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《三角形的内心与内切圆》同步提升训练题
一．选择题（共38小题）
1．如图，△ABC与它的内切圆⊙O分别相切于点D、E、F．若△ABC周长为20，BC＝6，则AD长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．5
【思路点拔】设AD＝a，根据切线长定理得出AD＝AF＝a，CE＝CF，BE＝BD，则BC＝BE+CE＝BD+CF＝6，由△ABC周长为20，代入求出a即可．
【解答】解：设AD＝a，
∵△ABC与它的内切圆⊙O分别相切于点D、E、F，
∴AD＝AF＝a，CE＝CF，BE＝BD，
则BC＝BE+CE＝BD+CF＝6，
∵△ABC周长为20，
∴AD+AF+CF+BC+BD＝20，即：a+a+6+6＝20，
解得：a＝4，即AD＝4．
故选：C．
2．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△ABP的内心．其中所有正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】由切线长定理即可判断①；证△OAP≌△OBP即可判断②；取OP的中点Q，连接AQ，BQ，可得，即可判断③；连接AM，BM，根据∠OAB+∠PAB＝∠APM+∠PAB＝90°可得∠OAB＝∠APM，结合∠OAM＝∠OMA可得∠BAM＝∠PAM，即可判断④．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，故①正确；
∵OA＝OB，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴△OAP，△OBP关于OP对称，
∴OP⊥AB，故②正确；
连接AM，BM，如图所示：
则∠OAB+∠PAB＝∠APM+∠PAB＝90°，
∴∠OAB＝∠APM，
∵OA＝OM，
∴∠OAM＝∠OMA，
∴∠OAB+∠BAM＝∠APM+∠PAM，
∴∠BAM＝∠PAM，
即：AM平分∠BAP；
同理可得：BM平分∠ABP；
∴M是△ABP的内心．故④正确；
取OP的中点Q，连接AQ，BQ，如图所示：
则，
即QA＝QO＝QP＝QB，
∴以Q为圆心，QA为半径，则B，O，A，P四点共圆，故③正确；
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝4，AF＝6，则△ABC的面积是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
【思路点拔】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝4，AF＝AE＝6，
∴AB＝AF+BF＝6+4＝10，
又∵∠C＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO＝DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO＝x，
则EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC2+AC2＝AB2，
故（x+4）2+（x+6）2＝102，
解得：x＝2，
∴BC＝6，AC＝8，
∴S△ABC6×8＝24，
故选：A．
4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则△ABC内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【思路点拔】由题意易得BC＝12，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴BC12，
设△ABC内切圆的半径为r，
则，
∴；
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【思路点拔】由勾股定理求出AB＝5，设内切圆与AC边的切点为D，与BC边的切点为F，与AB边的切点为E，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，圆的半径为r，则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，再由等面积法得出6r＝6，即可得解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
设内切圆与AC边的切点为D，与BC边的切点为F，与AB边的切点为E，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，圆的半径为r，
，
则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，
∵，，
∴6r＝6，
∴r＝1，
故选：A．
6．如图，在⊙O中，AB是直径，且AB＝10，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，OP，CO．关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④点P是△AOC的内心；⑤若CB∥GD，则．正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤
【思路点拔】①用反证法判断即可得出结论．
②想办法证明∠GPD＝∠GDP，可得结论．
③想办法证明AP＝PQ，可得结论．
④说明∠CAP与∠DAB不一定相等，即可判断本结论错误．
⑤证明△AOC是等边三角形，求出OP即可判断．
【解答】解：不妨设∠BAD＝∠ABC，则，
∵，
∴，这个显然不符合题意，故①错误，
连接OD，∵GD是⊙O的切线，
∴OD⊥DG，
∴∠ODG＝90°，
∴∠GDP+∠ODA＝90°，
∵GE⊥AB，
∴∠AEP＝90°，
∴∠PAE+∠APE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠APE＝∠GPD，
∴∠GDP＝∠GPD，
∴GP＝GD，故②正确，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACP+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵，
∴∠CAP＝∠ABC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PC＝PA，
∵∠AQC+∠CAP＝90°，∠ACP+∠PCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ，
∴PA＝PQ，
∵∠ACQ＝90°，
∴点P是△ACQ的外接圆的圆心，故③正确，
∵与不一定相等，
∴∠CAP与∠DAB不一定相等，
∴点P不一定是△AOC的内心，故④错误，
∵DG∥BC，OD⊥DG，
∴OD⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∠CAD＝∠DAB＝30°
∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵CE⊥OA，
∴∠ACE＝∠OCE，
∴点P是△AOC的外心，
∴OP＝AP＝PC，故⑤正确，
故选：C．
7．如图，周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4cm，则三角形纸片BDE的周长是（ ）
A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm
【思路点拔】设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于G，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于G，如图，
由切线长定理可知：AM＝AF，CN＝CF，BM＝BN，DM＝DG，EG＝EN，
∵AB+AC+BC＝15cm，AC＝4cm，
∴AM+CN＝AC＝4cm，AB+BC＝11（cm），
∴三角形纸片BDE的周长＝DB+DE+BE＝BD+DG+GE+BE＝BM+BN＝AB+BC﹣AC＝7（cm），
故选：D．
8．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则⊙O的半径是（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
【思路点拔】利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出⊙O的半径．
【解答】解：⊙O是四边形ABCD的内切圆，设切点分别为：F，G，M，E，
连接FO，OA，OG，OC，OM，OB，OE，OD，⊙O的半径为r，
∴FO＝OG＝OM＝OE＝r，
∴四边形ABCD的面积EO ADOMDCGO BCFO AB
（AD+AB+BC+DC）r
24r
＝36，
解得：EO＝3．
故⊙O的半径为3．
故选：B．
9．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．125° C．135° D．140°
【思路点拔】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系．
【解答】解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C∠AOB，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB∠CAB，∠IBA∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
＝180°（∠CAB+∠CBA），
＝180°（180°﹣∠C）
＝90°∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AIB＝90°∠AOB，
∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．
∵∠AIB＝125°，
∴∠AOB＝140°．
故选：D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，若AE＝4，BE＝6，则CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【思路点拔】根据切线长定理得：AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF，再利用勾股定理列方程可得CD的长．
【解答】解：∵Rt△ABC的内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，
∴AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF，
∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（4+CD）2+（CD+6）2＝（4+6）2，
解得：CD＝﹣12（舍）或2，
故选：A．
11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；③连接BE，CE，若∠BAC＝40°，则∠BEC＝140°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拔】根据相关知识逐个判断即可．利用内心定义可判断①；根据垂径定理的推论可判断②；根据三角形的内角和定理和内心定义可判断③；根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定可判断④．
