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《三角形的内切圆与内心》同步提升训练题（二）
一．填空题（共28小题）
1．如图，⊙O是△ABC外接圆，D为上一点，若AD经过△ABC的内心I，且∠BIC＝120°，则的值为 ．
2．如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝78°，则∠BOC的度数为 ．
3．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝3，△ABC的周长为24，则BC的长为 ．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若BD＝3，AD＝2，则⊙O的半径为 ．
5．如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝ °．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若AC＝3，BC＝4，则⊙O的半径为 ．
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，⊙O是△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积是 cm2．
8．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为 ．
9．如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD＝6，BD＝4，则△ABC的面积为 ．
10．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE＝2，CD＝1，BF＝3，则内切圆的半径r＝ ．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝ ．
12．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝1，则AB的长为 ．
13．如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交⊙O于E，D两点．点F是上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是 ．
14．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，若∠C＝50°，则∠DBE＝ ．
15．如图，在Rt△ABC中．∠A＝90°，．⊙O是△ABC的内切圆．分别与AC，AB，BC相切于点F，P，E．
（1）∠EPF＝ °．
（2）若BC＝4，则AP＝ ．
16．在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△ABC，△ADC，△DBC的内切圆半径分别记为r，r1，r2，若r1＝1，r2，则r＝ ．
18．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为 ．
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为的直径，AB＝2，BC＝4．若I为四边形ABCD的内切圆圆心，则IO的长度为 ．
20．如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 ．
21．如图，等腰三角形ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F．若AB＝AC＝10，BC＝12，则DF的长为 ．
22．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆．
（1）若∠BAC＝50°，则∠BOC＝ °；
（2）如图，若⊙O与边AB相切于点P，且AB＝19，AC＝17，BC＝16，则AP＝ ．
23．如图，已知，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）若∠C＝90°，∠A＝30°，，则⊙O的半径为 ；
（2）若⊙O的半径为3，△ABC的面积为45，且BC＝9，则AD＝ ．
24．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，若∠B＝50°，则∠AOC＝ ．
25．如图，△ABC的周长是18cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，已知AB＝6cm，则△CEF的周长为 cm．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为边BC上一点（不与B，C重合），点O为△ADC内切圆的圆心，记t＝∠DAO+∠DCO，则t的取值范围为 ．
27．如图，△ABC周长为18，BC＝4，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为 ．
28．如图，△ABC中，点I是内心，若∠A＝50°，则∠BIC的度数为 ．
二．解答题（共32小题）
29．如图，⊙O的直径AB为10cm，点E是△ABC内切圆的内心，CE的延长线交⊙O于点D．
（1）求AD的长；
（2）求DE的长；
（3）求弦AD、劣弧AD所围成的图形面积．
30．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r．
31．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点．
（1）若∠B＝34°，∠C＝62°，求∠DEF的度数；
（2）若AB＝8，AD＝2，AC＝5，求BC的长．
32．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点I是△ABC（BC＜AC＜AB）的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连AD．
（1）求证：DA＝DI；
（2）若，，求BC的长．
33．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，与弦BC交于点F．
（1）求证：DB＝DE．
（2）若DF＝3，AF＝5，求AE的长．
34．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝8，，点I为△ABC的内心，求GI的长．
35．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．
（1）求证：IE＝BE；
（2）若DE＝1，AD＝3，求EI的长．
36．已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．BC＞AC，弧AD＝弧BD．BD＝PD，延长CP交⊙O于点D，连接BP．
（1）求证：点P是△ABC的内心；
（2）已知⊙O的直径是．求BC的长．
37．AB＝BD，圆O半径为2，P为BC中点，且．
（1）求证：；
（2）CD＝ ；
（3）Q为△ACD的内心，求tan∠OQP．
38．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F．
（1）求⊙O的半径．
（2）若Q是Rt△ABC的外心，连接OQ，求OQ的长度．
39．如图，⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：AB2+AC2＝2CD2；
（2）求证：DM＝DC；
（3）连接OM，若AM＝2，OM，求AC的长．
40．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13．求AF，BD，CE的长．
41．在△ABC中，∠C＝α，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n．
（1）当α＝90°时，b＝6，a＝8时，m＝ ，n＝ ．
（2）如图①，α＝90°，则m＝ ，n＝ .（用含有a、b、c的代数式表示）；并求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）
（3）如图②，α＝60°，求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）．
42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．
（1）连接OA、OB，则∠AOB＝ ．
（2）若BD＝6，AD＝4，求⊙O的半径r．
43．如图，△ABC中AB＝AC，D为AC边上一点，⊙I为△ABD内切圆，G、E、F为切点．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若BD＝10，CD＝4，求BE的长．
44．如图，AB是⊙O的直径，点E是△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点D，连接AD，AE．
（1）求证：AD＝ED；
（2）连接OE，若∠AOE＝135°，求的值．
45．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D．
（1）求证：DI＝DB；
（2）连结IO、BI，BD＝2，若IO⊥BI，求AI的长．
46．如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线．
（1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数；
（2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长．
47．在Rt△AOB中，O为坐标原点，A在第一象限，其中内心I（a，9a），其中A，B，I三点都是整数点．
（1）求直线OA的解析式；
（2）a＝2023，求整点△AOB的个数．
48．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D；过点D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，．求优弧的长．
49．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，BC与AD相交于点F．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠ACB＝60°，AB＝3，BD＝2，求的值．
50．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，连接AD，CD，AI．
（1）求证：AD＝ID；
（2）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
51．如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．
（1）求证：l是⊙O的切线；
（2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长．
52．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．
（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；
（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+ACAD．
