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第2章：《直线与圆的位置关系》章末综合检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
2．（3分）已知圆的直径是8cm，圆心到直线的距离是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝22°，则∠D的度数为（ ）
A．22° B．44° C．46° D．58°
4．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是⊙O外一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接OC．若使CD切⊙O于点C，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A．OC∥AE B．∠OAC＝∠CAE C．∠OCA＝∠CAE D．OA＝AC
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AO上，⊙P与x轴交于M、O两点，当⊙P与该一次函数的图象相切时，AM的长度是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．6
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，过点O，E的直线交CF于点G，则CF的长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3.5 D．3
9．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．2 B．10 C．2或10 D．6或8
10．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，且AB＝10，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，OP，CO．关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④点P是△AOC的内心；⑤若CB∥GD，则．正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径等于 ．
12．（3分）如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝75°，则∠BOC的度数为 ．
13．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 ．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，PA＝4cm，PB＝3cm，则BC＝ ．
15．（3分）如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆．将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与⊙O相切，则旋转角的度数是 ．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点E （4，0），以AO为直径作⊙D，点G是⊙D上一动点，以EG为腰向下作等腰直角三角形EGF，连接DF，则DF的最大值是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
18．（8分） 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
19．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．
20．（8分）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接OE，连接BE交OC于F，若AB＝4，CD，
①求证：四边形DEFC是矩形；②求图中阴影部分的面积．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数：
（2）求证：DI＝DA；
（3）若AC＝5，，求BC的长．
24．（12分）如图1，在正方形ABCD中，AB＝12，点O，E在边CD上，且CE＝2，OD＝4，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）GD＝ ．
（2）将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜a＜180°），点O的对应点为O′，点F的对应点为F′．
①如图2，若M为半圆O′上一点，当点F′落在AD边上时，求点M到线段BC的最短距离；
②如图3，当半圆O′交BC于P，R两点时，若，求此时半圆O′与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O′与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠EDN的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章：《直线与圆的位置关系》章末综合检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【思路点拔】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【解答】解：∵直线m与⊙O公共点的个数为2个，
∴直线与圆相交，
∴d＜半径＝3，
故选：A．
2．（3分）已知圆的直径是8cm，圆心到直线的距离是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
【思路点拔】首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线a的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
【解答】解：∵x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1（不合题意舍去），
∵圆的直径是8cm，即圆的半径为4cm，
∴直线l与圆O的位置关系是相切，
故选：A．
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝22°，则∠D的度数为（ ）
A．22° B．44° C．46° D．58°
【思路点拔】连接OC，利用圆的切线的性质定理得到∠OCD＝∠OCE＝90°，∠OBD＝90°，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠AOC，再利用四边形的内角和定理和邻补角的意义解答即可．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝∠OCE＝90°，
∵∠ACE＝22°，
