/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
专题6.1.几何图形
1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；
2. 理解点、线、面、体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.几何体的识别 2
考点2.几何体的构成 3
考点3.几何体的分类 4
考点4.几何体的点、棱、面 5
考点5.欧拉公式 6
考点6.点线面体之间的关系 10
考点7.旋转体的辨别 11
考点8.旋转体的相关计算 12
考点9.七巧板的相关计算 14
模块3：能力培优 16
1．几何图形：从实物中得到的点、线、面、体称为几何图形。
注意：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置。
2.立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等。
3.平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。
4.几何图形的分类
注意：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果。
3.几何体的构成元素：几何体是由点、线 、面构成的。
点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成。
考点1.几何体的识别
1．（24-25七年级上·广东佛山·期中）下列物体从左到右可近似地看成（ ）
A．球、正方体、圆柱、圆锥 B．球、长方体、棱柱、圆锥
C．球、正方体、棱柱、棱锥 D．圆柱、正方体、圆柱、棱锥
2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）下列几何体中，是三棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·河北保定·期中）下列图形中，形状为圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
考点2.几何体的构成
1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法错误的是（ ）
A．圆锥的侧面是曲面 B．正方体的所有棱长都相等
C．棱柱的侧面可能是三角形 D．圆柱的侧面展开图为长方形
2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）若一个棱柱有个顶点，则下列说法错误的是（ ）
A．这个棱柱的底面是五边形 B．这个棱柱有5个侧面
C．这个棱柱是一个十棱柱 D．这个棱柱有条棱
3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法中正确的个数是（ ）
长方体，正方体都是棱柱；圆锥和圆柱的底面都是圆；若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等；棱锥底面边数与侧棱数相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点3.几何体的分类
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，下列四个几何体中，按照有无曲面的分类标准可以分成（ ）
A．①和②③④ B．①②和③④ C．①③和②④ D．①2③和④
2．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）下列几何体中与其余三个不属于同一类几何体的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号）
考点4.几何体的点、棱、面
1．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）一个直棱柱有15条棱，则这个直棱柱有 个顶点，有 个面．
2．（2023·江西九江·七年级校考阶段练习）一个漂亮的礼物盒是九棱柱，那么它有 个顶点．
3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是，高是．
(1)这个棱柱共有________顶点；(2)这个棱柱共有________条棱，所有棱长的和________；
(3)这个棱柱的侧面积是________．
考点5.欧拉公式
1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
【观察总结】（1）五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
三棱锥 4 4 6
长方体 8 6 12
五棱柱 10 7 15
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________（用所给的字母表达）；
【简单应用】（2）能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由．
（3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是________．
【实践探究】（4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品．
①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是________；
②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个．
2．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体：
操作探究：(1)观察下列几何体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 ______
棱数E 6 ______ 12 ______
面数F 4 5 ______ 8
(2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式．
3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）欧拉（，1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.
(1)观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数 4 ______ ______ ______
棱数 6 ______ ______ ______
面数 4 ______ ______ ______
(2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系为：______；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱.请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？
考点6.点线面体之间的关系
1．（24-25河北邢台七年级期中）如图是某酒店大堂的旋转门，将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这给我们“ ”的形象．
2．（2023秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明 ；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明 ；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明 ．
3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，直角三角形绕其一条直角边旋转一周后，得到几何体圆锥，这一现象说明 ．
考点7.旋转体的辨别
