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专题6.7.角的和差
1. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
2．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.角度的四则运算 2
考点2.图形中的角度计算 3
考点3.三角板中的角度计算 4
考点4.几何图形中的角度计算（翻折） 6
考点5.钟面中的角度问题 7
考点6.角平分线的相关计算 8
考点7.角n等分线的相关计算 11
考点8.动态角度问题（旋转） 13
模块3：能力培优 18
1.角的和、差：
1）如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和，如图∠ABC＝∠1+∠2。
2）如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差；如图∠GEF＝∠DEG-∠1。
2.角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫作这个角的平分线。如图所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA或∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA。
类似地，还有角的三等分线、n等分线等。
考点1.角度的四则运算
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·河北衡水·期中） 。
3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算．
(1)；(2)；(3)；(4)．
考点2.图形中的角度计算
1．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，若，且，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·四川达州·七年级校考期中）如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么等于 度．
3．（24-25七年级上·浙江·课后作业）（1）已知，，求的度数；
（2）已知，过点O作射线（不同于），满足，求的度数．（题目中的角是小于平角的角）
考点3.三角板中的角度计算
1．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，将一副三角板按照如图所示的位置放置，其中两个直角三角板的一个顶点重合，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分．
（1）将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ．
（2）将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ．
考点4.几何图形中的角度计算（翻折）
1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一张长方形纸片分别沿着折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·七年级期中）将矩形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知，则的大小是（ ）．
A． B． C． D．
考点5.钟面中的角度问题
1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）每天上午9点30分“阳光大课间”都会如约而至，此时时针与分针所夹的角为 °．
2．（24-25九年级上·福建福州·自主招生）康正午看时钟，发现时针与分针重合，下次这样重合时刻是 ．
3．（24-25七年级上·浙江·期末）刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时，
(1)时分针和时针的夹角为多少度？(2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？
考点6.角平分线的相关计算
1．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）若，是不同于的射线，平分，平分，则的大小为 ．
2．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点O在直线上，，，平分．(1)求的度数；(2)求的度数；(3)是否平分？试说明理由．
3．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，．(1)若，，求 ；
(2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．
(3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由．
考点7.角n等分线的相关计算
1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ．
3．（2023·北京朝阳·七年级统考期末）已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
(1)若OC平分∠AOB，①依题意补全图1；②∠MON的度数为 ．(2)当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．
考点8.动态角度问题（旋转）
1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，．
(1)如图1，当，平分时，求的度数；
(2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒；(3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值．
2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
(1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______；
②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．
3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1，已知，点O为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边在射线上，另一边ON在直线的下方．(1)在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ；
(2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，求的度数；
(3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数为 ；
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）从如图所显示的时刻开始，经过分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，直线交于点O，平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，平分，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是平角，，分别是的平分线，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．无法计算
7．（2023·湖北·七年级校考阶段练习）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论①以为顶点的角有15个；②若平分，平分，，则；③若为的中点，为的中点，则；④若，，则．中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（23-24七年级上·广东茂名·期末）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（ ）
A．150° B．120° C．130° D．140°
9．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称、、组成的图形为“角分图形”．
如图（1），当平分时，图（1）为角分图形．
如图（2），点O是直线上一点，，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转至，设时间为，当t为何值时，图中存在角分图形．小明认为，小亮认为，
你认为正确的答案为（ ）
A．小明 B．小亮 C．两人合在一起才正确 D．两人合在一起也不正确
10．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或 B．或或 C．或或 D．或或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： ．
12．（2024七年级上·河南·专题练习）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点，则 ．
13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点O在直线上，平分，，，则 ．
14．（24-25七年级上·吉林·期中）如图，，，若平分，则 ．
15．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，在的内部有3条射线，，．若，，，则 °．
16．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是 ．
17．（2024·浙江七年级课时练习）魏老师去农贸市场买菜时发现，若把10千克的菜放在秤上，则指针盘上的指针转了，第二天魏老师请同学们回答以下两个问题：（1）若把0.5千克的菜放在秤上，则指针转过________度；（2）若指针转了，则这些菜共有________千克.
