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第3章《投影与三视图》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图是一个空心圆柱体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）cm2．
A．15π B．15 C．30π D．30
6．（3分）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知∠MAD＝22°，∠FCN＝23°，则∠ABC的大小为（ ）
A．44° B．45° C．46° D．47°
7．（3分）已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的体积为（ ）
A．36πcm3 B．24πcm3 C．12πcm3 D．8πcm3
8．（3分）下列几何体都是由6个同样的立方体组成，具有相同左视图的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
9．（3分）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（ ）
A．75° B．90° C．108° D．120°
10．（3分）某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ABC，已知，∠C＝45°，则左视图的面积是（ ）
A． B． C．4 D．2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ．
12．（3分）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是63cm2，且5号面是一个边长3厘米的正方形．这个长方体的体积是 cm3．
13．（3分）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为 ．
14．（3分）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为24+8，则a的值是 ．
15．（3分）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为62.8m．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子AB长为23m（直线AB过底面圆心），则小山包的高为 m（π取3.14）．
16．（3分）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP＝8cm，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．当毛刷PC从PA出发顺时针扫过60°时，PC∥OA，则⊙O的半径为 cm，．毛刷在旋转过程中，与⊙O交于点D，则CD的最大长度为 cm．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）用10个相同的小立方块搭成几何体．从上面看到的几何体的形状图如图1所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．
（1）请在图2中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图；
（2）如果现在你还有一些大小相同的小立方块，要求保持从正面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加 个小立方块．
18．（8分）如图，有甲、乙两个圆柱形容器，内部底面积分别为80平方厘米，120平方厘米，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲容器中的水全部倒入乙容器中，则乙容器中的水位高是20厘米，求甲容器的高度．
19．（8分）一个正方体的六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同方向看到的情形如图．
（1）A对面的字母是 ，B对面的字母是 ；（请直接填写答案）
（2）已知A＝x，B＝﹣x2+3x，C＝﹣3，D＝1，E＝x2019，F＝6．
①若字母A表示的数与它对面的字母表示的数互为相反数，求E的值；
②若2A﹣3B+M＝0，求出M的表达式．
20．（12分）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同．
（1）如图1是一张长方形纸片，AB长为8cm，BC长为12cm．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π）
（2）已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π）
21．（8分）某学校设计了如图所示的雕塑，取名“阶梯”，现在工厂师傅打算用油喷刷所有暴露面，经测量，已知每个小立方体的棱长为0.5米．
（1）请你画出从它的正面、左面、上面三个不同方向看到的平面图形．
（2）请你帮助工人师傅计算一下，需要喷刷油漆的总面积是多少？
22．（8分）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为6cm．
（1）求出此扇形的面积．
（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径．
23．（10分）如图，加工一个长5cm，宽3cm，高4cm的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为2cm的圆孔，一直贯穿到对面就可以做成一个零件．
（1）这个零件的体积是多少立方厘米（π取3）．
（2）为了防止零件生锈，师傅给该零件与空气接触的面都喷上油漆，则喷油漆的面积是多少平方厘米（π取3）．
24．（10分）902班进行了一次数学实践活动，探索测量山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α的办法．