1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的．（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（ ）
A． B． C． D．
考点8.旋转体的相关计算
1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（ ）
A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同
C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积相同，体积不同
2．（24-25七年级上·四川成都·期中）一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周。(1)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？(2)如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由．
（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，）
3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图所示，将直角梯形绕所在的虚线旋转一周，已知，，．(1)旋转后得到的几何体是第 个几何体；(2)请计算这个几何体的体积．（不作近似计算）
考点9.七巧板的相关计算
1．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．用边长为8的正方形，做了如图①所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为 ．
2．（2023·福建宁德·模拟预测）五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由正方形分割而成．按如图方式分割的一幅五巧板，若从中拿走一块，使得剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，则拿走的那块板的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．⑤
3．（24-24七年级上·河南南阳·期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）有下列几种图形：①三角形；②长方体；③正方形；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱，其中属于立体图形的是（ ）
A．③⑤⑥ B．①②③ C．②⑤⑥ D．④⑤
2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）与实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是 （ ）
A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．棱锥、圆锥、棱柱、长方体
C．棱柱、球、正方体、棱柱 D．圆柱、球、正方体、长方体
3．（23-24七年级上·陕西西安·期中）2023年10月22日晚，杭州第4届亚洲残疾人运动会在杭州奥林匹克体育中心体育场隆重开幕，时隔14天，圣火再次点燃，两个亚运同样精彩．如图，杭州奥林匹克体育中心体育场形状与如图几何体类似，外墙带有丰富的花边状装饰．下列图形绕虚线旋转一周，能形成该几何体的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级上·浙江·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．正方体有六个面，这六个面都是平的 B．圆柱有三个面，这三个面都是平的
C．圆锥有两个面，这两个面中一个是平的，一个是曲的 D．球由一个面围成，这个面是曲的
5．（24-25七年级上·山西晋中·期中）小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（ ）
A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等
C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形
6．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形
C．“天空划过道流星”能说明“点动成线”
D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的
7．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
（1）棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数）；
（2）将正方体展开需要剪开条棱；（3）圆锥的侧面展开图是一个圆；
（4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形．
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级上·浙江·课后作业）用各种不同的方法把图形分割成三角形，至少可以分成5个三角形的多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
10．（23-24七年级上·湖南岳阳·开学考试）用边长为的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25七年级上·浙江·课后作业）图中的棱锥由 个三角形和 个四边形围成．
12．（2023秋·陕西汉中·七年级校考阶段练习）如图，下图中是棱柱体的有 ．（只填图的标号）
13．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图是一个直棱柱，这个棱柱的底面是 边形．共有 个面， 个顶点， 条棱．
14．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）如图，一旋转门内部由三块玻璃隔板组成．将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ．
15．（23-24浙江八年级期中）如图所示的几何体由 个面围成，面与面相交成 条线，其中直的线有 条，曲线有 条．
16．（2023秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）下列说法中，①面数较多的立体图形就是多面体；②长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；③长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体；④棱锥底面边数与侧棱数相等；⑤直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑥棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑦圆锥和圆柱的底面都是圆；⑧由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑨将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体；其中正确的序号是 ．
17．（2022·江苏·七年级期末）如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得 。
18．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图是用一副七巧板拼成的正方形，边长是10cm．图中小正方形（涂色部分）的面积是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将下列几何体分为三类，并说出它们的名称．
