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第6章 图形的初步知识 巩固基础卷
一、选择题
1．把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是（ ）
A．过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．线段是直线的一部分
2．用平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，则原来的几何体不可能是（ ）
A．正方体 B．棱柱体 C．圆柱 D．圆锥
3．如图，点C为线段AB上一点且AC>BC，点D、E分别为线段AB、CB的中点，若AC=7，则DE=（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．无法确定
4．下列说法正确的是（ ）
A．最小的整数是0
B．单项式 的次数是5
C．射线AB和射线BA是同一条射线
D．两点之间的所有连线中，线段最短
5．数轴上表示 与 这两个数对应的点之间的距离是（ ）
A．-7 B．7 C．5 D．6
6．已知：点 ， ， 在同一条直线上，点 、 分别是 、 的中点，如果 ， ，那么线段 的长度为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．如图，直线 相交于点 ， ， 平分 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若∠BAE＝100°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为360°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和的最大值为15，最小值为11.其中说法正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．若 ，则 的补角的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点O在直线 上，过O作射线 ， ，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t的值为（ ）
A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
二、填空题
11．在数轴上，，两点分别表示与，则这两点之间的距离为 ．
12． 若∠α=30.2°，则∠α的补角度数为 (用“°、'”表示)．
13．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°，则∠2的度数是 .
14．一个角的一半比它的补角小30°，则这个角的度数是 .
15．已知点，，在一条直线上且不重合，则下列等式中：①；②；③；④，不能判断点是线段中点的有 .（填序号）
16．同学们都知道： 表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理， 可以表示数轴上有理数x所对应的点到-2和3所对应的点的距离之和，则 的最小值为 .
三、综合题
17．如图，∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，OQ平分∠AOC，∠POQ＝70°.
（1）求∠AOP的度数；
（2）求∠AOC与∠BOC的度数.
18．如图，小聪用三种大小不同的6个正方形和1个长方形（阴影部分）拼成一个长方形ABCD。
（1）设MN=x，AE=y，则MG= ，BE= 。（用含x、y的代数式表示）
（2）若MF=1，小聪经过测量发现BC﹣AB的结果为定值，你认为小聪的发现正确吗？如果正确，请求出这个定值；如果不正确，请说明理由。
19．小敏在学习了几何知识后，对角的知识产生了兴趣，进行了如下探究：
（1）如图1，∠AOB＝90°，在图中动手画图（不用写画法）.在∠AOB内部任意画一条射线OC；画∠AOC的平分线OM，画∠BOC的平分线ON；用量角器量得∠MON＝ .
（2）如图2，∠AOB＝90°，将OC向下旋转，使∠BOC＝30°，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由.
20．如图，C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB=18cm，AC=4CD。
（1）图中共有几条线段：
（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AB上，且EA=2cm，求BE的长。
21．设∠α、∠β的度数分别为（2n+5）°和（65﹣n）°，且∠α、∠β都是∠γ的补角
（1）求n的值；
（2）∠α与∠β能否互余，请说明理由.
22．如图所示， 和 都是直角.
（1）填空：图中与 互余的角有 和 ；
（2） 与 互补吗？为什么？
（3）若 ，求 与 的度数.
23．如图，相距10km的A，B两地间有一条笔直的公路，C地位于A，B两地间且距A地6km，小明骑单车从A地出发沿公路以每小时5km的速度向B地匀速骑行，当到达B地后立即以原来的速度返回，直到A地停止．设小明骑行时间为t（h），小明所处位置记为点P．若以C地为原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示A，B，C三地，解答下列问题：
（1）填空：点A表示的有理数为 ，点B表示的有理数为 ；
（2）当t＝0.5时，点P表示的有理数为
；
（3）在小明由A地到B地过程中，点P表示的有理数为 ，在小明由B地返回A地过程中，点P表示的有理数为 （用含的代数式表示）；
（4）当小明距离C地2km时，请直接写出所有满足条件的值．
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第6章 图形的初步知识 巩固基础卷
一、选择题
1．把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是（ ）
A．过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．线段是直线的一部分
【答案】C
【解析】【解答】解，两点之间，线段最短；
故应选 ：C。
【分析】把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是两点之间，线段最短。
2．用平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，则原来的几何体不可能是（ ）
A．正方体 B．棱柱体 C．圆柱 D．圆锥
【答案】D
【解析】【分析】依次分析各项中图形的性质特征即可判断。
【解答】用平面去截圆锥，截面的形状是不可能长方形，故选D.
