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第2章《直线与圆的位置关系》单元测试A卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）平面内，⊙O的半径为3，若直线l与⊙O相离，圆心O到直线l的距离可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO＝26cm，PA＝24cm，则⊙O的周长为（ ）
A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm
3．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心2.5为半径的圆．下列结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与⊙O相离
C．点B在圆内 D．点C在圆上
4．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则△ABC内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（3分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（ ）
A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3）
7．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
8．（3分）如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为⊙O切线，C为切点，DE为⊙O直径，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C． D．
9．（3分）如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①PC2＝PA PB；②PC OC＝OP CD；③OA2＝OD OP；④OA（CP﹣CD）＝AP CD，正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）3月14口是国际圆周率日．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的”割圆木”相似，数学家阿尔 卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆（半径为1）的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的平均数作为2π的近似值．按照阿尔 卡西的方法，当n＝1时（如图），下列说法中正确的是（ ）
①该图既是轴对称图形，也是中心对称图形；
②该图绕点O旋转60°的正整数倍都能和自身重合；
③按照阿尔 卡西的方法，根据该图可算出2π的近似值为．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）⊙O的直径为17cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C．若AD＝DC，则∠ABD＝ 度．
13．（3分）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为24，则直角梯形ABCE面积为 ．
14．（3分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知AB＝12dm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB＝4dm．当点B按逆时针方向运动到B'时，A'B'与⊙O相切，则AA'的长为 dm．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 时，⊙P与坐标轴相切．
16．（3分）如图，⊙O是△ABC外接圆，D为上一点，若AD经过△ABC的内心I，且∠BIC＝120°，则的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，若以C为圆心，R为半径作的圆与斜边AB没有公共点，求R的取值范围．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）仅用无刻度的直尺，找出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心P，并直接写出圆心P的坐标为 ；
（2）点D坐标为（8，﹣2），连接CD，则直线CD与圆P的位置关系为 ．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，点D是圆上的一点，且DE平分∠AEC，作△ABE的外接圆⊙O．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CE＝2，求BE与DE的长．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC＝8，DA＝4，求AB的长．
21．（8分）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若EF＝6，求CE的长．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E．
（1）求证：∠E＝90°；
（2）连接CD，若CD，ED＝2，求AD的长．
23．（10分）如图，在 ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交AD于E，且与CD相切．
（1）求证：AC＝BC；
（2）若AB＝4，BE＝6，求⊙O的半径长．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B，求证：AC＝AP；
（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章《直线与圆的位置关系》单元测试A卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）平面内，⊙O的半径为3，若直线l与⊙O相离，圆心O到直线l的距离可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据直线l与⊙O相离得到直线l与圆心的距离大于半径，于是得到结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，若直线l与⊙O相离，
∴圆心O到直线l的距离＞3，
故选：D．
2．（3分）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO＝26cm，PA＝24cm，则⊙O的周长为（ ）
A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm
