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第1章 《解直角三角形》单元测试A卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】首先利用勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解．
【解答】解：，
则，
故选：B．
2．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA，cosB，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
【思路点拔】先由三角函数sin30°，cos30°，得出∠A与∠B的度数，再由三角形内角和定理求出∠C的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵cosB，
∴∠B＝30°，
∵sinA，
∴∠A＝30°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴△ABC是钝角三角形，
故选：B．
3．已知，则锐角A的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜70° B．30°＜A＜70° C．20°＜A＜60° D．20°＜A＜30°
【思路点拔】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解．
【解答】解：∵cos60°，sin70°＝cos20°，
∴cos60°＜cosA＜cos20°，
∴20°＜A＜60°．
故选：C．
4．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（ ）
A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米
【思路点拔】根据锐角的正弦函数的定义即可求解．
【解答】解：由题意得：，
∴AL＝asinθ千米，
故选：A．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinB＝（ ）
A． B．2 C． D．
【思路点拔】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，tanA＝2，
∴BC＝2AC，
∴，
∴，
故C正确．
故选：C．
6．如图，将三角尺ABC和三角尺DEF叠放在一起，直角边AC与DE完全重合，已知AB长为16cm，若三角尺DEF沿CB方向移动，此时测得OB长是6cm，则移动距离CD是（ ）
A．2cm B． C． D．
【思路点拔】如图，过点O作OH⊥BC于点H．解直角三角形求出BC，BH，DH，可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OH⊥BC于点H．
∵∠C＝90°，AB＝16cm，∠B＝30°，
∴BC＝AB cos30°＝168（cm），
∵OB＝6cm，
∴BH＝OB cos30°＝63（cm），OHOB6＝3（cm），
∵∠EDF＝∠FDB＝45°，∠OHD＝90°，
∴DH＝OH＝3（cm），
∴CD＝BC﹣DH﹣HB＝83﹣3（53）cm．
故选：C．
7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【思路点拔】连接BE交CD于点F，由正方形的性质得DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，进而得BF＝CF＝DF，证得△ACP∽△BDP，得DP：CP＝BD：AC＝1：3，从而得到DP＝PFCFBF，进而利用正切定义解答即可．
【解答】解：如图，连接BE交CD于点F，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF＝DF，
根据题意，AC∥BD，
∴∠ACP＝∠BDP，∠DBP＝∠CAP，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∵BF＝CF＝DF，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PFCFBF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故选：A．
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，点D在BC的延长线上，，连接AD，则tan∠BAD＝（ ）
A． B．2 C． D．
【思路点拔】先根据等腰直角三角形的性质得到AB＝BC，∠BCA＝45°，再解直角三角形得到，则CD＝AB＝BC，进而得到BD＝BC+CD＝2AB，再根据正切的定义可得．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，
∴AB＝BC，∠BCA＝45°，
∴，
∵，
∴CD＝AB＝BC，
∴BD＝BC+CD＝2AB，
∴，
故选：B．
9．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，且2tanα＝3tan2β，则n＝（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2ab，a2+b2ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝3：7，进而可求解n的值．
【解答】解：如图，设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，
∵tanα，tanβ，2tanα＝3tan2β，
∴3（）2，
∴（b﹣a）2ab，
∴a2+b2ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCDab：ab＝3：7，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n．
故选：B．
10．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，在⊙O中，M是的中点，MN⊥AB于点N．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：．当OA＝5，时，则的弧长l的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接ON，根据是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，过点A作AG⊥OB于点G，根据三角函数求出，AG，OG和BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求出AB，再根据等面积法求出ON，MN＝OM﹣ON，代入即可作答．
【解答】解：连接ON，过点A作AG⊥OB于点G，如图：
