任意两点作直线共可作三条 D．若，则点B是线段AC的中点
3．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图所示，在A，B，C三个小区中分别住有某厂职工30人，15人，14人，且这三个小区在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知米，米．若该厂接送职工上下班的厂车打算在此路段只设一个停靠点，为使这三个小区所有职工步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点A B．点B C．之间 D．之间
4．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（ ）．
A．12 B．24 C．12或24 D．24或36
5．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）研究下面解题过程：
如图，点在线段上，且，点是的中点，若，求的长．
解：因为，，所以①______．因为②______，而是的中点，所以③______．所以④______
针对其中，给出的数值不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点．则线段的长为（ ）．
A． B． C． D．
8．（24-25七年级上·辽宁·期末）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），M，N分别是线段，的中点，下列判断正确的是（ ）
A．点C越靠近线段的中点，线段越长 B．不论点C在什么位置都有
C．点C越靠近两个端点，线段越短 D．线段的长度无法确定
10．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，小林利用圆规在线段上截取线段，使．若D恰好为的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
12．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024七年级上·上海·专题练习）用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ．
12．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若A、B、C三点在同一直线上，且AB＝5cm，BC＝3cm，那么AC＝ cm．
13．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有 （请填写序号）
14．（23-24七年级·上海嘉定·期末）如图，点M是线段的中点，B是线段上一点，若，，则 ．
15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，点C在直线上，，点M是线段的中点，则线段 ．
16．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ．
17．（2023秋·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，点A，B，C在直线上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点位于A，B两点之间，且到点的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线向右运动，点的速度是3个单位长度，点的速度是1个单位长度，设运动时间为，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的值为 ．
18．（24-25九年级上·浙江·课后作业）已知线段．
(1)若点是线段上一点，，则的长为 ；
(2)若点是线段的中点，则的长为 ；
(3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D分别表示四个车站的位置．
(1)用关于a、b的代数式表示A、C两站之间的距离是 ；（最后结果需化简）
(2)若已知A、C两站之间的距离是10千米，求C、D两站之间的距离．
20．（23-24七年级上·四川成都·期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；
②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．
21．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图并解答问题：(1)①作直线；②作射线交直线于点E；③连接，交于点F；
(2)若F是的一个三等分点，已知线段上所有线段之和为，求的长．
22．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，已知．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)（填“”、“”或“”），依据是_______；
(3)若点是射线上一点，且，，求的长；
(4)在（3）的条件下，若点在线段上，且，请直接写出的值．
23．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【新知理解】点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段．
例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”．
（1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________；
（2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”）
【解决问题】如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4；
（3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________；
（4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________．
24．（23-24七年级上·河南郑州·期中）【问题探究】(1)如图，点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______；
【方法迁移】(2)已知点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______．
【学以致用】(3)小明同学在解决问题“某校七年级（1）班延时服务统计情况如下，其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的2倍，参加延时服务的男生是全班男生人数的，若参加延时服务的男、女生共有m人，则该班共有学生多少人？（用含m的式子表示）”时，突然联想到上面的几何问题，请你将这个实际问题转化为几何模型，并直接写出答案．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义）
25．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）．
(1)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧，
①如图，当点E为中点时，求的长；
②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长；
(2)若，，请直接写出与存在的数量关系．
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专题6.3.线段的长短比较+6.4.线段的和差
1、经历叠合法比较两条线段的大小关系的过程，并会用数学符号表示它们的大小关系；
2、会用直尺、圆规等学习工具画线段，初步体会用作图语言叙述画法；
3、能用线段表示和差倍分关系，并能计算线段的数量关系；
4、理解中点定义，并进行相关的计算；
5、理解并掌握线段公理（两点之间线段最短）、两点之间距离公式。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.线段的长短比较 2
考点2.两点之间线段最短的应用 4
考点3.两点之间的距离 5
考点4.作一条线段等于已知线段 6
考点5.线段和差的相关计算 7
考点6.线段和差的相关计算（分类讨论） 9
考点7.线段的中点相关计算问题 11
考点8.线段的n等分问题 12
模块3：能力培优 9
1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
2.基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
即：如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的。
3.两点之间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．
4.线段的长短比较：
①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短；
②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短；
③估算法（目测法）。
5.线段的和与差：
1）如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和；
如图，有AC＝AB+BC，或AC＝a+b。
2）如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差；
如图，有AD＝AB-BD，或AD＝a-b。
6.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图，有：.