【解答】解：∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
设△ABC外接圆圆心为O，连接OD，则OD垂直平分BC，
∵点G为BC的中点，
∴点G为OD与BC的交点，即∠BGD＝90°，故②正确；
∵∠BAC＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝140°，
∵点E是△ABC的内心，
∴，，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）110°，故③错误；
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴∠DBC＝∠BAD，
∵∠DBE＝∠DBC+∠EBC，∠DEB＝∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴BD＝DE，故④正确，
综上，正确的有3个，
故选：B．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝14，CD＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【思路点拔】过点I作IG⊥AB，IF⊥AC，垂足分别为G，F，可得AG＝AF，BG＝BE，DE＝DF，设AG＝AF＝a，DE＝DF＝b，BE＝BG＝14﹣b，再由AB＝AC，即可求解．
【解答】解：如图，过点I作IG⊥AB，IF⊥AC，垂足分别为G，F，
∵点I为△ABD的内心，
∴以IE为半径的圆I是△ABD的内切圆，
∴AG＝AF，BG＝BE，DE＝DF，
设AG＝AF＝a，DE＝DF＝b，
∵BD＝14，
∴BE＝BG＝14﹣b，
∴AB＝AG+BG＝a+14﹣b，AC＝AD+DC＝a+b+6，
∵AB＝AC，
∴a+14﹣b＝a+b+6，
解得：b＝4，
∴BE＝14﹣b＝10．
故选：C．
13．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC度数等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【思路点拔】利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出∠OBC+∠OCB，进而求出答案．
【解答】解：∵O是△ABC的内心，
∴，，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∴，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝130°．
故选：D．
14．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，若AC＝6，DC＝2，则⊙O的半径等于（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】设圆O与AC的切点为M，圆的半径为r，求得△AOM∽△ADC，利用相似比作为相等关系可列式r：2＝（6﹣r）：6，解之即可．
【解答】解：设圆O与AC的切点为M，圆的半径为r，
如图，连接OM，
∵∠C＝90°，
∴CM＝r，
∵∠OAM＝∠OAM，∠C＝∠OMA＝90°，
∴△AOM∽△ADC，
∴OM：CD＝AM：AC，
即r：2＝（6﹣r）：6，
解得．
故选：A．
15．已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
【思路点拔】根据题意判断三角形是等边三角形，作出图形，根据内切圆的半径为2求出外接圆的半径，利用圆面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵一个三角形的内心与外心重合，
∴该三角形是等边三角形，
根据题意，如图，△ABC是等边三角形，其内心外心均为点O，连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，则OD＝2，
∵∠ABC＝60°，OB平分∠ABC，
∴，
在Rt△OBD中，
OB＝2OD＝4，
∴△ABC的外接圆半径为4，
∴它的外接圆的面积为π×42＝16π，
故选：D．
16．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【思路点拔】延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题．
【解答】解：延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC＝DM，
∴∠ICM＝90°，
∴CM8，
∵AI＝2CD＝10，
∴AI＝IM，
∵AE＝EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IECM＝4，
故选：C．
17．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
A．19 B．17 C．22 D．20
【思路点拔】设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，得四边形OHCG是正方形，由切线长定理可知：AF＝AG，根据DE是⊙O的切线，可得MD＝MF，EM＝EG，根据勾股定理可得AB＝5，再求出内切圆的半径（AC+BC﹣AB）＝2，进而可得△ADE的周长．
【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，
∴四边形OHCG是正方形，
由切线长定理可知：AF＝AG，
∵DE是⊙O的切线，
∴MD＝DF，EM＝EG，
∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB13，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴内切圆的半径（AC+BC﹣AB）＝2，
∴CG＝2，
∴AG＝AC﹣CG＝12﹣2＝10，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝20．
故选：D．
18．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（ ）（结果保留π）
A．π B．2π C．3π D．4π
【思路点拔】直接利用正方形的判定方法以及切线的性质得出四边形ECFO为正方形，进而得出正方形边长即可得出答案．
【解答】解：连接OE、OF，
∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
∴AB＝5，
∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴EB＝DB，CE＝CF，AD＝AF，OE⊥BC，OF⊥AC，
又∵∠C＝90°，OF＝OE，
∴四边形ECFO为正方形，
∴设OE＝OF＝CF＝CE＝x，
∴BE＝4﹣x，FA＝3﹣x；
∴DB＝4﹣x，AD＝3﹣x，
∴3﹣x+4﹣x＝5，
解得：x＝1，
则⊙O的面积为：π．
故选：A．
19．已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为（ ）
A．50° B．55° C．62.5° D．65°
【思路点拔】连接OB、OC，如图，利用内心的性质和三角形内角和得到∠BOC＝90°∠BAC＝125°，利用点O是△BCP的外心，然后根据圆周角定理得到∠BPC∠BOC．
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠BOC＝180°（∠ABC+∠ACB）＝90°∠BAC＝90°70°＝125°，
∵点O是△BCP的外心，
∴∠BPC∠BOC125°＝62.5°．
故选：C．
20．如图，AB是⊙O的直径，C在⊙O上，I为△ABC的内心，若∠BIO＝2∠AIO，则tan∠OBI的值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】延长BI交⊙O于点D，连接AD，则∠C＝∠D＝90°，因为I为△ABC的内心，所以∠DIA＝∠IAB+∠IBA∠CAB∠CBA＝45°，则∠DAI＝∠DIA＝45°，∠AIB＝135°，所以AD＝ID，由∠BIO＝2∠AIO，得∠AIO+2∠AIO＝135°，求得∠AIO＝45°，∠BIO＝90°，则OI⊥BD，所以AD＝ID＝IBBD，求得tan∠OBI，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长BI交⊙O于点D，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠CAB∠CBA＝45°，
∵I为△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠IAC∠CAB，∠IBA＝∠IBC∠CBA，
∴∠DIA＝∠IAB+∠IBA∠CAB∠CBA＝45°，
∴∠DAI＝∠DIA＝45°，∠AIB＝180°﹣∠DIA＝135°，
∴AD＝ID，
∵∠BIO＝2∠AIO，∠AIO+∠BIO＝∠AIB＝135°，
∴∠AIO+2∠AIO＝135°，
∴∠AIO＝45°，
∴∠BIO＝90°，
∴OI⊥BD，
∴AD＝ID＝IBBD，
∴tan∠OBI，
故选：B．
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，CF＝4，则劣弧EF的长是（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
【思路点拔】连接OE、OF，由⊙O与BC、AC分别相切于点E、点F，证明∠OEC＝∠OFC＝90°，而∠C＝90°，OE＝OF，则四边形OECF是正方形，所以OF＝CF＝4，∠EOF＝90°，即可根据弧长公式求得劣弧EF的长是2π，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OE、OF，
∵⊙O与BC、AC分别相切于点E、点F，
∴BC⊥OE，AC⊥OF，
∴∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴OF＝CF＝4，∠EOF＝90°，
∴2π，
∴劣弧EF的长是2π，
故选：A．
22．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝20，BC＝21，CA＝13，则下列说法不正确的是（ ）
A．∠EDF＝∠A B．∠EOF＝∠B+∠C
C．BD＝14 D．
【思路点拔】根据题干条件一一分析即可，另外再看选项时候A选项很容易判断，所以着重证其他选项即可．
【解答】解：∵⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AEO＝∠AFO＝90°，
∴∠EOF+∠A＝180°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠EOF＝∠B+∠C，故选项B不符合题意
根据切线长定理，设AE＝AF＝x，BF＝BD＝y，CE＝CD＝z．根据题意，得
，解得，
即BD＝14．故C选项不符合题意；
过点A作AH⊥BC于H，则CH＝21﹣BD，
∵AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，
∵202﹣BH2＝132﹣（21﹣BH）2，
解得BH＝16，
∴AH12，
连接OD，
∵⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴OD＝OE＝OF，
