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第3章《投影与三视图》单元重点综合测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一个圆柱和正三棱柱组成的几何体如图水平放置，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．美 B．丽 C．乡 D．村
5．（3分）圆锥底面圆的半径为2，母线长为4，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．4π B．8π C．12π D．4
6．（3分）用一个平面去截一个几何体，截面形状为四边形，则这个几何体不可能为（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
7．（3分）如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的从不同方向看得到的平面图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（3分）下列平面图形中，不能折叠成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度（ ）
A．变长3.5m B．变长2.5m C．变短3.5m D．变短2.5m
10．（3分）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知AB＝3cm，胶片与屏幕的距离EF为定值，设点光源到胶片的距离OE长为x（单位：cm），CD长为y（单位：cm），y随x的变化而变化，且当x＝60时，y＝43，则y与x的函数关系可表示为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，这三幅图是一个正方体不同的侧面，六个面上分别写着A、B、C、D、E、F，则写有字母C的对面上的字母是 ．
12．（3分）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为 ．
13．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，这个几何体的体积为 ．（结果保留π）．
14．（3分）为了测得一棵树的高度AB，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长CD为1.5米，落在地面上的影长BC为3米，则这棵树的高度AB为 ．
15．（3分）由若干个相同的小立方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是 ．
16．（3分）小滨正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为22dm2，如图2三个盒子叠一起的表面积为42dm2，则如图3四个盒子叠一起的表面积是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）观察下面的物体，分别画出从正面、上面、左面看到的立体图形的形状．
18．（8分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．
（1）求路灯A的高度；
（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？
19．（8分）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
（1）这顶锥形草帽的底面半径为 cm，侧面积为 cm2；（结果保留π）
（2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
20．（8分）如图是一张长方形纸片，AB长为3cm，BC长为4cm．
（1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是 ；
（2）若将这个长方形纸片绕AB边所在直线旋转一周，则形成的几何体的体积是 cm3（结果保留π）；
（3）若将这个长方形纸片绕AB边所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积（结果保留π）．
21．（8分）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关，小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间t（8≤t≤16）之间近似二次函数关系，可满足关系式y＝a（t﹣12）2+c．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米．
（1）请确定a，c的值．
（2）如图，太阳光线和与地面之间的夹角为θ，求14点时tanθ的值．
22．（10分）如图所示，将正方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平可以得到其展开图的平面图形．
（1）下列平面图形中，是正方体平面展开图的是 ；
（2）在图①方格中，画一个与（1）中呈现的类型不一样的正方体的展开图（用阴影表示）；
（3）正方体纸盒的剪裁线如图中实线所示，请将其展开图画在图②的方格图中（用阴影表示）．
23．（10分）图1是某奢侈品牌的香水瓶，从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形（由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形）后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．已知⊙O的半径为2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝3.1cm，EF＝3cm，求香水瓶的高度h．
24．（12分）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
【数学思考】
如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 ；
【解决问题】
如图②，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．中小学教育资源及组卷应用平台
第3章《投影与三视图》单元重点综合测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）一个圆柱和正三棱柱组成的几何体如图水平放置，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据简单组合体的三视图的定义画出其主视图即可．
【解答】解：这个组合体的主视图如下：
故选：B．
2．（3分）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．
【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；
B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；
C、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项错误；
D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项正确．
故选：D．
3．（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据左视图的方法直接得出结论即可．
【解答】解：由题意知，题中几何体的左视图为：
．
故选：A．
4．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．美 B．丽 C．乡 D．村