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.
如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.
考点1.线段的长短比较
1．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图．我们可借助圆规判断线段和的长短，由图可知（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】依据重合比较法即可得出结论．
【详解】解：由图可得，，故选A．
【点睛】本题主要考查了比较两条线段长短的方法，主要有两种：度量比较法、重合比较法．解决问题的关键是细致观察出线段和差关系．
2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，用圆规比较两条线段的长短，则正确的结果是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了线段的大小比较，熟练掌握线段大小的比较方法是解决问题的关键． 根据比较线段的长短的方法即可解答．
【详解】解：由图可知，．故选C．
3．（23-24七年级上·山东济宁·期中）点，，在直线上的位置如图所示，下列结论中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了比较线段的长短，根据直线上，，的位置，判断即可．
【详解】解：A、由图可知，故A选项正确，不符合题意；
B、由图可知，故B选项正确，不符合题意；
C、由图可知，故C选项正确，不符合题意；
D、由图可知，故D选项错误，符合题意．故选：D．
考点2.两点之间线段最短的应用
1．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线
【答案】B
【分析】本题考查了线段的性质．由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短的性质．
【详解】解：把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理是两点之间线段最短．故选：B．
2．（24-25七年级上·浙江·课后作业）有下列三个生活、生产现象：①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中，可用基本事实“两点之间的所有连线中，线段最短”来解释的现象有（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了两点之间线段最短，从两点之间起到的作用，用途出发，试想一个点会不会达到如此的效果即能判断．①根据两点确定一条直线的性质即可求解；②对，两点之间线段最短，减少了距离；③对，两点之间线段最短，减少了距离．
【详解】解：①属于两点确定一条直线的性质，不符合题意；
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设，是两点之间，线段最短，符合题意；
③两点之间线段最短，减少了距离，符合题意．故选：C．
3．（2024·湖南·模拟预测）媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短
【答案】C
【分析】本题考查线段的性质，由两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题关键．
【详解】解：由题意得：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短，故选：C．
考点3.两点之间的距离
1．（23-24七年级上·浙江·课堂例题）下列说法中正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短 B．画出A，B两点的距离
C．连接点A与点B的线段，叫A，B两点的距离
D．两点的距离是线段的长度，不是指线段本身
【答案】D
【分析】根据两点之间线段最短，两点间的距离的意义解答即可．
【详解】A. 两点之间，线段最短，不符合题意；
B. 画出A，B两点的线段，不符合题意；
C. 连接点A与点B的线段的长度，叫A，B两点的距离，不符合题意；
D. 两点的距离是线段的长度，不是指线段本身，不符合题意；故选D．
【点睛】本题考查了线段最短的原理，两点间的距离，熟练掌握原理和距离是解题的关键．
2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，哪条线的长度表示A、两点之间的距离（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
【答案】B
【分析】根据两点之间距离定义进行判断即可．
【详解】解：②表示A、两点之间的距离，故B正确．故选：B．
【点睛】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握两点之间线段的长度叫做两点之间的距离．
3．（23-24七年级上·北京大兴·期末）如图所示，点A，点D这两点间的距离是线段 的长度．
【答案】
【分析】根据两点间的距离的定义可得点与点的距离．
【详解】解：点与点的距离为线段的长度．故答案为：．
【点睛】本题主要考查两点间距离的定义，掌握两点间距离的定义是解题的关键．
考点4.作一条线段等于已知线段
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如下图，用圆规和直尺作线段AB，使（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】画图见解析
【分析】本题考查尺规作图作线段．熟练掌握作线段等于已知线段的方法，是解题的关键．
以为端点，作射线，以为端点，在射线截取线段，再以为端点，在射线截取线段，则：线段，即为所求．
【详解】解：如图所示，线段AB即为所求．
2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于．
