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第3章 圆的基本性质 专项巩固卷
一、选择题
1．同一平面内，一个点到圆的最小距离为 ，最大距离为 ，则该圆的半径为
A． B． C． 或 D． 或
2．已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．4cm D．8cm
3．如图，一座石拱桥是圆弧形其跨度AB=24米，半径为13米，则拱高CD为（ ）
A．3米 B．5米 C．7米 D．8米
4．如图，弦于点E，过圆心O，，，则（ ）
A．4 B．8 C． D．10
5．如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（ ）
A．折扇 B．圆扇 C．一样大 D．无法判断
6．下列语句中，正确的有（ ）
相等的圆心角所对的弧相等；等弦对等弧；平分弦的直径垂直于弦；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，点、、是上的点，，连结交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．如图，是的直径，C为圆内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．是圆心角 B．是的弦
C．是圆周角 D．
10．如图，AB是半圆O的直径，点C、E是半圆上的动点（不与点A、B重合），且＝，射线AE，BC交于点F，M为AF中点，G为CM上一点，作∠GON＝，交BC于点N，则点C在从点A往点B运动的过程中，四边形CGON的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．保持不变 D．一直减小
二、填空题
11．如图，AB 是⊙O的直轻，点C是半径OA的中点．过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA的度数是
12．如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则的度数为
13．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝ ．
14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m．
15．已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是 .
16．如图， AB是⊙O的直径，AB=2，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为 .
三、综合题
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．
18．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E.求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE.
19．如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 F，AO⊥BC 于点 E，AO=1．
（1）求∠C 的大小．
（2）求阴影部分的面积．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）.
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系.点D（5，﹣2）在⊙M （填内、外、上）.（并说明理由）
21．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.
（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；
（2）该最小覆盖圆的半径是 .
22．如图，在直角坐标系中，点A（0， 8），点B是x轴负半轴上的动点，以OA为直径作圆交AB于点D.
（1）求证：∠AOD = ∠ABO.
（2）当 ∠ABO = 30°时，求点D到y轴的距离.
（3）求 的最大值.
23．如图1，内接于，点为上一点，点为的中点，连结BF并延长与AE交于点，连结AF，CF
（1）求证： ∠AFC=∠AFG
（2）如图 2，当 BG 经过圆心0时，
①求 FG 的长；.
②记△AFG，△BFC的面积分别为 ， 则 .
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第3章 圆的基本性质 专项巩固卷
一、选择题
1．同一平面内，一个点到圆的最小距离为 ，最大距离为 ，则该圆的半径为
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】【解答】解：分为两种情况：
①当点 在圆内时，最近点的距离为 ，最远点的距离为 ，则直径是 ，因而半径是 ；
②当点 在圆外时，最近点的距离为 ，最远点的距离为 ，则直径是 ，因而半径是 ．
故选：
【分析】点 应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论．当点 在圆内时，直径 最小距离 最大距离；当点 在圆外时，直径 最大距离 最小距离
2．已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．4cm D．8cm
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点P在 上，
∴OP是 的半径，
∵ 的半径为4cm，
∴OP =4cm，
故答案为：C.
【分析】根据圆上各点到圆心的距离等于该圆的半径就可得出答案.
3．如图，一座石拱桥是圆弧形其跨度AB=24米，半径为13米，则拱高CD为（ ）
A．3米 B．5米 C．7米 D．8米
【答案】D
【解析】【解答】解：设O为圆心，连接OA、OD，
由题意可知：OD⊥AB，OA=13
由垂径定理可知：AD=AB=12，
∴由勾股定理可知：OD=5，
∴CD=OC﹣CD=8.
故答案为：D
【解答】解：设O为圆心，连接OA、OD，根据垂径定理可得AD=AB=12，再根据勾股定理可得OD=5，再根据边之间的关系即可求出答案.
4．如图，弦于点E，过圆心O，，，则（ ）
A．4 B．8 C． D．10
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，过圆心O，
∴，
在中，，，
∴由勾股定理得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】由垂径定理可得，再利用勾股定理求出DE的长，继而得解.
5．如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（ ）
A．折扇 B．圆扇 C．一样大 D．无法判断
【答案】A
【解析】【解答】解：折扇的扇面面积为为：
圆扇扇面的面积为
∵
∴折扇的扇面面积大．
故答案为：A．
【分析】折扇的扇面面积=两扇形的面积之差，圆扇的面积=直径为a圆的面积，分别计算出面积，再比较即可.
6．下列语句中，正确的有（ ）
相等的圆心角所对的弧相等；等弦对等弧；平分弦的直径垂直于弦；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中.
等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等.
平分弦的直径垂直于弦，错误，条件是弦不是直径.
经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.正确.
故答案为：A.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可判断①②；根据垂径定理可判断③；根据圆的对称性可判断④.
7．如图，点、、是上的点，，连结交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设，
则，
，
，
，
，即，
解得，
则，
故答案为：B.