（1）如图1，小明组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF＝BE，如果∠EFB＝35°，那么∠α＝ ．
（2）如图2，小慧组把一根长为6米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH．
（3）如图3，小聪组用手电来测量另一处石坝高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点D出发经平面镜反射后刚好射到石坝AB的顶端A处，已知C、P、B在同一条直线上，DC⊥BC，如果测得CD＝1米，CP＝2米，PB＝14米，∠α＝76°，请你求此处出护坡石坝的垂直高度AH（参考数据：sin76°＝0.97，cos76°＝0.24，tan76°＝4.0）中小学教育资源及组卷应用平台
第3章《投影与三视图》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据三视图的定义逐项判断即可．
【解答】解：根据三视图的定义，其主视图是；
故选：A．
2．（3分）如图是一个空心圆柱体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：B．
3．（3分）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据从上边看得到的图形是俯视图，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【解答】解：从上边看，可得选项A的图形．
故选：A．
4．（3分）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】通过空间想象力对各个选项逐一进行判断即可．
【解答】解：球的三视图均为圆，
故选：D．
5．（3分）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）cm2．
A．15π B．15 C．30π D．30
【思路点拨】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15π（cm2）．
故选：A．
6．（3分）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知∠MAD＝22°，∠FCN＝23°，则∠ABC的大小为（ ）
A．44° B．45° C．46° D．47°
【思路点拨】根据平行线的性质及角的和差即可求得．
【解答】解：∵某一时刻在阳光照射下，AD∥BE∥FC，且∠MAD＝22°，∠FCN＝23°，
∴∠MAD＝∠ABE＝22°，∠EBC＝∠FCN＝23°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝45°．
故选：B．
7．（3分）已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的体积为（ ）
A．36πcm3 B．24πcm3 C．12πcm3 D．8πcm3
【思路点拨】根据三视图确定圆锥的底面半径和高，然后利用圆锥的体积计算公式求得答案即可．
【解答】解：观察三视图得：圆锥的底面半径为6÷2＝3（cm），高为4cm，
所以圆锥的体积为πr2hπ×32×4＝12π（cm3）．
故选：C．
8．（3分）下列几何体都是由6个同样的立方体组成，具有相同左视图的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【思路点拨】根据简单组合体三视图的画法画出它们的左视图即可．
【解答】解：这4个组合体的左视图如下：
其中组合体②③的左视图形状相同，
故选：B．
9．（3分）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（ ）
A．75° B．90° C．108° D．120°
【思路点拨】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【解答】解：∵圆锥的底面直径为4，则半径为2，
∴圆锥的底面周长为4π，
∵圆锥的高是2√2cm，
∴圆锥的母线长为6，
设扇形的圆心角为n°，
∴（nπ×6）÷180＝4π，
解得n＝120．
故这个几何体展开图的圆心角是120°．
故选：D．
10．（3分）某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ABC，已知，∠C＝45°，则左视图的面积是（ ）
A． B． C．4 D．2
【思路点拨】作AD⊥BC于点D，设AD＝x，根据等腰三角形的性质得CD＝AD＝x，解直角三角形得BD＝3x，所以BC＝4x＝4，即AD＝1，又知三棱柱的高为2，即可求出答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
设AD＝x，
∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝x，
∵，
∴，
∴BD＝3x，
∴BC＝4x＝4，
∴x＝1，
∴AD＝1，
∴左视图的面积是2×1＝2．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是 20π ．
【思路点拨】根据圆锥的底面半径为4，求出底面圆周长，由母线长为5，利用扇形面积公式求出它的侧面积．
【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为4，
∴圆锥的底面圆周长＝2×4×π＝8π，
则圆锥的侧面积为8π×5＝20π，
故答案为：20π．
12．（3分）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是63cm2，且5号面是一个边长3厘米的正方形．这个长方体的体积是 81 cm3．
【思路点拨】先求出5号面的面积，由图可得3、6都是长方体，且面积相等，从而得出3号面的面积，最后根据长方体体积公式计算即可得解．
【解答】解：由题意可得：5号面的面积为3×3＝9（cm2），
∵可得3、6都是长方体，且面积相等，
∵3、5、6三面面积之和是63cm2，
∴3号面的面积为（63﹣9）÷2＝27（cm2），