（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查有关线段的基本作图，先画出一条线段等于，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段．相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去．
【详解】解：如图所示，
3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知线段，，，利用尺规作图法作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，先作射线，再以A为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于C，再以C为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于D，再以点D为圆心，线段b的长为半径画弧交线段于E，最后以E为圆心，以线段a的长为半径画弧交射线于B，则线段即为所求．
【详解】解：如图所示，线段即为所求；
先作射线，再以A为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于C，再以C为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于D，再以点D为圆心，线段b的长为半径画弧交线段于E，最后以E为圆心，以线段a的长为半径画弧交射线于B，则线段即为所求．
考点5.线段和差的相关计算
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）在一条直线上有四点，已知点C在线段上，，且．求的长．
【答案】的长为或
【分析】本题考查了线段长短的计算，根题意分别画出图形和掌握分类讨论的思想成为解答本题的关键．
先根据题意画出图①、图②， 根据题意，需分以下2种情况：当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，然后分别根据线段的和差列式解答即可．
【详解】解：①当点D在线段上时，如图①．
因为，所以．
因为，所以，所以，所以．
②当点D在线段的延长线上时，如图②．
因为，所以．
因为，所以，所以，所以．
综上所述，的长为或．
2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，．(1)若，求的长；(2)若，为的中点，求的长．
【答案】(1)15(2)9
【分析】本题主要考查线段和线段的中点，掌握线段和差计算，数形结合分析方法是解题关键．
（1）根据，可求得，据此即可求得答案；
（2）先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴．
（2）解：∵，∴．∵，∴．
∵是的中点，∴，∴．
3．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，点C，D 是线段上两点，若 且点D 是线段的中点，求线段的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先由线段中点的定义求出的长，再由线段的和差关系即可求出线段的长．
【详解】解：∵点D 是线段的中点，，∴，∵ ，∴．
考点6.线段和差的相关计算（分类讨论）
1．（22-23七年级下·福建福州·开学考试）已知点A，B，C在同一条直线上，若，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据题意，进行分类讨论：当A、C在点B两侧时，当A、C在点B同侧时，即可求解．
【详解】解：当A、C在点B两侧时，∵，∴；
当A、C在点B同侧时，∵，∴；故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段之间的和差关系，解题的关键是正确理解题意，具有分类讨论的思想．
2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______．
【答案】图形见解析，或
【分析】本题主要考查线段和尺规作图，分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧．
【详解】分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧，如图所示．
点位于点的左侧时，．点位于点的右侧时，．故答案为：或
3．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图．线段，C是线段的中点，D是线段的中点．
(1)求线段的长；(2)在直线上有一点E，，求的长．
【答案】(1)15 (2)的长为8或12
【分析】本题主要考查了线段的和差以及中点的应用，熟练掌握中点的定义是解题的关键．
（1）现根据中点的定义得到，，再由线段的和关系，即可作答；（2）由得，分两种情况：当点E在线段上，当点E在线段延长线上，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵线段，C是线段的中点，D是线段的中点，
∴，，∴；
（2）解：，当点E在线段上，如图所示：；
当点E在线段延长线上，如图所示：；
综上分析可知：的长为8或12．
4．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”．已知点D是图中折线的“折中点”，请解答以下问题：(1)①若，点D在线段______（填“”或“”）上；②若，则的长度为______．(2)若E为线段的中点，，求的长度．
【答案】(1)①，②2或14(2)的长度是4或28
【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义：（1）①根据“折中点”的定义进行求解即可；②分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可；
（2）先根据线段中点的定义得到的长，再同分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，点D是图中折线的“折中点”，