【思路点拔】如图，连接OA，根据切线的性质证得△AOP是直角三角形，由勾股定理求得OA的长度，然后利用圆的周长公式来求⊙O的周长．
【解答】解：如图，连接OA．
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，即∠OAP＝90°．
又∵PO＝26cm，PA＝24cm，
∴根据勾股定理，得
OA10cm，
∴⊙O的周长为：2π OA＝2π×10＝20π（cm）．
故选：C．
3．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心2.5为半径的圆．下列结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切 B．直线BC与⊙O相离
C．点B在圆内 D．点C在圆上
【思路点拔】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CHBC＝4，则利用勾股定理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对C选项和D选项进行判断，根据直线与圆的位置关系对A选项和B选项进行判断．
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CHBC＝4，
在Rt△ABH中，AH3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以C选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以D选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH＝3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以B选项符合题意，A选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则△ABC内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【思路点拔】由题意易得BC＝12，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴BC12，
设△ABC内切圆的半径为r，
则，
∴；
故选：B．
5．（3分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【思路点拔】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝2，
由勾股定理得，BD，
故选：C．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（ ）
A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3）
【思路点拔】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．
【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，
则PE⊥y轴，PF⊥x轴，
∵∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE＝PF，PE∥OF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，
∵A（0，8），
∴OA＝8，
∴AE＝8﹣5＝3，
∵四边形OACB为矩形，
∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，
∴EG∥AC，
∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，
∴CG＝AE＝3，EG＝OB，
∵PE⊥AO，AO∥CB，
∴PG⊥CD，
∴CD＝2CG＝6，
∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，
∵PD＝5，DG＝CG＝3，
∴PG＝4，
∴OB＝EG＝5+4＝9，
∴D（9，2）．
故选：A．
7．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【思路点拔】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【解答】解：
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故选：C．
8．（3分）如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为⊙O切线，C为切点，DE为⊙O直径，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C． D．
【思路点拔】连接OC，如图，先根据圆周角定理得到∠DCE＝∠DCA＝90°，根据切线的性质得到∠BCO＝90°，则利用等角的余角相等得到∠ACB＝∠DCO，再证明∠A＝∠CDO．于是可判断△ABC≌△DOC，所以S△ABC＝S△DOC．然后利用三角形面积公式可判断S△ABCS△CDE．
【解答】解：连接OC，如图，
∵DE是圆O的直径，
∴∠DCE＝∠DCA＝90°，
∵BC为⊙O切线，C为切点，
∴OC⊥BC，
∴∠BCO＝90°，
∵∠DCA＝∠BCO＝90°．
∴∠ACB＝∠DCO，
∵∠ABD+∠ACD＝180°．
∴∠A+∠BDC＝180°．
又∵∠BDC+∠CDO＝180°．
∴∠A＝∠CDO．
在△ABC和△DOC中，
，
∴△ABC≌△DOC（ASA）．
∴S△ABC＝S△DOC．
∵点O是DE的中点．
∴S△DOCS△CDE，
∴S△ABCS△CDE．
∴S△ABC：S△CDE＝1：2．
故选：B．
9．（3分）如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①PC2＝PA PB；②PC OC＝OP CD；③OA2＝OD OP；④OA（CP﹣CD）＝AP CD，正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】①证明△PBC∽△PCA，即可得到结论，这实际上是圆的切割线定理，正确；
②根据切线的性质定理，得OC⊥PC，再根据直角三角形的面积公式即可证明结论，正确；
③根据直角三角形的射影定理，得OC2＝OD OP，再根据OA＝OC，即可证明结论，正确；
④根据△APC的面积的两种求法，构建关系式可得结论．
【解答】解：①∵PC与⊙O相切于点C，
∴∠PCB＝∠A，∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴PC2＝PA PB；
②∵OC⊥PC，
∴PC OC＝OP CD；
③∵CD⊥AB，OC⊥PC，
∴OC2＝OD OP，
∵OA＝OC，
∴OA2＝OD OP；