【思路点拔】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：由题意可知，原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是“村”，
故选：D．
5．（3分）圆锥底面圆的半径为2，母线长为4，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．4π B．8π C．12π D．4
【思路点拔】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：该圆锥的侧面积．
故选：B．
6．（3分）用一个平面去截一个几何体，截面形状为四边形，则这个几何体不可能为（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
【思路点拔】根据圆锥、圆柱、棱柱的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．
【解答】解：A、用一个平面去截一个长方体，得到的图形可能是四边形，故A选项不合题意；
B、用一个平面去截一个圆柱，得到的图形可能是四边形，故B选项不合题意；
C、用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、抛物线、三角形，不可能是四边形，故C选项符合题意；
D、用一个平面去截一个三棱柱，得到的图形可能是四边形，故D选项不合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的从不同方向看得到的平面图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【思路点拔】根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案为4，也可以根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，直接想象出每个位置正方体的数目，再加上来
【解答】解：由三视图可得，需要的小正方体的数目：1+2+1＝4．
故选：B．
8．（3分）下列平面图形中，不能折叠成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据正方体的展开图得出结论即可．
【解答】解：由题意知，图形不能折叠成正方体，
故选：C．
9．（3分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度（ ）
A．变长3.5m B．变长2.5m C．变短3.5m D．变短2.5m
【思路点拔】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【解答】解：设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，
∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴，，
则，
∴x；
，
∴y，
∴x﹣y＝3.5，
故变短了3.5米．
故选：C．
10．（3分）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知AB＝3cm，胶片与屏幕的距离EF为定值，设点光源到胶片的距离OE长为x（单位：cm），CD长为y（单位：cm），y随x的变化而变化，且当x＝60时，y＝43，则y与x的函数关系可表示为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由AB∥CD，得到△OAB∽△OCD，即可求得函数解析式．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，即，
解得：EF＝80（cm），
∴，
∴y；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，这三幅图是一个正方体不同的侧面，六个面上分别写着A、B、C、D、E、F，则写有字母C的对面上的字母是 B ．
【思路点拔】根据与B相邻的面有A、D、E、F判断出B的对面是C．
【解答】解：由图可知，B的相邻面有A、D、E、F，
所以，B的对面是C．
故答案为：B．
12．（3分）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为 2 ．
【思路点拔】设该圆锥母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据弧长公式得出，计算即可得出答案．
【解答】解：设该圆锥母线长为l，
由题意得：，
解得：l＝2，
∴该圆锥母线长为2，
故答案为：2．
13．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，这个几何体的体积为 18π ．（结果保留π）．
【思路点拔】根据三视图可以得到它是一个空心的圆柱体，圆柱体底面外圆的直径为4，内圆直径为2，高为6，用外圆柱的体积减去内圆柱的体积即可求解．
【解答】解：由几何体的三视图可知，这个几何体是一个空心的圆柱，圆柱体底面外圆的直径为4，内圆直径为2，高为6，
∴几何体的体积为．
故答案为：18π
14．（3分）为了测得一棵树的高度AB，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长CD为1.5米，落在地面上的影长BC为3米，则这棵树的高度AB为 米 ．
【思路点拔】经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【解答】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有，
解得，
树高是（米）．
故答案为：米．
15．（3分）由若干个相同的小立方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是 5 ．
【思路点拔】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体有3行2列2层，
底层应该有4个小正方体；
第二层应该有1个小正方体；
因此搭成这个几何体的小正方体的个数是4+1＝5．
故答案为：5．
16．（3分）小滨正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为22dm2，如图2三个盒子叠一起的表面积为42dm2，则如图3四个盒子叠一起的表面积是 68dm2 ．
【思路点拔】根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题．
【解答】解：由题知，
设长方体一个上表面的面积为b dm2，一个右表面的面积为c dm2，一个前表面的面积为a dm2，
因为图1的表面积为22dm2，
所以2a+2b+2c＝22（dm2），
则a+b+c＝11（dm2）①．
因为图2的表面积为42dm2，
所以6a+2b+6c＝42（dm2），
则3a+b+3c＝21（dm2）②．
由①②得，
a+c＝5（dm2），b＝6（dm2）．
又因为图3的表面积可表示为4a+8b+4c，
则4a+8b+4c＝4（a+c）+8b＝4×5+8×6＝68（dm2）．
故答案为：68dm2．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）观察下面的物体，分别画出从正面、上面、左面看到的立体图形的形状．
【思路点拔】根据三视图的定义作图即可．
【解答】解：如图所示．
18．（8分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．
（1）求路灯A的高度；
（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？
【思路点拔】设BC＝x米，AB＝y米，此题容易得到△ABD∽△MCD，△ABF∽△NEF，然后利用它们的对应边成比例可以得到关于x、y的方程组，从而求出结果．
【解答】解：（1）设BC＝x米，AB＝y米，
由题意得，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，身高MC＝NE＝1.5米，