∵是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，ON⊥AB，
∴M，N，O共线，
∵OA＝5，，
∴AG＝4，
∴OG3，
∵OA＝OB＝5，
∴BG＝5﹣3＝2，
在Rt△ABG中，
AB2，
S△AOBON ABAG OB，
即ON×24×5，
∴ON＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝5﹣2，
∴29﹣2，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．计算：tan60°+cos30°＝ ．
【思路点拔】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【解答】解：tan60°+cos30°，
故答案为：．
12．已知△ABC中，∠C＝90°，cosA，AC＝6，那么AB的长是 8 ．
【思路点拔】根据题目中的条件和锐角三角函数可以得到AC和AB的关系，从而可以求得AB的长，本题得以解决．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，cosA，AC＝6，
∴cosA，
即，
解得，AB＝8，
故答案为：8．
13．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝12，tan∠ADB，DE⊥BC，则tan∠DBE＝ ．
【思路点拔】在Rt△ABCz中，利用勾股定理求出BC的长，再根据△CDE∽△CBA，求出CE，DE的长即可解决问题．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝12，
∴BC6，
∵∠A＝90°，DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°＝∠A，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴
在Rt△ABD中，AB＝6，tan∠ADB，
∴，
∴AD＝8，
∴CD＝12﹣8＝4，
∴
∴DE，CE，
∴BE＝BC﹣CE＝6，
∴tan∠DBE，
故答案为：．
14．小亮为了测量一幢高楼AB的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测得楼顶A视线PA与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝26米，小亮很快计算出了楼高AB，此时PA是 米？
【思路点拔】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而求出AB＝DP＝DB﹣PB，再根据勾股定理求出AP即可．
【解答】解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝54°，
在△CPD和△PAB中，
，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP＝AB，
∵DB＝26m，PB＝12m，
∴AB＝26﹣12＝14m，
∴由勾股定理得：；
故答案为：．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为E．则DE的长为 ．
【思路点拔】由求出AB＝25，再根据斜边中线得到，即可得到∠EBC＝∠A，再根据sinA＝sin∠EBC求出CE＝16，最后根据DE＝CE﹣CD求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝15，，
∴，
∴AB＝25，
∴，
∵D是边AB的中点，
∴，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠DCB＝90°，
∵∠A+∠DBC＝90°，
∴∠A＝∠EBC，
∴，
∴，
∴CE＝16，
∴，
故答案为：．
16．如图，点D是△ABC外一点，DB＝DC，AB与CD相交于点E，∠BDC＝∠BAC，连接DA，若AC＝4，，，则DB＝ 3 ．
【思路点拔】如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥CA交CA的延长线于点N．证明tan∠DBA＝tan∠DCN，设DN＝x，则CN＝2x，利用勾股定理构建方程求解．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥CA交CA的延长线于点N．
∵∠BDC＝∠CAB，∠DEB＝∠AEC，
∴∠DBM＝∠DCN，
∴tan∠DBA＝tan∠DCN，
设DN＝x，则CN＝2x，
在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2，
∴13＝x2+（2x﹣4）2，
解得x＝3或（舍去），
∴DN＝3，CN＝6，
∴DB＝DC3．
故答案为：3．
三．解答题（共8小题）
17．计算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．
【思路点拔】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°
＝2
．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，，求AC的长和∠A的度数．
【思路点拔】根据勾股定理即可求出AC的长，再根据sinA可得出∠A的度数．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，，
由勾股定理得：AC2，
∵sinA，
∴锐角∠A＝60°．
19．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
【思路点拔】（1）根据题意可得：BA⊥AE，再根据已知易得：在Rt△ABE中，tan∠BEA，从而可得∠BEA＝30°，然后在Rt△ABE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，根据题意可得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，然后设EC＝x米，则BF＝AC＝（x+3）米，分别在Rt△CDE和Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出CD和DF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：BA⊥AE，
∵斜坡BE的坡度，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BEA，
∴∠BEA＝30°，
∵BE＝6m，
∴ABBE＝3（m），AEAB＝3（m），
∴点B离水平地面的高度AB为3m；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，
设EC＝x米，
∵AE＝3米，
∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3）米，