∴点D在线段上，故答案为：；
②如图所示，当点D在上时，∵，∴，
∵，∴
如图所示，当点D在上时，
∵，∴，∴；综上所述，的长为2或14；
（2）解：E为线段中点，，∴．
①点D在线段上时，如图所示，
∵，∴．
∵D为折中点，∴．∴；
②点D在线段上时，如图所示，
∴，∴．∴．∴．
综上所述，的长度是4或28．
考点7.线段的中点相关计算问题
1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系即可判断①②；求出，进而可得，据此可判断③；求出，则可求出，据此可判断④．
【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，∴，
∴，，故①②正确；∵，∴，
∵，∴，故③错误；
∵，∴，又∵，∴，
∴，∴，故④正确；∴正确的有①②④，故答案为：①②④．
2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，一条线段，E，F分别是线段的中点，且，则线段的长为 ．
【答案】/8厘米
【分析】本题考查两点之间的距离，关键是根据线段关系设未知数求解．设，由点，分别是，的中点可得的长，已知，可列方程解得的值，可得的长．
【详解】解：，可设，
点，分别是，的中点，，
，
又，，解得，（），
即线段的长为．故答案为：．
3．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，A，B，C三点共线，M，N分别是的中点．若，则 ．
【答案】13
【分析】此题考查了线段的中点，线段的和差，根据题意可得，，由即可求出线段的长．
【详解】解： 分别是的中点，，，
∴，，∴，故答案为：．
考点8.线段的n等分问题
1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ， 则 的长为 ．
【答案】或/或
【分析】根据点是线段上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可．
【详解】解：如图，
是线段的中点，，，
点是线段上的三等分点，，，
如图，
点是线段上的三等分点，，
是线段的中点，，，；故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，以及三等分点、中点的定义，解决本题的关键是分两种情况画图计算．
2．（23-24七年级上·西藏日喀则·期末）已知：点在同一条直线上，线段，点是线段的三等分点，求线段的长．
【答案】的长为或或或．
【分析】本题考查了线段的和差计算，三等分点的含义，数形结合、分类讨论是解题的关键．本题分四种情况讨论：如图，当在的右边，时，如图，当在的右边，时，如图，当在的左边，时，如图，当在的左边，时，再求解即可．
【详解】解：∵，点是线段的三等分点，∴或，
如图，当在的右边，时，∵，∴，
如图，当在的右边，时，∴，
如图，当在的左边，时，∴，
如图，当在的左边，时，∴；
综上：的长为或或或．
3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，，分别是，的中点，则______．
②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．
③若，分别是，的等分点，即，，则______．
【答案】(1)3 (2)①；②；③
【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故；（2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故；②由，，知，，即得，故；
③由，，知，，即得，故．
【详解】（1）解：，，，
，分别是，的中点，，，
；故答案为：；
（2）解：①，分别是，的中点，
，，，
，；故答案为：；
②，，，，
，，；
③，，，，
，，，故答案为：．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图所示，从学校到公园有①②③④四条路线可走，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段的性质，熟练掌握线段的性质进行求解是解决本题的关键．应用两点的所有连线中，线段最短．进行判定即可得出答案．
【详解】根据题意可得，从学校到公园有①、②、③、④四条路线，其中线段最短，
最短的路线是③．故选：C．
2．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．在所有连结两点的线中，线段最短 B．连结两点的线段叫做两点的距离
C．过三点中的任意两点作直线共可作三条 D．若，则点B是线段AC的中点
【答案】A
【分析】本题考查了线段的性质、两点间的距离的定义和线段中点的定义，根据线段的性质、两点间的距离的定义和线段中点的定义逐项分析可得答案．
【详解】解：A．两点之间，线段最短，故正确，符合题意；
B．连结两点的线段的长度叫做两点的距离，故错误，不符合题意：
C．过三点中的任意两点作直线共可作三条或一条，故错误，不符合题意：
D．若，当点B不在直线上时，则点B不是线段的中点，故错误，不符合题意．故选：A．
3．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图所示，在A，B，C三个小区中分别住有某厂职工30人，15人，14人，且这三个小区在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知米，米．若该厂接送职工上下班的厂车打算在此路段只设一个停靠点，为使这三个小区所有职工步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点A B．点B C．之间 D．之间
【答案】A
【分析】本题考查了比较线段的长短．由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和（米），
③当在之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则，则所有人的路程的和是：，
