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第四章《图形与坐标》单元培优训练
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（2，3），并且线段MN＝3，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（5，3）
C．（1，3）或（5，3） D．（﹣1，3）或（5，3）
【思路点拔】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：∵直线MN∥x轴，且M点的坐标为（2，3），
∴点N的纵坐标为3，
∵MN＝3，
∴2+3＝5，2﹣3＝﹣1，
即点N的横坐标为5或﹣1，
∴则点N的坐标为（﹣1，3）或（5，3）．
故选：D．
2．（3分）若点A（a，5），在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的点坐标是（ ）
A．（﹣a，5） B．（2﹣a，5） C．（﹣a﹣4，﹣5） D．（﹣a﹣2，﹣5）
【思路点拔】利用已知直线m上各点的横坐标都是1，得出其解析式，再利用对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵直线m上各点的横坐标都是1，
∴直线为：x＝1，
∵点P（a，5）在第二象限，
∴a到1的距离为：1﹣a，
∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：1﹣a+1＝2﹣a，
故P点对称的点的坐标是：（2﹣a，5）．
故选：B．
3．（3分）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1）将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（ ）
A．（ 3，4 ） B．（ 4，3 ） C．（﹣l，﹣2 ） D．（﹣2，﹣1）
【思路点拔】先利用点A和点A′的坐标得到线段平移的规律，然后利用点的坐标平移规律写出点B的对应点B′的坐标．
【解答】解：∵A（﹣4，﹣1）的对应点A′的坐标为（﹣2，2），
∴各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标加3，
∵B（1，1），
∴点B′的横坐标为1+2＝3；纵坐标为1+3＝4；
即所求点B′的坐标为（3，4）．
故选：A．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A1（0，2），A2（1，5），A3（2，10），A4（3，17），…，用你发现的规律确定点A20的坐标为（ ）
A．（20，399） B．（19，401） C．（19，399） D．（20，401）
【思路点拔】先设出An（x，y），再根据所给的坐标，找出规律An（x，y）的坐标是（n﹣1，n2+1），再把n＝20代入即可．
【解答】解：设An（x，y），
∵当n＝1时，A1（0，2），即x＝1﹣1＝0，y＝12+1，
当n＝2时，A2（1，5），即x＝2﹣1＝1，y＝22+1；
当n＝3时，A3（2，10），即x＝3﹣1＝2，y＝32+1；
当n＝4时，A1（3，17），即x＝4﹣1＝3，y＝42+1；
…，
∴An（x，y）的坐标是（n﹣1，n2+1），
∴点A20的坐标为（20﹣1，202+1），
∴点A20的坐标为（19，401）．
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，下列说法：①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab＝0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
【思路点拔】①坐标轴上的点的特征是横坐标为0或纵坐标为0，由此可判断；②由m2≥0，可得点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上；③点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则点P在四个象限内都有符合条件的点；④由题可知MN在直线y＝3上，由此可判断．
【解答】解：①∵点A（a，b）在坐标轴上，
∴a＝0或b＝0，
∴ab＝0，
故①符合题意；
②∵m2≥0，
∴点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上，
故②不符合题意；
③点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，
∴P点坐标为（2，2）或（2，﹣2）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），
∴P点共有4个，
故③不正确；
④∵点M（2，3），点N（﹣2，3），
∴M、N两点在y＝3的直线上，
∴MN∥x轴，
故④符合题意；
故选：A．
6．（3分）如图，已知点A（﹣1，0），B（0，2），A与A′关于y轴对称，连结A′B，现将线段A′B以A′点为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（2，1） C．（4，1） D．（3，2）
【思路点拔】先根据对称的性质得出点A′的坐标，再根据旋转的性质结合全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），点A′和点A关于y轴对称，