④∵AP CDOC CPOA CD，OA＝OC，
∴OA（CP﹣CD）＝AP CD，
所以正确的有①，②，③，④，共4个．
故选：D．
10．（3分）3月14口是国际圆周率日．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的”割圆木”相似，数学家阿尔 卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆（半径为1）的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的平均数作为2π的近似值．按照阿尔 卡西的方法，当n＝1时（如图），下列说法中正确的是（ ）
①该图既是轴对称图形，也是中心对称图形；
②该图绕点O旋转60°的正整数倍都能和自身重合；
③按照阿尔 卡西的方法，根据该图可算出2π的近似值为．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【思路点拔】利用轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断①的正确；利用圆和正多边形是特殊的中心对称图形，可以判断②的正确；通过计算圆的内接正六边形和外切正六边形的周长并计算它们的平均数即可得出③的结论正确．
【解答】解：∵圆和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，
∴该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴①的说法正确；
∵圆是特殊的中心对称图形，绕着圆心旋转任意角度都能和它本身重合，正六边形绕着它的中心每旋转一个中心角都能和它的本身重合，正六边形的中心角为60°，
∴该图绕点O旋转60°的正整数倍都能和自身重合，
∴②的说法正确；
连接OC，OC′，OD，OD′，如图，
则⊙O的半径为1，
∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′D′E′F′为正六边形，
∴∠COD＝∠C′OD′＝60°，
∴△OCD，△OC′D′为等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝1，
∴六边形ABCDEF的周长为6．
∵六边形A′B′C′D′E′F′为⊙O的外切正六边形，
∴C′D′与⊙O相切，
∴OD⊥C′D′，
∵OC′＝OD′，
∴C′D＝DD′，∠C′ODC′OD′＝30°，
∴C′D＝OD tan30°，
∴C′D′＝2C′D，
∴六边形A′B′C′D′E′F′的周长为6C′D′＝4．
∴2π的近似值3+2．
∴③的说法正确．
综上，说法正确的是：①②③．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）⊙O的直径为17cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是 相交 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
【思路点拔】先求出⊙O的半径，再由直线和圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径为17cm，
∴⊙O的半径17＝8.5（cm），
∵圆心O与直线l的距离为7.5cm，7.5cm＜8.5cm，
∴直线l与⊙O相交．
故答案为：相交．
12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C．若AD＝DC，则∠ABD＝ 45 度．
【思路点拔】先根据切线的性质，由BC为⊙O的切线得到∠ABC＝90°，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，则BD⊥AC，加上AD＝CD，根据等腰三角形的判定可得△ABC为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质易得∠ABD∠ABC＝45°．
【解答】解：∵BC为⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
又∵AD＝CD，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝45°．
故答案为：45．
13．（3分）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为24，则直角梯形ABCE面积为 40 ．
【思路点拔】先证明CB、DA为⊙O的切线，利用切线长定理得到EA＝EF，CB＝CF，设正方形ABCD的边长为a，利用等线段代换，由△CDE的周长为24得到a+a+a＝24，解得a＝8，设AE＝x，则EF＝x，DE＝8﹣x，在Rt△CDE中根据勾股定理得到（8﹣x）2+82＝（8+x）2，解方程得到AE＝2，然后根据梯形的面积公式计算．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，
∴AB⊥BC，AB⊥AD，
∴CB、DA为⊙O的切线，
∵CE切⊙O于F，
∴EA＝EF，CB＝CF，
设正方形ABCD的边长为a，
∵△CDE的周长为24，
∴DE+CE+CD＝24，
即DE+EF+CF+CD＝24，
∴DE+AE+CF+CD＝24，
即a+a+a＝24，
解得a＝8，
设AE＝x，则EF＝x，DE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，（8﹣x）2+82＝（8+x）2，
解得x＝2，
∴AE＝2，
∴直角梯形ABCE面积（2+8）×8＝40．
故答案为：40．
14．（3分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知AB＝12dm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB＝4dm．当点B按逆时针方向运动到B'时，A'B'与⊙O相切，则AA'的长为 （16﹣4） dm．
【思路点拔】连接OB′，则OB′＝OB＝4dm，因为AB＝12dm，所以OA＝OB+AB＝16dm，由切线的性质得∠A′B′O＝90°，而A'B'＝AB＝12dm，则OA′4dm，所以AA′＝OA﹣OA′＝（16﹣4）dm，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图3，连接OB′，则OB′＝OB＝4dm，
∵AB＝12dm，
∴OA＝OB+AB＝4+12＝16（dm），
∵A'B'与⊙O相切于点B′，
∴A'B'⊥OB′，
∴∠A′B′O＝90°，
∵A'B'＝AB＝12dm，
∴OA′4（dm），
∴AA′＝OA﹣OA′＝（16﹣4）dm，
故答案为：（16﹣4）．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 2或6或10 时，⊙P与坐标轴相切．
