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6.4 线段的和差
课题 6.4 线段的和差 单元 第六单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 线段的和差是几何初步知识中的重要内容。教材通常先引入线段的基本概念，再通过直观图示和实例让学生理解和差的含义。此部分注重培养学生的空间观念和逻辑推理能力。在教学中，通过引导学生观察、测量和计算，帮助他们掌握线段和差的求解方法。
核心素养 能力培养 1.培养学生的逻辑推理能力，通过线段的和差关系推导和证明相关结论。 2.提升学生的空间想象能力，让他们能在图形中准确识别和构建线段的和差关系。 3.强化学生的数学运算能力，熟练进行线段长度的计算和求解。
教学目标 1. 学生能够理解线段和差的概念，明确其与线段长度计算的关系。 2. 熟练掌握运用尺规作图进行线段的和与差的运算。 3. 学会运用线段和差的知识解决实际几何问题，计算线段长度。
教学重点 理解线段和差的概念，掌握线段和差的作图方法，能运用线段和差解决简单的几何计算问题。
教学难点 准确理解线段和差中各线段之间的关系，灵活运用线段和差解决较为复杂的几何图形中的线段计算和推理。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 直线l表示一条小河，点A，B表示两个村庄。在何处架桥才能使A村到B村的路程最短？ 【解析】p点架桥A村到B村的路程最短，两点之间线段最短。 创设情境、导入新课 从宾馆A出发去景点B，有A→C→B，A→D→B 两条道路。你有哪些方法判别哪条路更近？如果工具只有直尺和圆规呢？ 复习回顾之前学习第六章第三节线段的长短比较内容。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固学习线段的长短比较的知识。 用比较哪条路更近，引出章节内容。
新知探究 探究一：引入概念 如图，已知线段a＝1.5cm，b＝2.5cm，c＝4cm。 议一议，a，b，c三条线段的长度之间有怎样的关系？ 一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。两条线段的和或差仍是一条线段。例如，在上一页图中，线段c是线段a与b的和，记作c＝a＋b；线段a是线段c与b的差，记作a＝c－b。 作线段的和差： 如图，线段a>b，在直线上作线段AB=a，再在线段 AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是线段a与b的和，记作AC=a+b；如果在线段AB上作线段BD=b，那么线段AD就是线段a与b的差，记作AD=a-b. 【强调】： 注意1 两条线段的和差仍是线段，而不是指两条线段的长度差.两条线段的和差是图形，两条线段的长度差是数量，二者不要混淆。 注意2 如果AO=BO，那么点O不一定是线段AB的中点，必须有点O在线段AB上这一前提条件。 线段的中点： 1.线段的中点:把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点.若点O是线段AB的中点，则有AO=BO=AB；反之也成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO=BO=AB，那么点O为线段AB的中点。 2.线段的n等分点:若线段上的(n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这(n-1)个点为这条线段的n等分点. 3.点和线段的位置关系:点在线段上(包括端点)或点在线段外，也可以说成线段经过点或线段不经过点。 探究二：例题讲解 教材第173页： 做一做 如图，C是线段AB上的一点。请完成下面的填空。 (1)AC＋CB＝______ ； (2)AB－CB＝______； (3)BC＝______－AC。 解：由图可知: (1)AC+CB=AB； (2)AB－CB=AC； (3)BC=AB－AC. 例1 已知线段a，b。用直尺和圆规作图： （1）a＋b； （2）b－a。 解：作法：(1)如图， ①作射线AD。 ②在射线AD上截取AB＝a。 ③在射线BD上截取BC＝b。 线段AC＝AB＋BC＝a＋b， 线段AC就是所求作的线段。 （2）如图， ①作线段AB＝b。 ②在线段AB上截取AC＝a。 线段BC＝AB－AC＝b－a，线段BC就是所求作的线段。 例2 如图，P 是线段 AB 的中点，点C，D 把线段 AB 三等分。已知线段CP的长为1.5cm，求线段AB的长。 分析：如果能得到线段AB与线段CP长度的比，就能求出线段AB的长。 解：因为P是线段AB的中点， 所以AP＝BP＝AB。 因为点C，D把线段AB三等分， 所以AC＝CD＝DB＝AB。 因为AP－AC＝CP， 所以AB－AB＝CP，即CP＝AB。 所以AB＝6CP＝6×1.5＝9（cm）。 答：线段AB的长为9cm。 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 阅读实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。通过例题的解决发现规律，提高学生归纳能力. 通过对问题的讨论，学生将学习几何图形。