∴∠OCA＝90°﹣∠ACE＝68°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝68°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝44°．
∵DB为⊙O的切线，
∴OB⊥DB，
∴∠OBD＝90°，
∵∠BOC+∠OCD+∠OBD+∠D＝360°，
∴∠D+∠BOC＝180°．
∵∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠D＝∠AOC＝44°．
故选：B．
4．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【思路点拔】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
5．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接OC，由切线的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理求得∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用S阴影＝SRt△OCD﹣S扇形BOC即可解答．
【解答】解：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°，
∴∠ACO＝∠ACD﹣∠OCD＝120°﹣90°＝30°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵∠OCD＝90°，
∴，
∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形BOC2．
故选：D．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是⊙O外一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接OC．若使CD切⊙O于点C，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A．OC∥AE B．∠OAC＝∠CAE C．∠OCA＝∠CAE D．OA＝AC
【思路点拔】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质，逐项判定即可得到答案．
【解答】解：A、∵AE⊥CD，
∴∠AED＝90°，
当OC∥AE时，则∠OCD＝90°，即OC⊥DE，根据切线的判定，CD切⊙O于点C，该选项正确，不符合题意；
B、∵AE⊥CD，
∴∠AED＝90°，则∠CAE+∠ACE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
当∠OAC＝∠CAE时，则∠OCA+∠ACE＝90°，即OC⊥DE，根据切线的判定，CD切⊙O于点C，该选项正确，不符合题意；
C、当∠OCA＝∠CAE时，OC∥AE，
∵AE⊥CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠OCD＝90°，即OC⊥DE，根据切线的判定，CD切⊙O于点C，该选项正确，不符合题意；
D、当OA＝AC时，由OA＝OC得到OA＝OC＝AC，则△OAC是等腰三角形，无法确定∠OCD＝90°，不能得到CD切⊙O于点C，该选项不正确，符合题意；
故选：D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AO上，⊙P与x轴交于M、O两点，当⊙P与该一次函数的图象相切时，AM的长度是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．6
【思路点拔】根据一次函数yx+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出OA和OB的长，根据勾股定理求出AB，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，PB，设PD＝PO＝PM＝x，根据S△AOB＝S△APB+S△PBO列出关于x的方程，求出x，即可求出答案．
【解答】解：当x＝0时，yx+6＝6，
当y＝0时，x+6＝0，
∴x＝﹣8，
∵一次函数yx+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
在Rt△AOB中，
AB10，
如图，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，PB，
∴PD⊥AB，PD＝PO＝PM，
设PD＝PO＝PM＝x，
∵S△AOB＝S△APB+S△PBO．
∴OA OBAB PDPO OB，
∴6×8＝10x+6x，
解得x＝3，
∴AM＝OA﹣PM﹣PP＝2．
故选：C．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，过点O，E的直线交CF于点G，则CF的长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3.5 D．3
【思路点拔】过点O作OH⊥B′C于点H，根据切线的性质可得∠OEB′＝90°，根据矩形的性质可得AB＝CD＝5，∠B′＝∠B′CD′＝90°，从而可得OD＝OC＝OE＝2.5，根据旋转的性质可得BC＝B′C＝4，然后根据矩形的判定可得四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，从而可得B′H＝OE＝2.5，B′E＝OH＝CG，∠EGC＝90°，进而求出CH的长，最后在Rt△OHC中，利用勾股定理求出OH的长，最后根据垂径定理求出CF的长，即可解答．
【解答】解：过点O作OH⊥B′C于点H，
∴∠OHB′＝90°，
∵A'B'与⊙O相切于点E，
∴∠OEB′＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝5，
∴OD＝OC＝OE＝2.5，
由旋转得：
BC＝B′C＝4，
∵四边形A′B′C′D′是矩形，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，
∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，
∴B′H＝OE＝2.5，B′E＝OH＝CG，∠EGC＝90°，
∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5，
∴OH2，
∴CG＝OH＝2，
∵OG⊥CD′，
∴CF＝2CG＝4，
故选：B．
9．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．2 B．10 C．2或10 D．6或8
【思路点拔】由题意判定CD是圆的切线，从其性质在△P1EO中求得OP1，从而求得．
【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P在射线OA上，点P只能在直线CD的左侧．
∴P1E⊥CD，
又∵∠AOD＝30°，r＝2cm，