∵S△ABC（AB+BC+CA） OEBC AH，
∴54OE＝21×12，
∴OE．
故选项D不符合题意；
故选：A．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点O以2cm/s的速度在△ABC边上沿A→B→C→A的方向运动，以点O为圆心，半径为2cm作⊙O，运动过程中，⊙O与△ABC三边所在直线第一次相切和第三次相切的时间间隔是（ ）s
A． B．4 C． D．
【思路点拔】要求第一次相切和第三次相切的时间间隔，题目已知速度，那么就要求第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差，根据公式：时间＝路程÷速度即可求解．
【解答】解：根据点O的运动状况可知，⊙O与△ABC三边所在直线第一次是与AC相切，第二次是与BC相切，第三次是与AB相切，
∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴，
当⊙O与△ABC三边所在直线第一次相切时，作OD⊥AC于点D，如图1，
∵∠C＝90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△ADO∽△ACB，
∴，
∵OD＝2cm，
∴，解得；
当⊙O与△ABC三边所在直线第三次相切时，作OE⊥AB于点E，如图2，
∵∠C＝∠OEB＝90°，∠B＝∠B，
∴△OEB∽△ACB，
∴，
∵OE＝2cm，
∴，
解得，
∴⊙O与△ABC三边所在直线第一次相切和第三次相切的时间间隔是（s）；
故选：A．
24．如图，在△ABC中，AB+ACBC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出△ABC的面积，利用面积相等即可解决问题．
【解答】解：如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相交于AB、AC、BC于点E、G、F，
S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOCAB RBC RAC RR（AB+AC+BC），
∵AB+ACBC，
∴S△ABCR（BC+BC）R BC，
∵AD的长为h，
∴S△ABCBC h，
∴R BCBC h，
∴hR，
∴，
故选：A．
25．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拔】设这个三角形的内切圆半径是rcm，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设这个三角形的内切圆半径是r，
∵三角形周长为12，面积为6，
∴12r＝6，
解得r＝1．
故选：D．
26．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD、CD分别与⊙O切于点E、F，点M、N分别在线段DE、DF上，且MN与⊙O相切．若△MBN的面积为6，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B． C．2 D．
【思路点拔】设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a．因为AD、CD、MN是切线，可得AE＝DE＝DF＝CF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y，在Rt△DMN中，以为MN＝x+y，DN＝a﹣y，DM＝a﹣x，看到（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2，推出ax+ay+xy＝a2，根据S△BMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△DMN﹣S△BCN＝6，构建方程求出a即可解决问题．
【解答】解：设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a，
∵AD、CD、MN是切线，
∴AE＝DE＝DF＝CF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y，
在Rt△DMN中，
∵MN＝x+y，DN＝a﹣y，DM＝a﹣x，
∴（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2，
∴ax+ay+xy＝a2，
∵S△BMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△DMN﹣S△BCN＝6，
∴4a22a×（a+x）（a﹣x）（a﹣y）2a×（a+y）＝6，
∴a2（ax+ay+xy）＝6，
∴a2＝6，
∴a，
∴AB＝2a＝2，
∴⊙O的半径为，
故选：D．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD的大小是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【思路点拔】由⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC分别相切于点D，E，得BE＝BD，AO平分∠BAC，则∠BDE（180°﹣∠B），∠DAO∠BAC，所以∠AFD＝∠BDE﹣∠DAO（180°﹣∠B﹣∠BAC）∠ACB＝35°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC分别相切于点D，E，
∴BE＝BD，AO平分∠BAC，
∴∠BDE＝∠BED（180°﹣∠B），∠DAO∠BAC，
∴∠AFD＝∠BDE﹣∠DAO（180°﹣∠B）∠BAC（180°﹣∠B﹣∠BAC），
∵180°﹣∠B﹣∠BAC＝∠ACB＝70°，
∴∠AFD70°＝35°，
故选：A．
28．如图，在△ABC中，I为内心，P为△BIC的外接圆⊙O上一点，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．设∠EAB＝x，∠FAC＝y，若∠BAC＝54°，则（ ）
A．x+y＝54° B．x+y＝63° C．x+2y＝54° D．x+2y＝63°
【思路点拔】由∠BAC＝54°，求得（∠ABC+∠ACB）＝63°，因为I为△ABC的内心，所以∠IBC∠ABC，∠ICB∠ACB，则∠IBC+∠ICB（∠ABC+∠ACB）＝63°，求得∠P＝180°﹣∠BIC＝∠IBC+∠ICB＝63°，而∠E＝∠F＝90°，x+y+54°+63°＝180°，所以x+y＝63°，可判断B符合题意，而A、C、D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠BAC＝54°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣54°＝126°，
∴（∠ABC+∠ACB）126°＝63°，
∵I为△ABC的内心，
∴∠IBC＝∠ABI∠ABC，∠ICB＝∠ACI∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB（∠ABC+∠ACB）＝63°，
∴∠P＝180°﹣∠BIC＝∠IBC+∠ICB＝63°，
∵AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，
∴∠E＝∠F＝90°，
∴∠EAB+∠FAC+∠BAC+∠P＝∠EAF+∠P＝360°﹣2×90°＝180°，
∵∠EAB＝x，∠FAC＝y，
∴x+y+54°+63°＝180°，
∴x+y＝63°，
故B符合题意，而A、C、D不符合题意，
故选：B．
29．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点M是△ABC的内心，∠AMC＝128°，则∠CDE的度数为（ ）
A．52° B．64° C．76° D．78°
【思路点拔】由点M是△ABC的内心，得∠OAC∠BAC，∠OCA∠BCA，则∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA），而∠OAC+∠OCA＝180°﹣∠AMC＝52°，所以（∠BAC+∠BCA）＝52°，求得∠BAC+∠BCA＝104°，则∠B＝76°，由∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，得∠CDE＝∠B＝76°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵点M是△ABC的内心，∠AMC＝128°，
∴AM平分∠BAC，CM平分∠BCA，
∴∠OAC∠BAC，∠OCA∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA），
∵∠OAC+∠OCA＝180°﹣∠AMC＝180°﹣128°＝52°，
∴（∠BAC+∠BCA）＝52°，
∴∠BAC+∠BCA＝104°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣104°＝76°，
∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B＝76°，
故选：C．
30．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（ ）
A．d＝a+b﹣c B．
C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）|
【思路点拔】这是直角三角形内切圆的常考形式，直角三角形内切圆半径的常用形式有两个，分别是r和r，所以很快定位出选项A和选项B正确，而对于我们不熟悉的选项C和选项D可直接用特殊值法定位答案．
【解答】方法一：本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案．
∵三角形ABC为直角三角形，∴令a＝3，b＝4，c＝5．
选项A：d＝a+b﹣c＝2，
选项B：d2，
选项C：d2，
选项D：d＝|（a﹣b）（c﹣b）|＝1，
很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项．
故答案选：D．
方法二：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F．
易证四边形OECD是正方形，设OE＝OD＝OF＝r，
则EC＝CD＝r，
∴AE＝AF＝b﹣r，BD＝BF＝a﹣r，
∵AF+BF＝AB，
∴b﹣r+a﹣r＝c，
∴r，
∴d＝a+b﹣c．故选项A正确．
∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB，
∴abarbr+cr，
∴ab＝r（a+b+c），
∴r，即d．故选项B正确．
∵由前面可知d＝a+b﹣c，
∴d2＝（a+b﹣c）2＝（a+b）2﹣2c（a+b）+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2，
∵a2+b2＝c2，
∴上述式子＝2c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝2（c2+ab﹣ac﹣bc）＝2[（c2﹣ac）+b（a﹣c）]＝2（c﹣a）（c﹣b），
∴d，故选项C正确．
排除法可知选项D错误．
故答案选：D．
31．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
