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浙教版九年级上学期第四章《相似三角形》单元复习卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分）
1．（3分）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1、2、3、4 B．2、3、4、6 C．3、4、6、9 D．2、3、4、5
2．（3分）已知△ABC∽△A'B'C'，则下列图形中△ABC与△A'B'C'不存在位似关系的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，两条直线AC和DF被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若AB：BC＝2：3，DE＝3，则EF的长为（ ）
A．4.5 B．5 C．6 D．8
6．（3分）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，DB＝7，EC＝3，则AE的长是（ ）
A． B．3 C．4 D．
7．（3分）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD，立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少？（其中1尺＝10寸）”根据译文信息，则井深AD为（ ）
A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸
8．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（ ）
A．3s或4.8s B．3s
C．4.5s D．4.5s或4.8s
9．（3分）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，﹣3）、D（2，0）．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（3分）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为（﹣2，4），点E的坐标为（1，2），则点M的坐标为（ ）
A．（4，0） B．（﹣2，0） C．（3，0） D．（2，0）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
12．（3分）在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为 千米．
13．（3分）已知线段a＝4厘米，b＝3厘米，那么线段a与b的比例中项c＝ 厘米．
14．（3分）如图，在 ABCD中，，连接BE，交AC于点F，AC＝10，则CF的长为 ．
15．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，如果F是△ABC的重心，那么S△ADE：S△BFC＝ ．
16．（3分）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝2，则AB的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知a，b，c，d为四个不为0的数．
（1）如果，求与的值；
（2）如果，求证：．
18．（8分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点A的对应点A2的坐标；
（3）△OAB的内部一点M的坐标为（m，n），写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标．
19．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝10，EF＝8，求DE的长；
（2）如果DE：EF＝3：5，AC＝24，求AB、BC的长．
20．（8分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
21．（8分）新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”．家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．
22．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝3，AC＝6，AE＝4，AB＝8．
（1）如果BC＝7，求线段DE的长；
（2）设△DEC的面积为a，求△BDC的面积（用a的代数式表示）．
23．（10分）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE．如图1，当点D与M重合时，四边形ABDE是平行四边形．
（1）如图2，当点D不与M重合时，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
（2）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．
①求∠CAM的度数；
②当，DM＝4时，求DH的长．
24．（12分）如图，直线yx+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值；
（3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九年级上学期第四章《相似三角形》单元复习卷
一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分）
1．（3分）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1、2、3、4 B．2、3、4、6 C．3、4、6、9 D．2、3、4、5
【思路点拔】根据内项积等于外项积，则有四条线段中，两条线段长度的乘积等于另外两条线段长度的乘积．
【解答】解：A选项：不存在两条线段的长度乘积等于另外两条线段长度的乘积，故A选项错误，不符合题意；
B选项：2×6＝3×4＝12，故B选项正确，符合题意；
C选项：不存在两条线段的长度乘积等于另外两条线段长度的乘积，故C选项错误，不符合题意；
D选项：不存在两条线段的长度乘积等于另外两条线段长度的乘积，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．（3分）已知△ABC∽△A'B'C'，则下列图形中△ABC与△A'B'C'不存在位似关系的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．
【解答】解：A、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；
B、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；
C、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；