∵△ABD∽△MCD，△ABF∽△NEF，
∴，，
，，
解得，
经检验，是分式方程的根，
∴路灯A的高度为6米．
（2）如图，连接AG交BF延长线于点H，
∵△ABH∽△GFH，GF＝1.5米，BH＝3+3+2+FH＝8+FH，
∴，
，
解得（米）．
答：当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是米．
19．（8分）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
（1）这顶锥形草帽的底面半径为 15 cm，侧面积为 375π cm2；（结果保留π）
（2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
【思路点拔】（1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解；
（2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可．
【解答】解：（1）∵母线长为25cm、高为20cm，
∴底面半径为r15（cm），
侧面积为πrl＝15×25π＝375π（cm2），
故答案为：15；375π；
（2）设扇形卡纸的圆心角的度数为n°，
由题意得，
解得n＝216，
所以所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度．
答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度．
20．（8分）如图是一张长方形纸片，AB长为3cm，BC长为4cm．
（1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是 圆柱 ；
（2）若将这个长方形纸片绕AB边所在直线旋转一周，则形成的几何体的体积是 48π cm3（结果保留π）；
（3）若将这个长方形纸片绕AB边所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积（结果保留π）．
【思路点拔】（1）矩形旋转一周得到圆柱；
（2）绕AB旋转得到的圆柱的底面半径为4cm，高为3cm，从而计算体积即可；
（3）根据题意计算表面积即可．
【解答】解：（1）将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱，
故答案为：圆柱；
（2）绕AB旋转得到的圆柱的底面半径为4cm，高为3cm，
体积＝π×42×3＝48π（cm3）；
故答案为：48π；
（3）绕AB边所在直线旋转得到的圆柱的底面半径为4cm，高为3cm，
表面积是：2π×4×3+2×42×π＝56π（cm2）；
答：形成的几何体的表面积是56πcm2．
21．（8分）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关，小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间t（8≤t≤16）之间近似二次函数关系，可满足关系式y＝a（t﹣12）2+c．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米．
（1）请确定a，c的值．
（2）如图，太阳光线和与地面之间的夹角为θ，求14点时tanθ的值．
【思路点拔】（1）把 t＝11，y＝1.31；t＝12，y＝1.08代入解析式，解方程组求出a，c的值；
（2）先根据（1）中a，c值求出函数解析式，再把t＝14代入解析式求出y，再根据直角三角函数求出tanθ的值．
【解答】解：（1）由题意可知 t＝11，y＝1.31；t＝12，y＝1.08代入函数解析式得，
解得 ，
∴a＝0.23，c＝1.08；
（2）由（1）得函数解析式为y＝0.23（t﹣12）2+1.08，
把t＝14代入y＝0.23（t﹣12）2+1.08，
解得y＝2，
则；
22．（10分）如图所示，将正方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平可以得到其展开图的平面图形．
（1）下列平面图形中，是正方体平面展开图的是 C ；
（2）在图①方格中，画一个与（1）中呈现的类型不一样的正方体的展开图（用阴影表示）；
（3）正方体纸盒的剪裁线如图中实线所示，请将其展开图画在图②的方格图中（用阴影表示）．
【思路点拔】（1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可；
（2）根据正方体表面展开图的各种不同类型，选择其中一种画在图①中即可；
（3）根据裁剪线剪开，展平后，将所得到的表面展开图画在图②中即可．
【解答】解：（1）根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，
选项A、B、D均不符合题意，选项C符合题意，
故答案为：C；
（2）在图①方格中，画一个与（1）中呈现的类型不一样的正方体的展开图，如图①所示：
（3）将正方体纸盒沿着剪裁线如图中实线所示，将其展开图画在图②的方格图中如图②所示．
23．（10分）图1是某奢侈品牌的香水瓶，从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形（由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形）后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．已知⊙O的半径为2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝3.1cm，EF＝3cm，求香水瓶的高度h．
【思路点拔】作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．根据垂径定理求出BG、EH，解直角三角形求出OG，OH，根据h＝OH+OG+AB即可解决问题．
【解答】解：如图，作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．
∵EF∥BC，
∴OH⊥EF，
∴BGBC1.4＝0.7（cm），EHEF3＝1.5（cm），
∴GO2.4（cm）；OH2.0（cm），
∴h＝OH+OG+AB＝2.0+2.4+3.1＝7.5（cm）．
即香水瓶的高度h为7.5cm．
24．（12分）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
【数学思考】
如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 D ；
【解决问题】
如图②，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．
【思路点拔】画图操作：根据中心投影，直接画图即可；
数学思考：由等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长即可得到答案；
解决问题：根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：画图操作：
解：光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图所示：
数学思考：
∵等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，
∴小明的影长从A到B的变化是先越来越短，再越来越长，
故选：D；
解决问题：
如图所示，
∵CD∥EF∥AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，，
∵CD＝EF，
∴，
∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD+DF＝（BD+3）m，BG＝BD+DF+GF＝BD+3+4＝（BD+7）m，
∴，
解得：BD＝9m，
∴BF＝9+3＝12m，
∴，
∴AB＝6.4m，
∴灯杆AB的高度为6.4m．