【思路点拔】设⊙P与坐标轴的切点为D，根据已知条件得到A（8，4），B（4，0），C（0，﹣4），推出△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①当⊙P与x轴相切时，②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，③当点P只与y轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解答】解：设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（8，m），
∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，x＝8时，y＝4，
∴A（8，4），B（4，0），C（0，﹣4），
∴AB＝4，AC＝8，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当⊙P与x轴相切时，
∵点D是切点，⊙P的半径是2，
∴PD⊥x轴，PD＝2，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝2，PB＝2，
∴AP＝AB﹣PB＝2，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝2；
②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，
∵PB＝2，
∴AP＝AB+PB＝6，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝6；
③当点P只与y轴相切时，
∵PC＝2，
∴AP＝AC+PC＝10，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝10．
综上所述，则当t＝2或6或10秒时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：2或6或10．
16．（3分）如图，⊙O是△ABC外接圆，D为上一点，若AD经过△ABC的内心I，且∠BIC＝120°，则的值为 ．
【思路点拔】设AD交BC于点F，连接BD、CD，作DL⊥BC于点L，因为I是△ABC的内心，所以∠IBC∠ABC，∠ICB∠ACB，则∠IBC+∠ICB（∠ABC+∠ACB），而∠BIC＝120°，则（∠ABC+∠ACB）＝60°，求得∠BAC＝60°，则∠BAD＝∠CAD＝∠CBD＝30°，所以BD＝CD，BD＝2DL，则BLDL，所以BC＝2DL，再证明△BAF∽△DAC，得；同理△CAF∽△DAB，得，则，所以，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：设AD交BC于点F，连接BD、CD，作DL⊥BC于点L，则∠BLD＝90°，
∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC＝∠IBA∠ABC，∠ICB＝∠ICA∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB（∠ABC+∠ACB），
∵∠BIC＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠BIC＝60°，
∴（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD∠BAC＝30°，
∴，BD＝2DL，
∴BD＝CD，BLDL，
∴BL＝CL，
∴BC＝2BL＝2DL，
∵∠BAF＝∠ADC，∠BAF＝∠DAC，
∴△BAF∽△DAC，
∴；
同理△CAF∽△DAB，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，若以C为圆心，R为半径作的圆与斜边AB没有公共点，求R的取值范围．
【思路点拔】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB＝13，再利用面积法计算出CD，然后根据直线与圆的位置关系得到当r≤12时，以C为圆心、R为半径作的圆与斜边AB有公共点．
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB13，
∵CD ABBC AC，
∴CD，
∴以C为圆心、R为半径作的圆与斜边AB没有公共点时，R的取值范围为0＜R或R＞12．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）仅用无刻度的直尺，找出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心P，并直接写出圆心P的坐标为 （2，0） ；
（2）点D坐标为（8，﹣2），连接CD，则直线CD与圆P的位置关系为 相切 ．
【思路点拔】（1）利用网格画出线段AB和线段BC的垂直平分线，交点即为点P，根据图形即可得出点P的坐标．
（2）连接PC，PD，利用勾股定理判定∠PCD＝90°，则直线CD为⊙P的切线．
【解答】解：（1）如图，经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）；
（2）连接PC，PD，
PC2＝42+22＝20，
CD2＝42+22＝20，
PD2＝62+22＝40，
PD2＝PC2+CD2，
∴∠PCD＝90°，
又∵PC为半径，
∴直线CD是⊙P的切线，
故答案为：相切．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，点D是圆上的一点，且DE平分∠AEC，作△ABE的外接圆⊙O．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CE＝2，求BE与DE的长．
【思路点拔】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到OD⊥DC，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点O作OF⊥BE于F，根据勾股定理求出EF，由垂径定理可得BE，进而求出EC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵DE平分∠AEC，
∴∠DEC＝∠OED，
∴∠ODE＝∠DEC，
∵∠C＝90°，
∴∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠CDE+∠ODE＝90°，
∴OD⊥DC，
∵OD是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OF⊥BE于F，则四边形OFCD为矩形，
∴CF＝OD＝5，
∴EF＝FC﹣EC＝5﹣2＝3，
∴BE＝2EF＝6；
由勾股定理得，，
∴CD＝OF＝4，
∴．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC＝8，DA＝4，求AB的长．