∴点A′的坐标为（1，0），
∴OA′＝1．
∵点B坐标为（0，2），
∴OB＝2．
过点B′作x轴的垂线，垂足为M，
由旋转可知，
AB＝AB′，∠BA′B′＝90°，
∴∠BA′O+∠B′A′M＝∠BA′O+∠A′BO＝90°，
∴∠B′A′M＝∠A′BO．
在△A′BO和△B′A′M中，
，
∴△A′BO≌△B′A′M（AAS），
∴B′M＝A′O＝1，A′M＝BO＝2，
∴OM＝1+2＝3，
∴点B′的坐标为（3，1）．
故选：A．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（ ）
A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7）
【思路点拔】过点C作CD⊥y轴，垂足为D，根据垂直定义可得∠CDB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CBD+∠DCB＝90°，再利用旋转的性质可得CB＝BA，∠CBA＝90°，然后利用平角定义可得∠CBD+∠ABO＝90°，从而利用同角的余角相等可得∠ABO＝∠DCB，进而可得△BOA≌△CDB，最后利用全等三角形的性质可得CD＝BO＝3，DB＝OA＝4，从而求出DO＝7，即可解答．
【解答】解：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，
∴∠CDB＝90°，
∴∠CBD+∠DCB＝180°﹣∠CDB＝90°，
∵点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
由旋转得：
CB＝BA，∠CBA＝90°，
∴∠CBD+∠ABO＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠ABO＝∠DCB，
∵∠CDB＝∠AOB＝90°，
∴△BOA≌△CDB（AAS），
∴CD＝BO＝3，DB＝OA＝4，
∴DO＝DB+OB＝4+3＝7，
∴点C的坐标是（3，7），
故选：D．
8．（3分）我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A． B．（3，1） C．（2，1） D．（1，3）
【思路点拔】由已知条件得到AD′＝AD＝2，AOAB＝1，根据勾股定理得到OD′，于是得到结论．
【解答】解：∵AD′＝AD＝2，
AOAB＝1，
∴OD′，
∵C′D′＝2，C′D′∥AB，
∴C′（2，），
故选：A．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，动点A从（1，0）出发，向上运动1个单位长度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别沿BC，BD向左、右分别运动到点C（0，2）、点D（2，2），此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从 C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点G（﹣1，4）、H（1，4）、I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，从左往右数的第二个点的坐标是（ ）
A．（﹣2023，4048） B．（﹣2024，4048）
C．（﹣2024，4046） D．（﹣2021，4048）
【思路点拔】由图形可得每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减少1，据此规律解答即可．
【解答】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减少1，
则动点A完成第2024次跳跃时，所有到达点的纵坐标为2024×2＝4048，左边第一个点横坐标为：1﹣2024＝﹣2023，
所以从左往右数的第二个点的坐标是（﹣2021，4048）．
故选：D．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2），点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P、Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，…，则点M2025的坐标为（ ）
A．（1，0） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（0，﹣1）
【思路点拔】根据点坐标可得长方形的周长，设运动时间为t，由行程问题的数量关系可得2t+3t＝10，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解．
【解答】解：∵A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2），
∴AB＝CD＝2﹣（﹣1）＝3，AD＝BC＝1﹣（﹣1）＝2，
∴长方形的周长为（3+2）×2＝10，
设运动时间为t，
∴2t+3t＝10，
解得t＝2，
∴当t＝2时，点P、Q第一次相遇，则路程为2×2＝4，即在x的正半轴上，
∴点M1（1，0）；
当t＝4时，点P、Q第二次相遇，则路程为2×4＝8，即在x的负半轴上，
∴点M2（﹣1，0）；
当t＝6时，点P、Q第三次相遇，则路程为2×6＝12，即在x的负半轴上，
∴点M3（1，2）；
当t＝8时，点P、Q第四次相遇，则路程为2×8＝16，即在x的负半轴上，
∴点M4（0，﹣1）；
当t＝10时，点P、Q第五次相遇，则路程为2×10＝20，即在x的负半轴上，
