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第4章 相似三角形 综合提分冲刺卷
一、选择题
1．若四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' ，它们的面积比是25：4，则它们的周长比为，（ ）
A．25：4 B．5：2 C．5：4 D．25：2
2．已知线段a是线段b，c的比例中项，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点D在的边上，添加下列一个条件仍不能判断与相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．下面四组图形中，必是相似三角形的为（ ）
A．两个直角三角形
B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形
C．有一个角为40°的两个等腰三角形
D．有一个角为100°的两个等腰三角形
5．在科学小实验中，一个边长为30cm正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示，初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P重合，点P的高度PF=40cm，离斜坡底端的水平距离EF=80cm，正方形下滑后，点B的对应点B与初始状态的顶点A的高度相同，则正方形下滑的距离（即AA’的长度）是（ ）cm.
A．40 B．60 C． D．
6．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的两个点，并且DE∥BC，AD：BD=3：2，则△ADE与四边形BCED的面积之比为（ ）
A．3：5 B．4：25 C．9：16 D．9：25
7．如图，点E在正方形ABCD的AB边上，AE＝3，BE＝9，点P在BC上运动（不与B、C重合），PQ⊥EP，PQ交CD于点Q，则CQ的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（ ）
A．△AFD B．△FED C．△AED D．不能确定
9．如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与 相等的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的对角线相交于，点，分别是边，上的动点（不与点，，重合），，分别交于，两点，且，则下列结论：
①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的周长比是 .
12．已知线段a=2，b=8，则a，b的比例中项线段长是 ．
13．两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶ .
14．如图，正方形中，A，C分别在x，y正半轴上，反比例函数的图象与边分别交于点D，E，且，对角线把分成面积相等的两部分，则 ．
15．两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为，则较大的多边形的面积为 cm2．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ ，M为BC边中点，E为AD边上的一动点，过点A作BE的垂线，垂足为F，连接FM，则FM的最小值为 .在线段FM上取点G，使GM＝ FM，将线段GM绕点M顺时针旋转60°得到NM，连接GN，CN，则CN的最小值为 .
三、综合题
17．在△ABC中，AB=6，AC=8，D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD=x（0＜x＜6），CE=y（0＜y＜8）．
（1）当x=2，y=5时，求证：△AED∽△ABC；
（2）若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式．
18．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
19．如图，二次函数 的图象与x轴交于点 A，B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．
（1）写出线段AC，BC的长度：AC= ，BC= ；
（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；
（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由，并求出 的最大值．
20．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求 的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、E、P均在坐标轴上，A（0，3）、B（﹣4，0）、P（0，﹣3），点C是线段OP（不包含O、P）上一动点，AB∥CE，延长CE到D，使CD=BA
（1）如图，点M在线段AB上，连MD，∠MAO与∠MDC的平分线交于N．若∠BAO=α，∠BMD=130°，则∠AND的度数为 ；
（2）如图，连BD交y轴于F．若OC=2OF，求点C的坐标
（3）如图，连BD交y轴于F，在点C运动的过程中， 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
22．如图所示，在 中， ， ，点 从 点出发，沿着 以每秒 的速度向 点运动；同时点 从 点出发，沿 以每秒 的速度向 点运动，设运动时间为 ．
（1）当 为何值时， ；
（2）当 ，求 的值；
（3） 能否与 相似？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
23．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点求证：四边形是邻余四边形．
（2）如图，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．
（3）如图，在的条件下，取中点，连接并延长交于点，延长交于点若，，，求邻余线的长．
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第4章 相似三角形 综合提分冲刺卷
一、选择题
1．若四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' ，它们的面积比是25：4，则它们的周长比为，（ ）
A．25：4 B．5：2 C．5：4 D．25：2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' ，它们的面积比是25：4，
∴它们的周长比为，
故答案为：B
【分析】根据相似图形的性质结合面积比即可求解。
2．已知线段a是线段b，c的比例中项，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵线段a是线段b，c的比例中项，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据比例中项得到，进而即可得到.
3．如图，点D在的边上，添加下列一个条件仍不能判断与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B不符合题意；
当，即 时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C不符合题意；
当时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
4．下面四组图形中，必是相似三角形的为（ ）
A．两个直角三角形
B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形
C．有一个角为40°的两个等腰三角形
D．有一个角为100°的两个等腰三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：两个直角三角形不一定相似，因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；
两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似，因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；
有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；
有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似，因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
5．在科学小实验中，一个边长为30cm正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示，初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P重合，点P的高度PF=40cm，离斜坡底端的水平距离EF=80cm，正方形下滑后，点B的对应点B与初始状态的顶点A的高度相同，则正方形下滑的距离（即AA’的长度）是（ ）cm.