【思路点拔】（1）根据切线的性质得到OC⊥DC，得到OC∥BE，根据平行线的性质得到∠OCB＝∠CBE，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
（2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】（1）证明：∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∵BE⊥DC，
∴OC∥BE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠CBE，即BC是∠ABE的平分线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝r+4，
在Rt△OCD中，OD2＝OC2+CD2，即（r+4）2＝r2+82，
解得，r＝6，
则AB＝2r＝12．
21．（8分）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若EF＝6，求CE的长．
【思路点拔】（1）由切线的性质可得∠OCP＝90°，由OC＝OB可得∠OCB＝∠ABC，结合∠ABC＝2∠BCP，可得2∠BCP+∠BCP＝90°，求出∠BCP＝30°，则∠OCB＝2∠BCP＝60°；
（2）连接DE，根据CD为⊙O的直径可得∠DEC＝90°，根据可得，再结合含30度角的直角三角形的性质，解Rt△DEF和Rt△DEC即可．
【解答】解：（1）∵CP与⊙O相切，
∴∠OCP＝90°，
∴∠OCB+∠BCP＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠OCB＝2∠BCP，
∴2∠BCP+∠BCP＝90°，即3∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，
∴∠OCB＝2∠BCP＝60°；
（2）如图，连接DE，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
在Rt△DEF中，EF＝6，∠FDE＝30°，
∴DF＝2EF＝12，
∴，
∵在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，
∴，
∴．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E．
（1）求证：∠E＝90°；
（2）连接CD，若CD，ED＝2，求AD的长．
【思路点拔】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据圆周角定理得到∠BAD＝∠CAD，证明OD∥AE，根据平行线的性质证明；
（2）连接CD、BD，根据勾股定理求出EC，证明△DEC∽△ADB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∴∠E＝90°；
（2）解：如图，连接CD、BD，
在Rt△DEC中，CD，ED＝2，
由勾股定理得：CE1，
∵，
∴DB＝CD，
∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠ABD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠E＝∠ABD，
∴△DEC∽△ADB，
∴，即，
解得：AD＝2．
23．（10分）如图，在 ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交AD于E，且与CD相切．
（1）求证：AC＝BC；
（2）若AB＝4，BE＝6，求⊙O的半径长．
【思路点拔】（1）连接CO，延长CO交AB于H．只要证明CH垂直平分线段AB即可解决问题；
（2）连接EC、OB．首先证明BC＝AC＝BE，解直角三角形求出CH，设OB＝r，在Rt△OBH中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接CO，延长CO交AB于H．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CH⊥AB，
∴AH＝BH，∵CH⊥AB，
∴CA＝CB．
（2）解：连接EC、OB．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴，
∴，
∴BC＝AC＝BE＝6，
在Rt△BCH中，∵∠CHB＝90°，BH＝2，BC＝6，
∴CH4，设OB＝r．
在Rt△OBH中，r2＝22+（4r）2，
解得r．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B，求证：AC＝AP；
（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．
【思路点拔】（1）如图，连接OC，根据AB是⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，根据OB＝OC，可得∠B＝∠BCO，再根据∠PCA＝∠B，可知OC⊥PC，故PC是⊙O的切线；
（2）根据sin∠B，可知∠B＝30°，则∠PCA＝30°，根据∠ACB＝90°，则∠CAB＝60°，可得∠P＝30°，故∠PCA＝∠P，可证AC＝AP；
（3）设AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，可得CD2＝AD×BD＝6x，易证△PAC∽△PCB，故PC2＝PA PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，即（4+x）2+6x＝4（10+x），求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠OCA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠PCA＝∠B，
∴∠PCA＝∠BCO，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵sin∠B，
∴∠B＝30°，
∴∠PCA＝∠B＝30°，
由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°，
∴∠PCA＝∠P，
∴AC＝AP；
（3）设AD＝x，
在Rt△ACB中，CD⊥AB，
∴CD2＝AD×BD＝6x，
∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，
∴△PAC∽△PCB，
∴，
∴PC2＝PA PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），
在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，
即（4+x）2+6x＝4（10+x），
整理得x2+10x﹣24＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣12（舍去），
故AD＝2．