在△OEP1中OP1＝4cm，
又∵OP＝6cm，
∴P1P＝2cm，
∴圆P到达圆P1需要时间为：2÷1＝2（秒），
∴⊙P与直线CD相切时，时间为2秒，
当点P在点O的右侧时，同法可得t＝10秒，
故选：C．
10．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，且AB＝10，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，OP，CO．关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④点P是△AOC的内心；⑤若CB∥GD，则．正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤
【思路点拔】①用反证法判断即可得出结论．
②想办法证明∠GPD＝∠GDP，可得结论．
③想办法证明AP＝PQ，可得结论．
④说明∠CAP与∠DAB不一定相等，即可判断本结论错误．
⑤证明△AOC是等边三角形，求出OP即可判断．
【解答】解：不妨设∠BAD＝∠ABC，则，
∵，
∴，这个显然不符合题意，故①错误，
连接OD，∵GD是⊙O的切线，
∴OD⊥DG，
∴∠ODG＝90°，
∴∠GDP+∠ODA＝90°，
∵GE⊥AB，
∴∠AEP＝90°，
∴∠PAE+∠APE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠APE＝∠GPD，
∴∠GDP＝∠GPD，
∴GP＝GD，故②正确，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACP+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵，
∴∠CAP＝∠ABC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PC＝PA，
∵∠AQC+∠CAP＝90°，∠ACP+∠PCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ，
∴PA＝PQ，
∵∠ACQ＝90°，
∴点P是△ACQ的外接圆的圆心，故③正确，
∵与不一定相等，
∴∠CAP与∠DAB不一定相等，
∴点P不一定是△AOC的内心，故④错误，
∵DG∥BC，OD⊥DG，
∴OD⊥BC，
∴，
∵，
∴，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∠CAD＝∠DAB＝30°
∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵CE⊥OA，
∴∠ACE＝∠OCE，
∴点P是△AOC的外心，
∴OP＝AP＝PC，故⑤正确，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径等于 2 ．
【思路点拔】如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O为△ABC的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，设⊙O的半径为r，
先利用勾股定理计算出AB＝10，根据切线的性质得OD＝OE＝r，OD⊥AC，OE⊥BC，再证明四边形ODCE为正方形，得到CD＝CE＝OE＝r，则AD＝8﹣r，BE＝6﹣r，
然后根据切线长定理得到AF＝AD＝8﹣r，BF＝BE＝6﹣r，于是有8﹣r+6﹣r＝10，然后解方程即可得到r的值．
【解答】解：如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O为△ABC的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，
连接OD、OE、OF，设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AB10，
则OD＝OE＝r，OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴四边形ODCE为矩形，
而OD＝OE，
∴四边形ODCE为正方形，
∴CD＝CE＝OE＝r，
∴AD＝8﹣r，BE＝6﹣r，
∵AF＝AD＝8﹣r，BF＝BE＝6﹣r，
∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，
即这个三角形的内切圆半径等于2．
故答案为2．
12．（3分）如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝75°，则∠BOC的度数为 127.5° ．
【思路点拔】由点O是△ABC的内切圆的圆心，可得∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，又由∠BAC＝75°，可求得∠ABC+∠ACB的度数，再利用三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∵∠BAC＝75°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝105°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°105°＝127.5°．
故答案为：127.5°．
13．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 5 ．
【思路点拔】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，由△ABC的周长为14，可求BC的长．
【解答】解：∵⊙O与A B，BC，CA分别相切于点D，E，F
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14，
∴2（BE+CE）＝10，
∴BC＝5．
故答案为：5．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，PA＝4cm，PB＝3cm，则BC＝ cm ．
【思路点拔】先根据切线的性质得∠ABP＝90°，再在Rt△ABP中利用勾股定理计算出AB，接着利用圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，然后利用面积法求BC的长．
【解答】解：∵PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PB，
∴∠ABP＝90°，
在Rt△ABP中，∵PA＝4cm，PB＝3cm，
∴ABcm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AP，
∵S△ABPAB PBBC AP，
∴BCcm．
故答案为：cm．
15．（3分）如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆．将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与⊙O相切，则旋转角的度数是 40°或100° ．