A．40 B．60 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得：AB′∥EF，
∴∠A′AB=∠E，
∵∠AA′B=∠PFE=90°，
∴△AA′B′∽∠EFP，
∴，
∴，
∴AA′=60cm.
故答案为：B.
【分析】先证出△AA′B′∽∠EFP，得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
6．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的两个点，并且DE∥BC，AD：BD=3：2，则△ADE与四边形BCED的面积之比为（ ）
A．3：5 B．4：25 C．9：16 D．9：25
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴.
【分析】先求出，再证出△ADE∽△ABC，得出，即可得出.
7．如图，点E在正方形ABCD的AB边上，AE＝3，BE＝9，点P在BC上运动（不与B、C重合），PQ⊥EP，PQ交CD于点Q，则CQ的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AE＝3，BE＝9，
∴ ，
∵∠BEP＋∠BPE＝90°，∠QPC＋∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ.
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CQP.
∴ .
设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12 x.
∴ ，化简得y＝ （x2 12x），
整理得y＝ （x 6）2＋4，
所以当x＝6时，y有最大值为4.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合正方形的性质可得AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠C=90°，根据同角的余角相等可得∠BEP＝∠CPQ，证明△BPE∽△CQP，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12-x，根据相似三角形的对应边成比例表示出y，然后利用二次函数的性质进行求解.
8．如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（ ）
A．△AFD B．△FED C．△AED D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AF＝4，DF＝4 ，AD＝4 ，AB＝2，BC＝2 ，AC＝2 ，
∴ ，
∴△AFD∽△ABC．
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求解即可。
9．如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与 相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】求出 ，即可作答。
10．如图，正方形的对角线相交于，点，分别是边，上的动点（不与点，，重合），，分别交于，两点，且，则下列结论：
①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转至，如图所示：
，，，
，，
，
，
，
①正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，
②正确；
，即，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
③正确；
在与中，，
，
，
，
，
是等腰三角形，
④正确；
故答案为：
【分析】先根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而即可判断①；根据题意进行角的运算证明，从而根据三角形全等的判定即可判断②；进而得到，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而根据等腰直角三角形的性质即可判断③；根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而根据等腰三角形的判定即可判断④.
二、填空题
11．若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的周长比是 .
【答案】2：3
【解析】【解答】解：∵ 两个相似多边形的相似比是2：3 ，
∴这两个相似多边形的周长之比是2∶3.
故答案为：2∶3.
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比即可直接得出答案.
12．已知线段a=2，b=8，则a，b的比例中项线段长是 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：设a，b的比例中项线段长c，
则c2=ab=2×8，即c2=16，
∴c=4（负根已舍）.
即a，b的比例中项线段长为4.
故答案为：4.
【分析】设a，b的比例中项线段长c，根据比例的性质可得c2=ab，进而代值求解即可.
13．两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶ .
【答案】60000000
【解析】【解答】解：1200千米＝120000000厘米，
2：120000000＝1：60000000.
故答案为：60000000.
【分析】根据长度单位之间的换算关系可得1200千米＝120000000厘米，然后利用图上距离：实际距离=比例尺进行解答.
14．如图，正方形中，A，C分别在x，y正半轴上，反比例函数的图象与边分别交于点D，E，且，对角线把分成面积相等的两部分，则 ．
【答案】
【解析】【解答】如图所示，设OD、OE交AC于F、G两点，
∵四边形OABC为正方形，AC为对角线，
∴∠B=90°，∠BCA=45°，
∵BD=BE，
∴△BDE为等腰直角三角形，∠BDE=45°，
∴∠BCA=∠BDE，DE∥AC，
∴△OFG∽△ODE，
∴，
∵AC将△ODE分为面积相等的两部分，
∴，
∴，
即：，，
∴，
∵在正方形OABC中，，
∴，
∴，
设正方形边长为，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴D点的坐标为，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出，，推出△OFG∽△ODE，得出，设正方形边长为，则，根据同一条线段的长列等式求出a的值，即可得出k的值。
15．两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为，则较大的多边形的面积为 cm2．
【答案】64
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的面积比是9：16，
∵较小多边形的面积为36cm2，
∴较大多边形的面积为64cm2，
故答案为：64．
【分析】先求出两个相似多边形的相似比是3：4，再求出两个相似多边形的面积比是9：16，最后求解即可。
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ ，M为BC边中点，E为AD边上的一动点，过点A作BE的垂线，垂足为F，连接FM，则FM的最小值为 .在线段FM上取点G，使GM＝ FM，将线段GM绕点M顺时针旋转60°得到NM，连接GN，CN，则CN的最小值为 .
