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第1章 《解直角三角形》单元测试B卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若α＝45°，则2sinα的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【思路点拔】根据特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：∵α＝45°，
2sinα＝2sin45°＝2．
故选：B．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将三边长度都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍
C．扩大25倍 D．缩小为原来的
【思路点拔】根据将三边长度都扩大5倍后的三角形与原三角形相似，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将三边长度都扩大5倍，所得三角形与原三角形相似，
∴锐角A大小不变，
∴锐角A的三角函数值不变，
故选：A．
3．（3分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinB，则AC的长为（ ）
A．5 B．5 C．5 D．20
【思路点拔】在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinB，
∴AC＝AB sinB＝105，
故选：A．
4．（3分）比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（ ）
A．tan52°＜cos21°＜sin49°
B．tan52°＜sin49°＜cos21°
C．sin49°＜tan52°＜cos21°
D．sin49°＜cos21°＜tan52°
【思路点拔】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
【解答】解：∵cos21°＝sin69°＞sin49°，
∴cos21°＞sin49°，
∵tan52°＞tan45°，tan45°＝1，sin90°＝1
∴tan52°＞1，sin69°＜1，
∴sin49°＜cos21°＜tan52°，
故选：D．
5．（3分）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB＝50°，则拉线AC的长为（ ）
A． B． C．6cos50° D．
【思路点拔】直接利用锐角三角函数关系得出cos50°，进而得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝6m，
∴cos50°，
∴AC．
故选：B．
6．（3分）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，则底角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题意画出示意图，再根据余弦的定义即可解决问题．
【解答】解：假设△ABC是等腰三角形，且AB＝AC．
因为△ABC是“倍长三角形”，
则当BC＝2AB时，
AB+BC＝BC，
不满足构成三角形的要求．
当AB＝2BC时，
过点A作BC的垂线，垂足为M，如图所示，
令BC＝2a，则AB＝4a，
∴BM．
在Rt△ABM中，
cosB．
故选：A．
7．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】直接连接DC，得出CD⊥AB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：连接DC，
由网格可得：CD⊥AB，
则DC，AC，
故sinA．
故选：B．
8．（3分）如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i＝5：12的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为45°，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0）
A．22 B．21 C．20 D．19
【思路点拔】过点C作CD⊥AH，垂足为D，过点C作CE⊥FH，垂足为E，根据题意可得：CD＝EH，CE＝DH，AB＝17米，再根据已知可设CD＝5x米，则AD＝12x米，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理进行计算可得CD＝EH＝5米，AD＝12米，最后设CE＝DH＝y米，则BH＝（y﹣5）米，分别在Rt△BFH和Rt△CEF中，利用锐角三角函数的定义求出FH和FE的长，从而列出关于y的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：过点C作CD⊥AH，垂足为D，过点C作CE⊥FH，垂足为E，
由题意得：CD＝EH，CE＝DH，AB＝17米，
∵斜坡AC的坡度i＝5：12，
∴，
∴设CD＝5x米，则AD＝12x米，
在Rt△ACD中，AC13x（米），
∵AC＝13米，
∴13x＝13，
解得：x＝1，
∴CD＝EH＝5米，AD＝12米，
设CE＝DH＝y米，
∴BH＝AD+DH﹣AB＝12+y﹣17＝（y﹣5）米，
在Rt△BFH中，∠FBH＝63°，
∴FH＝BH tan63°≈2（y﹣5）米，
在Rt△CEF中，∠FCE＝45°，
∴FE＝CE tan45°＝y米，
∵EF+EH＝FH，
∴y+5＝2（y﹣5），
解得：y＝15，
∴FH＝FE+EH＝15+5＝20（米），
∴这棵木棉树的高度约为20米，
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．6 D．8
【思路点拔】如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．解直角三角形求出AE，EC，再利用勾股定理求出BC．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，
∴AE＝AC cos60°＝4，EC＝AC sin60°＝4，
∵AB＝4，
∴BE＝AB+AE＝8，
∴BC4，
故选：B．
10．（3分）某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻t，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为（ ）
太阳高度角 时间 太阳高度角 时间
43.13° 08：30 68.53° 10：30
49.53° 09：00 74.49° 11：00
55.93° 09：30 79.60° 11：30
62.29° 10：00 82.00° 12：00
（参考数据：，tan49.53°≈1.17，tan62.29°≈1.96，tan74.49°≈3.60，tan82°≈7.12）
A．09：00 B．10：00 C．11：00 D．12：00
【思路点拔】设两竖直墙面的交线为DE，点E被太阳照射在地面上的影子为点B，点A、C分别是点B在两条墙角线上的射影，连接AC、BD、BE，过点C作CF⊥AB于点F，由题意可知∠DBE就是太阳的高度角，解直角三角形求出（米），（米），根据勾股定理求出（米），证明A、B、C、D四点共圆，且BD为中点，取BD的中点O，过点O作OG⊥AC于点G，连接OA，OC，解直角三角形得出（米），求出，得出∠DBE＝62.29°，即可得出答案．
【解答】解：如图，墙面的交线为DE，点E被太阳照射在地面上的影子为点B，点A、C分别是点B在两条墙角线上的射影，连接AC、BD、BE，过点C作CF⊥AB于点F，