18．（2024 浙江八年级校级期中）如图，将长方形ABCD沿AE、DE折叠，使得点B'、点C'、点E在同一条直线上．若∠α＝35°36′，则∠DEC的度数为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）计算：(1)；(2)．
20．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，是的平分线，．
(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．
21．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．(1)若，求．(2)若，求．
22．（河北省邢台市多校2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题）定义：我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”．(1)如图，写出的共边角；(2)与是一组“共边角”，共中，直接写出非公共边的两边所夹的角的度数；(3)若一组“共边角”与非公共边的两边所夹的角是分别是，的平分线，请画出图形，求的度数．
23．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）已知：如图1，是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．当点在斜边上移动时， ；
（2）把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上：
①点和点在直线的上方（如图），此时与的数量关系是 ；
②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时（如图），与的数量关系是 ；
③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时（如图），与的数量关系是 ．
24．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线．
(1)求 和 的度数；(2)若为 的平分线，求的度数．(3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论．
25．（23-24七年级上·广东深圳·期末）知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角．
（1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；（2）时，时针与分针所成的角度 ；
（3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？
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专题6.7.角的和差
1. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
2．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.角度的四则运算 2
考点2.图形中的角度计算 3
考点3.三角板中的角度计算 4
考点4.几何图形中的角度计算（翻折） 6
考点5.钟面中的角度问题 7
考点6.角平分线的相关计算 8
考点7.角n等分线的相关计算 11
考点8.动态角度问题（旋转） 13
模块3：能力培优 18
1.角的和、差：
1）如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和，如图∠ABC＝∠1+∠2。
2）如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差；如图∠GEF＝∠DEG-∠1。
2.角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫作这个角的平分线。如图所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA或∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA。
类似地，还有角的三等分线、n等分线等。
考点1.角度的四则运算
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了度分秒的换算，根据“1度分，即，1分秒，即”进行度分秒的换算和度分秒间的加减计算．
【详解】解：A、，计算正确，故本选项不符合题意．
B、，计算正确，故本选项不符题意．
C、，计算正确，故本选项不符合题意．
D、，计算错误，故本选项符合题意．故选：D．
2．（24-25七年级上·河北衡水·期中）
【答案】
【分析】本题主要考查角度的运算，熟练掌握角度的运算是解题的关键；因此此题可根据角的运算直接进行求解．
【详解】解：；故答案为．
3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算．
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
（1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度；
（2）两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数，，；
（3）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度；
（4）两个度数相减时，应先算最后一位，后面的位上的数不够减是向前一位借数，，．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
考点2.图形中的角度计算
1．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，若，且，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据角的和差可得，又根据角的和差可得，再根据即可得．
【详解】解：，，，
，，
又，，，故选：A．
【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，正确找出图形中的角之间的联系是解题关键．
2．（2023春·四川达州·七年级校考期中）如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么等于 度．
【答案】10
【分析】根据列式计算即可．
【详解】解：由题意得：，故答案为：10．
【点睛】本题考查了角的和差计算，准确识别图形是解题的关键．
3．（24-25七年级上·浙江·课后作业）（1）已知，，求的度数；
（2）已知，过点O作射线（不同于），满足，求的度数．（题目中的角是小于平角的角）
【答案】（1）或；（2）或
【分析】本题考查了几何图中角度的计算，一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形，利用角度的和差计算即可得解；（2）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】解：（1）分两种情况：如答图①，当在内部时，
此时；
如答图②，当在外部时，此时．
综上，的度数为或．
（2）分两种情况：如答图③，当在内部时，
设，则，∴，∴，∴；
如答图④，当在外部时，设，则，
∴，∴，∴．综上，的度数为或．
考点3.三角板中的角度计算