【答案】2；
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OF，OM，在MO上截取MR，使得MR= MO，将MR绕点M顺时针旋转60°得到MT，连接RT，TN，CT，RG.
∵MR= MO，MG= FM，
∴ ，
∴RG∥OF，
∴ ，
∴RG= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBM=90°，
∵AB＝4，BC＝ ，M为BC边中点，O为AB边中点，
∵OB=2，BM=2 ，
∴OM= =4，
∵FM≥OM-OF，
∴FM≥4-2=2，
∴FM的最小值为2，
∵tan∠BMO= ，
∴∠BMO=30°，
∵∠RMT=60°，
∴∠BMT=∠TMC=90°，
∵MT=MR= OM=3，
∴CT= ，
∵∠RMT=∠GMN=60°，
∴∠RMG=∠TMN，
在△RNG和△TMN中，
，
∴△RMG≌△TMN（SAS），
∴RG=TN= ，
∴CN≥CT-TN= ，
∴CN的最小值为 .
故答案为：2， .
【分析】如图，取AB的中点O，连接OF，OM，在MO上截取MR，使得MR= MO，将MR绕点M顺时针旋转60°得到MT，连接RT，TN，CT，RG.求出TN，TC，根据CN≥TC-TN，可得结论.
三、综合题
17．在△ABC中，AB=6，AC=8，D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD=x（0＜x＜6），CE=y（0＜y＜8）．
（1）当x=2，y=5时，求证：△AED∽△ABC；
（2）若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式．
【答案】（1）解：∵AB=6，BD=2，
∴AD=4，
∵AC=8，CE=5，
∴AE=3，
∴ ， ，
∴ ，∵∠EAD=∠BAC，
∴△AED∽△ABC
（2）解：①若△ADE∽△ABC，则 ，
∴y= x（0＜x＜6）．
②若△ADE∽△ACB，则 ，
∴y= x+ （0＜x＜6）．
【解析】【分析】此题主要考查相似三角形的判定和性质. 在解决相似三角形的问题时，关键是结合图形和已知条件，弄明白两个三角形的顶点和边的对应情况，然后利用相似三角形的判定和性质来解决问题.
（1）根据条件可求出△AED的两边：AD=AB-BD=6-2=4，AE=AC-CE=8-5=3，而△ABC的两边为：AB=6，AC=8，易得 且∠EAD=∠BAC，利用
“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得△AED∽△ABC.
（2） 已知条件“△ADE和△ABC相似”， 并没有指明这两个三角形的顶点和边是如何对应的，因此应分两种情形进行讨论： ①若△ADE∽△ABC ； ②若△ADE∽△ACB.
18．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
【答案】（1）证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）
（2）证明：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质，可证得AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，再证明∠ACE=∠DCB，然后利用SAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的性质，可证得∠CAE=∠CDB，再由∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，去证明∠DAF=∠DBA，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
19．如图，二次函数 的图象与x轴交于点 A，B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．
（1）写出线段AC，BC的长度：AC= ，BC= ；
（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；
（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由，并求出 的最大值．
【答案】（1）解：AC= ；BC=
（2）解：设P（x， ），则有
= =
（3）解：过点P作PH⊥BC于H，
∵ ，
∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC；∴AC∥PH，
要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH=AC= ，
∴ =5，而 = = ，
所以不存在四边形ACPH为平行四边形
由△AKC∽△PHK，
∴ = （当x=2时，取到最大值）
【解析】【分析】（1）根据二次函数解析式写出A、B、C点的坐标，利用勾股定理即可得出AC、BC的长。
（2）求三角形的面积常用割补法，题解过程中，利用坐标系先进行补，在分割减法，即S = S Δ O C P + S Δ O B P S Δ O B C
（3）首先判定四边形是否存在，根据（2）求出PH长，和（1）中AC的长，得出对应边无法相等，所以四边形不存在，根据相似求出的值。
20．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求 的值．
【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AB AD
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE= AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE= AB，