53．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；
（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．
54．如图，B，C的坐标分别为（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝6，⊙M为△ABC的内切圆，则M的横坐标为 ．
55．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）求证：BD＝DE；
（2）连接OD交BC于点G，若OD⊥BC，DG＝2，BC＝10，求圆的半径．
56．已知I为三角形ABC的内心，连接AI交三角形ABC的外接圆于点D，如图所示，连接BD和CD．
（1）求证：BD＝CD＝ID．
（2）∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝5，求AD．
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
57．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接OD，OE，OF．
（1）若BC＝6，AC＝8，则r＝ ；
（2）若Rt△ABC的周长为L，面积为S，则S，L，r之间有什么数量关系，并说明理由．
58．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE．
（1）若∠CBD＝34°，求∠BEC的度数；
（2）求证：DE＝DB．
59．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，I1、I2，分别是△ACD、△BCD的内心，直线I1I2，分别交AC、BC于点E、F．
（1）求tan∠I1I2D；
（2）求△CEF的面积．
60．如图，AB是⊙O的直径，点M是△ABC的内心，连接BM并延长交AC于点F交⊙O于点E，连接OE与AC相交于点D．
（1）求证：ODBC；
（2）求证：EM＝EA．中小学教育资源及组卷应用平台
《三角形的内切圆与内心》同步提升训练题（二）
一．填空题（共28小题）
1．如图，⊙O是△ABC外接圆，D为上一点，若AD经过△ABC的内心I，且∠BIC＝120°，则的值为 ．
【思路点拔】设AD交BC于点F，连接BD、CD，作DL⊥BC于点L，因为I是△ABC的内心，所以∠IBC∠ABC，∠ICB∠ACB，则∠IBC+∠ICB（∠ABC+∠ACB），而∠BIC＝120°，则（∠ABC+∠ACB）＝60°，求得∠BAC＝60°，则∠BAD＝∠CAD＝∠CBD＝30°，所以BD＝CD，BD＝2DL，则BLDL，所以BC＝2DL，再证明△BAF∽△DAC，得；同理△CAF∽△DAB，得，则，所以，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：设AD交BC于点F，连接BD、CD，作DL⊥BC于点L，则∠BLD＝90°，
∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC＝∠IBA∠ABC，∠ICB＝∠ICA∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB（∠ABC+∠ACB），
∵∠BIC＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠BIC＝60°，
∴（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD∠BAC＝30°，
∴，BD＝2DL，
∴BD＝CD，BLDL，
∴BL＝CL，
∴BC＝2BL＝2DL，
∵∠BAF＝∠ADC，∠BAF＝∠DAC，
∴△BAF∽△DAC，
∴；
同理△CAF∽△DAB，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝78°，则∠BOC的度数为 129° ．
【思路点拔】根据三角形内切圆的性质得出OB、OC、分别平分∠ABC与∠ACB，再根据三角形内角和定理结合角平分线的定义即可求解．
【解答】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴OB、OC、分别平分∠ABC与∠ACB，
∵∠BAC＝78°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣78°＝102°，
∴∠OBC+∠OCB＝51°，
∴∠BOC＝180°﹣51°＝129°，
故答案为：129°．
3．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝3，△ABC的周长为24，则BC的长为 9 ．
【思路点拔】由△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝3，得AF＝AD＝3，CF＝CE，BD＝BE，所以CF+BD＝BC，由AF+CF+BC+BD+AD＝24，得3+2BC+3＝24，则BC＝9，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝3，
∴AF＝AD＝3，CF＝CE，BD＝BE，
∴CF+BD＝CE+BE＝BC，
∵△ABC的周长为24，
∴AF+CF+BC+BD+AD＝24，
∴3+2BC+3＝24，
∴BC＝9，
故答案为：9．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若BD＝3，AD＝2，则⊙O的半径为 1 ．
【思路点拔】连接OE、OF．由已知条件可得出OE⊥BC，OF⊥AC，结合已知条件证明四边形OECF是正方形，由正方形的性质可得出CE＝CF＝OE＝OF＝r，根据切线长定理可得BD＝BE，AD＝AF，进而可得出AB＝5，BC＝3+r，AC＝2+r．，最后利用勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：连接OE、OF．
∵OE⊥BC，OF⊥AC，
又∵∠C＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∵OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴．CE＝CF＝OE＝OF＝r．
∵BD＝BE，AD＝AF，
∵BD＝3，AD＝2，
∴AB＝5，BC＝3+r，AC＝2+r．
∵AB2＝BC2+AC2
52＝（3+r）2+（2+r）2．
r1＝1，r2＝﹣6（舍去），
故⊙O的半径为1．
故答案为：1．
5．如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝ 125 °．
【思路点拔】根据三角形的内心的概念得到∠OBC∠ABC＝30°，∠OCB∠ACB＝25°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC∠ABC60°＝30°，∠OCB∠ACB50°＝25°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°，
故答案为：125．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若AC＝3，BC＝4，则⊙O的半径为 1 ．
【思路点拔】连接OD，OE，OF，设OD＝r，先利用勾股定理计算出AB＝5，再根据切线的性质和切线长定理得到OD＝OE＝OF，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，CE＝CF，接着证明四边形OECF为正方形得到CE＝CF＝r，然后用r表示AB的长，从而列方程求解即可．
【解答】解：连接OD，OE，OF，如图，设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴AB5，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴OD＝OE＝OF，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，CE＝CF，
∵∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF为正方形，
∴CE＝CF＝r，
∵BE＝4﹣r，AF＝3﹣r，
∴AB＝BD+AD＝BE+AF＝4﹣r+3﹣r＝7﹣2r，
而AB＝5，
∴7﹣2r＝5，
解得r＝1，
即⊙O的半径为1．
故答案为：1．
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，⊙O是△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积是 （4﹣π） cm2．
【思路点拔】设⊙O与AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，连接OE、OF，由∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，求得AB10cm，可证明四边形OECF是正方形，求得AE+BF＝AB＝10cm，则2CF＝4cm，求得OF＝CF＝2cm，则S阴影＝S正方形OECF﹣S扇形EOF＝（4﹣π）cm2，于是得到问题的答案．
【解答】解：设⊙O与AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，连接OE、OF，
∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB10（cm），
∵AC⊥OE，BC⊥OF，
∴∠OEC＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∵CE＝CF，
∴四边形OECF是正方形，
∵AE＝AD，BF＝BD，
∴AE+BF＝AD+BD＝AB＝10cm，
∴CE+CF＝2CF＝AC+BC﹣（AE+BF）＝6+8﹣10＝4（cm），
∴OF＝CF＝2cm，
∵∠EOF＝90°，
∴S阴影＝S正方形OECF﹣S扇形EOF＝22（4﹣π）cm2，
故答案为：（4﹣π）．
8．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为 20° ．
【思路点拔】连接OC，由点I是△ABC的内心可得AI平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【解答】解：如图，连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝2×35°＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×70°＝140°，
∵OB＝OC，
∴，
故答案为：20°．
9．如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD＝6，BD＝4，则△ABC的面积为 24 ．
【思路点拔】利用切线长定理可得AF，BE的长．CE，CF等于半径，再用勾股定理得到关于r的方程，解方程即可得到r，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵⊙O是直角三角形ABC的内切圆，
∴四边形CEOF是正方形，
∴AF＝AD＝6，BE＝BD＝4，
设⊙O的半径为r，则CE＝CF＝r，
∴（4+r）2+（6+r）2＝（4+6）2，
∴r＝2．
∴AC＝6+2＝8，BC＝4+2＝6，
∴△ABC的面积6×8＝24，
故答案为：24．