∵在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵CF⊥AB，
∴∠CFB＝90°，
∴（米），
（米），
∴AF＝AB﹣BF＝1.5﹣0.5＝1（米），
∴（米），
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，且BD为中点，
取BD的中点O，过点O作OG⊥AC于点G，连接OA，OC，
∵OA＝OC，OG⊥AC，
∴，
∴（米），
∴米，
∴，
∵tan62.29°≈1.96，
∴∠DBE＝62.29°，
在线查阅天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为10：00，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）cos57° ＜ sin53°（选填“＞”或“＝”或“＜”）．
【思路点拔】根据cosa＝sin（90°﹣a），把余弦函数转化为正弦函数，然后根据正弦函数值随角度增大而增大判断．
【解答】解：∵cos57° ＝sin（90°﹣57°）＝sin33°，sin33°＜sin53°，
∴cos57°＜sin53°．
故答案为：＜．
12．（3分）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为60m，则这栋楼的高度为 80 m．
【思路点拔】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AD＝60m，然后分别在Rt△ABD和△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：AD＝60m，
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD＝AD tan30°＝6020（m），
在Rt△ACD中，∠DAC＝60°，
∴CD＝AD tan60°＝60（m），
∴BC＝BD+CD＝80（m），
∴这栋楼的高度为80m，
故答案为：80．
13．（3分）在锐角三角形ABC中，已知∠A，∠B满足（sinA）2+|tanB|＝0，则∠C＝ 75° ．
【思路点拔】根据非负数的性质求出sinA、tanB的值，然后求出A和B的度数，继而可求得∠C．
【解答】解：由题意得，sinA，tanB，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75°．
14．（3分）如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为 35cm ．
【思路点拔】由题可知，进入容器中的三角形ABC可看作是一个斜边为40cm的等腰直角三角形，所以在此三角形中斜边上的高应该为20cm，因此若使高为55cm容器中的水面与圆桶相接触，由此可以求出水深．
【解答】解：如图，∵圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°，∠BCA＝90°，
∴依题意得△ABC是一个斜边为40cm的等腰直角三角形，
∴此三角形中斜边上的高应该为20cm，
∴水深至少应为55﹣20＝35cm．
15．（3分）如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为α、β，A、B两点的距离是a，过C点作CD⊥AB交AB的延长线于点D．则CD的高度h＝ .（用含有α、β、a的式子表示）
【思路点拔】根据垂直定义可得：∠CDA＝90°，然后分别在Rt△ACD和Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝α，CD＝h，
∴AD，
在Rt△CBD中，∠CBD＝β，
∴BD，
∵AD﹣BD＝AB，
∴a，
∴tanβh﹣tanαh＝atanαtanβ，
∴h，
∴CD的高度h为，
故答案为：．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边AB上任意一点，连接CD，过C作CE⊥CD于点C，连接DE，使得∠EDC＝∠A．当△BDE的面积取得最大值时，tan∠BCE的值为 ．
【思路点拔】证明∠BCE＝∠ACD，求出AC＝4，根据tan∠EDC，tan∠A，∠EDC＝∠A得，则△BCE∽△ACD，进而得，∠CBE＝∠A，设BE＝3x，AD＝4x，则BD＝5﹣4x，∠ABE＝90°，进而得△BDE的面积SBD BE3x（5﹣4x，进而得当x时，S为最大，此时AD＝4a＝2.5，则点D是Rt△ABC斜边的中点，再证明∠A＝∠ACD＝∠BCE，进而即可得出答案．
【解答】解：∵CE⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
由勾股定理得：AC4，
在Rt△CDE中，tan∠EDC，
在Rt△ABC中，tan∠A，
∵∠EDC＝∠A，
∴，
又∵∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，∠CBE＝∠A，
∴设BE＝3x，AD＝4x，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4x，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABC＝90°，
即∠ABE＝90°，
设△BDE的面积＝S，
则SBD BE3x（5﹣4x），
整理得：，
∴当x＝5/8时，S为最大，
此时AD＝4a2.5，
∵AB＝5，
∴ADAB，
∴当点D是Rt△ABC斜边的中点时，△BDE的面积取得最大值，
此时CD＝AD＝BD，
∴∠A＝∠ACD＝∠BCE，
∵tan∠A，
∴tan∠BCE．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【思路点拔】（1）先代入特殊角的函数值计算乘方，再算乘法，最后算加减；（2）先代入特殊角的函数值计算乘方，再化简绝对值，最后算加减．
【解答】解：（1）
1﹣（）
＝2；
（2）
＝2×（）2﹣（1）0+||﹣（）﹣1
＝2×3﹣1（）﹣1
＝2×3﹣12
＝5．
18．（8分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c＝30，∠A＝60°，解这个直角三角形．
【思路点拔】由题意得∠B＝30°，结合锐角三角函数的定义可得，．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°．
∵c＝30，
∴b＝c cos∠A＝30×cos60°15，a＝c sin∠A＝30×sin60°．
19．（8分）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为6米/秒，∠AOC＝75°，求小李到古塔的水平距离即BC的长．（结果精确到0.1m，参考数据：）
【思路点拔】过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AO＝48米，OC＝24米，OE＝BD，OE∥BD，从而可得∠EOC＝∠OCD＝45°，进而可得∠AOE＝30°，然后在Rt△OCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△AOE中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
由题意得：AO＝8×6＝48（米），OC＝4×6＝24（米），OE＝BD，OE∥BD，
∴∠EOC＝∠OCD＝45°，
∵∠AOC＝75°，
∴∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝30°，
在Rt△OCD中，（米），
在Rt△AOE中，（米），
∴（米），
∴（米），
∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为24.6米．