【思路点拔】由切线长定理可知AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，再根据线段的和差即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，
∵AD＝3，BE＝2，CF＝4，
∴AF＝3，BD＝2，CE＝4，
∴BC＝BE+EC＝6，AB＝AD+BD＝5，AC＝AF+FC＝7，
∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝18．
故选：A．
32．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，Ⅰ是△ABC的内心，连接AI并延长至点D，使ID＝BD．则∠DBC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【思路点拔】连接BI，因为Ⅰ是△ABC的内心，∠BAC＝70°，所以∠BAD＝∠DAC＝35°，∠CBI＝∠ABI，由ID＝BD，得∠DBI＝∠DIB，而∠DBI＝∠DBC+∠CBI，∠DIB＝∠DAC+∠ABI，所以∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠ABI，则∠DBC＝∠DAC＝35°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接BI，
∵Ⅰ是△ABC的内心，∠BAC＝70°，
∴∠BAD＝∠DAC∠BAC＝35°，∠CBI＝∠ABI，
∵ID＝BD，
∴∠DBI＝∠DIB，
∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI，∠DIB＝∠BAD+∠ABI＝∠DAC+∠ABI，
∴∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠ABI，
∴∠DBC＝∠DAC＝35°，
故选：B．
33．如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点O是内心，则∠BOC的度数是（ ）
A．50° B．100° C．115° D．120°
【思路点拔】由点O是△ABC的内心，求得∠OBC∠ABC＝25°，∠OCB∠ACB＝40°，则∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，
∴∠OBC＝∠ABO∠ABC＝25°，∠OCB＝∠ACO∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣25°﹣40°＝115°，
故选：C．
34．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC＝20°，则∠CAI的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【思路点拔】连接OC，则OC＝OB，所以∠OCB＝∠OBC＝20°，则∠BOC＝140°，所以∠BAC∠BOC＝70°，而点I是△ABC的内心，则∠CAI∠BAC＝35°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OC，则OC＝OB，
∵∠OBC＝20°，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝140°，
∴∠BAC∠BOC＝70°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI∠BAC＝35°，
故选：D．
35．如图所示，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝6，BE＝4，CF＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．36 B．38 C．40 D．42
【思路点拔】由切线长定理可知AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，再根据线段的和差即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，ACAC相切于点D，E，F，
∴AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，
∵AD＝6，BE＝4，CF＝8，
∴AF＝6，BD＝4，CE＝8，
∴BC＝BE+EC＝12，AB＝AD+BD＝10，AC＝AF+FC＝14，
∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝36．
故选：A．
36．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（ ）
A．20 B．15 C．18 D．12
【思路点拔】由O为△ABC的内心可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．
【解答】解：∵O为△ABC的内心，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．
∵△ABO的面积为20，
∴△ACO的面积为15．
故选：B．
37．如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE＝2CE，⊙O与四边形ABED的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆半径为y，则x：y的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【思路点拔】延长AD，BE交于点F，延长AD，BE交于点F，首先推导出△ABF∽△CEB，然后利用相似三角形的性质得到3，进而得解．
【解答】解：延长AD，BE交于点F，
∵⊙O与AF，BF，AB均相切，
∴⊙O是△ABF内切圆，
又∵AF∥BC，
∴△ABF∽△CEB，
∴3，
∴3．
故选：C．
38．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，若AI＝2CD，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】根据三角形的内心性质证明△CDE∽△ADC，得，所以DECD，然后表示出AE，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接IC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC，
∵AI＝2CD，
∴AI＝2DI，AD＝3CD，
∵∠BCD＝∠BAD＝∠CAI，∠D＝∠D，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴DECD，
∴AE＝AD﹣DE＝3CDCDCD，
∴8．
故选：D．
二．解答题（共22小题）
39．如图1，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点I是△ABC内一点，若且BI平分∠ABC．
（1）求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图2：直接写出答案：
△ABC外接圆的半径r＝ ；△ABC的内心I与外心O的距离l＝ ．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得∠ABC＝∠ACB＝90°∠BAC，再根据BI平分∠ABC得∠IBC＝45°∠BAC，进而可求出∠ICB＝45°∠BAC，则∠ICA＝45°∠BAC，由此得CI平分∠ACB，然后根据三角形内心的定义可得出结论；
（2）解：连接OB，ID，IF，IB，IC，依题意得A，I，O在同一条直线上，且AE⊥BC，OA＝OB＝r，BE＝6，由此得AE＝8，则OE＝8﹣r，在Rt△OBE中由勾股定理可求出r，则OE；根据三角形内心性质得ID＝IE＝IF＝a，再根据S△IAB+S△IBC+S△ICA＝S△ABC可求出a＝3，由此可得△ABC的内心I与外心O的距离．
【解答】（1）证明：△ABC中，AB＝AC＝10，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC，
∴BI平分∠ABC，
∴∠IBC∠ABC＝45°∠BAC，
∵∠BIC＝90°∠BAC，
∴∠ICB＝180°﹣（45°∠BAC+90°∠BAC）＝45°∠BAC，
∴∠ICA＝∠ACB﹣∠ICB＝90°∠BAC﹣（45°∠BAC）＝45°∠BAC，
∴∠ICB＝∠ICA，
∴CI平分∠ACB，
∴点I是△ABC的内心；
（2）解：连接OB，ID，IF，IB，IC，如图所示：
∵△ABC是等腰三角形，点I是内心，点O是外心
∴A，I，O在同一条直线上，且AE⊥BC，OA＝OB＝r，
∴BE＝CEBC＝6，
在Rt△ABE中，AB＝10，BE＝6，
由勾股定理得：AE8，
在Rt△OBE中，OB＝r，OE＝AE﹣OA＝8﹣r，BE＝6，
由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，
∴r2＝（8﹣r）2+62，
解得：r，
∴OA＝OB＝r，
∴OE＝AE﹣OA，
∵点I为△ABC的内心，D，E，F为且点，
∴ID＝IE＝IF＝a，
∵S△IAB+S△IBC+S△ICA＝S△ABC，
∴AB IFBC IEAC IDBC AD，
∴10a12a10a12×8，
解得：a＝3，
∴IE＝a＝3，
∴I＝IE﹣OE，
∴△ABC外接圆的半径r；△ABC的内心I与外心O的距离l．
故答案为：；．
40．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，若⊙O的半径为2，求△ABC的周长．
【思路点拔】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．
【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，
由切线长定理得AE＝x，
∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，
即（x+2）2+52＝（x+3）2，
解得x＝10，
∴△ABC的周长为12+5+13＝30．
41．在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝ AD ，BD＝ BE ；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 1 ；
（2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）连接OE，OF，由切线长定理可知，AF＝AD，BD＝BE，根据∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，可得∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，故四边形OECF是正方形，设OE＝OF＝CF＝CE＝x，可得4﹣x+3﹣x＝5，解得x＝1，即⊙O半径长为1；
（2）过O作OH⊥MN于H，连接OD，OE，OF，根据∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，可得△AMN≌△ABC（AAS），从而AN＝AC，即可得DN＝CF，又CF＝OE，有DN＝OE，证明四边形OHND是矩形，即可得OH＝OE，即OH是⊙O的半径，故MN是⊙O的切线．
【解答】（1）解：连接OE，OF，如图：
由切线长定理可知，AF＝AD，BD＝BE，