10．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE＝2，CD＝1，BF＝3，则内切圆的半径r＝ 1 ．
【思路点拔】根据切线长定理得出AF＝AE，EC＝CD，DB＝BF，进而得出△ABC是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴AF＝AE，EC＝CD，DB＝BF，
∵AE＝2，CD＝1，BF＝3，
∴AF＝2，EC＝1，BD＝3，
∴AB＝BF+AF＝3+2＝5，BC＝BD+DC＝4，AC＝AE+EC＝3，
∴△ABC是直角三角形，
∴内切圆的半径r1，
故答案为：1．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝ 29° ．
【思路点拔】由△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，得AD＝AE，∠ABF∠ABC，则∠ADE（180°﹣∠A），所以∠BFD＝∠ADE﹣∠ABF（180°﹣∠A﹣∠ABC）∠ACB＝29°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，
∴AD＝AE，∠ABF＝∠CBF∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED（180°﹣∠A），
∴∠BFD＝∠ADE﹣∠ABF（180°﹣∠A）∠ABC（180°﹣∠A﹣∠ABC），
∵180°﹣∠A﹣∠ABC＝∠ACB＝58°，
∴∠BFD58°＝29°，
故答案为：29°．
12．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝1，则AB的长为 2 ．
【思路点拔】延长BI交⊙O于M点，连接MA，通过中位线定理可求出AM的长，再通过角的关系可求得∠MIA＝45°，进而求证直角三角形MAI为等腰直角三角形，求得MI的长，MB的长，利用勾股定理求出AB的长．
【解答】解：延长BI交⊙O于M点，连接MA，
在△ABM中斜边AB经过圆心O，
∴∠AMB＝90°，
又∵BI⊥OI，AO＝OB，
∴OI为△AMB的中位线，
∴AM＝2OI＝2，
在Rt△ABC中，I为三个角平分线的交点
∴∠IAB+∠IBA＝45°，
即∠MIA＝45°（三角形外角与内角的关系），
∴Rt△MAI为等腰直角三角形，
∴MA＝MI＝IB＝2，
根据勾股定理可得，
AB2＝MA2+MB2＝22+42＝20，
即AB＝2，
故答案为：2．
13．如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交⊙O于E，D两点．点F是上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是 62.5° ．
【思路点拔】先根据三角形内心的性质得，，进而求出∠OAC+∠OCA，即可求出∠AOC，然后根据圆周角定理得出答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OA，OC是△ABC的角平分线，
∴，．
∵∠B＝70°，
∴∠BAC+∠BCA＝110°，
∴，
∴∠AOC＝180°﹣55°＝125°，
∴．
故答案为：62.5°．
14．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，若∠C＝50°，则∠DBE＝ 65° ．
【思路点拔】设∠DBC＝α，∠CBE＝β，则∠DAC＝α，根据内心得∠DAB＝α，∠ABE＝β，利用三角形内角和定理即可求得α+β＝65°，即可求得答案．
【解答】解：设∠DBC＝α，∠CBE＝β，则∠DAC＝α，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠DAB＝α，∠ABE＝β，
∴∠CAB+∠ABC+50°＝2α+2β+50°＝180°，
∴α+β＝65°，
则∠DBE＝α+β＝65°．
故答案为：65°．
15．如图，在Rt△ABC中．∠A＝90°，．⊙O是△ABC的内切圆．分别与AC，AB，BC相切于点F，P，E．
（1）∠EPF＝ 60 °．
（2）若BC＝4，则AP＝ ．
【思路点拔】（1）根据，得到∠B＝30°，进而得到∠C＝60°，连接OE，OF，根据切线的性质，得到∠EOF＝120°，圆周角定理得到，即可；
（2）连接OP，得到四边形OFAP为正方形，利用直角三角形内切圆的半径的计算方法，进行求解即可．
【解答】解：（1）∵，
∴∠B＝30°，
∵∠A＝90°，
∴∠C＝60°，
连接OE，OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC，AB，BC相切于点F，P，E，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，
∴∠OFC＝∠OEC＝90°，
∴∠EOF＝360°﹣∠C﹣∠OEC﹣∠OFC＝120°，
∴；
故答案为：60；
（2）∵BC＝4，∠B＝30°，
∴，，
连接OP，则：OP⊥AB，OP＝OF，
∵OF⊥AC，∠A＝90°，
∴四边形OFAP为正方形，
∴AF＝AP，
设AF＝AP＝x，
则：，
∴BC＝CE+BE＝2﹣x+2x＝4，
解得：x；
即：AP；
故答案为：．
16．在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 6 步．
【思路点拔】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【解答】解：根据勾股定理得：斜边AB17，
∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），
故答案为：6．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△ABC，△ADC，△DBC的内切圆半径分别记为r，r1，r2，若r1＝1，r2，则r＝ ．
【思路点拔】根据已知条件证明△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，利用三角形面积比解答即可．
【解答】解：令BC＝a，CA＝b，AB＝c，
在△ABC中，CD⊥AB，
可得：∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
即：AC2＝AD×AB，
∴AD，
同理可得：△BDC∽△BCA，
∴，
∴BC2＝BD×AB，
即：BD，
∵△ACD、△BCD与△ABC的内切圆半径分别为r1，r2，r，
∴r（a+b﹣c），r1（b）r，r2＝（a）r，
∴（r）2+（r）2＝r2；
∴r2，
∵r1＝1，r2，
∴r．
故答案为：．
18．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为 0，90°α ．
【思路点拔】连接IE、IF，由⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，得BF＝BD，CE＝CD，AC⊥IE，AB⊥IF，则BF+CE＝BD+CD＝BC，∠AEI＝∠AFI＝90°，所以BF+CE﹣BC＝0，∠FDE∠FIE（180°﹣α）＝90°α，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接IE、IF，
∵⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF＝BD，CE＝CD，AC⊥IE，AB⊥IF，
∴BF+CE＝BD+CD＝BC，∠AEI＝∠AFI＝90°，
∴BF+CE﹣BC＝0；
∵∠FDE∠FIE，且∠FIE＝360°﹣∠AEI﹣∠AFI﹣∠A＝180°﹣α，
∴∠FDE（180°﹣α）＝90°α，
故答案为：0，90°α．
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为的直径，AB＝2，BC＝4．若I为四边形ABCD的内切圆圆心，则IO的长度为 ．
【思路点拔】设⊙I与AB、BC分别相切于E，F，连接IE，IF，根据切线的性质得到∠IEB＝∠IFB＝90°，得到四边形BFIE是正方形，设BE＝IE＝IF＝BF＝r，根据勾股定理得到AC2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：设⊙I与AB、BC分别相切于E，F，
连接IE，IF，
∴∠IEB＝∠IFB＝90°，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠B＝90°，
∵IE＝IF，
∴四边形BFIE是正方形，
∴设BE＝IE＝IF＝BF＝r，
∵AB＝2，BC＝4，
∴AC2，
∵IE∥BC，
∴△AEI∽△ABC，
∴，
∴，
∴AI，
∵AO，
∴IO＝AO﹣AI，
故IO的长度为．
故答案为：．
20．如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 4 ．
【思路点拔】作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，此时BP+PN取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式分析计算．
【解答】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，
过点M作MQ⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ，
∵点B与点B′关于x轴对称，
∴PB+PN＝PB′+PN，
当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值．
在Rt△ABC中，AC5，
由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r，
∴S△AOC（3r+4r+5r）3×4，
解得r＝1，
∴ME＝MN＝1，
∴QB′＝4﹣1＝3，QM＝3+1＝4，
∴MB′＝5，
∴PB′+PN＝5﹣1＝4，
即PB+PN最小值为4，
故答案为：4．
21．如图，等腰三角形ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F．若AB＝AC＝10，BC＝12，则DF的长为 ．
【思路点拔】由切线长定理得AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，而AB＝AC＝10，BC＝12，则BD＝CF，求得BE＝CE＝6，则BD＝6，所以AD＝4，再证明△ADF∽△ABC，得，则DFBC，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴AB﹣AD＝AC﹣AF，
∴BD＝CF，
∴BE＝CEBC12＝6，
∴BD＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，
∵∠ADF＝∠AFD（180°﹣∠A），∠B＝∠C（180°﹣∠A），
∴∠ADF＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADF∽△ABC，
∴，
∴DFBC12，
故答案为：．
22．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆．
（1）若∠BAC＝50°，则∠BOC＝ 115 °；
（2）如图，若⊙O与边AB相切于点P，且AB＝19，AC＝17，BC＝16，则AP＝ 10 ．