课堂练习 【例1】下列关系与图中不符合的是（ ） A.AB-CB=AD-BC B.AC+CD=AB-BD C.AB-CD=AC+BD D.AD-AC=CB-DB A【解析】A，由题图可知 AB-CB=AD-CD，故本选项符合题意；B，由题图可知AC+CD=AB-BD，故本选项不符合题意；C，由题图可知AB-CD=AC+BD，故本选项不符合题意:D，由题图可知AD-AC=CB-DB，故本选项不符合题意.故选A. 【例2】如图，在线段AB上有CD两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D四点中的任意两点为端点的所有线段长度之和不可能为( ) A.16cm B.2lcm C.22cm D.31cm B 【解析】由题意可得，以 A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是AC+CD+DB +AD+CB+AB=(AC+CD+DB)+(AD+CB)+AB=AB+AB+CD+AB=3AB+CD所以以A，B，C，D四点中的任意两点为端点的所有线段长度之和为3的倍数多1，所以不可能为21cm.故选B. 【例3】已知点A，B，C在同一条直线上，则下列等式中，一定能判断C是线段AB的中点的是( ) A.AC=BC B.BC=AB C.AB=2AC D.AC+BC=AB A【解析】A.因为AC=BC，所以点C是线段AB的中点，故本选项符合题意。 B.点C可能在AB的延长线上，此时点C不是线段AB的中点，故本选项不符合题意。 C.点C可能在BA的延长线上，此时点C不B是线段AB的中点，故本选项不符合题意。 D.AC+CB=AB，所以点C在线段AB上，不能说明点C是线段AB的中点，故本选项不符合题意。 故选A。 【例4】如图，点C，D，E在线段AB上，且AC:CD=2:3，点E为CB的中点若DE=3cm，AB=30cm，则AE的长为( ) A.20cm B.18cm C.16cm D.14cm B【解析】因为AC:CD=2:3，所以可设AC=2xcm，CD=3xcm.因为DE=3cm，所以CE=CD+DE=(3x+3)cm.因为点E为CB的中点:所以BC=2CE=2(3x+3)=(6x+6)cm，所以AB=AC+ BC=2x+6x+6=(8x+6)cm.因为AB=30cm，所以8x+6=30，解得x=3，所以AE=AC+CE=5x+3=18cm.故选B. 【选做】5.A，B，C三个住宅区分别住有某公司职工30人、15人、10人，且这个住宅区在一条大道上(A，B，C三点共线)，如图所示，已知AB=100米、BC=200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此区间内设一个停靠点、为使所有人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在( ) A.点AC B.点B C.点A，B之间 D.点B，C之间 A【解析】①当设点4为停靠点时，所有人步行的路程之和为15×100+10×300=4500(米)； ②当设点B为停靠点时，所有人步行的路程之和为 30×100+10×200=5000(米)； ③当将停靠点设在 A，B之间时，设停靠点到A的距离是m米(04500米； ④当将停靠点设在B，C之间时，设停靠点到B的距离为n米(04500米.综上，该停靠点的位置应设在点A. 【选做】6.已知点A，B，C都在直线l上，AB=3BC，点DE分别为AC，BC的中点，DE=6，则AC=_______. 易错点：点的位置不确定时，易忽略分类讨论致错 8或16 【解析】当点C在点B的左边时，如图(1)所示: 因为点D，E分别为AC，BC的中点， 所以DC=AD=AC，CE=BE=BC. 因为DE=DC+CE，DE=6， 所以AC+BC=6， 所以AC+BC=12，即AB=12. 因为AB=3BC，所以BC=4，所以AC=AB-BC=8. 当点C在点 B的右边时，如图(2)所示: 因为点D，E分别为AC，BC的中点， 所以DC=AD=AC，CE=BE=BC. 因为DE=DC-CE，DE=6， 所以AC-BC=6，所以AC-BC=12， 因为AB=AC-BC， 所以AB=12. 因为AB=3BC，所以BC=4，所以AC=AB+BC=16. 综上所述，AC=8或16.故答案为8或16. 完成例题和练习. 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对线段的和差的理解。培养学生多角度思考和解决问题的能力.，