∵∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
设OE＝OF＝CF＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x＝BD，AF＝AC﹣CF＝3﹣x＝AD，
∵BD+AD＝AB5，
∴4﹣x+3﹣x＝5，
解得x＝1，
∴OE＝1，即⊙O半径长为1；
故答案为：AD，BE，1；
（2）证明：过O作OH⊥MN于H，连接OD，OE，OF，如图：
∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，
∴△AMN≌△ABC（AAS），
∴AN＝AC，
∵AD＝AF，
∴AN﹣AD＝AC﹣AF，即DN＝CF，
同（1）可知，CF＝OE，
∴DN＝OE，
∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN，
∴四边形OHND是矩形，
∴OH＝DN，
∴OH＝OE，即OH是⊙O的半径，
∵OH⊥MN，
∴MN是⊙O的切线．
42．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 ；
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．
【思路点拔】（1）先根据勾股定理求出BC＝17，再根据三角形的面积公式可求出AD的长；
（2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点O的位置，过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，设BM＝x cm，⊙O的半径为R cm，则CM＝（160﹣x）cm，再根据勾股定理列出关于x的方程得1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，则x＝50，进而得AMcm，则S△ABCcm2，然后根据S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC，得（100+160+140）R，据此可得⊙O的半径．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝8，
由勾股定理得：BC17．
由三角形的面积得：S△ABCAB ACBC AD，
∴AB AC＝BC AD，
∴AD．
故答案为：．
（2）可以．
∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆，
∴所求圆的圆心是△ABC的内心，
作∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点O，
则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，
过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
设BM＝x cm，⊙O的半径为R cm，
∵AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm，
∴CM＝（160﹣x）cm，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM2＝AB2﹣BM2＝1002﹣x2，
在Rt△ACM中，由勾股定理得：AM2＝AC2﹣CM2＝1402﹣（160﹣x）2，
∴1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，
解得：x＝50，
∴AM（cm），
∴S△ABCBC AM（cm2）
∵点O为△ABC的内心，
∴OH＝OP＝OQ＝R cm，
∵S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC，
∴BC OHAC OPAB OQ，
即（100+160+140）R，
∴R．
43．如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点I是△ABC的内心，连接BI并延长交⊙O于点D，点E在BD的延长线上，满足∠EAD＝∠CAD．试证明：
（1）OA所在的直线经过点I；
（2）点D是IE的中点．
【思路点拔】（1）连接OA、OB、OC、AI，可证明△AOB≌△AOC，得∠BAO＝∠CAO，则AO平分∠BAC，再由点I是△ABC的内心，证明AI平分∠BAC，所以AO与AI在同一条直线上，即可证明OA所在的直线经过点I；
（2）连接OD，推导出∠OAD∠AOD＝90°，则∠OAD+∠ABD＝90°，再证明∠ABD＝∠EAD，则∠IAE＝∠OAD+∠EAD＝90°，再推导出∠DIA＝∠DAI，则ID＝AD，由∠DIA+∠E＝90°，∠DAI+∠DAE＝90°，证明∠E＝∠DAE，则ED＝AD，所以ID＝ED，即可证明点D是IE的中点．
【解答】证明：（1）连接OA、OB、OC、AI，
∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO平分∠BAC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴AO与AI在同一条直线上，
∴OA所在的直线经过点I．
（2）连接OD，则OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴2∠OAD+∠AOD＝180°，
∴∠OAD∠AOD＝90°，
∵∠ABD∠AOD，
∴∠OAD+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝∠CBD＝∠CAD，∠EAD＝∠CAD，
∴∠ABD＝∠EAD，
∴∠IAE＝∠OAD+∠EAD＝90°，
∵∠DIA＝∠ABD+∠BAO＝∠CAD+∠CAO＝∠DAI，
∴ID＝AD，
∵∠DIA+∠E＝90°，∠DAI+∠DAE＝90°，
∴∠E＝∠DAE，
∴ED＝AD，
∴ID＝ED，
∴点D是IE的中点．
44．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝8，AC＝6，BE＝4，求AI的长．
【思路点拔】（1）根据I是△ABC的内心，于是得到AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，根据等腰三角形的性质可得到结论；
（2）连接EC．根据已知条件得到BE＝EC＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIE＝∠BAE+∠ABI，∠IBE＝∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE＝∠CAE，
∴∠BIE＝∠EBI，
∴EB＝EI；
（2）解：连接EC．
∵∠BAE＝∠CAE，
∴，
∴BE＝EC＝4，
∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠DCE，
∴△ADB∽△CDE，
∴2，设DE＝m，CD＝n，则BD＝2m，AD＝2n，
同法可证：△ADC∽△BDE，
∴，
∴，
∴n：m＝3：2，设n＝3k，m＝2k，
∵∠CED＝∠AEC，∠ECD＝∠BAE＝∠CAE，
∴△ECD∽△EAC，
∴EC2＝ED EA，
∴42＝m （m+2n），
∴16＝2k（2k+6k）
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴DE＝2，AD＝6，
∴AE＝8，
∵EI＝BE＝4，
∴AI＝AE﹣EI＝4．
45．如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°．求∠A的大小．
【思路点拔】连接ID、IF，如图，先根据圆周角定理得到∠DIF＝2∠DEF＝100°，再根据切线的性质得ID⊥AB，IF⊥AC，则∠ADI＝∠AFI＝90°，然后根据四边形内角和计算∠A的度数．
【解答】解：连接ID、IF，如图，
∵∠DEF＝50°，
∵∠DIF＝2∠DEF＝100°，
∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB、CA分别相切于点D、F，
∴ID⊥AB，IF⊥AC，
∴∠ADI＝∠AFI＝90°，
∴∠A+∠DIF＝180°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°．
答：∠A的大小为80°．
46．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D、过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）求证：DE＝CD；
（3）若DE＝2，BC＝8，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接OD交BC于H，根据圆周角定理和切线的判定即可证明；
（2）连接BD，由点E是△ABC的内心，得到∠ABE＝∠CBE，∠DBC＝∠BAD，推出∠BED＝∠DBE，根据等角对等边得到BD＝DE，即可得到结论；
（3）根据垂径定理和勾股定理即可求出结果．
【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）证明：连接BD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
即∠BED＝∠DBE，
∴BD＝DE，
∵，
∴BD＝CD，
∴DE＝CD；
（3）解：连接OD，OB，如图，
由（1）得OD⊥BC，BH＝CH，
∵BC＝8，
∴BH＝CH＝4，
∵DE＝2，BD＝DE，
∴BD＝2，
在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2，
∴（2）2＝42+HD2，解得：HD＝2，
在Rt△BHO中，
r2＝BH2+（r﹣2）2，解得：r＝5．
47．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．
（1）求证：BC∥EF；
（2）连接CE，若⊙O的半径为，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
【思路点拔】（1）连接OE，交BC于点G，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，由D为△ABC 的内心，得到∠OAE＝∠CAE，求得OE∥AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BGO＝90°，根据切线的性质得到∠FEO＝90°，根据平行线的判定定理得到结论；
（2）连接BE，根据三角函数的定义得到∠AEC＝30°，求得∠ABC＝∠AEC＝30°，求得EF＝OE tan60°＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，交BC于点G，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
又∵D为△ABC 的内心，
∴∠OAE＝∠CAE，
∴∠OEA＝∠CAE，
∴OE∥AC，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BGO＝90°，
又∵EF为⊙O的切线且OE为⊙O的半径，
∴∠FEO＝90°，
∴∠BGO＝∠FEO，
∴BC∥EF；
（2）解：∵，
∴∠AEC＝30°，
∴∠ABC＝∠AEC＝30°，
∴∠BOE＝60°，∠EFO＝30°，
∴EF＝OE tan60°＝2，
∴S阴影部分＝S△EFO﹣S扇形BOE
．