【思路点拔】（1）因为O是△ABC的内心，所以∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，则∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝65°，所以∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，于是得到问题的答案；
（2）设⊙O与BC、AC分别相切于点E、F，则BP＝BE，CF＝CE，AP＝AF，所以BP+CF＝BE+CE＝BC＝16，由AB+AC＝AP+BP+CF+AF＝2AP+16＝19+17，求得AP＝10，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC＝∠OBA∠ABC，∠OCB＝∠OCA∠ACB，
∵∠BAC＝50°，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣50°）＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115．
（2）设⊙O与BC、AC分别相切于点E、F，
∵⊙O与AB相切于点P，且AB＝19，AC＝17，BC＝16，
∴BP＝BE，CF＝CE，AP＝AF，
∴BP+CF＝BE+CE＝BC＝16，
∵AB+AC＝AP+BP+CF+AF＝2AP+16＝19+17，
∴AP＝10，
故答案为：10．
23．如图，已知，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）若∠C＝90°，∠A＝30°，，则⊙O的半径为 1 ；
（2）若⊙O的半径为3，△ABC的面积为45，且BC＝9，则AD＝ 6 ．
【思路点拔】（1）解直角三角形得到BCAC＝2，求得AB＝2BC＝4，连接OF，OE，根据切线的性质得到BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，设BE＝BD＝x，则AD＝AF＝4﹣x，CF＝CE＝2﹣x，根据题意列方程即可得到结论；
（2）如图，连接OF，OE，OD，OA，OB，OC，根据切线的性质得到OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，，
∴BCAC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
连接OF，OE，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，
设BE＝BD＝x，则AD＝AF＝4﹣x，CF＝CE＝2﹣x，
∵AF+FC＝2，
∴4﹣x+2﹣x＝2，
∴x＝3，
∴⊙O的半径为1．
故答案为：1；
（2）如图，连接OF，OE，OD，OA，OB，OC，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF，
∵△ABC的面积为45，⊙O的半径为3，BC＝9，
∴OD（2AD+2×9）×3＝45，
∴AD＝6；
故答案为：6．
24．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，若∠B＝50°，则∠AOC＝ 115° ．
【思路点拔】根据∠B＝50°，求出∠BAC+∠BCA的度数，再根据点O是△ABC的内心，求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠B＝50°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝130°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝65°，
∴∠AOC＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115°．
25．如图，△ABC的周长是18cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，已知AB＝6cm，则△CEF的周长为 12 cm．
【思路点拔】先根据三角形内心的定义得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分线，结合平行线的性质可证明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE+BF，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：连接OA、OB．
∵点O是△ABC的内心，
∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线．
∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．
∵EF∥BA，
∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．
∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．
∴EO＝EA，OF＝FB．
∴EF＝AE+BF，
∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+EA+CF+FB＝CA+CB＝18﹣6＝12（cm），
故答案为：12．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为边BC上一点（不与B，C重合），点O为△ADC内切圆的圆心，记t＝∠DAO+∠DCO，则t的取值范围为 25°＜t＜65° ．
【思路点拔】由AD、AC、BC与⊙O相切与于F、E、G，可证OA平分∠DAC，OC平分∠ACD，根据t＝∠DAO+∠DCO，可得，再根据∠DAC＜80°即可求出结果．
【解答】解：如图所示，
∵AD、AC、BC与⊙O相切于点F、E、G，连接OF、OE、OG，
∴OF⊥AD，OE⊥AC，OE＝OF，
∴∠FAO＝∠EAO，又∵OG⊥BC，OE＝OG，
∴∠OCG＝∠OCE，
∵t＝∠DAO+∠DCO，
∴，
∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠B＝∠ACB＝50°，
∴，
∴t＞25°，
又∵∠DAC＜80°，
∴，
∴，
∴t＜65°，∴25°＜t＜65°，
故答案为：25°＜t＜65°．
27．如图，△ABC周长为18，BC＝4，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为 10 ．
【思路点拔】设⊙O与BC、AC、AB、MN分别相切于点D、E、G、F，由BG＝BD，CE＝CD，得BG+CE＝BD+CD＝BC＝4，而AG+BG+AE+CE+BC＝18，可求得AG+AE＝10，再由MF＝MG，NF＝NE，推导出AM+MN+AN＝AG+AE＝10，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图，设⊙O与BC、AC、AB、MN分别相切于点D、E、G、F，
∵BG＝BD，CE＝CD，BC＝4，
∴BG+CE＝BD+CD＝BC＝4，
∵△ABC周长为18，
∴AG+BG+AE+CE+BC＝18，
∴AG+AE+4+4＝18，
∴AG+AE＝10，
∵MF＝MG，NF＝NE，
∴AM+MN+AN＝AM+MF+NF+AN＝AM+MG+NE+AN＝AG+AE＝10，
∴△AMN的周长为10，
故答案为：10．
28．如图，△ABC中，点I是内心，若∠A＝50°，则∠BIC的度数为 115° ．
【思路点拔】根据三角形内角和定理即可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据内心的定义即可求得∠IBC+∠ICB，然后根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵点I是△ABC的内心，
∴，
∴，
故∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝115°．
故答案为：115°．
二．解答题（共32小题）
29．如图，⊙O的直径AB为10cm，点E是△ABC内切圆的内心，CE的延长线交⊙O于点D．
（1）求AD的长；
（2）求DE的长；
（3）求弦AD、劣弧AD所围成的图形面积．
【思路点拔】（1）连接OD，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由点E为△ABC内心，得出CE平分∠ACB，从而得到，推出∠AOD＝90°，最后由勾股定理计算即可得出答案；
（2）由点E为△ABC内心，得出∠3＝∠4，证明∠DAE＝∠AED，即可得出；
（3）由（1）可得△AOD是等腰直角三角形，再根据S＝S扇形AOD﹣S△AOD进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
，
∵直径AB，
∴∠ACB＝90°，
∵点E为△ABC内心，
∴CE平分∠ACB，
∴，
∴∠AOD＝90°，
∴；
（2）连接AE，
，
∵点E为△ABC内心，
∴∠3＝∠4，
∵∠5＝∠2，
∴∠DAE＝∠4+∠5＝∠4+∠2，∠AED＝∠3+∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠AED，
∴；
（3）由（1）可得△AOD是等腰直角三角形，
S＝S扇形AOD﹣S△AOD
．
30．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r．
【思路点拔】根据已知得出CD＝CF（AC+BC﹣AB）是解题关键．设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为E、F、D；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得：CD＝CF（AC+BC﹣AB），由此可求出r的长．
【解答】解：如图：连接DO，FO，
在Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，
根据勾股定理AB15（cm），
四边形OECF中，OD＝OF，∠ODC＝∠OFC＝∠C＝90°，
∴四边形OFCD是正方形，
由切线长定理，得：AD＝AE，BE＝BF，CD＝CF，
∴CD＝CF（AC+BC﹣AB），
即r（9+12﹣15）＝3（cm）．
31．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点．
（1）若∠B＝34°，∠C＝62°，求∠DEF的度数；
（2）若AB＝8，AD＝2，AC＝5，求BC的长．
【思路点拔】（1）由切线长定理可得BD＝BE，CE＝CF，进而可得∠BDE＝∠BED，∠CEF＝CFE，据此即可求解；
（2）由切线长定理即可求解．
【解答】解：（1）由切线长定理可得：BD＝BE，CE＝CF，
∴∠BDE＝∠BED，∠CEF＝CFE，
∵∠B＝34°，∠C＝62°，
∴，，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠CEF＝48°，
（2）由切线长定理可得：AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，
∵AB＝8，AD＝2，AC＝5，
∴BD＝6＝BE，CF＝3＝CE，
∴BC＝BE+CE＝9．
32．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点I是△ABC（BC＜AC＜AB）的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连AD．
（1）求证：DA＝DI；
（2）若，，求BC的长．