20．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为．(1)这个直棱柱是______棱柱，它有______个面，______个顶点．
(2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
21．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，将长和宽分别为和的长方形分别绕它的长和宽旋转一周，算一算，得到的两个几何体的体积相等吗 如果不相等，哪个体积大 （π取3）
22．（2023秋·山东枣庄·七年级校考开学考试）如图1所示的三棱柱，高为7cm，底面是三边长均为5cm的三角形．(1)这个三棱柱有几条棱 有几个面 (2)图2是图1三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补全；
(3)求这个三棱柱三个侧面的面积之和．
23．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，①②③④四个图形都是平面图形，观察图形和表中对应的数值，探究计数的方法并解答下面的问题．
图形 ① ② ③ ④
顶点数V 7
边数E 9
区域数F 3
(1)数一数每个图形各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域，将结果填入上表；
(2)根据表格，猜想平面图形的顶点数、边数和区域数之间的关系；
(3)如果一个平面图形有个顶点和个区域，那么这个平面图形有几条边？
24．（24-25七年级上·河南·阶段练习）如图①，是一个两直角边长分别为3，4的直角三角形，按如图②以边长为4的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为3的直角边所对的顶点且与边长为3的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．
25．（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践
新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：
操作探究：（1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4
六面体 8 6
八面体 8 12
十二面体 12 30
通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；
探究应用：（2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱；
（3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．
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专题6.1.几何图形
1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；
2. 理解点、线、面、体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.几何体的识别 2
考点2.几何体的构成 3
考点3.几何体的分类 4
考点4.几何体的点、棱、面 5
考点5.欧拉公式 6
考点6.点线面体之间的关系 10
考点7.旋转体的辨别 11
考点8.旋转体的相关计算 12
考点9.七巧板的相关计算 14
模块3：能力培优 16
1．几何图形：从实物中得到的点、线、面、体称为几何图形。
注意：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置。
2.立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等。
3.平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。
4.几何图形的分类
注意：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果。
3.几何体的构成元素：几何体是由点、线 、面构成的。
点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成。
考点1.几何体的识别
1．（24-25七年级上·广东佛山·期中）下列物体从左到右可近似地看成（ ）
A．球、正方体、圆柱、圆锥 B．球、长方体、棱柱、圆锥
C．球、正方体、棱柱、棱锥 D．圆柱、正方体、圆柱、棱锥
【答案】A
【分析】本题主要考查了常见几何体的识别，根据题意可知，从左到右分别为球，正方体，圆柱，圆锥，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，从左到右可近似地看成球、正方体、圆柱、圆锥，故选：A．
2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）下列几何体中，是三棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了常见的几何体，三棱柱的识别，三棱柱的上下底面是三角形，侧面是三个平行四边形，据此求解即可．
【详解】解：A选项中的几何体是三棱柱，B选项中的几何体是圆锥，C选项中的几何体是三棱锥，D选项中的几何体是正方体，故选：A．
3．（24-25七年级上·河北保定·期中）下列图形中，形状为圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了认识立体图形，关键是掌握常见的立体图形．根据圆锥、圆柱、棱锥、棱柱的特点分别进行分析即可．
【详解】解：A、此立体图形是四棱锥，不符合题意；B、此立体图形是三棱，不符合题意；
C、此立体图形是圆锥，符合题意；D、此立体图形是球，不符合题意；故选：C．
考点2.几何体的构成
1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法错误的是（ ）
A．圆锥的侧面是曲面 B．正方体的所有棱长都相等
C．棱柱的侧面可能是三角形 D．圆柱的侧面展开图为长方形
【答案】C
【分析】本题考查了几何体的展开图，根据各种几何体的特点进行判断即可．
【详解】解：A、圆锥的侧面是曲面，说法正确，不符合题意；
B、正方体的所有棱长都相等，说法正确，不符合题意；
C、棱柱的侧面是长方形，不可能是三角形，原来的说法是错误的，符合题意；
D、圆柱的侧面展开图为长方形，说法正确，不符合题意；故选：C．
2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）若一个棱柱有个顶点，则下列说法错误的是（ ）
A．这个棱柱的底面是五边形 B．这个棱柱有5个侧面
C．这个棱柱是一个十棱柱 D．这个棱柱有条棱
【答案】C
【分析】根据棱柱有个顶点可知上下底面各有5个顶点，即这个棱柱的底面是五边形．本题考查立体图形，熟记棱柱的特征，即棱数与侧棱、与侧面、与底面的边数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：A．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱的底面是五边形，故选项正确，不符合题意；
B．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱的底面是五边形，则这个棱柱有5个侧面，故选项正确，不符合题意；C．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱是一个五棱柱，故选项错误，符合题意；
D．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱的底面是五边形，则这个棱柱有条棱，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法中正确的个数是（ ）
长方体，正方体都是棱柱；圆锥和圆柱的底面都是圆；若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等；棱锥底面边数与侧棱数相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了棱柱、棱锥，圆柱、圆锥的定义．熟练掌握常见几何体的定义是解题的关键．