48．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长．
【思路点拔】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据三角形的内角和定理求出∠CAB＝65°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI，然后利用圆周角定理得到∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，利用三角形的外角性质证得∠DAI＝∠DIA，然后利用等角对等边可得结论；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和切线长定理得到AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，利用解直角三角形求得CF＝2＝CP，AB＝13，进而可求解．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；
（2）DI＝AD＝BD，
连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，，
∴，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝AD＝BD；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI cos45°＝2＝CP，
∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°，
∴，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC
＝AB+AF+CF+CP+BP
＝AB+AQ+BQ+2CF
＝2AB+2CF
＝2×13+2×2＝30．
49．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝6，，点I为△ABC的内心，求GI的长．
【思路点拔】（1）连接OG，根据角平分线的定义得到∠BAG＝∠CAG，根据垂径定理得到OG⊥BC，根据平行线的性质得到OG⊥EF，根据切线的判定定理得到结论；
（2）连接BI，BG，根据角平分线定义得到∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，推出∠BIG＝∠GBI，得到BG＝IG，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OG，
∵∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，
∴∠BAG＝∠CAG，
∴，
∴OG⊥BC，
∵DE∥BC
∴OG⊥EF，
∵OG是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：连接BI，BG，
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，
∴∠BAI＝∠CBG，
∴∠BIG＝∠GBI，
∴BG＝IG，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADG，
∴，
∵AG＝6，
∴AF＝4，
∴FG＝2，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，
∴△BGF∽△AGB，
∴，
∴，
∴BG＝2（负值舍去），
∴GI的长为2．
50．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
【思路点拔】（1）根据三角形内心的性质得∠2＝∠4，再利用圆内接四边形的性质得∠ADF＝∠ABC，则∠1＝∠2，从而得到∠1＝∠3，即可得出结论；
（2）证明△DAE∽△DBA，利用相似比得到AD＝6，则DI＝6，再计算BD﹣DI即可．
【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）解；∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴，即，
∴AD＝6，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6＝∠DAI，
∴DI＝AD，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
51．如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D．
（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．
（2）求∠AMB的度数．
（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：．
【思路点拔】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而AB＝10，AC＝6，则BC8；
（2）因为点M是△ABC的内心，所以∠MAB∠CAB，∠MBA∠CBA，则∠MAB+∠MBA（∠CAB+∠CBA）＝45°，即可根据三角形内角和定理求得∠AMB＝135°；
（3）连结AD、BD，则∠ADB＝90°，因为CM平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD∠ACB＝45°，则，所以AD＝BD，由勾股定理得ABAD，由∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，得∠DAM＝∠DMA，则DM＝AD，所以ABDM，即可证明DMAB．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC8，
∴BC的长为8．
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵点M是△ABC的内心，
∴AM平分∠CAB，BM平分∠CBA，
∴∠MAB∠CAB，∠MBA∠CBA，
∴∠MAB+∠MBA（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°，
∴∠AMB的度数为135°．
（3）证明：连结AD、BD，则∠ADB＝90°，
∵点M是△ABC的内心，∠ACB＝90°，
∴CM平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝45°，
∴，
∴AD＝BD，
∴ABAD，
∵∠DAB＝∠ACD＝45°，∠MAB＝∠MAC，
∴∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，
∵∠DAM＝∠DAB+∠MAB，∠DMA＝∠ACD+∠MAC，
∴∠DAM＝∠DMA，
∴DM＝AD，
∴ABDM，
∴DMAB．
52．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至E，使得BD＝DE，连接CE、BI．
（1）求证：DB＝DI；
（2）求证：直线CE为⊙O的切线；
（3）若，BC＝20，求AD的长．
【思路点拔】（1）欲证明DB＝DI，只要证明∠DBI＝∠DIB；
（2）欲证明直线CE为⊙O的切线，只要证明BC⊥CE即可；
（3）要根据tan∠ADB，BC＝20，求AD的长，只要求得BD的长即可，
【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，∠IBA＝∠IBC，
∵∠BID＝∠BAI+∠IBA，∠DBI＝∠IBC+∠DBC，∠DBC＝∠IAC，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴DB＝DI；
（2）证明：连接CD．如图1，
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴BD＝CD，
又∵BD＝DE，
∴CD＝DB＝DE，
∴∠BCE＝90°，
∴BC⊥CE，
∵BC为圆的直径，
∴CF是⊙O的切线．
（3）如图2，
在Rt△ABC中，BC＝20，∠ACB＝∠ADB，tan∠ADB，
∴AB＝16，AC＝12，
过点I作IH⊥AC于H，
∵点I是Rt△ABC内心，
∴内切圆的半径IH4，
在Rt△AIH中，∠CAD＝45°，
∴AIIF＝4，
由（2）知，△BDC为等腰直角三角形，
又∵BC＝20，
∴BD＝2010，
∴DI＝BD＝10，AD＝DI+AI＝14．
53．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°．
（1）若AB＝4，BC＝3，
①求Rt△ABC外接圆的半径；
②求Rt△ABC内切圆的半径；
（2）连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD，求此⊙O的半径．
【思路点拔】（1）①先求得线段AC的长度，然后取AC的中点H，得到AH的长即为△ABC的外接圆半径；
②过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，然后可得四边形OEBF是正方形，设半径为r，结合点O是△ABC的内心可得AF＝4﹣r，CE＝3﹣r，然后由切线长定理得到AG＝AF＝4﹣r，CG＝CE＝3﹣r，进而得到AC＝7﹣2r，最后利用勾股定理求得r的值；
（2）设半径为r，则OF＝r，AF＝6﹣r，由内心的定义可知∠CAD＝∠BAD，然后利用正切值求得r的大小，即为结果．
【解答】解：（1）①如图1，取AC的中点H，
∵∠B＝90°，
∴点H是Rt△ABC的外接圆圆心，
∵AB＝4，BC＝3，∠B＝90°，
∴AC＝5，
∴AHAC，
∴Rt△ABC的外接圆半径为．
②如图2，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，则∠OFB＝∠OEB＝90°，
∵∠B＝90°，
∴四边形OEBF是正方形，
设半径为r，则BF＝OF＝OE＝BE＝r，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，AB＝4，BC＝3，
∴AF＝AG＝4﹣r，CD＝CG＝3﹣r，
∴AC＝AG+CG＝7﹣2r，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴42+32＝（7﹣2r）2，
解得：r＝1或r＝6（舍），
∴Rt△ABC内切圆的半径为1．
（2）如图2，设半径为r，则OF＝r，AF＝6﹣r，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴∠OAF＝∠CAD，
∵tan∠CAD，
∴tan∠OAF，
∴，
解得：r，
∴⊙O的半径为．
54．已知I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接DC，DB．
（1）在图1中：①证明：DC＝DB；②判断△IBC外心的位置，并证明；
（2）如图2，若AB为△ABC的外接圆直径，取AB中点O，且OI⊥AD于点I，DE切圆O于点D，求tan∠ADE的值．
【思路点拔】（1）①根据内心的性质以及圆周角定理，即可得出结论；
②根据三角形内心的性质，等腰三角形的性质和判定，得出DC＝DI＝DB即可；
（2）根据锐角三角函数的定义，切线的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】（1）证明：①∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，即∠CAD＝∠BAD，
∴DC＝DB；