【思路点拔】（1）连接AI，运用内切圆的性质及三角形外角的性质问题即可解决．
（2）连接AI．BD，过点D作DE⊥DC交CB的延长线于点E，证明△ADB，△CDE都是等腰直角三角形，△ADC≌△BDE（SAS），得到；由勾股定理即可求得AB＝10，CE＝AC+BC＝14；再利用即可BC2+AC2＝AB2＝100即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接AI；
∵点I是△ABC（AC＜AB）的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI；
∵∠DAB＝∠BCI，
∴∠DAB＝∠ACI；
∴∠DAB+∠OAI＝∠ACI+∠CAI；
∵∠AID＝∠ACI+∠CAI，∠DAI＝∠DAB+∠OAI，
∴∠AID＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（2）解：连接AI．BD，过点D作DE⊥DC交CB的延长线于点E，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
∴△ADB，△CDE都是等腰直角三角形，
∴；，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：
；，
∵∠ADB＝∠CDE＝90°，
∴∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC＝BE，
∴CE＝BC+BE＝BC+AC＝14，
又∵BC2+AC2＝AB2＝100，（AC＞BC），
∴AC＝8，BC＝6．
33．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，与弦BC交于点F．
（1）求证：DB＝DE．
（2）若DF＝3，AF＝5，求AE的长．
【思路点拔】（1）根据内心的概念得到∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，根据圆周角定理得到∠CAD＝∠CBD，根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理证明即可；
（2）证明△DBF∽△DAB，得DB2＝AD DF，代入值可得DE＝DB＝2，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，
由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABE+∠BAD＝∠DEB，
∴DE＝DB；
（2）解：∵∠DBC＝∠DAB，∠D＝∠D，
∴△DBF∽△DAB，
∴，
∴DB2＝AD DF，
∵DF＝3，AF＝5，
∴AD＝DF+AF＝8，
∴DB2＝24，
∴DB＝2，
∴DE＝DB＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2．
34．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝8，，点I为△ABC的内心，求GI的长．
【思路点拔】（1）连接OG，根据角平分线的定义得到∠BAG＝∠CAG，根据垂径定理得到OG⊥BC，根据平行线的性质得到OG⊥EF，根据切线的判定定理得到结论；
（2）连接BI，BG，根据角平分线定义得到∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，推出∠BIG＝∠GBI，得到BG＝IG，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OG，
∵∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，
∴∠BAG＝∠CAG，
∴，
∴OG⊥BC，
∵DE∥BC
∴OG⊥EF，
∵OG是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：连接BI，BG，
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，
∴∠BAI＝∠CBG，
∴∠BIG＝∠GBI，
∴BG＝IG，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADG，
∴，
∵AG＝8，
∴AF＝6，
∴FG＝2，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，
∴△BGF∽△AGB，
∴，
∴，
∴BG＝4（负值舍去），
∴GI的长为4．
35．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．
（1）求证：IE＝BE；
（2）若DE＝1，AD＝3，求EI的长．
【思路点拔】（1）要证明IE＝BE，只要求得∠BIDE＝∠IBE即可；
（2）根据已知及相似三角形的判定方法得到△ABE∽△BDE，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出BE的长，即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接BI，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CBE＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠CBE，
∴∠BIE＝∠ABI+∠BAE，∠IBE＝∠CBI+∠CBE，
∴∠BIE＝∠IBE，
∴IE＝BE；
（2）解：∵∠BAD＝∠CAE＝∠CBE，∠E＝∠E，
∴△ABE∽△BDE，
∴BE：DE＝AE：BE，
∵DE＝1，AD＝3，
∴AE＝1+3＝4，
∴BE：1＝4：BE，
∴BE＝2，
∵EI＝BE，
∴EI＝2．
36．已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．BC＞AC，弧AD＝弧BD．BD＝PD，延长CP交⊙O于点D，连接BP．
（1）求证：点P是△ABC的内心；
（2）已知⊙O的直径是．求BC的长．
【思路点拔】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，根据三角形的外角性质和角平分线的定义即可得到结论；
（2）连接AD，由圆周角定理得出∠ABD＝45°，证出△ABD是等腰直角三角形，得出BD，由勾股定理可求BH的长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵弧AD＝弧BD，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB，
∵PD＝BD，
∴∠BPD＝∠PBD，
∵∠BPD＝∠BCP+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠ABP，
∵∠ABD＝∠DCB，∴∠CBP＝∠ABP，
∴PB平分∠ABC，
∴点P是△ABC的内心；
（2）解：连接AD，过点B作BH⊥CD于H，如图所示：
∵AB是直径，∠ABD＝45°，
∴AB＝5，△ABD是等腰直角三角形，
∴BDAB5，
∵∠BCD＝45°，BH⊥CD，
∴∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴BH＝CH，
∴BCBH，
∵BD2＝DH2+BH2，
∴25＝（7﹣BH）2+BH2，
∴BH＝3或4，
∵BC＞AC，
∴BC＝4．
37．AB＝BD，圆O半径为2，P为BC中点，且．
（1）求证：；
（2）CD＝ ；
（3）Q为△ACD的内心，求tan∠OQP．
【思路点拔】（1）由圆周角定理得出∠BCD＝∠ADB，再由∠PBD＝∠CBD得出△PBD∽△DBC，从而得到，即BD2＝PB BC，再根据BC＝2PB，即可得证；
（2）连接OB，OD，OA，OB交AD于E，根据AB＝BD，AO＝DO，得到OB垂直平分AD，从而得出，由勾股定理计算出OE＝1，从而得到BE＝1，BD＝2，再由得出，证明△PBD∽△DBC，得到，即，进行计算即可得到答案；
（3）作QM⊥AC交AC于M，QN⊥AP交AP于N，连接OB、OC、OD，根据角平分线的性质和三角形的面积可得出，证明△ACP∽△BDP，得出，从而得出，求得，再由等腰三角形的性质可得，最后由正切的定义进行计算即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BCD＝∠ADB，
又∵∠PBD＝∠CBD，
∴△PBD∽△DBC，
∴，即BD2＝PB BC，
又∵P为BC中点，
∴BC＝2PB，
∴BD2＝2PB2，
∴；
（2）解：连接OB，OD，OA，OB交AD于E，如图1，
，
∵AB＝BD，AO＝DO，
∴OB垂直平分AD，
∴，
∵OD＝2，
∴，
∴BE＝OB﹣OE＝1，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BDA＝∠BCD，
∵∠PBD＝∠DBC，
∴△PBD∽△DBC，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图2，作QM⊥AC交AC于M，QN⊥AP交AP于N，连接OB、OC、OD，
，
∵AQ平分∠CAP，
∴QM＝QN，
∴S△ACQAC QM，S△APQAP QN，
∴，
设CP边上的高为h，
∴S△APQQP h，S△ACQ，
∴，
∴，
∵∠ACP＝∠BDP，∠APC＝∠BPD，
∴△ACP∽△BDP，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（2）可得△PBE为等腰直角三角形，
∴∠PBE＝45°，
∵OB＝OC，CP＝PB，
∴OP⊥BC，
∴△OPB为等腰直角三角形，
∴，∠QPO＝90°，
∴tan∠OQP1．
38．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F．
（1）求⊙O的半径．
（2）若Q是Rt△ABC的外心，连接OQ，求OQ的长度．
【思路点拔】（1）先利用勾股定理求得AB＝5，利用三角形面积公式S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB，即可求解；
（2）证明四边形ODCE为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可．
【解答】解：（1）如图，连接OF，OA，OB，OC，设⊙O的半径为r．
∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴．
∵S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB，
∴，
解得r＝1，
∴⊙O的半径为1；
（2）∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切边BC，AC，AB于点D，E，F，
∴BD＝BF，CD＝CE，AE＝AF．OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．
∴四边形ODCE为正方形，
∵OD＝OE，
∴四边形ODCE为正方形，
∴CD＝CE＝r＝1，
∴BD＝BF＝2．
∵Q是Rt△ABC的外心，
∴，
∴．
在Rt△OFQ中，OF2+FQ2＝OQ2，即，
解得（负值舍去）．
39．如图，⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：AB2+AC2＝2CD2；
（2）求证：DM＝DC；
（3）连接OM，若AM＝2，OM，求AC的长．