D、△ABC与△A′B′C′对应边BC和B′C′不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、等式的左边除以4，右边除以9，故A错误；
B、等式的两边都除以6，故B正确；
C、等式的左边除以2b，右边除以，故C错误；
D、等式的左边除以4，右边除以b2，故D错误；
故选：B．
4．（3分）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据黄金分割的定义得到，然后把AB的长度代入可求出AP的长，即可求出BP的长度．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴，
∵AB的长度为8cm，
∴，
∴．
故选：A．
5．（3分）如图，两条直线AC和DF被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若AB：BC＝2：3，DE＝3，则EF的长为（ ）
A．4.5 B．5 C．6 D．8
【思路点拔】根据平行线分线段成比例得到，又由DE＝3，即可得到答案．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，AB：BC＝2：3，DE＝3，
∴，
∴，
∴EF4.5，
故选：A．
6．（3分）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，DB＝7，EC＝3，则AE的长是（ ）
A． B．3 C．4 D．
【思路点拔】证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵AD＝2，DB＝7，
∴AB＝AD+DB＝9，
∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，
解得，AE＝3，
故选：B．
7．（3分）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD，立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少？（其中1尺＝10寸）”根据译文信息，则井深AD为（ ）
A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸
【思路点拔】根据数学常识和相似三角形的性质，构建方程求解即可．
【解答】解：5尺＝50寸，
设BC＝x尺．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CF∥AB，
∴△EFC∽△EAB，
∴，
∴，
解得x＝575，
经检验：x＝575是分式方程的解．
∴AD＝575（寸）．
故选：D．
8．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（ ）
A．3s或4.8s B．3s
C．4.5s D．4.5s或4.8s
【思路点拔】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t（cm），CE＝2t（cm），AE＝AC﹣CE＝（12﹣2t）（cm），
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB，
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8，
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，
故选：A．
9．（3分）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，﹣3）、D（2，0）．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
【思路点拔】此题需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得．
【解答】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：
一、若点P在AB的左边，如图1，有两种可能：
①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，
则（x﹣2）：3＝4：（x+2）
解得x＝4，
∴点P的坐标为（﹣4，0）；
②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，
则（x﹣2）：（x+2）＝4：3
解得：x＝﹣14
不存在．
二、若点P在AB与CD之间，如图2，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，
∴4：3＝（x+2）：（2﹣x）
解得：x，
∴点P的坐标为（，0）；
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，
∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，
方程无解；
三、若点P在CD的右边，如图3，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，
∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），
∴x＝14，
∴点P的坐标为（14，0），
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，
∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，
∴x＝4，
∴点P的坐标为（4，0）；
∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．
故选：D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拔】根据互余角性质得∠PAM＝∠PBC，进而得△PAM∽△PBC，可以判断①；
由相似三角形得∠APM＝∠BPC，进而得∠CPM＝∠APB，从而判断②；
根据对角互补，进而判断③；
由△APB∽△NAB得，再结合△PAM∽△PBC便可判断④．
【解答】解：∵AP⊥BN，
∴∠PAM+∠PBA＝90°，
∵∠PBA+∠PBC＝90°，
∴∠PAM＝∠PBC，
∵∠PMA＝∠PCB，
∴△PAM∽△PBC，
故①正确；
∵△PAM∽△PBC，
∴∠APM＝∠BPC，
∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，
故②正确；
∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，
∴B、C、P、M四点共圆，
故③正确；
∵AP⊥BN，
∴∠APN＝∠APB＝90°，
∴∠PAN+∠ANB＝90°，
∵∠ANB+∠ABN＝90°，
∴∠PAN＝∠ABN，
∵∠APN＝∠BPA＝90°，
∴△PAN∽△PBA，