课堂小结 知识点1 线段的长短比较 1.线段的和差：一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。两条线段的和或差仍是一条线段。 2.作线段的和差：线段a>b，在直线上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是线段a与b的和，记作AC=a+b；如果在线段AB上作线段BD=b，那么线段AD就是线段a与b的差，记作AD=a-b. 知识点2 线段的中点 1.线段的中点:把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点.若点O是线段AB的中点，则有AO=BO=AB；反之也成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO=BO=AB，那么点O为线段AB的中点。 2.线段的n等分点:若线段上的(n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这(n-1)个点为这条线段的n等分点. 3.点和线段的位置关系:点在线段上(包括端点)或点在线段外，也可以说成线段经过点或线段不经过点。 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力
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第六章 图形的初步知识
6.4 线段的和差
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1. 学生能够理解线段和差的概念，明确其与线段长度计算的关系；
2. 熟练掌握运用尺规作图进行线段的和与差的运算；
3. 学会运用线段和差的知识解决实际几何问题，计算线段长度。
02
新知导入
从宾馆A出发去景点B，有A→C→B，A→D→B 两条道路。你有哪些方法判别哪条路更近？如果工具只有直尺和圆规呢？
03
新知讲解
如图，已知线段a＝1.5cm，b＝2.5cm，c＝4cm。
议一议，a，b，c三条线段的长度之间有怎样的关系？
03
新知讲解
一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。
两条线段的和或差仍是一条线段。例如，在上一页图中，线段c是线段a与b的和，记作c＝a＋b；线段a是线段c与b的差，记作a＝c－b。
03
新知讲解
作线段的和差：
如图,线段a>b,在直线上作线段AB=a,再在线段 AB的延长线上作线段BC=b,线段AC就是线段a与b的和,记作AC=a+b;如果在线段AB上作线段BD=b,那么线段AD就是线段a与b的差,记作AD=a-b.
03
新知讲解
注意1
两条线段的和差仍是线段,而不是指两条线段的长度差.
两条线段的和差是图形,两条线段的长度差是数量,二者不要混淆。
03
新知讲解
注意2
如果AO=BO,那么点O不一定是线段AB的中点,必须有点O在线段AB上这一前提条件.
03
新知讲解
如图，C是线段AB上的一点。请完成下面的填空。
(1)AC＋CB＝______ ；
(2)AB－CB＝______；
(3)BC＝______－AC。
做一做
解：由图可知:
(1)AC+CB=AB;
(2)AB－CB=AC;
(3)BC=AB－AC.
03
新知讲解
例1 已知线段a，b。用直尺和圆规作图：
（1）a＋b；
（2）b－a。
作法：(1)如图，
①作射线AD。
②在射线AD上截取AB＝a。
③在射线BD上截取BC＝b。
线段AC＝AB＋BC＝a＋b，
线段AC就是所求作的线段。
03
新知讲解
（2）如图，
①作线段AB＝b。
②在线段AB上截取AC＝a。
线段BC＝AB－AC＝b－a，线段BC就是所求作的线段。
如图，点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫作线段AB的中点，这时AC＝BC＝AB，AB＝2AC＝BC。
03
新知讲解
03
新知讲解
线段的中点：
1.线段的中点:把一条线段分成相等的两条线段的点,叫作线段的中点.若点O是线段AB的中点,则有AO=BO=AB;反之也成立,即若点O为线段AB上一点,且满足AO=BO=AB,那么点O为线段AB的中点。
2.线段的n等分点:若线段上的(n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段,则称这(n-1)个点为这条线段的n等分点.
3.点和线段的位置关系:点在线段上(包括端点)或点在线段外，也可以说成线段经过点或线段不经过点。
03
新知讲解
例2 如图，P 是线段 AB 的中点，点C，D 把线段 AB 三等分。已知线段CP的长为1.5cm，求线段AB的长。
分析：如果能得到线段AB与线段CP长度的比，就能求出线段AB的长。
解：因为P是线段AB的中点，所以AP＝BP＝AB。
因为点C，D把线段AB三等分，所以AC＝CD＝DB＝AB。
因为AP－AC＝CP，所以AB－AB＝CP，即CP＝AB。
所以AB＝6CP＝6×1.5＝9（cm）。答：线段AB的长为9cm。
04
课堂练习
【例1】下列关系与图中不符合的是（ ）
A.AB-CB=AD-BC
B.AC+CD=AB-BD
C.AB-CD=AC+BD
D.AD-AC=CB-DB
A【解析】A,由题图可知 AB-CB=AD-CD,故本选项符合题意;B,由题图可知AC+CD=AB-BD,故本选项不符合题意;C,由题图可知AB-CD=AC+BD,故本选项不符合题意:D,由题图可知AD-AC=CB-DB,故本选项不符合题意.故选A.