【点评】解答本题的关键是认识几何体的截面只是几何体的其中一个方面的体现，同一个几何体可能会有不同的截面，不同的几何体也可能会有相同的截面。
3．如图，点C为线段AB上一点且AC>BC，点D、E分别为线段AB、CB的中点，若AC=7，则DE=（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵D为AB的中点，
∴AD=DB=AB
∵E为CB的中点
∴CE=EB=BC
∴DE=DB-EB=AB-BC
=(AB-BC)
=AC
=3.5
【分析】根据中点的性质，结合线段的和差关系，计算得到答案即可。
4．下列说法正确的是（ ）
A．最小的整数是0
B．单项式 的次数是5
C．射线AB和射线BA是同一条射线
D．两点之间的所有连线中，线段最短
【答案】D
【解析】【解答】解：A.最小的正整数为1，说法错误；
B.单项式的次数为-，说法错误；
C.射线AB和射线BA不是同一条射线，说法错误；
D.两点之间所有的连线中，线段最短，正确。
故答案为：D.
【分析】根据有理数的分类、单项式的次数、射线的含义和线段的定义，判断得到答案即可。
5．数轴上表示 与 这两个数对应的点之间的距离是（ ）
A．-7 B．7 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：数轴上表示 与 这两个数对应的点之间的距离是 ．
故答案为：C．
【分析】根据两点之间求距离的方法可列式子，进行求解即可。
6．已知：点 ， ， 在同一条直线上，点 、 分别是 、 的中点，如果 ， ，那么线段 的长度为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】【解答】解：①如图，
∵M是AB的中点， ，
∴ ，
∵N是BC的中点， ，
∴ ，
∴ ；
②如图，
∵M是AB的中点， ，
∴ ，
∵N是BC的中点， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】分类讨论：点C在AB上，点C在AB的延长线上，根据线段的中点的性质，可得BM，BN的长，根据线段的和差可得答案。
7．如图，直线 相交于点 ， ， 平分 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
又OF平分∠AOE，
故答案为：A．
【分析】直接利用邻补角的定义，得出∠AOF的度数，进而利用角平分线的定义得出答案。
8．如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若∠BAE＝100°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为360°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和的最大值为15，最小值为11.其中说法正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，符合题意；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，符合题意；
③由∠BAE=100°，∠CAD=40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=100°+100°+100°+40°=380°，不符合题意；
④当F在的线段BE上最小，则点F到点B、C、D、E的距离之和为FB+FE+FD+FC=2+3+3+3=11，当F和E重合最大则点F到点B、C、D、E的距离之和FB+FE+FD+FC=8+0+6+3=17，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】①从B、C、D、E是点中任意选两点即可得到一条线段，写出所有的线段即可；②观察图形，根据邻补角互补即可找出图中的补角；③观察图形可知所有小于平角的角有∠BAC、∠DAE、∠DAC、∠BAE、∠BAD、∠CAE，然后依次求和；④观察图形可知当点F在线段BE上时距离之和最短，当点F与点E重合时，距离之和最长，分别计算即可.
9．若 ，则 的补角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】已知 ，那么 的补角＝180° ＝ ．
故答案为：B．
【分析】根据补角的概念可求．
10．如图，点O在直线 上，过O作射线 ， ，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t的值为（ ）
A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
①如图，
当 的反向延长线恰好平分锐角 时，
∴ ，
此时，三角板旋转的角度为 ，
∴ ；
②如图，
当 在 的内部时，
∴∠CON= ∠AOC=40°，
∴三角板旋转的角度为90°+100°+40°=230°，
∴ ；
∴t的值为：5或23．
故答案为： C ．
【分析】先求出 ，再分类讨论，进行计算求解即可。
二、填空题
11．在数轴上，，两点分别表示与，则这两点之间的距离为 ．
【答案】16
【解析】【解答】解：由题意可得：
这两点之间的距离为6-（-10）=16
故答案为：16
【分析】根据数轴上的点的位置关系求出两点间的距离即可求出答案.
12． 若∠α=30.2°，则∠α的补角度数为 (用“°、'”表示)．
【答案】149°48'
【解析】【解答】解：∵∠α=30.2°，
∴∠α的补角=180°-30.2°=149.8°，
149.8°=149°+0.8°=149°+0.8×60'=149°48'．
故答案为：149°48'．
【分析】根据若两角之和满足180°，那么这两个角互为补角，可求出∠α的补角，进而根据度分秒之间的换算进行转化即可求解.
13．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°，则∠2的度数是 .
【答案】20°
【解析】【解答】解：根据图示可知∠1+∠2=90°，
根据题意可知∠1=∠2+50°，
所以∠2=（90°-50°）÷2=20°
故答案为：20°.
【分析】根据图示可知∠1+∠2=90°，由已知可得∠1=∠2+50°，据此求解.
14．一个角的一半比它的补角小30°，则这个角的度数是 .