根据棱柱、棱锥，圆柱、圆锥的定义对各选项判断作答即可．
【详解】解：由题意知，长方体，正方体都是棱柱，正确，故符合要求；
圆锥和圆柱的底面都是圆，正确，故符合要求；
若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等，正确，故符合要求；
棱锥底面边数与侧棱数相等，正确，故符合要求；故选：D．
考点3.几何体的分类
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，下列四个几何体中，按照有无曲面的分类标准可以分成（ ）
A．①和②③④ B．①②和③④ C．①③和②④ D．①2③和④
【答案】A
【分析】本题考查了立体图形，根据①长方体是由平面组成的图形，②圆柱、③圆锥、④球是由曲面组成的图形，即可得解．
【详解】解：①长方体是由平面组成的图形，②圆柱、③圆锥、④球是由曲面组成的图形，
故按照有无曲面的分类标准可以分成①和②③④，故选：A．
2．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）下列几何体中与其余三个不属于同一类几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了立体图形的认识．立体图形：有些几何图形如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．根据立体图形的特征判断即可．
【详解】解：，，分别是正方体，圆柱和四棱柱，它们都是柱体，只有选项是锥体．故选：．
3．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号）
【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③④⑧
【分析】本题主要考查了认识立体图形，正确区分它们的定义和组成是解题关键．分别根据柱体、锥体、曲面的定义进行求解即可．
【详解】解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧，故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧．
考点4.几何体的点、棱、面
1．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）一个直棱柱有15条棱，则这个直棱柱有 个顶点，有 个面．
【答案】 10 7
【分析】本题考查了棱柱的相关知识，解答关键是熟记一个n棱柱棱的条数与n的关系．根据一个n棱柱有条棱，个顶点，个面，即可求解．
【详解】解：∵一个棱柱有15条棱，，∴该棱柱为五棱柱，
∴底面是五边形，共个顶点，个面．故答案为：10，7．
2．（2023·江西九江·七年级校考阶段练习）一个漂亮的礼物盒是九棱柱，那么它有 个顶点．
【答案】18
【分析】依据礼物盒是一个有九棱柱，即可得到侧面有个，进而得出顶点数为．
【详解】∵礼物盒是一个九棱柱，∴侧面有个，∴顶点数为，故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了棱柱的概念，解题时注意：棱柱的侧面的面数与一个底面的顶点数相同．
3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是，高是．
(1)这个棱柱共有________顶点；(2)这个棱柱共有________条棱，所有棱长的和________；
(3)这个棱柱的侧面积是________．
【答案】(1)12(2)18，96(3)144
【分析】本题考查了认识立体图形．n棱柱的面是个，侧面是n个，棱是条，顶点是个，熟练掌握是解决问题的关键．（1）根据三条棱交于一点，可得棱柱的顶点；
（2）根据六棱柱的特点，可得棱的条数，然后根据底面边长侧棱长可得棱长的和；
（3）运用底面周长乘以高即可得到侧面积．
【详解】（1）∵上下两个底面各有6个顶点，
∴（个），∴这个棱柱共有12个顶点，故答案为：12个；
（2）∵上下两个底面各有6条棱，侧面6条棱，
∴（条），∴（），
∴这个棱柱共有18条棱，所有棱长的和是96，故答案为：18，96；
（3）∵侧面积等于底面周长乘高∴（），
∴这个棱柱的侧面积是144．故答案为：144．
考点5.欧拉公式
1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
【观察总结】（1）五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
三棱锥 4 4 6
长方体 8 6 12
五棱柱 10 7 15
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________（用所给的字母表达）；
【简单应用】（2）能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由．
（3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是________．
【实践探究】（4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品．
①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是________；
②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个．
【答案】（1），（2）不能，理由见解析；（3）12；（4）①14；②8
【分析】本题考查了顶点数、面数、棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式并根据公式计算和列方程是解题的关键．（1）观察（1）中顶点数、面数、棱数可得答案；
（2）根据点数、面数、棱数之间的关系即可判断；（3）根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；
（4）①根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；②设正五边形块，则正三边形块，则由上面的规律数可以看出，棱数，而顶点数，列出方程即可．
【详解】解：（1）∵，，…，
∴顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是，故答案为：；
（2）不能；∵，
∴不能组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体；
（3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是（个），故答案为：12；
（4）①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则它的棱数为（条），它的面数为，故答案为：14；
②设正五边形块，则正三边形块，棱数，而顶点数，由题意得
，解得，所以正五边形为12块，正三边形为20块．．故答案为：8．
2．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体：
操作探究：(1)观察下列几何体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 ______
棱数E 6 ______ 12 ______
面数F 4 5 ______ 8
(2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念．
（1）观察几何体，补充表格即可；（2）通过观察，发现棱数顶点数面数．
【详解】（1）解：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）解：观察表得，顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，
故答案为：．