【思路点拔】（1）连接BD，根据内心的定义可得∠BAD＝∠CAD，则BD＝CD，再根据直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理即可求证；
（2）连接CM，根据三角形内心的定义和同弧所对的圆周角相等，可得∠ACM＝∠BCM，∠CAD＝∠BCD，再根据三角形的外角定理和角度直角的和差关系可得∠DMC＝∠CAD+∠ACM，∠DCM＝∠BCD+∠BCM，即可证明∠DMC＝∠DCM，即可求证；
（3）过点M作ME⊥AB，MF⊥AC，MG⊥BC，根据三角形内心的性质可得AE＝AF＝ME＝MF＝MG，根据可得OG＝1，则AB＝BE+AE＝r+3，AC＝CF+AF＝r+1，根据勾股定理，列出方程求解即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵点M为△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，则∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BD2+CD2＝BC2，
∴AB2+AC2＝2CD2．
（2）解：连接CM，
∵点M为△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ACM＝∠BCM，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠CAD＝∠BCD，
∵∠DMC＝∠CAD+∠ACM，∠DCM＝∠BCD+∠BCM，
∴∠DMC＝∠DCM，
∴DM＝DC．
（3）解：过点M作ME⊥AB，MF⊥AC，MG⊥BC，垂足分别为点E，F，G，
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，
∴四边形AEMF为矩形，
∵点M为△ABC的内心，
∴ME＝MF＝MG，
∴四边形AEMF为正方形，
∴∠MAF＝45°，
∵，
∴AF＝AM cos45°＝2，
∴AE＝AF＝ME＝MF＝MG＝2，
∵，
在Rt△OMG中，根据勾股定理可得：，
设⊙O半径为r，
∴BO＝CO＝r，
∴BC＝2r，BG＝r+1，CG＝r﹣1，
∵点M为△ABC的内心，
∴BE＝BG＝r+1，CF＝CG＝r﹣1，
∴AB＝BE+AE＝r+3，AC＝CF+AF＝r+1，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：AB2+AC2＝BC2，
即（r+3）2+（r+1）2＝（2r）2，
解得：r＝5或r＝﹣1（舍），
∴AC＝r+1＝6．
40．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13．求AF，BD，CE的长．
【思路点拔】根据切线长定理，可设AE＝AF＝xcm，BF＝BD＝ycm，CE＝CD＝zcm．再根据题意列方程组，即可求解．
【解答】解：根据切线长定理，设AE＝AF＝xcm，BF＝BD＝ycm，CE＝CD＝zcm．根据题意，得
，
解得．
即AF＝4cm、BD＝5cm、CE＝9cm．
41．在△ABC中，∠C＝α，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n．
（1）当α＝90°时，b＝6，a＝8时，m＝ 2 ，n＝ 12 ．
（2）如图①，α＝90°，则m＝ ，n＝ .（用含有a、b、c的代数式表示）；并求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）
（3）如图②，α＝60°，求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）．
【思路点拔】（1）如图①，设点D，E，F分别是3个切点，连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC，由面积法可得m的值，再由正方形的性质及切线长定理可得n的值；
（2）由于α＝90°，与（1）中度数相同，故解题思路与（1）相同，仅需要将相关线段用m和n表示即可；
（3）连接CP，由切线长定理得∠PCE＝30°，由含30°角的直角三角形的性质及面积法，可得答案．
【解答】解：（1）∵α＝90°，b＝6，a＝8，
∴c＝10，
如图①，设点D，E，F分别是⊙O的切点，
连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC，
∵S△BCA＝S△ABO+S△ACO+S△BCO，
∴6×810m6m8m，
∴m＝2，
由已知，四边形DPEC为正方形，
∴n＝PD（CD+CE），
由切线长定理可知，AF＝AD，BF＝BE，
∴n（CD+CE）（AD+AC+BE+BC）（AB+AC+BC）（10+6+8）＝12；
故答案为：2，12；
（2）如图①，由切线的性质可知：
PD⊥CD，PE⊥BC，PF⊥AB，
∵PD＝PE＝PF，
设△ABC的面积为S△ABC，周长为C△ABC，
同（1），根据面积法可知m，
∵n（CD+CE）（AD+AC+BE+BC）（AB+AC+BC）C△ABC，
∴S△ABCmn．
故答案为：，，
（3）如图②，
连接CP，由切线长定理得：
CD＝CE（CD+CE）（AD+AC+BE+BC）（AB+AC+BC）C△ABC，
∵PD⊥CD，PE⊥BC，
∴CP平分∠ACB，
∴∠PCE＝30°，
∴n＝PE，
∵m，
∴S△ABCmn．
42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．
（1）连接OA、OB，则∠AOB＝ 135° ．
（2）若BD＝6，AD＝4，求⊙O的半径r．
【思路点拔】（1）由题意可知O为△ACB的内心，利用三角形内角和定理以及内心的性质计算即可；
（2）连接EO，FO，利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECF是正方形，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴O为△ACB的内心，
∴∠OBA∠ABC，∠OAB∠CAB，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠OBA+∠OAB90°＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣∠45°＝135°，
故答案为：135°；
（2）连接EO，FO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，EC＝CF，
又∵∠C＝90°，
∴四边形ECFO是矩形，
又∵EO＝FO，
∴矩形OECF是正方形，
设EO＝x，
则EC＝CF＝x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2＝AB2
故（x+6）2+（x+4）2＝102，
解得：x＝2，
即⊙O的半径r＝2．
43．如图，△ABC中AB＝AC，D为AC边上一点，⊙I为△ABD内切圆，G、E、F为切点．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若BD＝10，CD＝4，求BE的长．
【思路点拔】（1）根据⊙I为△ABD内切圆可得AG＝AF，BG＝BE，根据AB＝AC可得BG＝CF，等量代换可得BE＝CF；
（2）根据⊙I为△ABD内切圆可得DF＝DE，设DF＝DE＝x，则CF＝4+x，根据BE＝CF可得BE＝4+x，则BD＝4+2x＝10，解出x即可解答．
【解答】（1）证明：∵⊙I为△ABD内切圆，
∴AG＝AF，BG＝BE，
∵AB＝AC，
∴BG＝CF，
∴BE＝CF；
（2）解：∵⊙I为△ABD内切圆，
∴DF＝DE，
设DF＝DE＝x，
∵CD＝4，
则CF＝4+x，
∵BE＝CF，
∴BE＝4+x，
∴BD＝BE+DE＝4+x+x＝4+2x，
∵BD＝10，
∴4+2x＝10，
解得x＝3，
∴BE＝4+x＝7，
即BE的长为7．
44．如图，AB是⊙O的直径，点E是△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点D，连接AD，AE．
（1）求证：AD＝ED；
（2）连接OE，若∠AOE＝135°，求的值．
【思路点拔】（1）由点E是△ABC的内心，得∠ACD＝∠BCD，∠CAE＝∠BAE，则，所以∠ACD＝∠BAD，则∠ACD+∠CAE＝∠BAD+∠BAE，所以∠AED＝∠EAD，则AD＝ED；
（2）作△ABC的内切圆⊙E与AB、BC分别相切于点F、I，连接EF、EI，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，则∠ECI＝∠ACD∠ACB＝45°，而∠EOF＝180°﹣∠AOE＝45°，所以∠ECI＝∠EOF，可证明△ECI≌△EOF，得CI＝OF，而BI＝BF，即可证明BC＝OBAB，则．
【解答】（1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠ACD＝∠BCD，∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴∠ACD＝∠BAD，
∴∠ACD+∠CAE＝∠BAD+∠BAE，
∵∠AED＝∠ACD+∠CAE，∠EAD＝∠BAD+∠BAE，
∴∠AED＝∠EAD，
∴AD＝ED．
（2）解：作△ABC的内切圆⊙E与AB、BC分别相切于点F、I，连接EF、EI，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECI＝∠ACD∠ACB＝45°，
∵∠AOE＝135°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOE＝45°，
∴∠ECI＝∠EOF
∵BC⊥EI，AB⊥EF，
∴∠EIC＝∠EFO＝90°，
∵EI＝EF，
∴△ECI≌△EOF（AAS），
∴CI＝OF，
∵BI＝BF，
∴CI+BI＝OF+BF，
∴BC＝OBAB，
∴，
∴的值为．
45．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D．
（1）求证：DI＝DB；
（2）连结IO、BI，BD＝2，若IO⊥BI，求AI的长．
【思路点拔】（1）由内心的定义可知I为角平分线的交点，根据直径所对的圆周角是直角，三角形内角和以及角平分线的定义得出∠AIB＝135°，计算得出∠BID＝45°，即可证明；
（2）过点O作OE⊥AD，交AD于点E，证明△BAD∽△OAE，△OIE是等腰直角三角形，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴AI、BI分别平分∠CAB和∠CBA，
∵AB为直径，
∴∠C＝90°，∠D＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAO+∠IBO）＝135°，
∴∠BID＝180°﹣135°＝45°，
∴∠IBD＝180°﹣90°﹣135°＝45°，
∴DI＝DB；
（2）解：如图，过点O作OE⊥AD，交AD于点E，
∵OE⊥AD，IO⊥BI，
∴∠AEO＝90°，∠OIB＝90°，
∵∠AEO＝∠D＝90°，∠BAD＝∠OAE，
∴△BAD∽△OAE，
∴，
∵∠BID＝45°，∠OIB＝90°，
∴∠OIE＝180°﹣∠BID﹣∠OIB＝45°，
∵OE⊥AD，
∴∠OEI＝90°，
∴∠IOE＝180°﹣∠OEI﹣∠OIE＝45°，
∴OE＝EI，
∵，
∴，
∵BD＝2，
∴OE＝1，DI＝BD＝2，
∴EI＝1，DE＝EI+DI＝3，
∵，
∴AD＝2AE即AE+3＝2AE，
∴AE＝3，
∴AI＝AE+EI＝3+1＝4．
46．如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线．