1．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角板的有关角度计算问题，根据图形分别求出每个选项中的度数，即可判断求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：、由图可得，，，∴，该选项不合题意；
、由图可得，，，∴，该选项不合题意；
、由图可得，，该选项不合题意；
、由图可得，，，∴，该选项符合题意；故选：．
2．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，将一副三角板按照如图所示的位置放置，其中两个直角三角板的一个顶点重合，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查角的大小比较，比较角的大小的方法有：(1)估测法；(2)度量法；(3)叠合法；(4)推理法．
根据已知图形可知，，减去公共部分后大小关系不变，即可比较与的大小
【详解】∵，∴，，
∴．故选C．
3．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知：将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分．
（1）将图1中的三角板绕点O旋转到图2的位置，则的度数是 ．
（2）将图1中的三角板绕点O旋转到图3的位置，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的计算，几何图形中角的计算．
（1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可；
（2）同（1）由角平分线分别表示出和，则，将式子变形为，代入数值计算即可．
【详解】（1）∵平分，平分，∴，，
∴，
，故答案为：；
（2）∵平分，平分，∴，，
∴
，故答案为：．
考点4.几何图形中的角度计算（翻折）
1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一张长方形纸片分别沿着折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查折叠问题，根据折叠前后对应角相等可得，，结合长方形中可得答案．
【详解】解：由折叠知，，，，
，，故选C．
2．（2024·浙江·七年级期中）将矩形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知，则的大小是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得到，由平角的定义得到，而，则，由此即可得到的度数．
【详解】解：矩形沿折叠，，
又∵，，，．故选：B．
【点睛】本题考查了角的计算，平角的定义以及折叠的性质：折叠前后两图形的对应角相等，对应边相等，熟练掌握折叠的性质是解决本题的关键．
考点5.钟面中的角度问题
1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）每天上午9点30分“阳光大课间”都会如约而至，此时时针与分针所夹的角为 °．
【答案】105
【分析】本题考查了钟面角的有关知识，解题关键是得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格．根据时钟9时30分时，时针在9与10中间位置，分针在6上，可以得出分针与时针的夹角是3.5大格，每一格之间的夹角为，可得出结果．
【详解】解：∵钟表上从1到12一共有12格，每个大格，
∴时钟9时30分时，时针在9与10中间位置，分针在6上，可以得出分针与时针的夹角是3.5大格，
∴分针与时针的夹角是．故答案为105．
2．（24-25九年级上·福建福州·自主招生）康正午看时钟，发现时针与分针重合，下次这样重合时刻是 ．
【答案】1时分钟
【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算，解题时经常用到分针每分钟转过的角度为6度，时针每分钟转过的角度为度．首先我们可以推算出分针和时针下次相遇的时间为1点钟以后的时间，也就是说此时时针与分针的差距实际是，那么可设经过分钟再次重合，根据速度、时间和路程的关系可得：，由此即可解决问题．
【详解】解：设经过分钟再次重合，根据题干可得：
，，．分时分钟；故答案为：1时分钟．
3．（24-25七年级上·浙江·期末）刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时，
(1)时分针和时针的夹角为多少度？(2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？
【答案】(1)时分针和时针的夹角为75度；(2)经过分钟，时针与分针第一次相遇．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
（1）根据手表上的数字之间的角度和时针运动的速度求解；
（2）根据“分钟与时针的角度差为75”列方程求解．
【详解】（1）解：时针每分钟转，时分针和时针的夹角为：，
（2）解：设经过分钟，时针与分针第一次相遇，则：，解得：，
答：经过分钟，时针与分针第一次相遇．
考点6.角平分线的相关计算
1．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）若，是不同于的射线，平分，平分，则的大小为 ．
【答案】/45度
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，注意“数形结合”数学思想在解题过程中的应用．当射线在的内部时，根据角平分线的定义求得，，然后根据图形中的角与角间的和差关系来求的度数．当射线在的外部时，同理可求的度数．
【详解】解：当射线在的内部时，如图所示：
∵平分，∴，又∵平分，∴，
又∵，∴；
当射线在的外部时，如图所示
∵平分，∴，又∵平分，∴，
又∵，
∴．故答案为：．
2．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点O在直线上，，，平分．(1)求的度数；(2)求的度数；(3)是否平分？试说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)平分，理由见解析．
【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；
（1）由角分线的定义，得到的度数；
（2）根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数；
（3）由角分线的定义证明即可求解．
【详解】（1）解：，平分，
，；
（2）解：，，，；
（3）平分；理由：，，，
又 ，平分．
3．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，．(1)若，，求 ；
(2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．
(3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)(2)，见解析(3)成立，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得出，进而即可求得；
（2）由角平分线的定义得出，即；
（3）由角平分线的定义得出得出，根据，，进而即可求解．
【详解】（1）解：、分别平分，，，
，，
，，故答案为：；
（2）解：，理由如下：
、分别平分，，，
，，；
（3）解：成立，理由如下，、分别平分，，
，
，．
考点7.角n等分线的相关计算