06
作业布置
【例2】如图,在线段AB上有CD两点,CD长度为1cm,AB长为整数,则以A,B,C,D四点中的任意两点为端点的所有线段长度之和不可能为( )
A.16cm B.2lcm C.22cm D.31cm
B 【解析】由题意可得,以 A,B,C,D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB
=(AC+CD+DB)+(AD+CB)+AB=AB+AB+CD+AB=3AB+CD所以以A,B,C,D四点中的任意两点为端点的所有线段长度之和为3的倍数多1,所以不可能为21cm.故选B.
04
课堂练习
【例3】已知点A,B,C在同一条直线上,则下列等式中,一定能判断C是线段AB的中点的是( )
A.AC=BC
B.BC=AB
C.AB=2AC
D.AC+BC=AB
A【解析】A.因为AC=BC,所以点C是线段AB的中点，故本选项符合题意。
B.点C可能在AB的延长线上，此时点C不是线段AB的中点,故本选项不符合题意。
C.点C可能在BA的延长线上,此时点C不B是线段AB的中点,故本选项不符合题意。
D.AC+CB=AB,所以点C在线段AB上,不能说明点C是线段AB的中点,故本选项不符合题意。
故选A。
04
课堂练习
04
课堂练习
【例4】如图,点C,D,E在线段AB上,且AC:CD=2:3,点E为CB的中点若DE=3cm,AB=30cm,则AE的长为( )
A.20cm B.18cm C.16cm D.14cm
B【解析】因为AC:CD=2:3,所以可设AC=2xcm,CD=3xcm.因为DE=3cm,所以CE=CD+DE=(3x+3)cm.因为点E为CB的中点:所以BC=2CE=2(3x+3)=(6x+6)cm,所以AB=AC+
BC=2x+6x+6=(8x+6)cm.因为AB=30cm,所以8x+6=30,解得x=3,所以AE=AC+CE=5x+3=18cm.故选B.
04
课堂练习
【选做】5.A,B,C三个住宅区分别住有某公司职工30人、15人、10人,且这个住宅区在一条大道上(A,B,C三点共线),如图所示,已知AB=100米、BC=200米,为了方便职工上下班,该公司的接送车打算在此区间内设一个停靠点、为使所有人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在( )
A.点A
B.点B
C.点A,B之间
D.点B,C之间
04
课堂练习
A【解析】①当设点4为停靠点时,所有人步行的路程之和为15×100+10×300=4500(米);
②当设点B为停靠点时,所有人步行的路程之和为 30×100+10×200=5000(米);
③当将停靠点设在 A,B之间时,设停靠点到A的距离是m米(0<100),则所有人步行的路程之和是30m+15(100-m)+10(300
-m)=(4500+5m)米>4500米;
④当将停靠点设在B,C之间时,设停靠点到B的距离为n米(0<200),则所有人步行的路程之和是30(100+n)+15n+10(200-n)=(5000+35m)米>4500米.综上,该停靠点的位置应设在点A.
04
课堂练习
【选做】6.已知点A,B,C都在直线l上,AB=3BC,点DE分别为AC,BC的中点,DE=6,则AC=_______.
易错点：点的位置不确定时，易忽略分类讨论致错
8或16 【解析】当点C在点B的左边时,如图(1)所示:
因为点D,E分别为AC,BC的中点，
所以DC=AD=AC,CE=BE=BC.
因为DE=DC+CE,DE=6,
所以AC+BC=6,
04
课堂练习
所以AC+BC=12,即AB=12.因为AB=3BC,所以BC=4，所以AC=AB-BC=8.
当点C在点 B的右边时,如图(2)所示:
因为点D,E分别为AC,BC的中点，
所以DC=AD=AC,CE=BE=BC.因为DE=DC-CE,DE=6,
所以AC-BC=6，所以AC-BC=12，因为AB=AC-BC，
所以AB=12.因为AB=3BC,所以BC=4，所以AC=AB+BC=16.
综上所述,AC=8或16.故答案为8或16.
05
课堂小结
知识点1 线段的长短比较
1. 线段的和差：一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。两条线段的和或差仍是一条线段。
2.作线段的和差：线段a>b,在直线上作线段AB=a,再在线段AB的延长线上作线段BC=b,线段AC就是线段a与b的和,记作AC=a+b;如果在线段AB上作线段BD=b,那么线段AD就是线段a与b的差,记作AD=a-b.