【分析】设∠ACB=x°，由圆周角定理可得∠AOB=2x°，由平行线的性质可得∠OBD=∠ACB=x°，根据外角的性质可得∠AOB+∠OBD=∠ADB，据此求解.
8．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB=PA′+PB=A′B最小，
连接OA′，AA′.
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=1，
∴A′B=
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=
故答案为：C.
【分析】作A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB=PA′+PB=A′B最小，连接OA′，AA′，由轴对称性质及圆心角、弧、弦的关系得∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∠BON=30°，根据角的和差得∠A'OB=90°，进而根据等腰直角三角形的性质算出A'B的长，从而即可得出答案.
9．如图，是的直径，C为圆内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．是圆心角 B．是的弦
C．是圆周角 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、的顶点在圆心，符合题意；
B、点不在圆上，不符合题意；
C、点C不在圆上，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据圆心角的定义、弦的定义及三角形三边的关系逐项判断即可。
10．如图，AB是半圆O的直径，点C、E是半圆上的动点（不与点A、B重合），且＝，射线AE，BC交于点F，M为AF中点，G为CM上一点，作∠GON＝，交BC于点N，则点C在从点A往点B运动的过程中，四边形CGON的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．保持不变 D．一直减小
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接OC，AC，OM．
∵AB是直径，
∴∠ACF＝90°，
∵AM＝FM，
∴CM＝AM＝FM，
∵OA＝OC，OM＝OM，MA＝MC，
∴△OMA≌△OMC（SSS），
∴∠OAM＝∠OCG，
∵＝，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴∠OCG＝∠OBN，
∵∠GON的度数等于的度数，
∴∠GON＝∠COB，
∴∠COG＝∠BON，
∵OC＝OB，
∴△COG≌△BON（ASA），
∴S△COG＝S△BON，
∴S四边形CGON＝S△BOC，
∵点C在从点A往点B运动的过程中，△OBC的面积先变大后变小，
∴四边形CGON的面积先变大后变小.
故答案为：A.
【分析】连接OC、AC、OM，根据圆周角定理可得∠ACF＝90°，易得CM＝AM＝FM，证明△OMA≌△OMC，得到∠OAM＝∠OCG，由圆周角定理可得∠EAB＝∠ABC，推出∠OCG＝∠OBN，进而证明△COG≌△BON，得到S△COG＝S△BON，由面积间的和差关系可得S四边形CGON＝S△BOC，据此判断.
二、填空题
11．如图，AB 是⊙O的直轻，点C是半径OA的中点．过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA的度数是
【答案】30°
【解析】【解答】解：∵ 点C是半径OA的中点．DE⊥AB ，
∴OD=2OC，∠DCO=90°，
∴∠D=30°，
∴∠AOD=90°-30°=60°，
∴ ∠DFA =∠AOD=30°，
故答案为：30°，
【分析】由题意得OD=2OC，利用直角三角形的性质可得∠D=30°，从而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理求解即可.
12．如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则的度数为
【答案】90°
【解析】【解答】解：∵∠A=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°，
∴的度数= 90°，
故答案为：90°.
【分析】先求出圆周角定理求出∠DOE的度数，利用弧的度数等于它所对圆周角的度数即可求解.
13．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝ ．
【答案】36°
【解析】【解答】解：连接OC、OD，
正五边形ABCDE内接于⊙O，
，
，
故答案为：36°．
【分析】连接OC、OD，先求出，再利用圆周角的性质可得。
14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m．
【答案】4
【解析】【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE=BE=AB=×16=8，
在Rt△AEO中，OE=，
∴ED=OD-OE=10-6=4（m），
故答案为：4
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，根据垂径定理可得AE=BE=AB=×16=8，利用勾股定理求出OE的长，再利用线段的和差求出ED的长。
15．已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是 .
【答案】
【解析】【解答】如图所示，连接OC、OD、CD，OC交AD于点E，
点C，D是这个半圆的三等分点，
，
，
，
，都是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】连接OC、OD、CD，OC交AD于点E，先利用“AAS”证明，可得，再利用扇形面积公式求解即可。
16．如图， AB是⊙O的直径，AB=2，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：
∵点D是AP的中点，
∴OD⊥AP，
∴动点D是以OA为直径的圆的运动轨迹，取OA的中点E，连接CE，交⊙E于点 ，则CD的最小值为 的长，连接AC，过点C作CF⊥AB交于点F，如图所示：
∴∠CFB=∠CFA=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠CAB=30°，∠FCB=30°，
∵AB=2，
∴OA=OB=BC=1，
∴AE=OE= ，
在Rt△CFB中，BF= ， ，
∴EF=1，
∴在Rt△CFE中， ，
∴ ，即CD的最小值为 ；
故答案为： .
【分析】连接OD，则有OD⊥AP，进而可得动点D是以OA为直径的圆的运动轨迹，然后取OA的中点E，连接CE，最后根据圆的最值问题进行求解即可.