∴点M5（﹣1，2）；
当t＝12时，点P、Q第六次相遇，则路程为2×12＝24，即在x的负半轴上，
∴点M6（1，0）；
∴五次相遇一循环，
∴2025÷5＝405，
∴点M2025（﹣1，2），
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）点A（a，b）和B关于x轴对称，而点B与点C（2，3）关于y轴对称，那么，a＝ ﹣2 ，b＝ ﹣3 ，点A和C的位置关系是 关于原点对称 ．
【思路点拔】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
【解答】解：∵B与点C（2，3）关于y轴对称，
∴B点的坐标是（﹣2，3），
又∵点A（a，b）和B关于x轴对称，
∴点A的坐标是（﹣2，﹣3），
则a＝﹣2，b＝﹣3；
∴点A和点C的横纵坐标都互为相反数，
∴点A和C的位置关系是关于原点对称．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是 （﹣1，﹣1） ．
【思路点拔】利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加1，纵坐标减4即可得到点B的坐标．
【解答】解：点A（﹣2，3）先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（﹣2+1，3﹣4），即（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
13．（3分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（m，n），若AB∥x轴，AB＝3，则mn＝ 4或﹣8 ．
【思路点拔】根据平行于x轴的线段上的纵坐标相等，可得n＝2，根据AB＝3，求得m的值，继而即可求解．
【解答】解：∵A（﹣1，2），B（m，n），AB∥x轴，AB＝3，
∴n＝2，|m﹣（﹣1）|＝3
解得：m＝2或m＝﹣4
∴mn＝4或mn＝﹣8，
故答案为：4或﹣8．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2），B（5，2），当点C在第四象限，且坐标为 （1，﹣2）或（5，﹣2） 时，△ABC为等腰直角三角形．
【思路点拔】利用等腰直角三角形的性质画出图形，根据点C在第四象限，分∠BAC＝90°和∠ACB＝90°两种情况，利用网格线确定出点C的坐标即可．
【解答】解：如图，根据点C在第四象限，画出图形，
∵点A（1，2），B（5，2），
∴AB＝5﹣1＝4，
∵△ABC为等腰直角三角形，
当∠BAC＝90°时，AC＝AB＝4，
∴2﹣4＝﹣2，
∴此时点C坐标为（1，﹣2）；
当∠ABC＝90°时，BC＝AB＝4，
∴2﹣4＝﹣2，
∴此时点C坐标为（5，﹣2）；
综上所述，点C的坐标为（1，﹣2）或（5，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）或（5，﹣2）．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，线段CD是由线段AB平移所得，已知A（﹣3，0），B（0，﹣2），C（2，0），则下列4个结论中，正确的有 ①②③ .（填序号）
①AD∥BC；②∠ADC＝∠ABC；③四边形ABCD的面积为10；④点D坐标为（﹣1，3）．
【思路点拔】根据平移的性质对四个结论依次进行判断即可．
【解答】解：∵线段CD是由线段AB平移所得，
∴AD∥BC．
故①正确．
∵线段CD是由线段AB平移所得，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC．
故②正确．
∵A（﹣3，0），B（0，﹣2），C（2，0），且线段CD是由线段AB平移所得，
∴，且点D的坐标为（﹣1，2），
∴，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝10．
故③正确．
∵B（0，﹣2），C（2，0），且点C是点B平移之后的对应点，
∴线段CD是由线段AB向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为（﹣3，0），
∴点D的坐标为（﹣1，2）．
故④错误．
故答案为：①②③．
16．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系xOy中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，1），第4次接着运动到点（4，0），…，按这样的运动规律，经过第27次运动后，动点P的坐标是 （27，1） ．
【思路点拔】根据题意可以发现规律，各点的横坐标与运动次数相同，而且纵坐标每4次运动组成一个循环：2，0，1，0，根据规律求解即可．
【解答】解：观察图象，结合点P前4次运动后的点的坐标特点可知，各点的横坐标与运动次数相同，而且纵坐标每4次运动组成一个循环：2，0，1，0；
∵27＝4×6+3，
∴经过第27次运动后，动点P的横坐标是27，纵坐标为1，
故经过第27次运动后，动点P的坐标是（27，1），
故答案为：（27，1）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知点P（3a﹣5，a+1），请分别根据下列条件求出点P的坐标：
（1）点P在x轴上；
（2）点P的横坐标比纵坐标大2；
（3）点P在过点A（1，﹣2）且与x轴平行的直线上．
【思路点拔】（1）直接利用x轴上点的坐标特点求出a的值，即可求出点P的坐标；