∴，
∵△PAM∽△PBC，
∴，
∴，
∵AB＝BC，
∴AM＝AN，
故④正确；
故选：A．
11．（3分）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为（﹣2，4），点E的坐标为（1，2），则点M的坐标为（ ）
A．（4，0） B．（﹣2，0） C．（3，0） D．（2，0）
【思路点拔】根据矩形的性质得到OC＝4，EF＝2，OF＝1，根据相似三角形的性质求出MO，得到答案．
【解答】解：∵四边形OABC、四边形ODEF为矩形，点B的坐标为（﹣2，4），点E的坐标为（1，2），
∴OC＝4，EF＝2，OF＝1，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，
∴EF∥OC，
∴，即，
解得，MO＝2，
∴点M的坐标为（2，0），
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
12．（3分）在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为 0.5 千米．
【思路点拔】比例尺＝图上距离：实际距离，根据题意列出等式即可得出实际的距离．
【解答】解：根据：比例尺＝图上距离：实际距离，
设两地实际距离为x厘米，得：1：10000＝5：x，
∴相距5厘米的两地的实际距离是5×10000＝50000（厘米）＝0.5（千米），
故答案为：0.5．
13．（3分）已知线段a＝4厘米，b＝3厘米，那么线段a与b的比例中项c＝ 2 厘米．
【思路点拔】根据比例中项的定义得到a：c＝c：b，然后利用比例性质计算即可．
【解答】解：∵线段a和b的比例中项为c，
∴a：c＝c：b，
即4：c＝c：3，
∴c＝2（cm）．
故答案为2．
14．（3分）如图，在 ABCD中，，连接BE，交AC于点F，AC＝10，则CF的长为 6 ．
【思路点拔】由平行四边形的性质得AD∥CB，AD＝CB，则AEADCB，可证明△EAF∽△BCF，得，则CFAC＝6，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∵AEAD，
∴AECB，
∵AE∥CB，
∴△EAF∽△BCF，
∴，
∵AC＝10，
∴CFACAC10＝6，
故答案为：6．
15．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，如果F是△ABC的重心，那么S△ADE：S△BFC＝ ．
【思路点拔】根据三角形重心的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵F是△ABC的重心，
∴CD，BE是△ABC的中点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴）2，
∴S△ADES△ABC，
∵F是△ABC的重心，
∴，
∴，
∴S△BFCS△CDB，
∵S△CDBS△ABC，
∴S△BFCS△ABCS△ABC，
∴S△ADE：S△BFC．
故答案为：．
16．（3分）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝2，则AB的长为 2 ．
【思路点拔】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，可得，推出，可得ba，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；
【解答】解：如图，连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝2，
∵CG＝DG，CF＝FB，
∴GFBD，
∵AG⊥FG，
∴∠AGF＝90°，
∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°，
∴∠DAG＝∠CGF，
∴△ADG∽△GCF，
设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，
∴，
∴，
∴b2＝2a2，
∵a＞0．b＞0，
∴ba，
在Rt△GCF中，3a2＝3，
∴a＝1，
∴AB＝2b＝2．
故答案为2．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知a，b，c，d为四个不为0的数．
（1）如果，求与的值；
（2）如果，求证：．
【思路点拔】（1）先根据已知条件得到a＝3b，再分别代入进行求解即可；
（2）设，则a＝kb，c＝kd，再代入计算即可证明结论成立．
【解答】（1）解：∵，
∴a＝3b，
∴，
∴．
∴，；
（2）证明：设，则a＝kb，c＝kd，
∴，，
∴．
18．（8分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点A的对应点A2的坐标；
（3）△OAB的内部一点M的坐标为（m，n），写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标．
【思路点拔】（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心；
（2）延长OA、OB，并使OA2＝2OA、OB2＝2OB，连接A2B2即可，根据图形写出坐标即可；
（3）根据位似比，求出点A2的坐标即可．
【解答】解：（1）如图1，点P为所作；
（2）如图2，△OA2B2为所作，点A2的坐标为（﹣4，﹣2）；
（3）点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为（2m，2n）．
19．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝10，EF＝8，求DE的长；
（2）如果DE：EF＝3：5，AC＝24，求AB、BC的长．
【思路点拔】（1）由平行线分线段成比例定理得到AB：BC＝DE：EF，代入有关数据，即可求出DE＝4.8；
（2）由平行线分线段成比例定理推出AB：BC＝DE：EF＝3：5，得到AB：AC＝3：8，即可求出AB长，得到BC的长．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴AB：BC＝DE：EF，
∵AB＝6，BC＝10，EF＝8，
∴6：10＝DE：8，
∴DE＝4.8；
（2）∵AD∥BE∥CF，
∴AB：BC＝DE：EF，
∵DE：EF＝3：5，
∴AB：AC＝3：8，
∵AC＝24，
∴AB＝9，
∴BC＝AC﹣AB＝15．
20．（8分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
【思路点拔】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD＝60°，根据相似三角形的性质得到∠APC＝∠PBD，根据三角形内角和定理计算；
（2）根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答．