②D为△外心，证明如下：
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠CBA，
即∠CBI＝∠ABI，
∵∠DBC＝∠DAC
∴∠DBI＝∠CBI+∠DBC＝∠ABI+∠DAC＝∠ABI+∠BAD＝∠DIB，
∴DI＝DB，
∴DC＝DI＝DB，
∴D为△外心；
（2）解：连接OD
∵AB为△ABC 的外接圆直径，O为AB中点，
∴O为△ABC的外接圆圆心，
∵DE切圆O于点D，
∴∠ODE＝90°，
即∠ODA+∠ADE＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AB为△ABC 的外接圆直径，
∴∠OAD+∠OBD＝∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠OBD，
∵OI⊥AD，OD＝OA，
∴DI＝IA，
∵由（1）得 DI＝DB，
∴AD＝2DB，
∴tan∠ADE＝tan ．
55．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D．
（1）求证：DB＝DI；
（2）如果OI⊥AD，IM⊥AB于M．求证：BC＝2AM．
【思路点拔】（1）连接BI，由点I是△ABC的内心，得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，则∠BAD+∠ABI＝∠CAD+∠CBI，而∠CAD＝∠CBD，所以∠BAD+∠ABI＝∠CBD+∠CBI，则∠BID＝∠IBD，所以DB＝DI；
（2）连接OD交BC于点E，由∠BAD＝∠CAD，得，则OD⊥BC，BE＝CE，而OI⊥AD，IM⊥AB，则∠BED＝∠AMI＝90°，IA＝DI＝DB，再推导出∠DBE＝∠IAM，进而证明△DBE≌△IAM，得BE＝AM，所以BC＝2BE＝2AM．
【解答】证明：（1）连接BI，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∴∠BAD+∠ABI＝∠CAD+∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD+∠ABI＝∠CBD+∠CBI，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBD+∠CBI，
∴∠BID＝∠IBD，
∴DB＝DI．
（2）连接OD交BC于点E，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，BE＝CE，
∵OI⊥AD，IM⊥AB，
∴∠BED＝∠AMI＝90°，IA＝DI，
∵DB＝DI，
∴DB＝IA，
∵∠DBE＝∠DAC，∠IAM＝∠DAC，
∴∠DBE＝∠IAM，
在△DBE和△IAM中，
，
∴△DBE≌△IAM（AAS），
∴BE＝AM，
∴2BE＝2AM，
∵BC＝2BE，
∴BC＝2AM．
56．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A，B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO．
（1）求证：DI＝DB；
（2）若BD＝2，IO⊥BI，求AI的长．
【思路点拔】（1）根据I是△ABC的内心，以及圆周角定理可得∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∠ABI＝∠CBI，从而得到∠BID＝∠IBD，即可求证；
（2）过O作OH⊥AD于点H，根据垂径定理可得AH＝HD，根据三角形中位线定理可得OHBD＝1，再证明△BDI是等腰直角三角形，可得ID＝BD＝2．∠BID＝45°，从而得到△OH1是等腰直角三角形，进而得到OH＝H1＝1，即可求解．
【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD．∠ABI＝∠CBI，
∴∠BID＝∠BAD+∠ABI＝∠CBD+∠CBI＝∠IBD．
∴DI＝DB；
（2）解：过O作OH⊥AD于点H，
∴AH＝HD，
∵点O为AB的中点，
∴OHBD＝1，
∵AB为直径，
∴∠D＝90°
∵DI＝DB，
∴△BDI是等腰直角三角形，
∴ID＝BD＝2．∠BID＝45°，
∵IO⊥BI，即∠OIB＝90°，
∴∠OIH＝45°，
∴△OHI是等腰直角三角形，
∴OH＝HI＝1，
∴AH＝HD＝HI+DI＝HI+DB＝1+2＝3，
∴AL＝AH+HI＝4．
57．如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，PA是⊙O的切线，BD∥OP，点D在⊙O上．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若△ABC的边AC＝6cm，BC＝8cm，I是△ABC的内心，求IO的长度．
【思路点拔】（1）如图，连接OD，AD，证明OP⊥AD，OP是AD的垂直平分线，再证明△ODP≌△OAP，可得∠ODP＝90°，可得PD是⊙O的切线．
（2）如图，过I作IU⊥AB于U，作IQ⊥AC于Q，作IV⊥BC于V，则IU＝IV＝IQ，求解，OB＝OA＝5，IV＝IQ＝IU＝2，证明四边形IVCQ为正方形，求解OU＝1，再利用勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BD∥OP，
∴OP⊥AD，OP是AD的垂直平分线，
∴PD＝PA，
∵OP＝OP，OD＝OA，
∴△ODP≌△OAP（SSS），
∴∠OAP＝∠ODP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠ODP＝90°，
∴PD是⊙O的切线．
（2）如图，过I作IU⊥AB于U，作IQ⊥AC于Q，作IV⊥BC于V，
则IU＝IV＝IQ，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴，OB＝OA＝5，
∴，
∴IV＝IQ＝IU＝2，
∵IV⊥BC，IQ⊥AC，∠ACB＝90°，IV＝IQ＝2，
∴四边形IVCQ为正方形，
∴CQ＝2，AQ＝6﹣2＝4，
∴，
∴OU＝5﹣4＝1，
∴．
58．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5cm，BC＝7cm，CA＝6cm，求AF，BD，CE的长．
【思路点拔】由切线长定理可知；AF＝AE，BF＝BD，CD＝CE，设AF＝AE＝x，则BF＝BD＝5﹣x，EC＝DC＝6﹣x，然后根据BD+DC＝BC＝7，列方程求解即可．
【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，
∴AF＝AE，BF＝BD，CD＝CE．
设AF＝AE＝x，则BF＝BD＝5﹣x，EC＝DC＝6﹣x．
根据题意得5﹣x+6﹣x＝7．
解得；x＝2cm．
∴AF＝2cm．BD＝5﹣x＝5﹣2＝3cm，EC＝6﹣x＝4cm．
∴AF＝2cm，BD＝3cm，EC＝4cm．
59．如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．
求证：OD＝CD．
【思路点拔】连接OC，根据点O是△ABC的内心，可得∠CAD＝∠BAD，∠OCA＝∠OCB，然后证明∠COD＝∠DCO，即可得到结论．
【解答】证明：如图，连接OC，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠CAD＝∠BAD，∠OCA＝∠OCB，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠COD＝∠CAD+∠OCA＝∠BAD+∠OCB，
∠DCO＝∠BCD+∠OCB，
∴∠COD＝∠DCO，
∴△DCO是等腰三角形，
∴OD＝CD．
60．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D．E，F为切点，且AB＝9cm，BC＝14cm．CA＝13cm，求AF，BD，CE的长．
【思路点拔】根据切线长定理，可设AE＝AF＝xcm，BF＝BD＝ycm，CE＝CD＝zcm．再根据题意列方程组，即可求解．
【解答】解：根据切线长定理，设AE＝AF＝xcm，BF＝BD＝ycm，CE＝CD＝zcm．
根据题意，得
解得，x＝4，y＝5，z＝9，
即AF＝4cm、BD＝5cm、CE＝9cm．中小学教育资源及组卷应用平台
《三角形的内心与内切圆》同步提升训练题
一．选择题（共38小题）
1．如图，△ABC与它的内切圆⊙O分别相切于点D、E、F．若△ABC周长为20，BC＝6，则AD长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．5
2．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△ABP的内心．其中所有正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝4，AF＝6，则△ABC的面积是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则△ABC内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．如图，在⊙O中，AB是直径，且AB＝10，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，OP，CO．关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④点P是△AOC的内心；⑤若CB∥GD，则．正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤
7．如图，周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4cm，则三角形纸片BDE的周长是（ ）
A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm
8．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则⊙O的半径是（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
9．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．125° C．135° D．140°
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，若AE＝4，BE＝6，则CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；③连接BE，CE，若∠BAC＝40°，则∠BEC＝140°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝14，CD＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
13．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC度数等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
14．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，若AC＝6，DC＝2，则⊙O的半径等于（ ）
A． B． C． D．
15．已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