（2）利用点P的横坐标比纵坐标大2求出a的值，即可求出点P的坐标；
（3）利用点P在过点A（2，﹣4）且与x轴平行的直线上，纵坐标相同出a的值，即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点P在x轴上，
∴a+1＝0，
∴a＝﹣1，
∴P点坐标为（﹣8，0），
（2）∵点P的横坐标比纵坐标大2，
∴（3a﹣5）﹣（a+1）＝2，
∴a＝4，
∴P点坐标为（7，5）；
（3）∵点P在过点A（1，﹣2）且与x轴平行的直线上，
∴点P的纵坐标为﹣2，
∴a+1＝﹣2，
∴a＝﹣3，
∴P点坐标为（﹣14，﹣2）．
18．（8分）已知点A（2a﹣2，3a+4）是直角坐标系内一点．
（1）若点A在y轴上，求出点A的坐标；
（2）经过点A（2a﹣2，3a+4），B（3，4）的直线，与x轴平行，求出点A的坐标；
（3）点A到两坐标轴的距离相等，直接写出点A的坐标．
【思路点拔】（1）根据y轴上点的坐标特征即可解决问题．
（2）根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
（3）用a表示出点A到x轴及y轴的距离，建立关于a的方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A在y轴上，
∴2a﹣2＝0，
解得a＝1，
∴3a+4＝7，
∴点A的坐标为（0，7）．
（2）∵过点A，B的直线平行于x轴，
∴3a+4＝4，
解得a＝0，
∴2a﹣2＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，4）．
（3）∵点A坐标为（2a﹣2，3a+4），
∴点A到x轴和y轴的距离为|3a+4|和|2a﹣2|．
∵点A到两坐标轴的距离相等，
∴|3a+4|＝|2a﹣2|．
当3a+4＝2a﹣2时，
解得a＝﹣6，
∴3a+4＝﹣14，2a﹣2＝﹣14，
则点A坐标为（﹣14，﹣14）．
当3a+4＝﹣（2a﹣2）时，
解得a，
∴3a+4，2a﹣2，
则点A坐标为（）．
综上所述，点A坐标为：（﹣14，﹣14）或（）．
19．（8分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2．
（1）求A1、A2的坐标；
（2）证明：O为线段A1A2的中点．
【思路点拔】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求出x、y的值，从而得到点A的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”写出点A1的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”写出点A2的坐标；
（2）设经过OA1的直线解析式为y＝kx，利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式，再求出点A2在直线上，然后利用勾股定理列式求出OA1＝OA2，最后根据线段中点的定义证明即可．
【解答】（1）解：∵点A（2x+y﹣3，x﹣2y）与A1（x+3，y﹣4）关于x轴对称，
∴，
解得，
所以，A（8，3），
所以，A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）；
（2）证明：设经过O、A1的直线解析式为y＝kx，
易得：yOA1x，
又∵A2（﹣8，3），
∴A2在直线OA1上，
∴A1、O、A2在同一直线上，
由勾股定理知OA1＝OA2，
∴O为线段A1A2的中点．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使，求点M的坐标；
②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使，仍然成立？若存在请直接写出符合条件的点M的坐标．
【思路点拔】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案；
（2）①设M（0，y），根据面积关系列式求解即可得到答案；
②分负半轴及x轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣3）2＝0，（b﹣3）2≥0，a+2≥0，
∴b﹣3＝0，a+2＝0，
解得：a＝﹣2，b＝3；
（2）①设M（0，a），
∵A（﹣2，0），B（3，0），C（﹣1，2），，
∴a×15×2，
解得：a＝5，
∴M（0，5）；
②i：当M在y轴负半轴时，设M（0，y），
∵A（﹣2，0），B（3，0），C（﹣1，2），，
∴（﹣y）×15×2，
解得：y＝﹣5，
∴M（0，﹣5）；
ii：当M在x轴上时，设M（m，0），
∵A（﹣2，0），B（3，0），C（﹣1，2），，
∴，
解得：，
∴或；
综上所述：M（0，﹣5）或或．
21．（8分）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）点B的坐标为 （4，6） ；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为 （1，6） ；
（2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
（3）当3＜t＜8时，若△OBP的面积为10，求点P移动的时间．
【思路点拔】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性即可求解；
（2）分类讨论当点P在OC上、点P在BA上即可求解；