3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）欧拉（，1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.
(1)观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数 4 ______ ______ ______
棱数 6 ______ ______ ______
面数 4 ______ ______ ______
(2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系为：______；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱.请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？
【答案】(1)6，9，5；8，12，6；6，12，8(2)，20(3)
【分析】（1）观察图形，直接写出答案即可；
（2）分析表格中的数据，发现；根据，，列方程求解；
（3）根据有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，得到总棱数，根据即可求解．
本题考查了探索规律，几何体中的点、棱、面，正确掌握相关性质内容是解题的关键．．
【详解】（1）解：依题意，三棱柱的顶点数是6，棱数是9，面数是5；
正方体的顶点数是8，棱数是12，面数是6；
正八面体的顶点数是6，棱数是12，面数是8；故答案为：6，9，5；8，12，6；6，12，8；
（2）解：分析表中的数据，能发现、、之间的关系为：，
，，，，，故答案为：，20；
（3）解：依题意，设该多面体表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，
有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，共有（条，
，解得．．∴该多面体表面三角形与八边形的个数之和是．
考点6.点线面体之间的关系
1．（24-25河北邢台七年级期中）如图是某酒店大堂的旋转门，将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这给我们“ ”的形象．
【答案】圆柱 面动成体
【分析】本题考查点，线，面，体，根据点动成线，线动成面，面动成体，进行作答即可．
【详解】解：由图可知，此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这给我们面动成体的形象；
故答案为：圆柱，面动成体．
2．（2023秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明 ；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明 ；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明 ．
【答案】 线动成面 点动成线 面动成体
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体回答即可．
【详解】下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明线动成面；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明点动成线；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明面动成体．
故答案为：线动成面，点动成线，面动成体．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键．
3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，直角三角形绕其一条直角边旋转一周后，得到几何体圆锥，这一现象说明 ．
【答案】面动成体
【分析】本题考查了点、线、面、体，直角三角形绕其一条直角边旋转一周后，得到几何体圆锥，这一现象说明面动成体．
【详解】解：直角三角形绕其一条直角边旋转一周后，得到几何体圆锥，这一现象说明面动成体，
故答案为：面动成体
考点7.旋转体的辨别
1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，解题的关键是观察平面图形的特征．
根据选项一一判断即可．
【详解】解：A、此选项的图形旋转一周所得的图形与题干图形不符合，不符合题意；
B、此选项的图形旋转一周所得的图形为圆柱，不符合题意；
C、此选项的图形旋转一周所得的图形即为题干所示立体图形，符合题意；
D、此选项的图形旋转一周所得的图形与题干图形不符合，不符合题意；故选：C．
2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了面动成体，根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解．
【详解】解：所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是D，
故选：D．
3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体并结合图形即可得解，熟练掌握立体图形的特征是解此题的关键．
【详解】解：如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是，故选：D．
考点8.旋转体的相关计算
1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（ ）
A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同
C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积相同，体积不同
【答案】D
【分析】本题考查平面图形的旋转体，圆柱的侧面积和体积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积和体积，即可得出结果．
【详解】解：甲图圆柱的侧面积为，体积为；
乙图圆柱的侧面积为：，体积为；
，，故甲乙的侧面积相同，体积不同；故选：D．
2．（24-25七年级上·四川成都·期中）一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周。(1)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？(2)如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由．
（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，）
【答案】(1)(2)绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由见解析
【分析】本题主要考查将一个简单图形绕一轴旋转所组成的图形和圆锥体积计算方法，弄清旋转后形成的圆锥的底面的半径和高成为解题的关键．（1）先根据题意确定圆锥的高与半径，然后求出体积即可；
（3）先分别求出两种图形的体积，然后再比较即可．
【详解】（1）解：绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体是底面半径为8，高为6的圆锥，则其体积为：．
（2）解：绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由如下：
如图：∵，∴，
所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为；
所以绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为，
∵，∴绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大．
3．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图所示，将直角梯形绕所在的虚线旋转一周，已知，，．