在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，
∴CD＝CE tan60°x（米），
在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，
∴DF＝BF tan45°＝（x+3）米，
∵DF+CF＝CD，
∴x+33x，
解得：x＝6+3，
∴CDx＝（69）米，
∴电线塔CD的高度为（69）米．
20．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，AH与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
（1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P，P到D的距离PD为米，P到地面的距离PE为1.2米，求点D到地面的距离DH的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【思路点拔】（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，根据题意可得：DH＝QE，AD∥PQ，从而可得∠DPQ＝∠ADP＝45°，然后在Rt△DPQ中，利用锐角三角函数的定义求出PQ的长，从而求出QE，DH的长，即可解答；
（2）当∠ADC＝36°，PE＝1.6米时，先在Rt△DPQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，从而求出PF的长，进行比较即可解答．
【解答】解：（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，
由题意得：DH＝QE，AD∥PQ，
∴∠DPQ＝∠ADP＝45°，
在Rt△DPQ中，PD米，
∴PQ＝PD cos45°1（米），
∵PE＝1.2米，
∴DH＝QE＝PE﹣PQ＝1.2﹣1＝0.2（米），
∴点D到地面的距离DH的长为0.2米；
（2）轿车能驶入小区，
理由：当∠ADC＝36°，PE＝1.6米时，
∵AD∥PQ，
∴∠ADP＝∠DPQ＝36°，
∵QE＝0.2米，
∴PQ＝PE﹣QE＝1.6﹣0.2＝1.4（米），
在Rt△DPQ中，DQ＝PQ tan36°≈1.4×0.73＝1.022（米），
∴PF＝3﹣1.022＝1.978（米），
∵1.978＞1.8，
∴轿车能驶入小区．
21．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
【思路点拔】（1）解Rt△ABC即可求解；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝3m，解Rt△BCD求得BD＝5m，由题意得，BC+AB＝BE+BD，故BE＝BC+AB﹣BD＝6﹣2m，则CE＝BC﹣BE≈2.7m．
【解答】解：（1）由题意得：∠BCA＝90°，
∵AC＝3m，∠CAB＝60°，
在Rt△ABC中，由cos∠A，
得：cos60°，
∴AB＝6m；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC3（m），
在Rt△BCD中，sin∠CDB，
∴sin37°0.6，
∴BD＝5m，
由题意得，BC+AB＝BE+BD，
∴BE＝BC+AB﹣BD＝36﹣56﹣2（m），
∴CE＝BC﹣BE＝3（6﹣2）＝56≈2.7（m），
答：物体上升的高度约为2.7m．
22．消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．
（1）求BO的长；
（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度．
（参考数据：sin37°，tan37°，sin53°，tan53°，sin67°≈0.92cos67°≈0.39）
【思路点拔】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答；
（2）求出旋转前点D的高度DF，进而求出旋转后点D′的高度D′G，再根据锐角三角函数的定义求出∠D′OG的大小即可解答．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥OC于点E，
在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝3m，
∴BE＝AB sin∠BAE＝3×sin53°≈3，
在Rt△BOE中，∠BOE＝37°，BE，
∵sin∠BOE，
∴OB4．
即OB＝4m．
（2）如图，过点D作DF⊥OC于点F，旋转后点D的对应点为D′，过点D′作D'G⊥OC于点G，过点D作DH⊥D′G于点H，
在Rt△FOD中，
OD＝OB+BD＝4+6＝10，∠DOF＝37°，
∴DF＝OD sin37°≈106m，
∴D′G＝D′H+HG＝3.2+6＝9.2m，
在Rt△D'OG中，OD'＝10m，D'G＝9.2m，
∴sin∠D′OG0.92m，
∴∠D′OG≈67°，
∴∠D′OD＝67°﹣37°＝30°，
即云梯OD大约旋转了30°．
23．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ 1 ；
（2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC，求tanB的值；
（3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，sadA＝ ．
【思路点拔】（1）根据题意可知，sad60°为顶角为60°的等腰三角形，从而可以求得sad60°的值；
（2）根据△ABC中，CB＝CA，sadC，可以求得CB与AB的关系，从而可以求得CB与AB边上的高的关系，从而可以解答本题；
（3）根据Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，构造以∠A为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题．
【解答】（1）∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，
∴sad60°．
故答案为：1．
（2）如图②所示：
作CD⊥BA于点D，
∵△ABC中，CB＝CA，sadC，sadC，
∴ABBC，BD＝ADAB，
∴BD＝ADAB，
∴CDBC，
∴tanB，
即tanB；
（3）如图③所示，在AB上截取AD＝AC，作DE⊥AC于点E，
Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，
设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝AD＝4a．
∴DE＝AD sinA＝4a，AE＝AD cosA＝4a，
∴CE＝AC﹣AE＝4a，
∴CDa，
∴sadA，
故答案为：．
24．如图，在锐角△ABC中，AD是高，tan∠ABC＝3，点E是AB的中点．