【思路点拔】当BA′与⊙O相切时，可连接圆心与切点，通过构建直角三角形，求出∠A′BO的度数，然后再根据BA′的不同位置分类讨论．
【解答】解：如图：
①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB＝90°，
Rt△OPB中，OB＝2OP，
∴∠A′BO＝30°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ABA′＝40°；
②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时，
同①，可求得∠A′BO＝30°；
此时∠ABA′＝70°+30°＝100°，
故旋转角α的度数为40°或100°．
故答案为：40°或100°．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点E （4，0），以AO为直径作⊙D，点G是⊙D上一动点，以EG为腰向下作等腰直角三角形EGF，连接DF，则DF的最大值是 62 ．
【思路点拔】如图，连接DG，过点E作EH⊥AE，且DE＝EH，连接DH，FH，由“SAS”可证△GDE≌△HFE，可得GD＝FH＝2，可得点F在以H为圆心，2为半径的圆上，即可求DF的最大值．
【解答】解：如图，连接DG，过点E作EH⊥AE，且DE＝EH，连接DH，FH，
∵点A（﹣4，0），点E （4，0），
∴AO＝4＝OE，
∵AO是圆D直径，
∴DO＝AO＝2，
∴DE＝6＝EH，且EH⊥AE，
∴DH＝6，
∵等腰直角三角形EGF，
∴GE＝EF，∠GEF＝∠DEH＝90°，
∴∠GED＝∠FEH，且GE＝EF，DE＝EH，
∴△GDE≌△HFE（SAS）
∴GD＝FH＝2，
∴点F在以H为圆心，2为半径的圆上，
∴当点F在DH的延长线上时，DF有最大值，
∴DF的最大值为62，
故答案为：62．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
【思路点拔】设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，求出四边形BMON是正方形，求出BM＝BN＝3，根据切线长定理求出EM＝EP，FP＝FN，最后求出△BEF的周长＝BM+BN，代入求出即可．
【解答】解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，
则∠OMB＝∠ONB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∵ON＝OM，
∴四边形MBNO是正方形，
∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，
∴BM＝BN＝OM＝ONAB6＝3，
由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN，
∴△BEF的周长为BF+EF+BE
＝BF+PF+PE+BE
＝BF+FN+EM+BE
＝BN+BM
＝3+3
＝6．
18．（8分） 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
【思路点拔】连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE为⊙O的切线．
【解答】证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∵OD为⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
19．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．
【思路点拔】（1）连接OD，只需证明∠ODC＝90°即可；
（2）由（1）中的结论可得∠ODB＝30°，可求得弧AD的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可．
【解答】解：（1）相切．理由如下：
连接OD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD，
又∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥CB，
∴∠ODC＝∠C＝90°，
∴CD与⊙O相切；
（2）若∠CDB＝60°，可得∠ODB＝30°，
∴∠AOD＝60°，
又∵AB＝6，
∴AO＝3，
∴的长π．
20．（8分）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
【思路点拔】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论；
（2）连接AB，根据切线长定理求证PA＝PB，再三角形内角和定理求出∠PAB和∠PBA的度数，然后再利用BF为圆直径即可求出∠AFB的度数．
【解答】解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC＝DA，
同理EC＝EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA（180﹣40）＝70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°
∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．
答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；
（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接OE，连接BE交OC于F，若AB＝4，CD，
①求证：四边形DEFC是矩形；②求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）连接OC，根据，求得∠CAD＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）①连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，于是得到结论；
②根据矩形的性质得到EF＝CD，根据勾股定理得到AE＝2，求得∠AOE＝60°，连接CE，推出CE∥AB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）解：直线CD与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）①证明：∵，
∴OC⊥BE，BF＝EF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
②解：∵四边形DEFC是矩形，
∴EF＝CD，
∴BE＝2，
∴AE2，
∴AEAB，
∴∠ABE＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵，
∴∠COE＝∠BOC＝60°，