（3）分类讨论当点P在BC上、点P在BA上即可求解．
【解答】解：（1）∵，
又，
∴a＝4，b＝6，
∴OA＝4，OC＝6，
∵四边形OABC是长方形，
∴AB＝OC＝6，
故点B的坐标为（4，6）；
∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，
∴点P移动3.5秒，经过的路程为：3.5×2＝7个单位长度，
此时点P在CB上，距离点C1个单位长度，
故点P的坐标为（1，6），
故答案为：（4，6），（1，6）；
（2）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况．
①当点P在OC上时，点P移动的时间是：4÷2＝2秒，
②当点P在BA上时．点P移动的时间是：（6+4+2）÷2＝6秒，
∴点P移动的时间是2秒或6秒．
（3）解：①如图1所示：
∵S△OBP＝10，
∴，即．
解得：．
∴．，
∴．
②如图2所示：
∵S△OBP＝10，
∴，即．
∴BP＝5．
OC+BC+BP＝15，
∴
综上所述，满足条件的时间t的值为或．
22．（10分）如图1．在平面直角坐标系中，点A（a，b），连接OA，将OA绕点O逆时针方向旋转90°到OB．
（1）求点B的坐标；（用字母a，b表示）
（2）如图2，延长AB交x轴于点C，过点B作BD⊥AC交y轴于点D，求证：OC＝OD；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OM∥BD，若BC＝4，求OM的长．
【思路点拔】（1）作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，可证得△AOC≌△OBD，进一步得出结果；
（2）可推出∠AOC＝∠BOD，∠ACO＝∠BDO，进而得出△AOC≌△BOD，从而得出结论；
（3）设OM交AB于Q，延长OM知N，使MN＝OM，连接DN，可推出AM＝DM，进而证得△AMO≌△DMN，进而证得△AMO≌△DMN，从而得出∠N＝∠AOM＝∠CBO＝135°，可证得∠DON＝∠BDO＝∠BCO，进而证得△DON≌△OCB，进一步得出结果．
【解答】（1）解：如图1，
作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC+∠A＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠A＝∠BOD，
在△AOC和△OBD中，
，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OD＝AC＝|b|，BD＝OC＝|a|，
∴B（﹣b，a）；
（2）证明：如图2，
设OC，BD交于点E，
∵BD⊥AC，
∴∠BCD＝∠COD＝90°，
∵∠BEC＝∠DEO，
∴∠ACO＝∠BDO，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即：∠AOC＝∠BOD，
∵OA＝OB，
∴△AOC≌△BOD（ASA），
∴OC＝OD；
（3）如图2，
延长OM至N，使MN＝OM，MO的延长线交AB于Q，连接DN，
∵OM∥BD，BD⊥AB，
∴OQ⊥AB，∠AOQ＝∠BOQ，∠DON＝∠BDO＝∠BCO，
∵OA＝OB，
∴AQ＝BQ，
∴AM＝DM，
∵∠AMO＝∠DMN，
∴△AMO≌△DMN（SAS），
∴∠N＝∠AOM＝180°﹣∠AOQ＝135°，
∵∠ABO＝45°，
∴∠OCB＝135°，
∴∠N＝∠OCB，
∵OD＝OC，
∴△DON≌△OCB（AAS），
∴ON＝BC＝4，
∴OM．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1），B（1，1），C（﹣3，3）．
（1）①画出△ABC；
②判断△ABC的形状是 直角 三角形（填“锐角、直角、钝角”）；
（2）作△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'，并写出点C'的坐标为 （3，3） ；
（3）已知点P是y轴上一点，若S△ABC＝S△ABP，则点P坐标是 （0，3）或（0，﹣1） ．
【思路点拔】（1）①根据△ABC各点坐标画出△ABC即可；②根据勾股定理逆定理可判断△ABC的形状；
（2）根据关于x轴对称的点坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出点C′坐标；
（3）根据点P是y轴上一点，且S△ABC＝S△ABP，AB∥x轴，可知点P到AB的距离等于2，即可求出点P坐标．
【解答】解：（1）①△ABC如图所示：′′′′′′′′′
②∵AB2＝[1﹣（﹣4）]2＝25，AC2＝（﹣3+4）2+（3﹣1）2＝5，BC2＝（﹣3﹣1）2+（3﹣1）2＝20，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）点C关于y轴的对称点C'的坐标为（3，3），
故答案为：（3，3）；
（3）∵点P是y轴上一点，且S△ABC＝S△ABP，
又∵AB∥x轴，
∴点P到AB的距离等于2，
∴点P坐标为（0，3）或（0，﹣1）．
故答案为：（0，3）或（0，﹣1）．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（2，0），点C是y轴上的动点，当点C在y轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到O点时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．