（1）求∠BED的正切值；
（2）点F在线段ED的延长线上，且CF⊥ED，联结BF，如果BF＝CF，求的值．
【思路点拔】（1）过点D作DH⊥AB于H，根据tan∠ABC3，设BH＝a，DH＝3a，则BD，AD，AB＝10a，再根据直角三角形斜边中线性质得AE＝BE＝DE＝5a，则EH＝4a，DH＝3a，据此可得出∠BED的正切值；
（2）先证明∠EDF＝90°，根据tan∠BED，得BF＝CF，再根据tan∠ABC＝tan∠3＝3得DF，则CD，BC＝BD+CD，然后再求出AC，进而可得的值．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB于H，如图1所示：
∵tan∠ABC＝3，
∴在Rt△BDH中，tan∠ABC3，
设BH＝a，DH＝3a，
由勾股定理得：BD，
在Rt△ABD中，tan∠ABC3，
∴AD＝3BD，
由勾股定理得：AB10a，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE＝DEAB＝5a，
∴EH＝BE﹣BH＝4a，
在Rt△EDH中，由勾股定理得：DH3a，
∴tan∠BED；
（2）如图2所示：
∵CF⊥ED，BF＝CF，
∠2+∠3＝90°，∠1＝∠2，
∵BE＝DE＝5a，
∴∠ABC＝∠BDE＝∠3，
∴∠1+∠ABC＝90°，
即∠EDF＝90°，
在Rt△EBF中，tan∠BED，
∴BFBE，
∴CF＝BF，
∵∠ABC＝∠3，
∴tan∠ABC＝tan∠3＝3，
在Rt△CDF中，tan∠33，
∴DF，
由勾股定理得：CD，
∴BC＝BD+CD，
在Rt△ACD中，AD，CD，
由勾股定理得：AC，
∴BC：AC：9：13，
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第1章 《解直角三角形》单元测试A卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA，cosB，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
3．（3分）已知，则锐角A的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜70° B．30°＜A＜70° C．20°＜A＜60° D．20°＜A＜30°
4．（3分）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（ ）
A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinB＝（ ）
A． B．2 C． D．
6．（3分）如图，将三角尺ABC和三角尺DEF叠放在一起，直角边AC与DE完全重合，已知AB长为16cm，若三角尺DEF沿CB方向移动，此时测得OB长是6cm，则移动距离CD是（ ）
A．2cm B． C． D．
7．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，点D在BC的延长线上，，连接AD，则tan∠BAD＝（ ）
A． B．2 C． D．
9．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，且2tanα＝3tan2β，则n＝（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，在⊙O中，M是的中点，MN⊥AB于点N．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：．当OA＝5，时，则的弧长l的近似值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算：tan60°+cos30°＝ ．
12．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，cosA，AC＝6，那么AB的长是 ．
13．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝12，tan∠ADB，DE⊥BC，则tan∠DBE＝ ．
14．（3分）小亮为了测量一幢高楼AB的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测得楼顶A视线PA与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝26米，小亮很快计算出了楼高AB，此时PA是 米？
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为E．则DE的长为 ．
16．（3分）如图，点D是△ABC外一点，DB＝DC，AB与CD相交于点E，∠BDC＝∠BAC，连接DA，若AC＝4，，，则DB＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．
18．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，，求AC的长和∠A的度数．
19．（8分）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
20．（8分）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，AH与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
（1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P，P到D的距离PD为米，P到地面的距离PE为1.2米，求点D到地面的距离DH的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
21．（8分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
22．（10分）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°．
（1）求BO的长；
（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度．
（参考数据：sin37°，tan37°，sin53°，tan53°，sin67°≈0.92cos67°≈0.39）
23．（10分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ ；
（2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC，求tanB的值；
（3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，sadA＝ ．
24．（12分）如图，在锐角△ABC中，AD是高，tan∠ABC＝3，点E是AB的中点．
（1）求∠BED的正切值；
（2）点F在线段ED的延长线上，且CF⊥ED，联结BF，如果BF＝CF，求的值．