05
课堂小结
知识点2 线段的中点
1.线段的中点:把一条线段分成相等的两条线段的点,叫作线段的中点.若点O是线段AB的中点,则有AO=BO=AB;反之也成立,即若点O为线段AB上一点,且满足AO=BO=AB,那么点O为线段AB的中点。
2.线段的n等分点:若线段上的(n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段,则称这(n-1)个点为这条线段的n等分点.
3.点和线段的位置关系:点在线段上(包括端点)或点在线段外，也可以说成线段经过点或线段不经过点。
04
课堂练习
【必做】1.如图,数轴上依次有A,B,C三点,它们对应的数分别为a,b,c,若BC=2AB=6,a+b+c=0,则点表示的数为______。
5【解析】因为BC=2AB=6,所以AB=3.设点C表示的数为x,则点B表示的数为x-6，点A表示的数为x-9.因为a+b+c=0,所以x+x-6+x-9=0,所以x=5,故答案为5.
06
作业布置
【必做】2.如图,C是线段AB上任意一点,M,N分别是AC,BC的中点,如果AB=12cm,那么MN的长为______cm.
6【解析】因为点M是AC的中点,所以MC=AC.因为点N是BC的中点,所以CN=BC,所以MN=MC+CN=(AC+BC)
=AB=6cm.
06
作业布置
【必做】3.如图,已知线段AB=23,BC=15,点M是AC的中点.
(1)求线段AM的长;
(2)在CB上取一点N,使得CN:NB=1:2,求线段 MN的长.
【解析】(1)因为AB=23,BC=15,所以AC=AB-BC=23-15=8.又因为点M是AC的中点,所以AM=AC=×8=4,即线段AM的长是4.
(2)因为BC=15,CN:NB=1:2,所以CN=BC=×15=5.因为点M是AC的中点AC=8.所以MC=AC=4,所以MN=MC
+NC=4+5=9,即线段MN的长是9.
06
作业布置
06
作业布置
【必做】4.在数轴上,点M,N分别表示数m,n,则点M,N之间的距离为|m-n|.已知点A,B,C,D在数轴上分别表示数a,b,c,d,且|a-c|=|b-c|=|d-a|=2(a≠b)则线段BD的长度为______.
1或7【解析】因为|a-c|=|b-c|=2,所以点C是AB的中点,且AC=BC=2.因为|d-a|=2,所以|d-a|=3,所以AD=3.当D在A左边时,如图(1),线段BD的长度为2+2+3=7;当D在A右边时,如图(2),线段BD的长度为2+2-3=1,故答案为1或7.
06
作业布置
【选做】5.直线AB上有两点C、D。点C在A,B之间,满足CA=3CB,CD=CA，若AB=20,则BD=_______。
2或8【解析】因为CA=3CB,AB=20,且点C在A,B之间,所以CB=AB=5,CA=AB=15.因为CD=CA,所以CD=×15
=3.如图,当点D在点C右侧时,BD=CB-CD=5-3=2;当点D'在点C左侧时,BD'=CB+CD'=5+3=8.综上所述，BD=2或8.故答案为2或8.
06
作业布置
【选做】6.如图,点C是线段AB上一点,AB=20cm,BC=8cm,点P从点A处出发,以2cm/s的速度沿AB,向右运动,终点为点B处;点Q从点B处出发,以1cm/s的速度沿BA向左运动,终点为点A处,已知点P和点Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P的运动时间为ts.
(1)当点P运动到点C处时,线段CQ的长度为_______cm。
(2)当P,Q两点重合时,求t的值.
(3)是否存在某一时刻,使得C,P,Q这三个点中,有一个点恰好是另外两点所连线段的中点 若存在,求出所有满足条件的t值;若不存在，请说明理由.
06
作业布置
【解析】(1)因为AB=20cm,BC=8cm,所以AC=AB-BC=
12cm.由点P从点A处出发,以2cm/s的速度沿AB向右运动,得点P运动到点C处的时间为=6s.
因为点Q从点B处出发,以1cm/s的速度沿BA向左运动,所以BQ=6×1=6(cm),所以CQ=BC-BQ=2cm.故答案为2.
(2)由题可得AP=2tcm,BQ=tcm.当P,Q两点重合时,
AP+BQ=20cm,即2t+t=20,解得t=.