16．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
17．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
A．19 B．17 C．22 D．20
18．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（ ）（结果保留π）
A．π B．2π C．3π D．4π
19．已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为（ ）
A．50° B．55° C．62.5° D．65°
20．如图，AB是⊙O的直径，C在⊙O上，I为△ABC的内心，若∠BIO＝2∠AIO，则tan∠OBI的值是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，CF＝4，则劣弧EF的长是（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
22．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝20，BC＝21，CA＝13，则下列说法不正确的是（ ）
A．∠EDF＝∠A B．∠EOF＝∠B+∠C
C．BD＝14 D．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点O以2cm/s的速度在△ABC边上沿A→B→C→A的方向运动，以点O为圆心，半径为2cm作⊙O，运动过程中，⊙O与△ABC三边所在直线第一次相切和第三次相切的时间间隔是（ ）s
A． B．4 C． D．
24．如图，在△ABC中，AB+ACBC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
25．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
26．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD、CD分别与⊙O切于点E、F，点M、N分别在线段DE、DF上，且MN与⊙O相切．若△MBN的面积为6，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B． C．2 D．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD的大小是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
28．如图，在△ABC中，I为内心，P为△BIC的外接圆⊙O上一点，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．设∠EAB＝x，∠FAC＝y，若∠BAC＝54°，则（ ）
A．x+y＝54° B．x+y＝63° C．x+2y＝54° D．x+2y＝63°
29．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点M是△ABC的内心，∠AMC＝128°，则∠CDE的度数为（ ）
A．52° B．64° C．76° D．78°
30．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（ ）
A．d＝a+b﹣c B．
C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）|
31．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
32．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，Ⅰ是△ABC的内心，连接AI并延长至点D，使ID＝BD．则∠DBC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
33．如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点O是内心，则∠BOC的度数是（ ）
A．50° B．100° C．115° D．120°
34．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC＝20°，则∠CAI的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
35．如图所示，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝6，BE＝4，CF＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．36 B．38 C．40 D．42
36．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（ ）
A．20 B．15 C．18 D．12
37．如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE＝2CE，⊙O与四边形ABED的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆半径为y，则x：y的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
38．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，若AI＝2CD，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．解答题（共22小题）
39．如图1，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点I是△ABC内一点，若且BI平分∠ABC．
（1）求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图2：直接写出答案：
△ABC外接圆的半径r＝ ；△ABC的内心I与外心O的距离l＝ ．
40．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，若⊙O的半径为2，求△ABC的周长．
41．在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝ ，BD＝ ；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 ；
（2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线．
42．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 ；
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．
43．如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点I是△ABC的内心，连接BI并延长交⊙O于点D，点E在BD的延长线上，满足∠EAD＝∠CAD．试证明：
（1）OA所在的直线经过点I；
（2）点D是IE的中点．
44．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝8，AC＝6，BE＝4，求AI的长．
45．如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°．求∠A的大小．
46．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D、过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）求证：DE＝CD；
（3）若DE＝2，BC＝8，求⊙O的半径．
47．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．
（1）求证：BC∥EF；
（2）连接CE，若⊙O的半径为，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
48．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长．
49．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝6，，点I为△ABC的内心，求GI的长．
50．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
51．如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D．
（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．
（2）求∠AMB的度数．
（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：．
52．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至E，使得BD＝DE，连接CE、BI．
（1）求证：DB＝DI；
（2）求证：直线CE为⊙O的切线；
（3）若，BC＝20，求AD的长．
53．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°．
（1）若AB＝4，BC＝3，
①求Rt△ABC外接圆的半径；
②求Rt△ABC内切圆的半径；
（2）连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD，求此⊙O的半径．
54．已知I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接DC，DB．
（1）在图1中：①证明：DC＝DB；②判断△IBC外心的位置，并证明；
（2）如图2，若AB为△ABC的外接圆直径，取AB中点O，且OI⊥AD于点I，DE切圆O于点D，求tan∠ADE的值．
55．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D．
（1）求证：DB＝DI；
（2）如果OI⊥AD，IM⊥AB于M．求证：BC＝2AM．
56．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A，B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO．
（1）求证：DI＝DB；
（2）若BD＝2，IO⊥BI，求AI的长．
57．如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，PA是⊙O的切线，BD∥OP，点D在⊙O上．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若△ABC的边AC＝6cm，BC＝8cm，I是△ABC的内心，求IO的长度．
58．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5cm，BC＝7cm，CA＝6cm，求AF，BD，CE的长．
59．如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．
求证：OD＝CD．
60．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D．E，F为切点，且AB＝9cm，BC＝14cm．CA＝13cm，求AF，BD，CE的长．