20．（8分）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
（2）小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【思路点拔】（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，易得四边形ABMF为矩形，那么可得MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°，所以∠MBC＝60°，利用60°的三角函数值可得CM长，加上MF长即为支点C离桌面l的高度；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，分别得到CE与CN所成的角为30°和70°时EH的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．
由题意得：∠BAF＝90°，
∴四边形ABMF为矩形，
∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．
∵∠ABC＝150°，
∴∠MBC＝60°．
∵BC＝18cm，
∴CM＝BC sin60°＝189（cm）．
∴CF＝CM+MF＝（92）cm．
答：支点C离桌面l的高度为（92）cm；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC＝90°．
∵DE＝24cm，CD＝6cm，
∴CE＝18cm．
当∠ECH＝30°时，EH＝CE sin30°＝189（cm）；
当∠ECH＝70°时，EH＝CE sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；
∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）
∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．
21．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，且sin∠DAB，DB＝3．求：
（1）AB的长；
（2）∠CAB的余切值．
【思路点拔】（1）在Rt△BDE中，求得BE＝DE＝3，在Rt△ADE中，得到AE＝4，根据线段的和差即可得到结论；
（2）作CH⊥AB于H，根据已知条件得到BC＝6，由等腰直角三角形的性质得到BH＝CH＝6，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△BDE中，DE⊥AB，BD＝3∠ABC＝45°，
∴BE＝DE＝3，
在Rt△ADE中，sin∠DAB，DE＝3，
∴AE＝4，AB＝AE+BE＝4+3＝7；
（2）作CH⊥AB于H，
∵AD是BC边上是中线，BD＝3，
∴BC＝6，
∵∠ABC＝45°，
∴BH＝CH＝6，
∴AH＝7﹣6＝1，
在Rt△CHA中，cot∠CAB．
22．（10分）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树AB的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD． ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD．
测量数据 ①DB＝10m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6m． ①EB＝10m； ②ED＝2m； ③CD＝1.6m．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据：tan32.5≈0.64． ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB．
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．
【思路点拔】“测角仪”方案：过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到CF＝BD＝10m，BF＝CD＝1.6m，根据三角函数的定义即可得到结论；
“平面镜”方案：根据垂直的定义得到∠CDE＝∠ABE＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：“测角仪”方案：过C作CF⊥AB于F，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴四边形CDBF是矩形，
∴CF＝BD＝10m，BF＝CD＝1.6m，
∵∠ACF＝32.5°，
∴AF＝CF tan32.5°＝10×0.64≈6.4（m），
∴AB＝AF+BF＝6.4+1.6＝8（m），
答：树AB的高度为8m；
“平面镜”方案：∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠CDE＝∠ABE＝90°，
∵∠CED＝∠AEB，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴，
∴AB＝8，
答：树AB的高度为8m．
23．（10分）综合实践
【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
（1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
（2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，那么梯子的底端下滑的距离BB′是多少米？
（3）【问题解决】在演练中，高24m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的墙头去救援被困人员？
【思路点拔】（1）直接由勾股定理求出AC的长即可；
（2）由勾股定理求出B'C＝15m，再求出BB'的长即可；
（3）先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与24比较即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC24（m），
答：这架云梯顶端距地面的距离AC有24m高；
（2）由（1）可知，AC＝24m，
∴A′C＝AC﹣AA′＝24﹣4＝20（m），
在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：B'C15（m），
∴BB′＝CB′﹣BC＝15﹣7＝8（m），
答：梯子的底端下滑的距离BB′是8m；
（3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，
则能够到达墙面的最大高度为（m），
∵242＝576，
∴24，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的墙头去救援被困人员．
24．（12分）某水渠的横断面是以AC为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，AB是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得∠BDA、∠BCA分别为60°，30°，已知AD＝1m．
（1）求AC的长；
（2）如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为MN，若的长为πm，求DN的长（tan27°）．
【思路点拔】（1）在Rt△BDA中，在Rt△BCA中，根据三角函数作答即可；
（2）连接OM，过点O作OE⊥MN于E点，设∠AOM＝n°，在Rt△MOE中，ME，根据勾股定理，OM2＝OE2+ME2，求出OE，过D作DD′⊥AC于点D′，四边形DD′OE是平行四边形，DN＝DE+DN即可作答．