∴总体积是27×3＝81（cm3）．
故答案为：81．
13．（3分）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为 ．
【思路点拨】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可．
【解答】解：连接BC，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，
∴BC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，
∴扇形的弧长为：π，
设底面半径为r，则2πrπ，
解得：r，
故答案为：．
14．（3分）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为24+8，则a的值是 2 ．
【思路点拨】该正三棱柱底面等边三角形的高为2，底面等边三角形的边长为4，由此能根据该正三棱柱的表面积求得a的值．
【解答】解：∵由左视图知底面正三角形的高为2，
∴正三角形的边长为4，
∴表面积中两正△的面均为4，
∵正三棱柱的表面积为24+8，
∴24＝（4+4+4）a，
解得：a＝2
故答案为2．
15．（3分）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为62.8m．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子AB长为23m（直线AB过底面圆心），则小山包的高为 33 m（π取3.14）．
【思路点拨】此题为平行投影，即可得相似三角形，那么可得到DC＝AC，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高．
【解答】解：连接EF，过D作DC⊥AB于C，
由题意可知，△ACD∽△EGF，
∴，
∵圆锥底面周长为62.8m．
∴C＝2π BC＝62.8m，解得BC＝10m，
∵AB＝23m，
∴DC＝AC＝AB+BC＝23+10＝33（m），
∴小山包的高为33m．
故答案为：33．
16．（3分）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP＝8cm，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．当毛刷PC从PA出发顺时针扫过60°时，PC∥OA，则⊙O的半径为 16 cm，．毛刷在旋转过程中，与⊙O交于点D，则CD的最大长度为 （8） cm．
【思路点拨】利用旋转60°时PC∥OA，证明△AOB是等边三角形可得OA＝AB＝16cm，在图3中，当OC⊥AB时，CD最大，求出CD即可．
【解答】解：如图2中，当PC∥OA时，
∵PC∥OA，
∴∠OAP＝∠APC＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2PC＝2×8＝16（cm），；
如图3中，OB＝16cm，PC＝PB＝PA＝8cm，
当OC⊥AB时，CD最大，此时OP＝8cm，PD＝OD﹣OP＝（16﹣8）cm，
∴CD＝PC﹣PD＝8﹣（16﹣8）＝（88）cm．
故答案为：16，（88）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）用10个相同的小立方块搭成几何体．从上面看到的几何体的形状图如图1所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．
（1）请在图2中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图；
（2）如果现在你还有一些大小相同的小立方块，要求保持从正面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加 3 个小立方块．
【思路点拨】（1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，2；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为2，3．据此可画出图形；
（2）根据主视图和左视图的定义可得答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
如果现在你还有一些大小相同的小立方块，要求保持从正面和上面看到的形状图都不变，最多可以再添加3个小立方块．
故答案为：3．
18．（8分）如图，有甲、乙两个圆柱形容器，内部底面积分别为80平方厘米，120平方厘米，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲容器中的水全部倒入乙容器中，则乙容器中的水位高是20厘米，求甲容器的高度．
【思路点拨】根据容器内水的体积不变列方程解答即可．
【解答】解：设甲容器的高度为x cm，根据题意得：
80x＝120×20
解得：x＝30，
答：甲容器的高度为30cm．
19．（8分）一个正方体的六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同方向看到的情形如图．
（1）A对面的字母是 D ，B对面的字母是 E ；（请直接填写答案）
（2）已知A＝x，B＝﹣x2+3x，C＝﹣3，D＝1，E＝x2019，F＝6．
①若字母A表示的数与它对面的字母表示的数互为相反数，求E的值；
②若2A﹣3B+M＝0，求出M的表达式．
【思路点拨】（1）依据A与B、C、E、F都相邻，故A对面的字母是D；E与A、C、D、F都相邻，故B对面的字母是E；
（2）①依据字母A表示的数与它对面的字母D表示的数互为相反数，即可得到x的值，进而得出E的值；
②依据2A﹣3B+M＝0，即可得到2x﹣3（﹣x2+3x）+M＝0，进而得出M的表达式．
【解答】解：（1）由图可得，A与B、C、E、F都相邻，故A对面的字母是D；
E与A、C、D、F都相邻，故B对面的字母是E；
故答案为：D，E；
（2）①∵字母A表示的数与它对面的字母D表示的数互为相反数，
∴x＝﹣1，
∴E＝（﹣1）2019＝﹣1；
②∵2A﹣3B+M＝0，
∴2x﹣3（﹣x2+3x）+M＝0，