（1）点B的坐标为 （1，） ，直线AB的表达式为 yx﹣2 ．
（2）点C在y轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第二象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP；
（3）当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点P在移动过程中有怎样的规律？请将这个规律用函数关系式表达出来；
（4）点C在y轴上移动过程中，当△OBP为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【思路点拔】（1）过点B作BD⊥x轴于D，根据等边三角形的性质得出坐标即可；
（2）根据SAS证明△AOC≌△ABP即可；
（3）根据待定系数法得出一次函数的解析式即可；
（4）根据题意得出方程解答即可．
【解答】（1）解：∵A（2，0），
∴OA＝2，
过点B作BD⊥x轴于D，
∵△AOB为等边三角形，OA＝2，
∴OB＝OA＝2，OD＝1，
∴BD，
即B（1，），
设直线AB的解析式为：y＝mx+n，
将A（2，0），B（1，）代入，
则：，
解得：，
∴yx﹣2，
故答案为：B（1，），yx﹣2；
（2）证明：∵△OAB和△ACP为等边三角形，
∴AC＝AP，AB＝OA，∠CAP＝∠OAB＝60°，
∴∠BAP＝∠OAC，
在△AOC和△ABP中，
，
∴△AOC≌△ABP（SAS）；
（3）解：∵△AOC≌△ABP，
∴∠ABP＝∠AOC＝90°，
∴点P在过点B且与AB垂直的直线上，
设直线BP的解析式为：yx+b，
将B（1，）代入，
则b，
解得：b，
∴yx；
（4）解：P（x，x），B（1，），O（0，0），
∴OP2，OB2＝4，BP2，
①OP＝OB时，
，
解得：x1＝﹣2，x2＝1（舍去），
故此时P（﹣2，0）；
②OP＝BP时，
，
解得：x＝0，
故此时P（0，）；
③OB＝BP时，
4，
解得：，，
故此时P（，）或P（，）；
综上所述，点P的坐标为P（﹣2，0）或P（0，）或P（，）或P（，）．中小学教育资源及组卷应用平台
第四章《图形与坐标》单元培优训练
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（2，3），并且线段MN＝3，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（5，3）
C．（1，3）或（5，3） D．（﹣1，3）或（5，3）
2．（3分）若点A（a，5），在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的点坐标是（ ）
A．（﹣a，5） B．（2﹣a，5） C．（﹣a﹣4，﹣5） D．（﹣a﹣2，﹣5）
3．（3分）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1）将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（ ）
A．（ 3，4 ） B．（ 4，3 ） C．（﹣l，﹣2 ） D．（﹣2，﹣1）
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A1（0，2），A2（1，5），A3（2，10），A4（3，17），…，用你发现的规律确定点A20的坐标为（ ）
A．（20，399） B．（19，401） C．（19，399） D．（20，401）
5．（3分）在平面直角坐标系中，下列说法：①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab＝0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
6．（3分）如图，已知点A（﹣1，0），B（0，2），A与A′关于y轴对称，连结A′B，现将线段A′B以A′点为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（2，1） C．（4，1） D．（3，2）
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（ ）
A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7）
8．（3分）我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A． B．（3，1） C．（2，1） D．（1，3）
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，动点A从（1，0）出发，向上运动1个单位长度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别沿BC，BD向左、右分别运动到点C（0，2）、点D（2，2），此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从 C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点G（﹣1，4）、H（1，4）、I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，从左往右数的第二个点的坐标是（ ）
A．（﹣2023，4048） B．（﹣2024，4048）
C．（﹣2024，4046） D．（﹣2021，4048）