(1)旋转后得到的几何体是第 个几何体；(2)请计算这个几何体的体积．（不作近似计算）
【答案】(1)（1）(2)
【分析】本题考查了点、线、面、题，准确熟练地进行计算是解此题的关键．（1）根据圆柱和圆锥的特征即可解答；（2）根据这个几何体的体积圆锥的体积圆柱的体积列式计算即可得解．
【详解】（1）解：旋转后得到的几何体是第（1）个几何体，故答案为：（1）；
（2）解：由题意得：这个几何体的体积圆锥的体积圆柱的体积
，∴这个几何体的体积．
考点9.七巧板的相关计算
1．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．用边长为8的正方形，做了如图①所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据七巧板中，各部分的面积关系，利用割补法求出面积即可．
【详解】解：由图形可知：阴影部分是由大正方形中1，2，3，4，这四部分组成的，
∴阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个大等腰直角三角形的面积，再减去中等的等腰直角三角形的面积，即：阴影部分的面积；故答案为：．
【点睛】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系，是解题的关键．
2．（2023·福建宁德·模拟预测）五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由正方形分割而成．按如图方式分割的一幅五巧板，若从中拿走一块，使得剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，则拿走的那块板的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．⑤
【答案】D
【分析】根据仍要拼得正方形求解即可得到答案．
【详解】解：依题意可得，∵剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，∴取下来的是⑤，故选D．
【点睛】本题考查正方形的分割图，解题的关键是根据题意，确保剩下的四块板仍然能拼成一个正方形．
3．（24-24七年级上·河南南阳·期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答．
【详解】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，
这个等腰直角三角形的直角边的长度是正方形边长的一半，即为，
∴，故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的认识与面积的计算，解题的关键是寻找到阴影部分在图形中所属的部分，并熟悉等腰直角三角形的性质及三角形的面积公式．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）有下列几种图形：①三角形；②长方体；③正方形；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱，其中属于立体图形的是（ ）
A．③⑤⑥ B．①②③ C．②⑤⑥ D．④⑤
【答案】C
【分析】本题主要考查了立体图形的定义，根据立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内的特征一一进行判断即可
【详解】解：根据立体图形的定义可知，②长方体，⑤圆锥，⑥圆柱是立体图形，
故选C．
2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）与实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是 （ ）
A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．棱锥、圆锥、棱柱、长方体
C．棱柱、球、正方体、棱柱 D．圆柱、球、正方体、长方体
【答案】D
【分析】根据常见实物与几何体的关系解答即可．
本题考查了立体图形的识别，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识．
【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体．
故选：D．
3．（23-24七年级上·陕西西安·期中）2023年10月22日晚，杭州第4届亚洲残疾人运动会在杭州奥林匹克体育中心体育场隆重开幕，时隔14天，圣火再次点燃，两个亚运同样精彩．如图，杭州奥林匹克体育中心体育场形状与如图几何体类似，外墙带有丰富的花边状装饰．下列图形绕虚线旋转一周，能形成该几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了简单几何体的认识，平面图形的旋转，根据选项中的平面图形绕虚线旋转一周得到的几何体的形状进行判断即可得出答案．
【详解】解：选项A绕虚线旋转一周得到的是圆台且上底小，下底大，故不符合题意；
选项B绕虚线旋转一周得到的是球体，故不符合题意；
选项C绕虚线旋转一周得到的是圆柱，故不符合题意；
选项D绕虚线旋转一周得到的是圆台且上底大，下底小，故符合题意．
故选：D．
4．（24-25七年级上·浙江·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．正方体有六个面，这六个面都是平的 B．圆柱有三个面，这三个面都是平的
C．圆锥有两个面，这两个面中一个是平的，一个是曲的 D．球由一个面围成，这个面是曲的
【答案】B
【分析】本题考查认识立体图形，掌握每一个立体图形的形状是解本题的关键．根据平面与曲面的区别进行分析即可．
【详解】解：A．正方体有六个面，这六个面都是平的，正确，故该选项不符合题意；
B．圆柱有三个面，上底和下底是平的，侧面是曲的，故原说法错误，该选项符合题意；
C. 圆锥有两个面，这两个面中一个是平的，一个是曲的，正确，故该选项不符合题意；
D. 球由一个面围成，这个面是曲的，正确，故该选项不符合题意．
故选B．
5．（24-25七年级上·山西晋中·期中）小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（ ）
A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等
C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形
【答案】C
【分析】本题主要考查了六棱柱的相关知识，根据六棱柱所有侧棱长都相等，有12个顶点，侧面的形状都是长方形一一判断即可．
【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意；
．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意；
．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意；
．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
6．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．五棱柱有10个顶点
B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形
C．“天空划过道流星”能说明“点动成线”
D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的
【答案】B
【分析】本题考查了棱柱、点动成线、圆锥等知识．对知识的熟练掌握是解题的关键．根据棱柱、点动成线、圆锥等知识分别进行判断即可．
【详解】解：A、五棱柱有10个顶点，A正确，故不符合要求；
B、棱柱侧面的形状是平行四边形，不可能是一个三角形，B错误，故符合要求；
C、“天空划过一道流星”能说明“点动成线”， C正确，故不符合要求；
D、圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的，D正确，故不符合要求；故选：B．