06
作业布置
(3)存在.因为AB=20cm,BC=8cm,所以AC=AB-BC=12cm当点C是线段PQ的中点时,PC=QC,即12-2t=8,解得t=4;
当点P是线段CQ的中点时,CP=QP,即2(2t-12)=8-t,解得t=;当点Q是线段PC的中点时,PQ=CQ,即2(8-t)=2t-12,解得t=7.
综上所述，t的值为4或或7.
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作业布置
【拓展题】如图(1),点C在线段AB上,图中共有三条线AB,AC和BC,若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍,则称点C是线段AB的“巧点”.
(1)线段的中点_______这条线段的“巧点(填是或不是);
(2)若AB=12cm,点C是线段AB的“巧点”则AC=_______cm ;
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作业布置
(3)如图(2),已知AB=12cm.动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动;点O从点B出发,以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动.设移动的时间为ts.当t为何值时,A,P,O三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的“巧点”
【解析】(1)如图,当C是线段AB的中点时,AB=2AC,所以线段的中点是这条线段的“巧点”.故答案为是.
(2)因为AB=12cm,点C是线段AB的“巧点”
所以AC=12×=4(cm)或AC=12×=6(cm)或AC=12×
=8(cm).故答案为4或6或8.
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作业布置
(3)t秒后,AP=2tcm,AQ=(12-t)cm(0①由题意可知A不可能为线段PQ的“巧点”,此情况排除.
②当P为线段AQ的“巧点”时，
I.AP=AQ,即2t=(12-t)，解得t=。
Ⅱ.AP=AQ,即2t=(12-t)，解得t=.
Ⅲ.AP=AQ,即2t=(12-t)，解得t=3.
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③当Q为线段 AP 的“巧点”时,
I.4Q=AP,即12-t=2t×。解得:t=(舍去);
Ⅱ.AQ=AP,即12-t=2t×，解得t=6;
Ⅲ.AQ=AP,即12-t=2t×，解得t=.
综上,符合条件的t值为或或3或6或.
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第六章 几何图形
6.4 线段的和差
学习目标：
1. 学生能够理解线段和差的概念，明确其与线段长度计算的关系；
2. 熟练掌握运用尺规作图进行线段的和与差的运算；
3. 学会运用线段和差的知识解决实际几何问题，计算线段长度。
核心素养目标：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过线段的和差关系推导和证明相关结论。
2.提升学生的空间想象能力，让他们能在图形中准确识别和构建线段的和差关系。
3.强化学生的数学运算能力，熟练进行线段长度的计算和求解。
学习重点：理解线段和差的概念，掌握线段和差的作图方法，能运用线段和差解决简单的几何计算问题。
学习难点：准确理解线段和差中各线段之间的关系，灵活运用线段和差解决较为复杂的几何图形中的线段计算和推理。
一、知识链接
1.线段的和差：一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的_____________，那么这条线段就叫作另两条线段的_____________；如果一条线段的长度是另两条线段的_____________，那么这条线段就叫作_____________。两条线段的和或差仍是_____________。
2.作线段的和差：线段a>b，在直线上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是线段_________的_________，记作AC=a+b;如果在线段AB上作线段BD=b，那么线段AD就是线段_________的_________，记作_________.
3.线段的中点:把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的________.若点O是线段AB的中点，则有AO=BO=________AB;反之也成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO=BO=________AB，那么点O为线段AB的________。
4.线段的n等分点:若线段上的(n-1)个点把这条线段分成了________条相等的线段，则称这(n-1)个点为这条线段的________________.
5.点和线段的位置关系:点在线段上(包括端点)或点在线段外，也可以说成线段经过点或线段_________。
二、自学自测
1.如图，C为线段AB上点，D为线段BC的中点，AB=16，AD=13，则AC的长为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
2.如图，已知线段 AB:6cm，延长AB至点C，使AB=2BC，D是线段AC的中点，则线段DB的长为______cm.
一、创设情境、导入新课
从宾馆A出发去景点B，有A→C→B，A→D→B 两条道路。你有哪些方法判别哪条路更近？如果工具只有直尺和圆规呢？
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
如图，已知线段a＝1.5cm，b＝2.5cm，c＝4cm。
议一议，a，b，c三条线段的长度之间有怎样的关系？
一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。两条线段的和或差仍是一条线段。例如，在上一页图中，线段c是线段a与b的和，记作c＝a＋b；线段a是线段c与b的差，记作a＝c－b。
作线段的和差：
如图，线段a>b，在直线上作线段AB=a，再在线段 AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是线段a与b的和，记作AC=a+b;如果在线段AB上作线段BD=b，那么线段AD就是线段a与b的差，记作AD=a-b.