【解答】解：（1）∵∠BAD＝90°，AD＝1，
在Rt△BDA中，∠BDA＝60°，
∴AB＝AD tan60°＝1，
在Rt△BCA中，∠BCA＝30°，
∴AC3，
∴AC的长为3；
（2）连接OM，过点O作OE⊥MN于E点，如图，
∴ME＝EN，
设∠AOM＝n°，
∴，
∴n＝27°，
∴∠AOM＝n°＝27°，
∵AC∥MN，
∴∠AOM＝∠OMN＝27°，
在Rt△MOE中，
∴ME2OE，
根据勾股定理，OM2＝OE2+ME2，
∴OE，ME，
∴ME＝EN，
过D作DD′⊥AC于点D′，
∴DD′∥OE，
∵AC∥MN，
∴四边形DD′OE是平行四边形，
∴DE＝D′O，
∴DN＝DE+DN，
∴DN的长为．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 《解直角三角形》单元测试B卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若α＝45°，则2sinα的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将三边长度都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍
C．扩大25倍 D．缩小为原来的
3．（3分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinB，则AC的长为（ ）
A．5 B．5 C．5 D．20
4．（3分）比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（ ）
A．tan52°＜cos21°＜sin49°
B．tan52°＜sin49°＜cos21°
C．sin49°＜tan52°＜cos21°
D．sin49°＜cos21°＜tan52°
5．（3分）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB＝50°，则拉线AC的长为（ ）
A． B． C．6cos50° D．
6．（3分）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，则底角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i＝5：12的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为45°，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0）
A．22 B．21 C．20 D．19
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．6 D．8
10．（3分）某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻t，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为（ ）
太阳高度角 时间 太阳高度角 时间
43.13° 08：30 68.53° 10：30
49.53° 09：00 74.49° 11：00
55.93° 09：30 79.60° 11：30
62.29° 10：00 82.00° 12：00
（参考数据：，tan49.53°≈1.17，tan62.29°≈1.96，tan74.49°≈3.60，tan82°≈7.12）
A．09：00 B．10：00 C．11：00 D．12：00
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）cos57° sin53°（选填“＞”或“＝”或“＜”）．
12．（3分）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为60m，则这栋楼的高度为 m．
13．（3分）在锐角三角形ABC中，已知∠A，∠B满足（sinA）2+|tanB|＝0，则∠C＝ ．
14．（3分）如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为 ．
15．（3分）如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为α、β，A、B两点的距离是a，过C点作CD⊥AB交AB的延长线于点D．则CD的高度h＝ .（用含有α、β、a的式子表示）
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边AB上任意一点，连接CD，过C作CE⊥CD于点C，连接DE，使得∠EDC＝∠A．当△BDE的面积取得最大值时，tan∠BCE的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c＝30，∠A＝60°，解这个直角三角形．
19．（8分）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为6米/秒，∠AOC＝75°，求小李到古塔的水平距离即BC的长．（结果精确到0.1m，参考数据：）
20．（8分）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
（2）小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
21．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，且sin∠DAB，DB＝3．求：
（1）AB的长；
（2）∠CAB的余切值．
22．（10分）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树AB的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD． ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD．
测量数据 ①DB＝10m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6m． ①EB＝10m； ②ED＝2m； ③CD＝1.6m．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据：tan32.5≈0.64． ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB．
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．
23．（10分）综合实践
【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
（1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
（2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，那么梯子的底端下滑的距离BB′是多少米？
（3）【问题解决】在演练中，高24m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的墙头去救援被困人员？
24．（12分）某水渠的横断面是以AC为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，AB是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得∠BDA、∠BCA分别为60°，30°，已知AD＝1m．
（1）求AC的长；
（2）如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为MN，若的长为πm，求DN的长（tan27°）．