连接CE，
∵OE＝OC，
∴△COE是等边三角形，
∴∠ECO＝∠BOC＝60°，
∴CE∥AB，
∴S△ACE＝S△COE，
∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴DECD＝1，
∴AD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE3．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【思路点拔】（1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC＝∠OAC，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论；
（2）设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质得∠COE＝∠DAB，进而依据cos∠DAB＝cos∠COE解答即可；
（3）证明△AHF∽△ACE，根据相似三角形的性质即可得解．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD//OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，
设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴；
（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，
∴，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数：
（2）求证：DI＝DA；
（3）若AC＝5，，求BC的长．
【思路点拔】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据三角形的内角和定理求∠CAB＝65°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI，然后利用圆周角定理得到∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，利用三角形的外角性质证得∠DAI＝∠DIA，然后利用等角对等边可得结论；
（3）由（2）可知，然后由勾股定理依次求出，即可．
【解答】（1）解：AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，∠ABC＝25°，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；
（2）证明：连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，，
∴，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝DA；
（3）解：∵，
∴，
∵∠ADB＝90°，
∴，
∵AC＝5，∠ACB＝90°
∴．
24．（12分）如图1，在正方形ABCD中，AB＝12，点O，E在边CD上，且CE＝2，OD＝4，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）GD＝ 2 ．
（2）将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜a＜180°），点O的对应点为O′，点F的对应点为F′．
①如图2，若M为半圆O′上一点，当点F′落在AD边上时，求点M到线段BC的最短距离；
②如图3，当半圆O′交BC于P，R两点时，若，求此时半圆O′与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O′与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠EDN的值．
【思路点拔】（1）连接OG，利用正方形的性质和勾股定理解答即可；
（2）①过点O′作O′M⊥BC于点H，交半圆O于点M，延长HO′交AD于点Q，利用正方形的性质，矩形的判定与性质和圆的有关性质解答即可；
②利用勾股定理的逆定理得到△PO′R为等腰直角三角形，再利用三角形的面积公式和扇形的面积公式解答即可；
③利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：Ⅰ．当半圆O′与正方形ABCD的BC边相切时，连接O′N，DN，过点E作EJ⊥O′D于点J，利用矩形的判定与性质得到JN＝EC＝2，CN＝JE，利用勾股定理求得NC，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可；Ⅱ．当半圆O′与正方形ABCD的AB边相切时，此时点F′与点N重合，连接DN，利用矩形的判定与性质得到EN＝BC＝12，∠DEF＝90°，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
【解答】解：（1）连接OG，如图，
由题意得：OE＝CD﹣OD﹣CE＝12﹣2﹣4＝6，
∴OG＝OE＝6．
∴GD2．
故答案为：；
（2）①如图，过点O′作O′M⊥BC于点H，交半圆O于点M，延长HO′交AD于点Q，如图，
则∠QHC＝90°，
此时点M到BC的距离最短，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠D＝∠QHC＝90°，
∴四边形QHCD是矩形，
∴HQ＝CD＝12，HQ∥CD．
∵点O′是EF的中点，
∴，
在正方形ABCD中，
∵DC＝AB＝HQ＝12，DC＝AB＝HQ＝12，
∴DE＝DC﹣CE＝12﹣2＝10，
∴O′Q＝5．
由（1）知：OE＝12﹣2﹣4＝6，
即半圆的半径为6，
∴MH＝HQ﹣QO′﹣O′M＝12﹣5﹣6＝1，
即点M到BC的最短距离为1；
②如图，由①可知半圆O的半径为6，
由题意得，O′P＝O′R＝6，，
∵O′P2+O′R2＝62+62＝72，PR2＝72，
∴O′P2+O′R2＝PR2，
∴△PO′R为等腰直角三角形，
∴∠PO′R＝90°．
∴∠F′O′P+∠EO′R＝90°，
∴S△O′PR6×6＝18，S扇形O′F′P+S扇形O′RE9π，
∴此时半圆O与正方形ABCD重叠部分的面积为S△O′PR+S扇形O′F′P+S扇形O′RE＝18+9π．
③或．理由：
Ⅰ．当半圆O′与正方形ABCD的BC边相切时，
连接O′N，DN，过点E作EJ⊥O′D于点J，如图，
∵BC与半圆相切，
∴O′N⊥BC，
∵∠C＝90°，EJ⊥O′D，
∴四边形JNCE为矩形，
∴JN＝EC＝2，CN＝JE，
∴O′J＝O′N﹣JN＝4，
∴JE2，
∴NC＝2，
∴tan∠EDN．
Ⅱ．当半圆O′与正方形ABCD的AB边相切时，
此时点F′与点N重合，连接DN，如图，
∵AB与半圆相切于点N，
∴EN⊥AB，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形NBCE为矩形，
∴EN＝BC＝12，∠DEF＝90°，
∵DE＝DC﹣EC＝10，
∴tan∠EDN．
综上，tan∠EDN的值为或．