7．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
（1）棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数）；
（2）将正方体展开需要剪开条棱；（3）圆锥的侧面展开图是一个圆；
（4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题主要考查了几何体中的点棱面，几何体展开图的认识，截一个几何体等知识点，熟练掌握各种几何体的定义和特征是解题的关键．
根据几何体中的点棱面，几何体展开图的认识，截一个几何体的方法逐项判断即可．
【详解】解：（1）棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数），故原来的说法错误；（2）正方体有个面，条棱，要将其展开成一个平面图形，必须要有条棱连接，因此需要剪开条棱才能实现展开，故该说法正确；
（3）圆锥的侧面展开图是一个扇形，故原来的说法错误；
（4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，故该说法正确；
说法正确的有个，故选：．
8．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了点、线、面、体，根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案．
【详解】解：观察如图，几何体可能是：空心的圆柱体．故选：D．
9．（24-25七年级上·浙江·课后作业）用各种不同的方法把图形分割成三角形，至少可以分成5个三角形的多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【分析】本题考查了认识平面图形的知识，分别根据五边形、六边形、七边形、八边形最少能够分成多少个三角形，逐项分析即可得解．
【详解】解：A、五边形最少分成3个三角形，故不符合题意；
B、六边形最少分成4个三角形，故不符合题意；C、七边形最少分成5个三角形，故符合题意；
D、八边形最少分成6个三角形，故不符合题意；故选：C．
10．（23-24七年级上·湖南岳阳·开学考试）用边长为的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图示可知，“小天鹅”图案是由边长是1分米的正方形切拼而成，所以“小天鹅”图案的面积等于这个正方形的面积．根据阴影部分的面积占整个正方形面积的分率求解即可．
【详解】解：如图： （平方分米）
答：阴影部分的面积为．故选：B．
【点睛】本题主要考查组合图形的面积，关键是分清阴影部分与整个图形的关系．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25七年级上·浙江·课后作业）图中的棱锥由 个三角形和 个四边形围成．
【答案】 4 1
【分析】本题考查了棱锥的定义．熟练掌握棱锥的定义是解题的关键．
根据棱锥的定义作答即可．
【详解】解：由题意知，图中的棱锥是由4个三角形，1个四边形围成，故答案为：4，1．
12．（2023秋·陕西汉中·七年级校考阶段练习）如图，下图中是棱柱体的有 ．（只填图的标号）
【答案】②⑤⑥
【分析】根据棱柱的定义“棱柱是由两个互相平行且全等的底面，以及全都是平行四边形的侧面围城的，而侧棱之间，是相互平行的”依次进行判断即可得．
【详解】解：如图所示，
是棱柱体的有②⑤⑥，故答案为：②⑤⑥．
【点睛】本题考查了棱柱，解题的关键是掌握棱柱的定义．
13．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图是一个直棱柱，这个棱柱的底面是 边形．共有 个面， 个顶点， 条棱．
【答案】 五 7 10 15
【分析】本题主要考查的是棱柱的认识，掌握棱柱的概念是解题的关键．
根据n棱柱的底面是n边形，n棱柱有个面， 个顶点，条棱求解即可 ．
【详解】解：这个棱柱的底面是五边形，
它有7个面，有10个顶点，有15条棱．
故答案为：五；7；10；15．
14．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）如图，一旋转门内部由三块玻璃隔板组成．将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ．
【答案】圆柱
【分析】本题考查了简单的几何体，圆柱的特征，根据圆柱的特点即可得出答案．
【详解】解：旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱， 故答案为：圆柱．
15．（23-24浙江八年级期中）如图所示的几何体由 个面围成，面与面相交成 条线，其中直的线有 条，曲线有 条．
【思路点拨】根据立体图形的基本知识结合图形即可得出答案．
【答案】解：根据图形可得：如图的几何体有4个面，面与面相交成6条线，直线有4条，曲线有2条．故答案为：4，6，4，2．
【点睛】本题考查认识立体图形的知识，比较简单，注意基本知识的掌握．
16．（2023秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）下列说法中，①面数较多的立体图形就是多面体；②长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；③长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体；④棱锥底面边数与侧棱数相等；⑤直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑥棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑦圆锥和圆柱的底面都是圆；⑧由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑨将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体；其中正确的序号是 ．
【答案】③④⑦⑧⑨
【分析】根据多面体的特征、棱柱的特征、圆锥的特征、面动成体等知识逐一判断即得答案．
【详解】解：①面数较多的立体图形不一定是多面体，如圆柱，故①说法错误；
②长方体是四棱柱，但四棱柱不一定是长方体，故②说法错误；
③长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体，故③说法正确；
④棱锥底面边数与侧棱数相等，故④说法正确；
⑤直角三角形绕一直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥，绕斜边旋转一周得到的立体图形是两个圆锥的组合体，故⑤说法错误；⑥直棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形，故⑥说法错误；
⑦圆锥和圆柱的底面都是圆，故⑦说法正确；
⑧由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体，故⑧说法正确；
⑨将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体，故⑨说法正确；
综上，正确的结论是：③④⑦⑧⑨；故答案为：③④⑦⑧⑨．
【点睛】本题考查了多面体、棱柱、圆锥和面动成体等知识，熟知常见立体图形的特点是解题的关键．
17．（2022·江苏·七年级期末）如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得 。
【答案】-2
【分析】根据三阶魔方的特征，分别求出棱块数、角块数、中心块数，再计算即可．
【详解】解：如图所示：
∵3个面涂色的小三棱锥为四个顶点处的三棱锥，共4个，∴角块有4个；
∵2个面涂色的小三棱锥为每两个面的连接处，共6个，∴棱块有6个；
∵1个面涂色的小三棱锥为每个面上不与其他面连接的部分，即图中的阴影部分的3个，
∴中心块有：（个）；∴（棱块数）+（角块数）（中心块数）=．
【点睛】本题考查了三阶魔方的特征，认识立体图形，图形的规律；解题的关键是正确的认识三阶魔方的特征，从而进行解题．