【答案】100°
【解析】【解答】解：设这个角是x°，根据题意，得
，
解得：x=100.
即这个角的度数为100°.
故答案为：100°
【分析】设这个角是x°，根据题中的相等关系“x的一半=180-x-30”可得关于x的方程，解方程可求解.
15．已知点，，在一条直线上且不重合，则下列等式中：①；②；③；④，不能判断点是线段中点的有 .（填序号）
【答案】②③④
【解析】【解答】解：∵AP=BP，∴点P是线段AB的中点，故①不符合题意；
点P可能是在线段AB的延长线上且在点B的一侧，此时也满足
，故②符合题意；
点P可能是在线段BA的延长线上且在点A的一侧，此时也满足
，故③符合题意；
∵点P为线段AB上任意一点时
恒成立，故④符合题意.
故答案为：②③④.
【分析】根据线段中点定义“线段上的一个点将线段分成相等的两部分”，得：①AP=BP；②BP=
AB；③AB=2AP，再根据各选项即可判断求解.
16．同学们都知道： 表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理， 可以表示数轴上有理数x所对应的点到-2和3所对应的点的距离之和，则 的最小值为 .
【答案】5
【解析】【解答】解：由题意可得 表示数轴上有理数x所对应的点到-3和2所对应的点的距离之和，
∵两点之间线段最短；
∴数轴上表示x的点位于-3和2之间的时候，x到-3的点的距离与x到2的点的距离之和就是表示-3的点与表示2的点之间的距离，
∴ 的最小值为5.
故答案为：5
【分析】根据两点之间线段最短，所以当数轴上表示x的点位于-3和2之间的时候，x到-3的点的距离与x到2的点的距离之和就是表示-3的点与表示2的点之间的距离.
三、综合题
17．如图，∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，OQ平分∠AOC，∠POQ＝70°.
（1）求∠AOP的度数；
（2）求∠AOC与∠BOC的度数.
【答案】（1）∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴∠POA=45°
（2）∵∠POQ=70°，
∴∠AOQ=∠POQ-∠POA=25°，
∵OQ平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOQ=50°.
∠BOC=∠AOC+∠AOB=140°.
【解析】【分析】（1）根据角的角平分线的定义可直接得出答案；
（2） 由 ∠AOQ=∠POQ-∠POA先求出 ∠AOQ的度数，再根据角平分线的定义求出 ∠AOC的度数，最后由 ∠BOC=∠AOC+∠AOB 求出 ∠BOC的度数.
18．如图，小聪用三种大小不同的6个正方形和1个长方形（阴影部分）拼成一个长方形ABCD。
（1）设MN=x，AE=y，则MG= ，BE= 。（用含x、y的代数式表示）
（2）若MF=1，小聪经过测量发现BC﹣AB的结果为定值，你认为小聪的发现正确吗？如果正确，请求出这个定值；如果不正确，请说明理由。
【答案】（1）4x；5x-y
（2）解：小聪的发现正确，理由如下：
若MF=1 ，则y-x=1，
则BC-AB=AD-DC，
=4x+y-5x，
=y-x，
=1，
∴BC-AB=1为定值，
∴ 小聪的发现正确.
【解析】【解答】解：（1）∵MGCQ为正方形，且 MN=x ，
∴MG=MQ=4MN=4x，
∵AE=y，
∴BE=AB-AE，
=DC-AE，
=DQ+QC-AE，
=MM+MG-AE，
=x+4x-y，
=5x-y；
【分析】(1)因为MGCQ为正方形，且 MN=x，AE=y，根据题目中的等量关系转换即可表示出MG，BE；
(2)据（1）中所求，可表示出BC-AB，即可判断小聪的发现.
19．小敏在学习了几何知识后，对角的知识产生了兴趣，进行了如下探究：
（1）如图1，∠AOB＝90°，在图中动手画图（不用写画法）.在∠AOB内部任意画一条射线OC；画∠AOC的平分线OM，画∠BOC的平分线ON；用量角器量得∠MON＝ .
（2）如图2，∠AOB＝90°，将OC向下旋转，使∠BOC＝30°，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由.
【答案】（1）
（2）解：∵∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，且∠AOB＝90°
∴
∴
【解析】【解答】（1）作图如下
用量角器量得：∠MON＝
故答案为： ；
【分析】（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OC于点H、G，再分别以点H、点G为圆心，以大于GH的长度为半径画弧并相交于点P，过点P画射线OM即为∠AOM的平分线，同理得出∠BOC的平分线ON；
（2）根据角平分线的定义可得
，由，即可求出结论.