（1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数；
（2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长．
【思路点拔】（1）利用三角形内角和求出∠ABC+∠BAC＝140°，再根据内切圆的性质和切线长定理得出∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，再求出∠OAB+∠OBA＝70°，最后利用三角形内角和求出结果；
（2）设DE的切点为I，根据内切圆的性质得到EH＝EI，DI＝DG，推出△CDE的周长为CG+CH，再结合切线长定理可得CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣2AB，再计算即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝40°，
∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，
∴，
∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°；
（2）∵⊙O为△ABC的内切圆，DE为⊙O的切线，设切点为I，
∴EH＝EI，DI＝DG，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE
＝CD+CE+EI+DI，
＝CD+CE+EH+DG，
＝CG+CH，
∵AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，
∴CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣（AH+AF+BF+BG），
＝8+6+9﹣2AB
＝8+6+9﹣2×6
＝11．
47．在Rt△AOB中，O为坐标原点，A在第一象限，其中内心I（a，9a），其中A，B，I三点都是整数点．
（1）求直线OA的解析式；
（2）a＝2023，求整点△AOB的个数．
【思路点拔】（1）由题可知OI平分∠AOB，则∠IOA＝45°，设直线OA的解析式为y＝kx，直线OI的解析式为y＝9x，由到角公式可得1，求出k的值即可求直线解析式；
（2）先求出直线OB的解析式为yx，设A（5m，4m），B（﹣4n，5n），由I是△AOB的内心，可得OIr，整理可得到（m﹣2a）（n﹣2a）＝2×20232＝2×72×174，再由m＞2a，n＞2a，可得共2×3×5＝30个整点．
【解答】解：（1）∵I是△AOB的内心，∠AOB＝90°，
∴OI平分∠AOB，
∴∠IOA＝45°，
设直线OA的解析式为y＝kx，
∵I（a，9a），
∴直线OI的解析式为y＝9x，
∴1，
解得k，
∴直线OA的解析式为yx；
（2）∵OA⊥OB，
∴直线OB的解析式为yx，
设A（5m，4m），B（﹣4n，5n），
∵I是△AOB的内心，
∴OIr，
∴4a2＝（m+n）2，
∴2a＝m+n，
∴（m+n﹣2a）2＝m2+n2，
∴mn﹣2a（m+n）+2a2＝0，
∴（m﹣2a）（n﹣2a）＝2×20232＝2×72×174，
∵m、n不可能均小于2a，
∴m＞2a，n＞2a，
∴共2×3×5＝30个整点．
48．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D；过点D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，．求优弧的长．
【思路点拔】（1）连接OD交BC于H，利用三角形的内心及平行线的性质即可得出结论；
（2）连接BD，OB，利用三角形的内心可得DB＝DE＝6，再利用sin∠BDH得∠BDH＝60°，进而△OBD是等边三角形，由弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O切线；
（2）解：连接BD，OB，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BHBC63，
在Rt△BDH中，
sin∠BDH，
∴∠BDH＝60°，
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，
∴∠BOC＝120°，
∴优弧的长是8π．
49．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，BC与AD相交于点F．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠ACB＝60°，AB＝3，BD＝2，求的值．
【思路点拔】（1）先判断出∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，再用三角形的外角的性质判断出∠DBE＝∠BED，即可得出结论；
（2）先判断出△BDE是等边三角形，得出DE＝BD＝2，进而得出DH，再根据勾股定理得出BH＝3，AH＝3，进而求出AD＝AH+DH＝3，再判断出△DBF∽△DAB，求出BF，最后判断出△ACF∽△BDF，即可求出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接BE，
∵点E是⊙O的内心，
∴AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∵点E是⊙O的内心，
∴BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBD+∠CBE＝∠CAD+∠ABE＝∠BAD+∠ABE＝∠BED，
∴DE＝DB；
（2）由（1）知，DE＝DB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝2，
如图，过点B作BH⊥AD于H，
则DHDE，
在Rt△BHD中，根据勾股定理得，BH3，
在Rt△AHB中，根据勾股定理得，AH3，
∴AD＝AH+DH＝3，
∵∠ADB＝∠BDF，∠DBF＝∠DAB，
∴△DBF∽△DAB，
∴，
∴BF，
∵∠ACF＝∠BDF，∠CAF＝∠DBF，
∴△ACF∽△BDF，
∴，
∴．
50．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，连接AD，CD，AI．
（1）求证：AD＝ID；
（2）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
【思路点拔】（1）利用角平分线的定义，圆周角定理以及三角形内角和定理可得出∠AID＝∠DAI，再根据等腰三角形的判定方法可得AD＝ID；
（2）根据角平分线的定义，圆周角定理可证出△ADE∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD，再根据线段的和差关系可求出答案．
【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AI平分∠CAB，
∴∠CBI＝∠ABI∠ABC，∠CAI＝∠BAI∠CAB，
∴∠AID＝∠ABI+∠BAI，∠DAI＝∠CAI+∠CAD，∠CAD＝∠CBD，
∴∠AID＝∠DAI，
∴AD＝ID；
（2）解：∵BI平分∠ABC，
∴∠CBI＝∠ABI，
又∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠DAE＝∠ABD，
∵∠ADE＝∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴，
即，
∴AD＝6＝ID，
∴BI＝BD﹣DI＝（4+5）﹣6＝3．
51．如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．
（1）求证：l是⊙O的切线；
（2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长．
【思路点拔】（1）连接OE，利用角平分线的性质和等腰三角形可得AB∥OE，再利用平行线的性质说明OE⊥l，即可证明结论；
（2）利用垂径定理和勾股定理可得CGAC＝2，OGAB，在Rt△CEG中，利用勾股定理可得CE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵点D是Rt△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵OB＝OE，
∴∠EBC＝∠OEB，
∴∠ABE＝∠OEB，
∴AB∥OE，
∴∠BAC＝∠OGC＝90°，
∵l∥AC，
∴OE⊥l，
∴OE为半径，
∴l是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC5，
∴OC，
∵OG⊥AC，
∴CGAC＝2，OGAB，
∴EG1，
在Rt△CEG中，由勾股定理得，
CE．
52．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．
（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；
（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+ACAD．
【思路点拔】（1）连接BE，由三角形的内心得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB＝∠DBE，即可得出结论；
（2）延长AC至F，使CF＝AB，连接DF，证明△ABD≌△FCD（SAS），由全等三角形的性质得出∠F＝∠BAD＝30°，由直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2＝∠6，
∴∠1＝∠6，
∵∠5＝∠1+∠3，
∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，
∴∠5＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（2）证明：延长AC至F，使CF＝AB，连接DF，
∵E为△ABC的内心，∠BAC＝60°，
∴∠DBC＝∠DCB＝∠DAC＝30°，DB＝DC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCF＝180°，
∴∠ABD＝∠DCF，
在△ABD和△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD（SAS），
∴∠F＝∠BAD＝30°，
在△ADF中，∠F＝∠DAF＝30°，
过点D作DG⊥AF于G，则GFDG，AD＝2GD，
∴AFAD，
∵AF＝AC+CF＝AC+AB，
∴AB+ACAD．
53．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；
（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．
【思路点拔】（1）根据三角形的内心是角平分线的交点，可得结论；
（2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：（1）∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠DBO∠ABC，∠DCO∠ACB，
∴∠DBO+∠DCO∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）＝62.5°
∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠DBO+∠DCO）＝180°﹣62.5°＝117.5°；