18．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图是用一副七巧板拼成的正方形，边长是10cm．图中小正方形（涂色部分）的面积是 ．
【答案】12.5
【分析】如图，将正方形分成4个大三角形，再将右面的三角形分成4个小三角形，阴影部分占2个小三角形，所以占右下大三角形的一半，它的面积就用正方形的面积除以4再除以2求得．
【详解】解：正方形的面积为10×10=100（）∴100÷4÷2=12.5（）
∴涂色正方形的面积是12.5．故答案为：12.5．
【点睛】本题考查了七巧板，利用了正方形的性质和等腰直角三角形的性质．解答本题的关键是把阴影部分的面积转化为正方形面积的几分之几．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将下列几何体分为三类，并说出它们的名称．
【答案】见解析
【分析】本题考查几何体的分类，解题的关键是掌握几何体分类的标准，根据几何体的特征写出名称，然后按柱体、锥体、球体为标准进行分类或按面的特征进行分类即可．
【详解】解：（1）是长方体；（2）是三棱柱；（3）是球体；（4）是圆柱；（5）是圆锥；（6）是三棱锥；（7）是六棱柱；
方法一：（1），（2），（4），（7）是一类，是柱体；
（5），（6）是一类，是锥体；（3）是一类，是球体．
方法二：（1），（2），（6），（7）是一类，全是由平面构成的；
（4），（5）是一类，既有平面，又有曲面；（3）是一类，只有曲面．
20．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为．(1)这个直棱柱是______棱柱，它有______个面，______个顶点．
(2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
【答案】(1)，，(2)
【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键掌握棱柱有条棱，个顶点，个面．
（1）由棱柱有条棱，个顶点，个面求解即可；
（2）将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得解
【详解】（1）解：∵一个直棱柱，它有21条棱，
∴这个直棱柱是棱柱，它有个面，个顶点；
（2）解：这个棱柱的所有侧面的面积之和．
21．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，将长和宽分别为和的长方形分别绕它的长和宽旋转一周，算一算，得到的两个几何体的体积相等吗 如果不相等，哪个体积大 （π取3）
【答案】得到的两个几何体的体积不相等，绕它的宽旋转一周得到几何体的体积更大
【分析】本题考查旋转平面图形形成几何体，长方形旋转一周得到圆柱，再根据圆柱的体积公式计算即可．
【详解】解：将长方形分别绕它的长和宽旋转一周，得到都是圆柱体，
将长和宽分别为和的长方形绕它的长旋转一周，得到圆柱底面半径，高，则体积为，
将长和宽分别为和的长方形绕它的宽旋转一周，得到圆柱底面半径，高，则体积为，
所以得到的两个几何体的体积不相等，绕它的宽旋转一周得到几何体的体积更大．
22．（2023秋·山东枣庄·七年级校考开学考试）如图1所示的三棱柱，高为7cm，底面是三边长均为5cm的三角形．(1)这个三棱柱有几条棱 有几个面 (2)图2是图1三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补全；
(3)求这个三棱柱三个侧面的面积之和．
【答案】(1)这个三棱柱有9条棱，有5个面(2)补全三棱柱的表面展开图见解析
(3)三棱柱三个侧面的面积之和为
【分析】（1）数出三棱柱的侧面有3条棱，上下底面各有3条棱，共9条棱，周围有3个侧面，上下有2个底面，共5个面；（2）沿右面与前面交汇的棱处剪开，上下两个底面与左右两个侧面交汇的棱处剪开，展开得到三棱柱的表面展开图；（3）三个侧面都是5乘7的矩形，计算其面积的和即得．
【详解】（1）这个三棱柱有9条棱，有5个面
（2）三棱柱的表面展开图如图所示（方法不唯一，正确即可）：
（3），所以三棱柱三个侧面的面积之和为．
【点睛】本题考查三棱柱，解决问题的关键是熟练掌握三棱柱的棱数，表面数，表面展开图，侧面积计算．
23．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，①②③④四个图形都是平面图形，观察图形和表中对应的数值，探究计数的方法并解答下面的问题．
图形 ① ② ③ ④
顶点数V 7
边数E 9
区域数F 3
(1)数一数每个图形各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域，将结果填入上表；
(2)根据表格，猜想平面图形的顶点数、边数和区域数之间的关系；
(3)如果一个平面图形有个顶点和个区域，那么这个平面图形有几条边？
【答案】(1)见解析(2)(3)条边
【分析】本题考查了平面图形，图形的规律探究．根据图形推导一般性规律是解题的关键．
（1）根据顶点，边长的定义，作答即可；（2）推导一般性规律即可；
（3）根据，，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，填表如下；
图形 ① ② ③ ④
顶点数V 4 7 8
边数E 6 9
区域数F 3 3 5 6
（2）解：由题意知，；；；∴可推导一般性规律为；
（3）解：由题意知，，∴，∴这个平面图形有条边．
24．（24-25七年级上·河南·阶段练习）如图①，是一个两直角边长分别为3，4的直角三角形，按如图②以边长为4的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为3的直角边所对的顶点且与边长为3的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．
【答案】图③中圆锥的体积更大，理由见解析
【分析】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是：分两种情况分别计算几何体的体积，再比较大小即可.
【详解】解：图3中圆锥的体积更大．
设图②中圆锥的体积为，图③中圆锥的体积为，则，
∴． ∴，∴图③中圆锥的体积更大．
25．（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践
新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：
操作探究：（1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4
六面体 8 6
八面体 8 12
十二面体 12 30
通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；
探究应用：（2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱；
（3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．
【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10
【分析】本题考查多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键．
（1）通过观察，发现棱数顶点数面数；（2）根据棱柱的定义进行解答即可；
（3）由（1）得出的规律进行解答即可．
【详解】解：（1）填表如下：
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 6
六面体 8 6 12
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
顶点数、面数和棱数之间的数量关系是，故答案为：；
（2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面，
有个侧面，这个棱柱是五棱柱，故答案为：五；
（3）由题意得：棱的总条数为（条），
由可得，解得：，故该多面体的面数为10．
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