1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线及三等分线的定义，角的和差，由角平分线及三等分线的定义可得，，进而得，据此即可求解，掌握角平分线及三等分线的定义是解题的关键．
【详解】解：平分，∴，
又∵三等分，∴，
∴，∴．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ．
【答案】或
【分析】根据三等分线的定义可得或，画出图形，进行分类讨论即可．
【详解】解：∵射线是的三等分线，∴或，
当时，如图：
∵，，∴，
∵射线为的平分线，∴，
∴；
当时，如图：∵，，∴，
∵射线为的平分线，∴，∴；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．
3．（2023·北京朝阳·七年级统考期末）已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
(1)若OC平分∠AOB，①依题意补全图1；②∠MON的度数为 ．(2)当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．
【答案】(1)①见解析；②80°(2)∠MON的度数不变，80°
【分析】（1）①根据题意补全图；②根据，∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，得出∠MON的度数；（2）由OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，得出∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）＝AOB，从而得出答案．
【详解】（1）解：①依题意补全图如下：
②∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°，∴，
∵射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，∴，
∴∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，同理可得∠CON＝40°，∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝80°；
（2）解：∠MON的度数不变．
∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，
∵，，
∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）＝∠AOB﹣＝，
∵∠AOB＝120°，∴∠MON＝80°．
【点睛】本题考查了角的计算和角的三等分线，掌握各个角之间的关系是解题的关键．
考点8.动态角度问题（旋转）
1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，．
(1)如图1，当，平分时，求的度数；
(2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒；(3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值．
【答案】(1)(2)或(3)或
【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键．（1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论；（2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可；（3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可．
【详解】（1）解：，平分，，
，；
（2）解：由（1）知，，设旋转时间为，
①当点在的右侧时，，，
；；
②当点在的左侧时，，
，
；综上，旋转一共用了或；
（3）解：为或．当时，如图，
，，，，
，，，
，，
平分，，，解得；
当时，如图，，，
，，
，，，
，，平分，
，，解得；综上，为或．
2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
(1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______；
②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．
【答案】(1)90(2)正确，代数式的值为；
(3)①；②当时，；当时，．
【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出；
（2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论；（3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，∴，
∵，∴．故答案为：90；
（2）∵，设，则，
∴，，
∴．
∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为；
（3）解：∵，∴，，
设运动时间为，则，则．
①运动停止时，即时，OA旋转的角度为，
∴，故答案为：；
②当点C，O，A三点共线时，；
∴当时，，，∴；
当时，，，∴．
综上，当时，；当时，．
【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键．
3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1，已知，点O为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边在射线上，另一边ON在直线的下方．(1)在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ；
(2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，求的度数；
(3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数为 ；
【答案】(1)120，150(2)(3)
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角的和差，角平分线的有关计算；
（1）由角的和差得，，即可求解；
（2）由角平分线的定义得，由角的和差得，即可求解；
（3）设，则，，代入即可求解；
掌握角平分线的定义，能熟练利用角的和差表示出所求的角是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，，，故答案为：120，150；
（2）解：恰好平分，，
；
（3）解：设，则，，
，故答案为：．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）从如图所显示的时刻开始，经过分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了钟面角，得到时针与分针之间的夹角是解题的关键．
根据分针每分钟转了，时针每分钟转了即可求解；
【详解】解：分针每分钟转了，时针每小时转了，时针每分钟转了，
图中显示的时刻为，当经过分钟后时间为，
此时时针所形成的的角度为：，分针所形成的的角度为：，
则分针与时针所形成的的角度为：，故选：D
2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角的等分线与角平分线，根据是的三等分线，得到，即可得到答案．
【详解】解：是的两条三等分线，，
