第一章二次函数与实际问题题型2024--2025学年浙教版九年级数学上册（含答案）

二次函数与实际问题题型
一、实际生活中的应用
1．某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m．
（1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式；
（2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．
2．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
3．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．
若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．
若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小．
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？
4．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽40m，拱顶离水面8m．据调查，该河段水位在此基础上再涨2.1m达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
（1）任务1：确定桥拱形状：
在图2建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2：探究悬挂范围：
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
（3）任务3：拟定设计方案：
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
二、最值求法
5．合肥某商场购进一批新型网红玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系：
销售单价x/元 20 25 30 35
月销售量y/件 3300 2800 2300 1800
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？
6．如图是一块篱笆围成的矩形土地，并且由一条与边平行的篱笆分开，已知篱笆的总长为90米（厚度不计）．设米，米．
（1）用含有的代数式表示．
（2）设矩形土地面积为平方米，当时，求的最大值．
7．有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题：
（1）若为，求此时窗户的透光面积？
（2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明．
三、有关分段函数
8．传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
y=
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）
四、限定自变量取值范围
9．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的最大销售利润最大，最大利润是多少．
10．大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨元（为非负整数），每个月的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
11．某服装厂生产品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发品牌服装件时，批发单价为元，与之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数为10的正整数倍．
（1）当时，与的函数关系式为__________．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发品牌服装件，服装厂的利润为元，问：为何值时，最大？最大值是多少？
12．根据背景素材，探索解决实际问题
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P．
素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 　
素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米．
问题解决 　
任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 　
任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 　
任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为，位于桌面上方，离桌面，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 　
参考答案
1．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（5，8），
∴设 y＝a(x－5)2＋8，
把（13，0）代入，得：0＝a(13－5)2＋8，
解得：a＝－，
∴在 y 轴右侧抛物线的函数表达式为：y＝－ (x－5) 2＋8．
（2）解：在 中，
当 时，
答： 这个装饰物的设计高度为 .
2．（1）的值为12
（2）这个苗圃园的面积有最大值和最小值，最大值为平方米，最小值为88平方米
3．（1）解：方案①将二次函数的解析式由一般式化为顶点式可得：，
当时，取得最大值，最大值为；
②如图所示，过点作于，于，则，
设，梯形的面积为，则，
又∵，
∴，，，
；
当，
∵，
；
（2）解：由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大．
4．（1）解：如下图建立空间直角坐标系：
则顶点坐标为，则可设抛物线的解析式为：又抛物线经过点，则解得：则抛物线的解析式为：
（2）解：由题意知： 河段水位在此基础上再涨2.1m达到最高且 灯笼底部距离水面不小于1m ，灯笼长0.4m，则灯笼悬挂点的纵坐标：所以悬挂点的纵坐标最小值为，当时解得：所以悬挂点横坐标的取值范围为：
（3）解：从顶点处开始悬挂，因为，且相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，若顶点一侧悬挂灯笼时，则顶点一侧最多悬挂15盏灯笼，此时最左边悬挂点的横坐标为：共悬挂30盏灯笼.
5．（1）y＝﹣100x+5300；（2）当销售单价为35元时，月销售利润最大，最大利润是32400元.
6．（1）
（2）当时，S取得最大值，
7．（1）
（2）当时，窗户透光面积最大，与例题相比透光的最大面积变大
8．（1）李明第10天生产的粽子数量为280只.（2）第13天的利润最大，最大利润是578元.
9．（1）；（2）34；2240；
10．（1）；自变量的取值范围为，且x为整数
（2）每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元
（3）每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元
11．（1） （2）18000元 （3）或；3800
12．任务一：，点M与O的水平距离为；任务二：不能实现；任务三：．
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