④当在之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则，则所有人的总路程为．
∴该停靠点的位置应设在点A；故选：A．
4．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（ ）．
A．12 B．24 C．12或24 D．24或36
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段的和差，根据题意可知对折点可能是点A，也可能是点B，再根据不同情况确定最长的线段即可求出原线段的长．
【详解】当点A是对折点时，则剪断后最长的线段应是，
∴，所以绳子的原长为；
当点B是对折点时，则剪断后最长的线段应是，
∴，所以绳子的原长为．
所以这条绳子的原长为12cm或24cm．故选：C．
5．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）研究下面解题过程：
如图，点在线段上，且，点是的中点，若，求的长．
解：因为，，所以①______．因为②______，而是的中点，所以③______．所以④______
针对其中，给出的数值不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据已知条件项求出的长，进而求出的长，再由线段中点的定义求出的长，即可求出的长，据此可得答案．
【详解】解：因为，，所以①．
因为②，而是的中点，所以③．
所以④，∴四个选项中只有C选项符合题意，故选：C．
6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要查了尺规作图—作一条线段等于已知线段．根据作图可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：．故选：C
7．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点．则线段的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要查了线段中点的定义．根据线段中点的性质，可得根据线段的和差，可得的长．
【详解】解：∵点，分别为线段，的中点．∴，
∴．故选：B
8．（24-25七年级上·辽宁·期末）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点、、，得出，再代数计算，即可作答．
【详解】解：在直线上顺次取三点、、，，
，，，故选：D．
9．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），M，N分别是线段，的中点，下列判断正确的是（ ）
A．点C越靠近线段的中点，线段越长 B．不论点C在什么位置都有
C．点C越靠近两个端点，线段越短 D．线段的长度无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了线段的中点与和差倍数问题，解题关键是运用转化的思想，本题先求出，，再利用线段的和差关系即可求解．
【详解】解：∵M，N分别是线段，的中点，∴，，
∴，即不论点C在什么位置都有； 故选：B ．
10．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，小林利用圆规在线段上截取线段，使．若D恰好为的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段中点的相关知识，若，点D恰好为的中点，则，由此对各个选项进行判断即可．
【详解】解：∵，点D恰好为的中点，
∴，故C错误，不符合题意，故选：C．
11．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质及和差关系；由题意易得，则有，然后分当点E在点A右侧时和当点E在点A左侧时，进而求解即可
【详解】解：因为D为的中点，，所以．
因为，所以．如图①，当点E在点A右侧时．
因为，所以，所以；
如图②，当点E在点A左侧时
因为，所以．
综上所述，的长为或；故选D．
12．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设，则，，再根据可得，从而可得，由此即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
设，∵，，∴，，
∵，即，∴，∴，
∵，∴，故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024七年级上·上海·专题练习）用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行作答即可．
【详解】解：依题意，能解释这一现象的数学道理是：两点之间，线段最短；
故答案为：两点之间，线段最短．
12．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若A、B、C三点在同一直线上，且AB＝5cm，BC＝3cm，那么AC＝ cm．
【答案】8或2/2或8
【分析】此题没有指明点C的具体位置故应该分情况进行分析从而求解．
【详解】解：当点B位于A，C中间时，AC＝AB＋BC＝8cm；
当点C位于A，B中间时，AC＝AB BC＝2cm．故答案为：8或2．
【点睛】本题主要考查两点间的距离的知识点，注意分类讨论思想的运用．
13．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有 （请填写序号）
【答案】①②③
【分析】由可得，再由线段的中点，即可判断①；可得，再由线段的中点
可判断②；由结合线段的中点可判断③．
【详解】解：，，
是线段的中点，，，
，，即，故①正确；
，，，
M、N分别是线段、的中点，，，，故②正确；
M、N分别是线段、的中点，，，
，，故③正确；
故答案：①②③．
【点睛】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键．