∴CE= ×6=3，
∵AD=4，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE= AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、E、P均在坐标轴上，A（0，3）、B（﹣4，0）、P（0，﹣3），点C是线段OP（不包含O、P）上一动点，AB∥CE，延长CE到D，使CD=BA
（1）如图，点M在线段AB上，连MD，∠MAO与∠MDC的平分线交于N．若∠BAO=α，∠BMD=130°，则∠AND的度数为 ；
（2）如图，连BD交y轴于F．若OC=2OF，求点C的坐标
（3）如图，连BD交y轴于F，在点C运动的过程中， 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1） α+25°
（2）解：如图2中，
∵AB∥CD，
∴△AFB∽△CFD，
∴ ，∵AB=CD，
∴AF=FC，
∵OC=2OF，设OF=a，则OC=2a，FC=AF=3a，OA=4a，
∴4a=3，
∴a= ，
∴OC=2a= ，
∴C（0，﹣ ）
（3）解：结论： 的值不变．理由如下：
如图2中，∵AB∥CD，
∴△AFB∽△CFD，
∴ = ，∵AB=CD，
∴AF=FC，设OF=m，则AF=3﹣m，OC=3﹣m﹣m=3﹣2m，
∴ = = =2，
∴ 的值不变
【解析】【解答】（1）解：过点N作NG∥AB，
∵AB∥CE
∴NG∥AB∥CE
∴∠ANG=∠BAN，∠DNG=∠NDC，
∵ ∠MAO与∠MDC的平分线交于N．
∴∠BAN=∠BAO，∠NDC=∠MDC，
∴∠AND=ANG+∠DNG=∠BAO+∠MDC=（∠BAO+∠MDC）
∵ ∠BAO=α，∠BMD=130°， AB∥CD
∴∠BMD+∠MDC=180°
∴∠MDC=50°
∴∠AND=（α+50）=α+25.
故答案为：α+25.
【分析】（1）过点N作NG∥AB，利用平行线的性质，可以推出NG∥AB∥CE，利用平行线的性质，可证得∠ANG=∠BAN，∠DNG=∠NDC，∠BMD+∠MDC=180°可以求出∠MDC的度数，再利用角平分线的定义可以推出∠AND=（∠BAO+∠MDC），然后代入可求出∠AND的度数。
（2）由AB∥CD，利用平行线分线段成比例可证得比例线段，再由AB=CD，可以推出AF=FC，由点A的坐标可得到OA的长，然后由OC=2OF，设OF=a，用含a的代数式表示出OC，FC，AF，OA的长，根据OA=3建立方程求出a的值，就可得到点C的坐标。
（3）利用相似三角形的判定和性质，可得对应边成比例，再由AB=CD，可以推出AF=FC，设OF=m，用含m的代数式表示出OC，AF的长，将其代入比例式，就可得到的值。
22．如图所示，在 中， ， ，点 从 点出发，沿着 以每秒 的速度向 点运动；同时点 从 点出发，沿 以每秒 的速度向 点运动，设运动时间为 ．
（1）当 为何值时， ；
（2）当 ，求 的值；
（3） 能否与 相似？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得， 平行于 ，则 ， ， ，
∴ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴时间用了 秒， ，
∵由（1）知，此时 平行于 ，
∴ ，相似比为 ，
∴ .
∴四边形 与三角形 面积比为 ，即 ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∴ .
（3）解：假设两三角形可以相似.
情况1：当 时， ，即有 解得 ，
经检验， 是原分式方程的解．
此时 ，
情况2：当 时， ，即有 解得 ，
经检验， 是原分式方程的解．
此时 ．
综上所述， 或 ．
【解析】【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．（2）我们先看当 = 时能得出什么条件，由于这两个三角形在AC边上的高相等，那么他们的底边的比就应该是面积比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积-三角形APQ的面积-三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比．（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．
23．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点求证：四边形是邻余四边形．
（2）如图，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．
（3）如图，在的条件下，取中点，连接并延长交于点，延长交于点若，，，求邻余线的长．
【答案】（1）证明：，是的角平分线，
，
，
，
与互余，
四边形是邻余四边形；
（2）解：如图所示，四边形ABEF即为所求；
（3）解：，是的角平分线，
，
，
，
，
，
由（1）得，
∵点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”性质得BD⊥AC，从而得∠ADB=90°，进而求出∠FBA与∠EAB互余，得证结论；
（2）根据邻余四边形的概念、利用网格线中的平行线，即可画出图形；
（3）根据等腰三角形“三线合一”性质得AD=CD，然后求出AD=4AE、CE=7AE，接下来根据直角三角形斜边上的中线性质得DM=ME，从而根据“等边对等角”求出∠MDE=∠MED、∠A=∠C，进而证出，由相似三角形对应边成比例的性质得，求出CN=7，从而得BN=3.5，进而得BC=10.5，最后求出AB=BC的值.
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