，故A选项等式正确，不符合题意；
，，即，
，故B选项等式不正确，符合题意；
，故C选项等式正确，但不符合题意；
，，故D选项等式正确，但不符合题意．故选：B．
3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，直线交于点O，平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平角结合角平分线的定义，求出的度数，再根据平角的定义，进行计算即可．
【详解】解：∵，∴，
∵平分，∴，∴；故选：C
4．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，平分，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的概念，根据角平分线的定义可求得答案．
【详解】解：平分，，，
平分，，故选：A．
5．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是平角，，分别是的平分线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的性质，求一个角度数可以看成两个或者多个角度的和求解是解题的关键 ．、分别是、的平分线，结合，可得，再由平角的定义即可求得的度数．
【详解】解：、分别是、的平分线，，,
,,
．故选：B．
6．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．无法计算
【答案】C
【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解．
【详解】解：∵，是的平分线，∴，
又∵，∴，
而，∴，
如图，当在下方时，此时，；
如图，当在上方时，此时，；
即：或，故选：C．
7．（2023·湖北·七年级校考阶段练习）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论①以为顶点的角有15个；②若平分，平分，，则；③若为的中点，为的中点，则；④若，，则．中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】依据题意，以O为顶点的角的边有6条，得出角的个数为，①正确；设，则，得出，由角平分线求出，得出，得出②正确；求出，③正确；求出，得不出，④错误；即可得出结论．
【详解】解：∵以O为顶点的角的边有6条，∴角的个数为：，①正确；
，设，则，，
平分，平分，，
，，②正确；
为中点，N为中点，，，
，③正确；
，，，
，，得不出，④错误；故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段中点的定义、角的个数的计算等知识；熟练掌握角平分线的定义、线段中点的定义是解题的关键．
8．（23-24七年级上·广东茂名·期末）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（ ）
A．150° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【分析】根据时钟上一大格是，时针1分钟转进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，
在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：，故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握时钟上一大格是，时针1分钟转．
9．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称、、组成的图形为“角分图形”．
如图（1），当平分时，图（1）为角分图形．
如图（2），点O是直线上一点，，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转至，设时间为，当t为何值时，图中存在角分图形．小明认为，小亮认为，
你认为正确的答案为（ ）
A．小明 B．小亮 C．两人合在一起才正确 D．两人合在一起也不正确
【答案】D
【分析】分四种情况讨论：当平分时，当平分时，当平分时，当平分时，再列方程求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴当平分时，∴，∴，解得：，
当平分时，∴，∴，解得：，
当平分时，∴，解得：，
当平分时，∴，解得：．综上：的值为：，，，；故选D．
10．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或 B．或或 C．或或 D．或或
【答案】C
【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．
【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，；
综上，为或或，故选：C．
【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查度分秒的换算．利用度、分、秒的换算即可，秒的结果若满60，则转化为1分，分的结果若满60，则转化为1度．
【详解】解：．故答案为：．
12．（2024七年级上·河南·专题练习）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点，则 ．
【答案】/180度
【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据题意知，结合，，即可求得．
【详解】解：由题意得：，
∵，，
∴．故答案为：．
13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点O在直线上，平分，，，则 ．
【答案】/20度
【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，设，则，由角的和差关系可得出，再根据角平分线的定义可得出，再根据平角的定义可得出，解关于的一元一次方程求解即可得出答案．
【详解】解：设，则，
∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，解得：，故答案为：．
14．（24-25七年级上·吉林·期中）如图，，，若平分，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算，根据角的和差关系可得出，再根据角平分线的定义即可求出．
【详解】解：，，，
平分，,故答案为：．
15．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，在的内部有3条射线，，．若，，，则 °．
【答案】10
【分析】设，，则，，根据，列式计算即可．
本题考查了角的和，角的倍分计算，解方程，熟练掌握角的和，倍分计算，解方程是解题的关键．
【详解】解：设，，∵，，
∴，，
∵，，∴，∴，故答案为：10．
16．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是 ．
【答案】
【分析】根据，可计算出的度数，再由，即可得出答案．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查角度的计算，理解角的度量单位及计算法则是解题的关键．
17．（2024·浙江七年级课时练习）魏老师去农贸市场买菜时发现，若把10千克的菜放在秤上，则指针盘上的指针转了，第二天魏老师请同学们回答以下两个问题：（1）若把0.5千克的菜放在秤上，则指针转过________度；（2）若指针转了，则这些菜共有________千克.