20．如图，C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB=18cm，AC=4CD。
（1）图中共有几条线段：
（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AB上，且EA=2cm，求BE的长。
【答案】（1）解：图中有四个点，线段有
（2）解：由点D为BC的中点，得
BC＝2CD＝2BD，
由线段的和差，得
AB＝AC+BC，即4CD+2CD＝18，
解得CD＝3（cm），
AC＝4CD＝4×3＝12cm
（3）解：①当点E在线段AB上时，由线段的和差，得
BE＝AB﹣AE＝18﹣2＝16（cm），
②当点E在线段BA的延长线上，由线段的和差，得
BE＝AB+AE＝18+2＝20（cm）．
综上所述：BE的长为16cm或20cm．
【解析】【分析】（1）线段上有n个点，线段有条，据此计算即可；
（2）根据线段的中的，得出BC＝2CD＝2BD，由AB＝AC+BC，可得4CD+2CD＝18，据此求出CD的长即可；
（3）①当点E在线段AB上时， 可得BE＝AB﹣AE②当点E在线段BA的延长线上，可得BE＝AB+AE，据此分别计算即可.
21．设∠α、∠β的度数分别为（2n+5）°和（65﹣n）°，且∠α、∠β都是∠γ的补角
（1）求n的值；
（2）∠α与∠β能否互余，请说明理由.
【答案】（1）解：由∠α、∠β都是∠γ的补角，得
∠α＝∠β，即（2n+5）°＝（65﹣n）°.
解得n＝20；
（2）解：∠α与∠β互余，理由如下：
∠α＝（2n+5）°＝45°，∠β＝（65﹣n）°＝45°，
∵∠α+∠β＝90°，
∴∠α与∠β互为余角.
【解析】【分析】（1）根据补角的性质，可得∠α、∠β，根据解方程，可得答案；（2）根据余角的定义，可得答案.
22．如图所示， 和 都是直角.
（1）填空：图中与 互余的角有 和 ；
（2） 与 互补吗？为什么？
（3）若 ，求 与 的度数.
【答案】（1）；
（2）解： 与 互补.理由如下：
因为 和 都是直角
所以
又因为
所以
所以 与 互补
（3）解：设 ，则
所以
即
所以
由（2）可知 与 互补，
所以
【解析】【解答】解：（1）∵ 和 都是直角.
∴ + = ， + = ，
∴与 互余的角有 、
故答案为： 、 ；
【分析】（1）根据互余的定义即可求解；（2）根据互补的定义即可求解；（3）设 则 ，根据题意得到方程求出x即可求解.
23．如图，相距10km的A，B两地间有一条笔直的公路，C地位于A，B两地间且距A地6km，小明骑单车从A地出发沿公路以每小时5km的速度向B地匀速骑行，当到达B地后立即以原来的速度返回，直到A地停止．设小明骑行时间为t（h），小明所处位置记为点P．若以C地为原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示A，B，C三地，解答下列问题：
（1）填空：点A表示的有理数为 ，点B表示的有理数为 ；
（2）当t＝0.5时，点P表示的有理数为
；
（3）在小明由A地到B地过程中，点P表示的有理数为 ，在小明由B地返回A地过程中，点P表示的有理数为 （用含的代数式表示）；
（4）当小明距离C地2km时，请直接写出所有满足条件的值．
【答案】（1）-6；4
（2）-3.5
（3）；
（4）小明距离C地2km，即点P表示的数的绝对值为2，
或 ，
当 时，
或 ，
解得： 或 ，
当 时，
或 ，
解得： 或 ，
的值为 或 或 或 ．
【解析】【解答】（1） 以C地为原点，从A到B为正方向，且 ，
点A表示的有理数为 ，
，
，
点B表示的有理数为4；
故答案为： ，4；
（2）由题可得：小明骑车的路程为 ，
从A到B为正方向，
点P表示的有理数为 ，
故答案为： ；
（3）由题可得：小明骑车的路程为 ，
在小明由A地到B地过程中，点P与点A的距离为 ，
点P表示的有理数为 ，
在小明由B地返回A地过程中，点P与点A的距离为 ，
点P表示的有理数为 ，
故答案为： ， ；
【分析】（1）以C地为原点，从A到B为正方向，且 ，得出点A表示的有理数为 ，由 ，得出CB的值，由此得出答案；
（2）由题可得：小明骑车的路程为 ，由从A到B为正方向，由此得出点P表示的有理数；
（3）由题可得：小明骑车的路程为 ，在小明由A地到B地过程中，点P与点A的距离为 ，得出点P表示的有理数为 ，在小明由B地返回A地过程中，点P与点A的距离为 ，由此得出答案；
（4） 小明距离C地2km，即点P表示的数的绝对值为2，当 时，当 时， 解出t的值即可。
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