【强调】：
注意1
两条线段的和差仍是线段，而不是指两条线段的长度差.两条线段的和差是图形，两条线段的长度差是数量，二者不要混淆。
注意2
如果AO=BO，那么点O不一定是线段AB的中点，必须有点O在线段AB上这一前提条件。
线段的中点：
1.线段的中点:把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点.若点O是线段AB的中点，则有AO=BO=AB;反之也成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO=BO=AB，那么点O为线段AB的中点。
2.线段的n等分点:若线段上的(n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这(n-1)个点为这条线段的n等分点.
3.点和线段的位置关系:点在线段上(包括端点)或点在线段外，也可以说成线段经过点或线段不经过点。
探究二：例题讲解
教材第173页：
做一做 如图，C是线段AB上的一点。请完成下面的填空。
(1)AC＋CB＝______ ；
(2)AB－CB＝______；
(3)BC＝______－AC。
例1 已知线段a，b。用直尺和圆规作图：
（1）a＋b；
（2）b－a。
例2 如图，P 是线段 AB 的中点，点C，D 把线段 AB 三等分。已知线段CP的长为1.5cm，求线段AB的长。
分析：如果能得到线段AB与线段CP长度的比，就能求出线段AB的长。
【例1】下列关系与图中不符合的是（ ）
A.AB-CB=AD-BC
B.AC+CD=AB-BD
C.AB-CD=AC+BD
D.AD-AC=CB-DB
【例2】如图，在线段AB上有CD两点，CD长度为1cm，AB长为整数，则以A，B，C，D四点中的任意两点为端点的所有线段长度之和不可能为( )
A.16cm B.2lcm C.22cm D.31cm
【例3】已知点A，B，C在同一条直线上，则下列等式中，一定能判断C是线段AB的中点的是( )
A.AC=BC
B.BC=AB
C.AB=2AC
D.AC+BC=AB
【例4】如图，点C，D，E在线段AB上，且AC:CD=2:3，点E为CB的中点若DE=3cm，AB=30cm，则AE的长为( )
A.20cm B.18cm C.16cm D.14cm
【选做】5.A，B，C三个住宅区分别住有某公司职工30人、15人、10人，且这个住宅区在一条大道上(A，B，C三点共线)，如图所示，已知AB=100米、BC=200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此区间内设一个停靠点、为使所有人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在( )
A.点AC
B.点B
C.点A，B之间
D.点B，C之间
【选做】6.已知点A，B，C都在直线l上，AB=3BC，点DE分别为AC，BC的中点，DE=6，则AC=_______.
知识点1 线段的长短比较
1.线段的和差：一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。两条线段的和或差仍是一条线段。
2.作线段的和差：线段a>b，在直线上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是线段a与b的和，记作AC=a+b;如果在线段AB上作线段BD=b，那么线段AD就是线段a与b的差，记作AD=a-b.
知识点2 线段的中点
1.线段的中点:把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点.若点O是线段AB的中点，则有AO=BO=AB;反之也成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO=BO=AB，那么点O为线段AB的中点。
2.线段的n等分点:若线段上的(n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这(n-1)个点为这条线段的n等分点.
3.点和线段的位置关系:点在线段上(包括端点)或点在线段外，也可以说成线段经过点或线段不经过点。
必做题：
1.如图，数轴上依次有A，B，C三点，它们对应的数分别为a，b，c，若BC=2AB=6，a+b+c=0，则点表示的数为______。
2.如图，C是线段AB上任意一点，M，N分别是AC，BC的中点，如果AB=12cm，那么MN的长为______cm.
3.如图，已知线段AB=23，BC=15，点M是AC的中点.
(1)求线段AM的长;
(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=1:2，求线段 MN的长.
4.在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m-n|.已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a-c|=|b-c|=|d-a|=2(a≠b)则线段BD的长度为______.
选做题：
5.直线AB上有两点C、D。点C在A，B之间，满足CA=3CB，CD=CA，若AB=20，则BD=_______。
6.如图，点C是线段AB上一点，AB=20cm，BC=8cm，点P从点A处出发，以2cm/s的速度沿AB，向右运动，终点为点B处;点Q从点B处出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为点A处，已知点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P的运动时间为ts.
(1)当点P运动到点C处时，线段CQ的长度为_______cm。
(2)当P，Q两点重合时，求t的值.
(3)是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点 若存在，求出所有满足条件的t值;若不存在，请说明理由.