14．（23-24七年级·上海嘉定·期末）如图，点M是线段的中点，B是线段上一点，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出，进而得到，再由线段中点的定义得到，则，据此求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵点M是线段的中点，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，点C在直线上，，点M是线段的中点，则线段 ．
【答案】或3
【分析】本题主要考查线段的中点的相关计算．
根据题意分两种情况讨论，然后利用线段中点的性质和线段的和差求解即可．
【详解】解：当点C在线段上时，如图1，
∵，∴，
∵点M是线段的中点，∴，∴；
当点C在线段的延长线上时，
∵，∴，
∵点M是线段的中点，∴，
∴，即或3．故答案为：或3
16．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ．
【答案】4或24
【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可．
【详解】①如图，，，
∵点D是折线的“折中点”，∴，
∵点E为线段的中点，∴∴，
∴，∴，∴；如图，，，
∵点D是折线的“折中点”，∴，
∵点E为线段的中点，∴∴，
∴，∴；综上所述，的长为4或24，故答案为：4或24．
17．（2023秋·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，点A，B，C在直线上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点位于A，B两点之间，且到点的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线向右运动，点的速度是3个单位长度，点的速度是1个单位长度，设运动时间为，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的值为 ．
【答案】或或33
【分析】分点为的中点，点为的中点，为的中点，三种情况进行讨论求解．
【详解】解：∵，∴，
①当点为的中点时，，解得：；
②当点为的中点时，，解得：；
③当为的中点时，，解得：；
综上：或或；故答案为：或或33
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，与线段中点有关的计算．解题的关键是读懂题意，利用分类讨论的思想，正确的列出方程．
18．（24-25九年级上·浙江·课后作业）已知线段．
(1)若点是线段上一点，，则的长为 ；
(2)若点是线段的中点，则的长为 ；
(3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ．
【答案】(1)7(2)4.5(3)3或6
【分析】本题考查线段的和差，线段中点、以及三等分点的特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．（1）根据线段的和差计算即可；（2）根据线段中点的特点计算即可；（3）根据点为的三等分点分两种情况讨论：①点靠近点；②点靠近点，结合线段的和差计算即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）解：点是线段的中点，
；
故答案为：4.5．
（3）解：点是线段的一个三等分点，
①当点靠近点时，
；
②当点靠近点时，
；
综上所述，的长为3或6．故答案为：3或6．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D分别表示四个车站的位置．
(1)用关于a、b的代数式表示A、C两站之间的距离是 ；（最后结果需化简）
(2)若已知A、C两站之间的距离是10千米，求C、D两站之间的距离．
【答案】(1)(2)、两站之间的距离
【分析】本题考查的是线段的和差运算，整式的加减运算，理解题意是解题关键．
（1）直接利用线段的和差运算可得答案；
（2）先求解，利用可得，再代入化简求值即可．
【详解】（1）解：用关于、的代数式表示、两站之间的距离是；
（2）解：，
，，．
答：、两站之间的距离．
20．（23-24七年级上·四川成都·期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；
②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．
【答案】（1）6；（2）①；②
【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
（1）由中点的定义可得，然后根据求解即可；（2）①由，可得，然后根据求解即可；②仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：（1），分别是，的中点
（2）①
；
②
．
21．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图并解答问题：
(1)①作直线；②作射线交直线于点E；③连接，交于点F；
(2)若F是的一个三等分点，已知线段上所有线段之和为，求的长．
【答案】(1)见解析(2)或
【分析】（1）根据语句作图即可；（2）分两种情况讨论，即当大于时和当小于时，根据“线段AC上所有线段之和为18”列方程求解即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）当大于时，设，则，，
∴，解得：，∴，
当小于时，设，则，．
∴．解得：，∴，综上所述：或．
【点睛】本题考查了线段的和差、线段的n等分点的有关计算以及根据语句作图．熟练掌握基本作图语句是解题的关键，解题（2）时注意分类讨论．
22．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，已知．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)（填“”、“”或“”），依据是_______；
(3)若点是射线上一点，且，，求的长；