【答案】9 13.5
【分析】（1）算出秤上放1千克菜转过的角度为多少，乘以0.5即可；
（2）让243°除以1千克菜转过的角度即可．
【详解】解：（1）＝18°，0.5×18°=9°，0.5千克的菜放在秤上，指针转过9°；
（2）243°÷18°=13.5（千克），答：共有菜13.5千克．故答案为9，13.5
【点睛】本题考查了角度计算的应用，解决本题的关键是得到秤上放1千克菜转过的角度为多少．
18．（2024 浙江八年级校级期中）如图，将长方形ABCD沿AE、DE折叠，使得点B'、点C'、点E在同一条直线上．若∠α＝35°36′，则∠DEC的度数为 ．
【思路点拨】由折叠可知：∠α＝∠AEF，∠CED＝∠FED，所以∠DEC＝（180°﹣2∠α），再由∠α的大小即可求．
【答案】解：由折叠可知：∠α＝∠AEF，∠CED＝∠FED，∴∠DEC＝（180°﹣2∠α），
∵∠α＝35°36′，∴∠DEC＝54°24′，故答案为54°24′．
【点睛】本题考查角的计算；熟练掌握折叠的性质，能够准确计算角的大小是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）计算：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】此题考查了度分秒的计算．（1）根据度分秒的计算方法进行计算即可；
（2）根据度分秒的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
20．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，是的平分线，．
(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．
（1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，于是得到结论；
（2）设，则，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵是的平分线，∴；
（2）解：设，则，∴，
∵是的平分线，∴，∴，解得，
∴，∴．
21．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．(1)若，求．(2)若，求．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了对顶角、邻补角，（1）利用了对顶角相等，邻补角互补，（2）利用了角平分线的定义，邻补角互补的性质，角的和差．（1）根据对顶角相等，可得的度数，根据，可得，根据邻补角，可得答案；（2）根据角平分线的定义，可得，根据邻补角的关系，可得关于的方程，求出的度数，可得答案．
【详解】（1）由对顶角相等，得，
由把分成两部分且，得，
由邻补角，得；
（2）平分，．
由邻补角，得，即，解得．
∴，，∴．
22．（河北省邢台市多校2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题）定义：我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”．(1)如图，写出的共边角；(2)与是一组“共边角”，共中，直接写出非公共边的两边所夹的角的度数；(3)若一组“共边角”与非公共边的两边所夹的角是分别是，的平分线，请画出图形，求的度数．
【答案】(1)或 (2)或
(3)图形见详解；当在的内部，；当在的外部，．
【分析】本题考查了新定义，角平分线的有关计算，画出图形，分类讨论是解题的关键．（1）根据“共边角”定义进行解答即可；（2）分两种情况讨论：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形进行求解即可；（3）分两种情况讨论：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形，求出结果即可；
【详解】（1）解：的共边角为或；
（2）当在的内部时，如图所示：；
当在的外部时，如图所示：，
综上所述，非公共边的两边所夹的角的度数为或；
（3）这一组“共边角”的角平分线所夹的角的度数为或，如图1，当在的内部，
分别是，的平分线，，
，
，；如图2，当在的外部，
分别是，的平分线，，
，
，，
综上所述，这一组“共边角”的角平分线所夹的角的度数为或．
23．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）已知：如图1，是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．当点在斜边上移动时， ；
（2）把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上：
①点和点在直线的上方（如图），此时与的数量关系是 ；
②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时（如图），与的数量关系是 ；
③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时（如图），与的数量关系是 ．
【答案】（1）；（2）①；②；③
【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算：
（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可；（2）①根据平角的定义，即可得出结论；②根据角的和差关系进行求解即可；③根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：（1）如图1，的大小不会发生变化，理由如下：
、分别是和的平分线，，，
；
（2）①当点和点在直线的上方时（如图，；
②当点在直线的下方，点仍然在直线的上方时（如图，
，，；
③当点和点都在直线的下方时（如图，
，，．
故答案为：45；，，．
24．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线．
(1)求 和 的度数；(2)若为 的平分线，求的度数．(3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论．
【答案】(1)，(2)(3)不变
【分析】本题考查角的和差和角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．
（1）由三角板的内角，利用角的和差求出的度数，然后利用角平分线的定义得到的度数，然后利用交的和差解题即可；（2）先求出的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，然后根据解题即可；（3）根据（1）（2）的计算方法解题即可．
【详解】（1）解：∵A、B、D三点在同一直线上，
∴，
又∵BM为的平分线，∴，
∴；
（2）解：，
∵为的平分线，∴，
∴；
（3）解：不变，理由为：三角尺逆时针旋转20度时，
∴，
，
又∵BM为的平分线，为的平分线，
∴，，
∴；
25．（23-24七年级上·广东深圳·期末）知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角．
（1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；（2）时，时针与分针所成的角度 ；
（3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？
【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角．
问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距；
问题二：（1）根据钟面角即可解答；
（2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答；
（3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可．
【详解】解：问题一：设后两车相距，
若相遇前，则，解得，若相遇后，则，解得．
∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距；故答案为：或；
问题二：（1）分针每分钟转过的角度为，
时针每分钟转过的角度为，故答案为：，；
（2）时，分针转动角度为，
∵钟面一共有12个大格，∴每转动一个大格，时针转动角度为．
∴时，时针转动角度为，
∴故时，时针与分针所成的角度；故答案为：；
（3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角．
①当分针在时针上方时，由题意得：，解得：；
②当分针在时针下方时，由题意得：，解得：．
答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成 角．
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