拓展题：
如图(1)，点C在线段AB上，图中共有三条线AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”.
(1)线段的中点_______这条线段的“巧点(填是或不是);
(2)若AB=12cm，点C是线段AB的“巧点”则AC=_______cm ;
(3)如图(2)，已知AB=12cm.动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动;点O从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.设移动的时间为ts.当t为何值时，A，P，O三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段“巧点”
参考答案
【预习自测】
1.C【解析】因为AB=16，AD=13，所以DB=AB-AD=16-13=3.因为D为线段BC的中点，所以CB=2DB=2×3=6，所以AC=AB-CB=16-6=10.故选C.
2.1.5 【解析】因为AB=6cm，AB=2BC，所BC=3cm，所以AC=AB+BC=9cm.因为D是线段AC的中点，所以AD=
AC=4.5cm，所以BD=AB-AD=1.5 cm.故答案为1.5.
【作业布置】
必做
1.5【解析】因为BC=2AB=6，所以AB=3.设点C表示的数为x，则点B表示的数为x-6，点A表示的数为x-9.因为a+b+c=0，所以x+x-6+x-9=0，所以x=5，故答案为5.
2.6【解析】因为点M是AC的中点，所以MC=AC.因为点N是BC的中点，所以CN=BC，所以MN=MC+CN =(AC+BC)=AB=6cm.
3.【解析】(1)因为AB=23，BC=15，所以AC=AB-BC=23-15=8.又因为点M是AC的中点，所以AM=1/2AC=1/2×8=4，即线段AM的长是4.
(2)因为BC=15，CN:NB=1:2，所以CN=BC=×15=5.因为点M是AC的中点AC=8.所以MC=AC=4，所以MN=MC+NC=4+5=9，即线段MN的长是9.
4.1或7【解析】因为|a-c|=|b-c|=2，所以点C是AB的中点，且AC=BC=2.因为|d-a|=2，所以|d-a|=3，所以AD=3.当D在A左边时，如图(1)，线段BD的长度为2+2+3=7;当D在A右边时，如图(2)，线段BD的长度为2+2-3=1，故答案为1或7.
选做
5.2或8【解析】因为CA=3CB，AB=20，且点C在A，B之间，所以CB=AB=5，CA=AB=15.因为CD=CA，所以CD=×15=3.如图，当点D在点C右侧时，BD=CB-CD=5-3=2;当点D 在点C左侧时，BD =CB+CD =5+3=8.综上所述，BD=2或8.故答案为2或8.
6.【解析】(1)因为AB=20cm，BC=8cm，所以AC=AB-BC=12cm.由点P从点A处出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，得点P运动到点C处的时间为=6s.
因为点Q从点B处出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，所以BQ=6×1=6(cm)，所以CQ=BC-BQ=2cm.故答案为2.
(2)由题可得AP=2tcm，BQ=tcm.当P，Q两点重合时，
AP+BQ=20cm，即2t+t=20，解得t=.
(3)存在.因为AB=20cm，BC=8cm，所以AC=AB-BC=12cm当点C是线段PQ的中点时，PC=QC，即12-2t=8，解得t=4;
当点P是线段CQ的中点时，CP=QP，即2(2t-12)=8-t，解得t=;当点Q是线段PC的中点时，PQ=CQ，即2(8-t)=2t-12，解得t=7.
综上所述，t的值为4或或7.
拓展
【解析】(1)如图，当C是线段AB的中点时，AB=2AC，所以线段的中点是这条线段的“巧点”.故答案为是.
(2)因为AB=12cm，点C是线段AB的“巧点”
所以AC=12×=4(cm)或AC=12×=6(cm)或AC=12×=8(cm).故答案为4或6或8.
(3)t秒后，AP=2tcm，AQ=(12-t)cm(0①由题意可知A不可能为线段PQ的“巧点”，此情况排除.
②当P为线段AQ的“巧点”时，
I.AP=AQ，即2t=(12-t)，解得t=。
Ⅱ.AP=AQ，即2t=(12-t)，解得t=.
Ⅲ.AP=AQ，即2t=(12-t)，解得t=3.
③当Q为线段 AP 的“巧点”时，
I.4Q=AP，即12-t=2t×。解得:t=(舍去);
Ⅱ.AQ=AP，即12-t=2t×，解得t=6;
Ⅲ.AQ=AP，即12-t=2t×，解得t=.
综上，符合条件的t值为或或3或6或.
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