10．（3分）如图，平面直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2），点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P、Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，…，则点M2025的坐标为（ ）
A．（1，0） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（0，﹣1）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）点A（a，b）和B关于x轴对称，而点B与点C（2，3）关于y轴对称，那么，a＝ ，b＝ ，点A和C的位置关系是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（m，n），若AB∥x轴，AB＝3，则mn＝ ．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2），B（5，2），当点C在第四象限，且坐标为 时，△ABC为等腰直角三角形．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，线段CD是由线段AB平移所得，已知A（﹣3，0），B（0，﹣2），C（2，0），则下列4个结论中，正确的有 .（填序号）
①AD∥BC；②∠ADC＝∠ABC；③四边形ABCD的面积为10；④点D坐标为（﹣1，3）．
16．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系xOy中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，1），第4次接着运动到点（4，0），…，按这样的运动规律，经过第27次运动后，动点P的坐标是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知点P（3a﹣5，a+1），请分别根据下列条件求出点P的坐标：
（1）点P在x轴上；
（2）点P的横坐标比纵坐标大2；
（3）点P在过点A（1，﹣2）且与x轴平行的直线上．
18．（8分）已知点A（2a﹣2，3a+4）是直角坐标系内一点．
（1）若点A在y轴上，求出点A的坐标；
（2）经过点A（2a﹣2，3a+4），B（3，4）的直线，与x轴平行，求出点A的坐标；
（3）点A到两坐标轴的距离相等，直接写出点A的坐标．
19．（8分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2．
（1）求A1、A2的坐标；
（2）证明：O为线段A1A2的中点．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使，求点M的坐标；
②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使，仍然成立？若存在请直接写出符合条件的点M的坐标．
21．（8分）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）点B的坐标为 ；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为 ；
（2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
（3）当3＜t＜8时，若△OBP的面积为10，求点P移动的时间．
22．（10分）如图1．在平面直角坐标系中，点A（a，b），连接OA，将OA绕点O逆时针方向旋转90°到OB．
（1）求点B的坐标；（用字母a，b表示）
（2）如图2，延长AB交x轴于点C，过点B作BD⊥AC交y轴于点D，求证：OC＝OD；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OM∥BD，若BC＝4，求OM的长．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1），B（1，1），C（﹣3，3）．
（1）①画出△ABC；
②判断△ABC的形状是 三角形（填“锐角、直角、钝角”）；
（2）作△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'，并写出点C'的坐标为 ；
（3）已知点P是y轴上一点，若S△ABC＝S△ABP，则点P坐标是 ．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（2，0），点C是y轴上的动点，当点C在y轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到O点时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．
（1）点B的坐标为 ，直线AB的表达式为 ．
（2）点C在y轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第二象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP；
（3）当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点P在移动过程中有怎样的规律？请将这个规律用函数关系式表达出来；
（4）点C在y轴上移动过程中，当△OBP为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