（2）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE，
设AE＝x，BD＝y，CD＝z，
又∵AB＝13，BC＝11，AC＝10，
∴，
解得，
∴AF＝6．
54．如图，B，C的坐标分别为（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝6，⊙M为△ABC的内切圆，则M的横坐标为 3 ．
【思路点拔】设△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、Q、P，连接MD，由AP＝AQ，BP＝BD，CQ＝CD，推导出AB﹣AC＝BD﹣CD＝6，则BD＝CD+6，由B（﹣5，0），C（5，0），得BD+CD＝10，则BD＝10﹣CD，于是得CD+610﹣CD，求得CD＝5﹣3，则OD＝OC﹣CD＝3，而MD⊥x轴，所以M的横坐标为3，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图，设△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、Q、P，连接MD，
∵AP＝AQ，BP＝BD，CQ＝CD，
∴AB﹣AC＝AP+BP﹣（AQ+CQ）＝AQ+BD﹣AQ﹣CD＝BD﹣CD，且AB﹣AC＝6，
∴BD﹣CD＝6，
∴BD＝CD+6，
∵B（﹣5，0），C（5，0），
∴BD+CD＝BC＝5﹣（﹣5）＝10，OC＝5，
∴BD＝10﹣CD，
∴CD+610﹣CD，
∴CD＝5﹣3，
∴OD＝OC﹣CD＝5﹣（5﹣3）＝3，
∴D（3，0），
∵MD⊥x轴，
∴M的横坐标为3，
故答案为：3．
55．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）求证：BD＝DE；
（2）连接OD交BC于点G，若OD⊥BC，DG＝2，BC＝10，求圆的半径．
【思路点拔】（1）根据内心的性质得到∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，根据圆周角定理解答即可；
（2）连接OD，结合（1）根据垂径定理可得OD垂直平分BC，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）证明：连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC，
∵∠DEB＝∠ABE+∠BAD，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴BD＝DE；
（2）解：连接OD，
由（1）可知，∠BAD＝∠DAC，
∴，
∴OD垂直平分BC，
∴BGBC10＝5，
设OD＝OB＝x，
则OG＝x﹣DG＝x﹣2，
在Rt△OBG中，由勾股定理可得：
OG2+BG2＝OB2，
∴（x﹣2）2+52＝x2，
解得．
∴圆的半径为．
56．已知I为三角形ABC的内心，连接AI交三角形ABC的外接圆于点D，如图所示，连接BD和CD．
（1）求证：BD＝CD＝ID．
（2）∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝5，求AD．
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）连接BI，根据I为三角形ABC的内心，可得∠BAD＝∠DAC，∠ABI＝∠CBI，进而可得BD＝DC，进而证明∠DBI＝∠BID，可得BD＝ID，即可得证；
（2）过点B作BH⊥AC于H，过点D作DG⊥BC于点G，解Rt△ABH，勾股定理求得BC，进而求得BD，过点I，作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为M，K，N，根据等面积法求得MI，进而求得AI，根据AI+ID＝AD即可求解；
（3）设O为三角形ABC的外接圆的圆心，连接OB，OC，由（2）的条件求得圆的半径为，根据S阴影部分＝S扇形OBC﹣S四边形OBDC即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接BI，
∵I为三角形ABC的内心，
∴∠BAD＝∠DAC，∠ABI＝∠CBI，
∴，
∴BD＝DC，
∵∠BID＝∠ABI+∠BAD，∠IBD＝∠CBI+∠DBC，
∵∠CAD＝∠BAD＝∠DBC，
∴∠DBI＝∠BID，
∴BD＝DI，
∴BD＝CD＝ID；
（2）如图，过点B作BH⊥AC于H，过点D作DG⊥BC于点G，
∵∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝5，
∴∠ABH＝30°，
∴，，
∴HC＝AC﹣AH＝5﹣2＝3，
∴，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝∠BDC＝120°，
∵BC＝CD，DG⊥BC，
∴，
∴，
过点I，作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为M，K，N，如图，
∵I为三角形ABC的内心，
∴IM＝IK＝IN，
设IM＝IK＝IN＝h，
∴，
即，
解得，
在Rt△AMI中，，
∵，
∴；
（3）如图，设O为三角形ABC的外接圆的圆心，连接OB，OC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝∠BDC＝120°，
∵，∴ED⊥BC，且，
∵OB＝OD＝OC，
∴△OBD，△ODC是等边三角形，
∵，
∴圆的半径为，
∴S阴影部分＝S扇形OBC﹣S四边形OBDC．
57．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接OD，OE，OF．
（1）若BC＝6，AC＝8，则r＝ 2 ；
（2）若Rt△ABC的周长为L，面积为S，则S，L，r之间有什么数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）先利用勾股定理计算出AB＝10，再利用切线的性质和切线长定理得到OD⊥BC，OE⊥AC，BD＝BF，AE＝AF，则四边形ODCE为正方形，所以CD＝CE＝OE＝r，从而得到8﹣r+6﹣r＝10，然后解关于r的方程即可；
（2）根据△ABC的内切圆半径r，△ABC的周长为L，分隔三角形面积得出△ABC的面积即可．
【解答】解：（1）连接OE，OD，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB10，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，BD＝BF，AE＝AF，
∵∠C＝90°，
∴四边形ODCE为正方形，
∴CD＝CE＝OE＝r，
∴BF+BD＝8﹣r，AF＝AE＝6﹣r，
∴8﹣r+6﹣r＝10，
解得r＝2，
故答案为：2；
（2）SLr．
理由如下：由题意，如图，
连接OE，OD，OF；OA，OB，OC，
则：OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC；
∴S＝S△AOB+S△BOC+S△AOCAB OFBC ODAC OE
∵OE＝OF＝OD＝r，AB+BC+AC＝L，
∴SAB rBC rAC rr（AB+BC+AC）
Lr，
即SLr．
58．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE．
（1）若∠CBD＝34°，求∠BEC的度数；
（2）求证：DE＝DB．
【思路点拔】（1）由点E是△ABC的内心可得AE平分∠BAC，BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAD＝∠CBD，进而求出∠BAC的度数；根据三角形内角和180°得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，利用三角形外角的性质得到∠BEC＝∠BAC+∠ABE+∠ACE，进而求出∠BEC的度数；
（2）根据内心的性质，三角形内角和定理证明．
【解答】（1）解：∵E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．
∵∠CBD＝34°，
∴∠CAD＝∠CBD＝34°，
∴∠BAC＝2∠CBD＝68°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，
∴∠ABE+∠ACE112°＝56°，
∴∠BEC＝∠BAC+∠ABE+∠ACE＝68°+56°＝124°；
（2）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
由圆周角定理得，∠DAC＝∠DBC，
∠DBE＝∠DBC+∠EBC，∠DEB＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB．
59．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，I1、I2，分别是△ACD、△BCD的内心，直线I1I2，分别交AC、BC于点E、F．
（1）求tan∠I1I2D；
（2）求△CEF的面积．
【思路点拔】（1）由题意易得：I1D⊥I2D，AB＝5，过点I1作I1G⊥AB于点G，所以I1G是直角三角形ADC内切圆半径，I1G（AD+CD﹣AC），再利用三角函数分别计算出I1D、I2D，即可解答；
（2）证明CE＝CF＝CD，即可解答．
【解答】解：（1）如图：连接AI1、CI1、CI2，
∵三角形内心是三条角平分线的交点，且I1、I2分别是△ACD，△BCD的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠4＝90°，
∴2∠2+2∠3＝90°+90°＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，即∠I1DI2＝90°，
∴I1D⊥I2D，
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
又∵CD⊥AB，
∴AD，
∴BD＝AB﹣AD，CD，
过点I1作I1G⊥AB于点G，
则I1G是直角三角形ADC内切圆半径，
∴I1G（AD+CD﹣AC），
则DI1，DG，
同理：DI2，
则tan∠I1I2D；
（2）由（1）可知：，
∴，
∵∠I1DI2＝∠ACB＝90°，
∴△I1DI2∽△ACB，
∴∠I1I2D＝∠B＝∠ACD，
∴∠CEF＝∠CDI2＝45°，
∵CI1＝CI1，∠ECI2＝∠DCI2，
∴△ECI1≌△DCI1（AAS），
∴CE＝CD，
∴CF＝CE，
故三角形CEF面积为．
60．如图，AB是⊙O的直径，点M是△ABC的内心，连接BM并延长交AC于点F交⊙O于点E，连接OE与AC相交于点D．
（1）求证：ODBC；
（2）求证：EM＝EA．
【思路点拔】（1）由三角形内心的性质得出∠ABE＝∠CBE，由圆周角定理得出，证出CD＝DA，由三角形中位线定理可得出结论；
（2）连接AM，证出∠EMA＝∠EAM．由等腰三角形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点M是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴，
∴CD＝DA，
又∵OA＝OB，
∴ODBC；
（2）证明：连接AM，
∵M是△ABC的内心，
∴∠BAM＝∠CAM，∠ABE＝∠CBE，
∵∠EMA＝∠ABE+∠BAM，∠EAM＝∠CAE+∠CAM，∠CBE＝∠CAE，
∴∠EMA＝∠EAM．
∴EM＝EA．