【解答】解：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝60°，
∴∠A+∠APC＝60°，
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC＝∠PBD，
∴∠A+∠B＝60°，
∴∠APB＝120°；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴，
∴CD2＝AC BD．
21．（8分）新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”．家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．
【思路点拔】延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T．
由题意MT＝2m，MQ＝0.8m，
∴QT＝MT﹣MQ＝2﹣0.8＝1.2（m），
∵四边形BCDH是矩形，
∴DH＝BC＝300（m），
∵QT∥DH，
∴，
∵MT∥DE，
∴，
∴，
∴EH＝500（m），
∴DE＝500﹣300＝200（m）
22．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝3，AC＝6，AE＝4，AB＝8．
（1）如果BC＝7，求线段DE的长；
（2）设△DEC的面积为a，求△BDC的面积（用a的代数式表示）．
【思路点拔】（1）通过证明△ADE∽△ACB，可求解；
（2）由线段的数量关系可求面积关系，即可求解．
【解答】解：（1）∵，，
∴，且∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴DE7；
（2）∵AE＝4，AC＝6，
∴EC＝2AC，
∴S△ACD＝3S△DEC＝3a，
∵AD＝3，AB＝8，
∴BD＝5AD，
∴S△BDCS△ADC＝5a．
23．（10分）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE．如图1，当点D与M重合时，四边形ABDE是平行四边形．
（1）如图2，当点D不与M重合时，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
（2）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．
①求∠CAM的度数；
②当，DM＝4时，求DH的长．
【思路点拔】（1）如图1，过M作MG∥DE交CE于G，则四边形DMGE是平行四边形，MG＝DE，证明△ABM≌△GMC（ASA），则AB＝MG，AB＝DE，进而可证四边形ABDE是平行四边形；
（2）①如图2，取线段CH中点N，连接MN，MN是△BCH的中位线，则，MN∥BH，，∠ANM＝∠AHB＝90°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，求∠CAM的值即可；②设DH＝a，则AD＝2a，AM＝2a+4，AE＝BD＝BH﹣DH＝a+4，在Rt△ADH中，由勾股定理得，则，证明△AEF∽△HDF，则，即，整理得a2﹣2a﹣4＝0，计算求解满足要求的DH值即可．
【解答】解：（1）四边形ABDE是平行四边形，
理由如下：
如图2，过M作MG∥DE交CE于G，
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴MG＝DE，
∵MG∥DE∥AB，AM∥CE，
∴∠ABM＝∠GMC，∠AMB＝∠GCM，
在△ABM和△GMC中，
，
∴△ABM≌△GMC（ASA），
∴AB＝MG，
∴AB＝DE，
∵DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）①如图3，取线段CH中点N，连接MN，
∵AM是△ABC的中线，
∴M为线段BC的中点，
∴MN是△BCH的中位线，
∴，MN∥BH，
∵BH＝AM，
∴，∠ANM＝∠AHB＝90°，
∴∠CAM＝30°；
②设DH＝a，则AD＝2a，AM＝2a+4，AE＝BD＝BH﹣DH＝a+4，
在Rt△ADH中，由勾股定理得，
∴，
∵AE∥BH，
∴∠AEF＝∠HDF，
∵∠AFE＝∠HFD，
∴△AEF∽△HDF，
∴，
即，
整理得a2﹣2a﹣4＝0，
解得：，（不合题意，舍去），
∴DH的值为．
24．（12分）如图，直线yx+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值；
（3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
【思路点拔】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点，可得到关于m的方程，可求得m的值．
（3）由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值，从而得到点M的坐标．
【解答】解：（1）∵yx+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，
∴0＝﹣2+c，解得c＝2，
∴B（0，2），
∵抛物线yx2+bx+c经过点A，B，
∴，解得，
∴抛物线解析式为yx2x+2；
（2）由（1）可知直线解析式为yx+2，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P（m，m+2），N（m，m2m+2），
∵P为线段MN的中点时，
∴有2（m+2）m2m+2，
解得m＝3（三点重合，舍去）或m．
故m的值为．
（3）由（1）可知直线解析式为yx+2，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P（m，m+2），N（m，m2m+2），
∴PMm+2，AM＝3﹣m，PNm2m+2﹣（m+2）m2+4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，
∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，
当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，
∴N点的纵坐标为2，
∴m2m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝2.5，
∴M（2.5，0）；
当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，
则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BCm2m+2﹣2m2m，
∵∠NBP＝90°，
∴∠NBC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BNC，
∴Rt△NCB∽Rt△BOA，
∴，
∴，解得m＝0（舍去）或m，
∴M（，0）；
综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）．