(4)在（3）的条件下，若点在线段上，且，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析(2)>，两点之间线段最短(3)(4)的长为1或5．
【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了两点间的距离．
（1）根据几何语言画出几何图形；（2）根据两点之间线段最短进行判断；
（3）先计算出，然后计算即可；
（4）讨论：当点在点左侧，；当点在点右侧，．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：根据两点之间线段最短得；
故答案为：，两点之间线段最短；
（3）解：，，
，；
（4）解：当点在点左侧，，当点在点右侧，，
综上所述，的长为1或5．
23．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【新知理解】点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段．
例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”．
（1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________；
（2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”）
【解决问题】如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4；
（3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________；
（4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________．
【答案】（1）9；（2）；（3）；（4）或10
【分析】本题主要查了线段的和与差：（1）根据“优点”的定义解答，即可求解；（2）根据“优点”的定义解答，即可求解；（3）根据“优点”的定义可得，即可求解；
（4）根据题意可得，再由“优点”伴侣线段的定义解答，即可求解．
【详解】解：（1）∵点为图1中线段的“优点”，且，
∴，∴；故答案为：9
（2）∵点也是图1中线段的“优点”（不同于点），
∴，∴，∴；故答案为：
（3）∵点表示的数为4，∴，
∵点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，
∴，∴；故答案为：
（4）∵点表示的数为1，点表示的数为4，∴，
∵线段与互为“优点”伴侣线段，
当时，，∴点G表示的数为，
当时，，∴点G表示的数为10，
综上，点G表示的数为或10．故答案为：或10
24．（23-24七年级上·河南郑州·期中）【问题探究】(1)如图，点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______；
【方法迁移】(2)已知点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______．
【学以致用】(3)小明同学在解决问题“某校七年级（1）班延时服务统计情况如下，其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的2倍，参加延时服务的男生是全班男生人数的，若参加延时服务的男、女生共有m人，则该班共有学生多少人？（用含m的式子表示）”时，突然联想到上面的几何问题，请你将这个实际问题转化为几何模型，并直接写出答案．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义）
【答案】(1)(2)(3)该班共有学生人
【分析】（1）根据线段中点的定义即可求解；（2）根据线段中点的定义即可求解；
（3）根据题意画出图形，设，，则，，求出的结果即可．
【详解】（1）解：∵点M，N分别是的中点，，
∴，∴．故答案为：．
（2）解：∵点M，N分别是的中点，，
∴， ∴．故答案为：．
（3）解：如图，点B在线段上，，．
表示未参加延时服务的女生，表示参加延时服务的女生，表示全班男生，表示参加延时服务的男生， ∴表示全班参加延时服务的总人数，
设，，则，，∴，，
∴，∴该班共有学生人．
【点睛】本题考查线段中点的定义，两点间的距离，解题的关键是结合图形，根据线段间的和差关系求解．
25．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）．
(1)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧，
①如图，当点E为中点时，求的长；
②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长；
(2)若，，请直接写出与存在的数量关系．
【答案】(1)①；②的长为或
(2)或或或
【分析】本题考查了两点间的距离，比较难，需要仔细思考和解答．
（1）根据已知条件得到，，
①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；
②如图1，当点F在点C的右侧时，当点F在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论；
（2）分点E在点C右侧，点D在点E左右两侧，点E在点C左侧，点D在点E左右两侧共四种情况，分别讨论可得．
【详解】（1）解：，，，，
①为中点，，，，；
②如图1，
当点F在点C的右侧时，，，
，；
当点F在点C的左侧时，
，，，
，；综上所述，的长为或．
（2）解：①点E在点C右侧，点D在点E左侧时， 如图3所示，
，，，，，
，，
，，，；
②点E在点C右侧，点D在点E右侧时，如图4所示，
，，，，，
，，
，，，；
③点E在点C左侧，点D在点E左侧时，如图5所示，
，，，，
，，，
，，，；
④点E在点C左侧，点D在点E右侧时，如图6所示，
，，，，，
，，
，，，；
综上所述，或或或．
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