∴M＝﹣2x+3（﹣x2+3x）＝﹣3x2+7x．
20．（12分）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同．
（1）如图1是一张长方形纸片，AB长为8cm，BC长为12cm．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π）
（2）已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π）
【思路点拨】（1）分绕AD和BC两边中点所在直线旋转一周和绕AB和CD两边中点所在直线旋转一周两种情况解答即可；
（2）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆柱体、圆锥体积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）当绕AD和BC两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：12π×8＝168π（cm2）；
当绕AB和CD两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：8π×12＝128π（cm2）；
故形成的几何体的表面积为168πcm2或128πcm2；
（2）三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体，其中圆柱和圆锥的底面半径均为4cm，高均为3cm，
得到的几何体的体积V＝π×42×332π（cm3）．
21．（8分）某学校设计了如图所示的雕塑，取名“阶梯”，现在工厂师傅打算用油喷刷所有暴露面，经测量，已知每个小立方体的棱长为0.5米．
（1）请你画出从它的正面、左面、上面三个不同方向看到的平面图形．
（2）请你帮助工人师傅计算一下，需要喷刷油漆的总面积是多少？
【思路点拨】（1）分别画出从正面看、左面看、上面看的图形，注意所看到的棱都要表示到三视图中；
（2）求出正面和左面看到的平面图的面积，从上面看到的平面图的面积，因为从左面看和从右面看是一样的，从正面看和从后面看是一样的，然后计算出总面积即可．
【解答】解：（1）从不同方向看到的几何体的平面图如图所示．
（2）从正面和左面看到的平面图的面积都是0.5×0.5×6＝1.5（平方米），
从上面看到的平面图的面积是0.5×0.5×5＝1.25（平方米），
因为从左面看和从右面看是一样的，从正面看和从后面看是一样的，
所以喷刷油漆的总面积为1.5×2+1.5×2+1.25＝7.25（平方米）．
22．（8分）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为6cm．
（1）求出此扇形的面积．
（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径．
【思路点拨】（1）利用扇形的面积公式即可求解；
（2）先求得，再根据与圆锥的底面周长等于，进而可求解．
【解答】解：（1）∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为6cm，
∴扇形的面积为：．
（2）∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为6cm，
∴，
∴圆锥的底面周长为4π，
∴圆锥的底面半径为：2（cm）．
23．（10分）如图，加工一个长5cm，宽3cm，高4cm的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为2cm的圆孔，一直贯穿到对面就可以做成一个零件．
（1）这个零件的体积是多少立方厘米（π取3）．
（2）为了防止零件生锈，师傅给该零件与空气接触的面都喷上油漆，则喷油漆的面积是多少平方厘米（π取3）．
【思路点拨】（1）长方体铁块的体积减去圆柱的体积就是这个零件的体积；
（2）喷油漆的面积就是这个零件的表面积，即长方体铁块的表面积减去圆柱的两个底面积，再加上圆柱的侧面积．
【解答】解：（1）圆孔的半径是r1．
根据题意，得5×3×4﹣πr2×5＝45（cm3），
∴这个零件的体积是45立方厘米．
（2）由题意，得（3×4+3×5+4×5）×2﹣2×πr2+2πr×5＝118（cm2）．
∴喷油漆的面积是118平方厘米．
24．（10分）902班进行了一次数学实践活动，探索测量山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α的办法．
（1）如图1，小明组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF＝BE，如果∠EFB＝35°，那么∠α＝ 70° ．
（2）如图2，小慧组把一根长为6米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH．
（3）如图3，小聪组用手电来测量另一处石坝高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点D出发经平面镜反射后刚好射到石坝AB的顶端A处，已知C、P、B在同一条直线上，DC⊥BC，如果测得CD＝1米，CP＝2米，PB＝14米，∠α＝76°，请你求此处出护坡石坝的垂直高度AH（参考数据：sin76°＝0.97，cos76°＝0.24，tan76°＝4.0）
【思路点拨】（1）由三角形外角性质和等腰三角性质可求得∠α的值；
（2）由题意可得，△GMN∽△GAH，由三角形相似的性质可得，由此式可得出AH的值；
（3）由题给图及题意可得，Rt△DCP∽Rt△AHP，由三角形相似的性质可得，再解Rt△AHB，可得AH与BH的关系，代入上式可求得AH的值．
【解答】解：（1）由题意得：∠α＝∠BFE+∠BEF，
∵BF＝BE
∴∠BFE＝∠BEF＝35°
∴∠α＝70°
故此题应该填70°；
（2）由题给图及题意可得：
△GMN∽△GAH
∴
∴AH3.6（米）
∴护坡石坝的垂直高度AH为3.6米；
（3）由题给图及题意可得：
CD＝1米，CP＝2米，PB＝14米，∠α＝76°
Rt△DCP∽Rt△AHP
∴
在Rt△AHB中，AH＝BH tan∠α＝4BH，
∴
∴BH＝2
∴AH＝8（米）
故护坡石坝的垂直高度AH为8米．