三、综合题
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．
【答案】（1）解：，，
，
设，则
又，
，
解得：，
的半径是10．
（2）解：，，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先求出CE=DE=8，再利用勾股定理计算求解即可；
（2）先求出∠D=∠BOD，再计算求解即可。
18．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E.求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE.
【答案】（1）证明：∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
即 + ＝ + ，
∴ ＝ ，
∴AC＝BD
（2）证明：∵ ＝ ，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴EA＝ED，
∵AB＝CD，
即AE+BE＝CE+DE，
∴CE＝BE.
【解析】【分析】（1）由AB＝CD可得弧AB=弧CD，然后根据圆心角、弧、弦之间的关系定理可求解；
（2）根据圆周角定理可得∠ADC＝∠DAB，则EA＝ED，然后由线段的构成可求解．
19．如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 F，AO⊥BC 于点 E，AO=1．
（1）求∠C 的大小．
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：由题意，得 CD⊥AB，
∴ = ，
∴∠AOD=2∠C． 又∵AO⊥BC，
∴∠OAF=∠C．
∵∠AOD+∠OAF=90°，
∴2∠C+∠C=90°，
∴∠C=30°．
（2）解：连结 OB，如图．
由（1）得∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠OAB=30°，∠AOB=120°．
在 Rt△AOF 中，OA=1，
∴ OF = ，AF =
∴AB=2AF=
∴S阴影 =
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得弧AD=弧BD，利用圆周角定理可得到∠AOD=2∠C；再证明∠OAF=∠C，由此可求出∠C的度数.
（2）连结 OB，利用勾股定理求出OF，AF的长，即可得到AB的长，然后根据阴影部分的面积=扇形AOB的面积-△AOB的面积，代入计算，可求解.
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）.
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系.点D（5，﹣2）在⊙M （填内、外、上）.（并说明理由）
【答案】（1）（2，0）
（2）2
（3）内
【解析】【解答】解：（1）如图，连接 ， ，作 ， 的垂直平分线，垂直平分线的交点M就是A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，圆心M的坐标为 ；
（2） ， ，
，
即 的半径为 ；
（3） ， ，
，
，
点D在 内.
故答案为 ； ；内.
【分析】（1）连接AB、BC，作AB、BC的垂直平分线，垂直平分线的交点M就是A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，即可得出圆心M的坐标；
（2）根据勾股定理求出AM的长，即可求出这个圆的半径；
（3）根据勾股定理求出DM的长，得出DM＜半径，即可得出点D在内.
21．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.
（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；
（2）该最小覆盖圆的半径是 .
【答案】（1）解：如图，点O即为所求.
（2）
【解析】【解答】解：（2）半径OA= .
故答案为： .
【分析】（1）只需作出三角形ABC的外接圆即可，于是作其中两边的垂直平分线的交点即为所求；
（2）根据网格图的特征用勾股定理可求解.
22．如图，在直角坐标系中，点A（0， 8），点B是x轴负半轴上的动点，以OA为直径作圆交AB于点D.
（1）求证：∠AOD = ∠ABO.
（2）当 ∠ABO = 30°时，求点D到y轴的距离.
（3）求 的最大值.
【答案】（1）证明：∵AO是直径，
∴∠ADO=∠BDO=90°，
∴∠ABO+∠BOD=90°
∵∠BOD+∠AOD=90°
∴∠AOD=∠ABO.
（2）解： 过点D作DE⊥y轴于点E，
∵点A（0，8），
∴OA=8，
∵∠ABO=∠AOD=30°
∴AD=
在Rt△ADO中
∵
∴
解之：.
∴点D到y轴的距离为.
（3）解： 当点D是AB的中点时，此时OD与AB的比值最大。
在Rt△ABO中
OD=AB，
∴ 的最大值为.
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠BDO=90°；再利用同角的余角相等，可证得结论。
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，由点A的坐标得到AO的长，利用（1）的结论可求出∠AOD的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AD的长；再利用勾股定理求出OD的长，然后利用直角三角形的两个面积公公式，求出DE的长。
（3）当点D是AB的中点时，此时OD与AB的比值最大；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此可求解。
23．如图1，内接于，点为上一点，点为的中点，连结BF并延长与AE交于点，连结AF，CF
（1）求证： ∠AFC=∠AFG
（2）如图 2，当 BG 经过圆心0时，
①求 FG 的长；.
②记△AFG，△BFC的面积分别为 ， 则 .
【答案】（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
又∵∠ACB=∠AFB
∴∠ABC=∠AFB
∵∠AFG+∠AFB=180
∵∠AFC+∠ABC=180
∴∠AFG=∠AFC
（2）解：①连结 AO，延长 AO 交 BC 于点 M
∵点 F 为的中点
∴∠FAE=∠CAF
又∵AF=AF，∠AFG=∠AFC
∴△AFC≌△AFG
∴FG=FC
∵AB=AC
∴∠AOB=∠AOC
∴∠BOM=∠COM
又∵BO=CO
∴AM⊥BC
设则在 中， 有
解得
，点 O 为 BF 的中点
；
②连接FM
∵AM⊥BC，FC⊥BC
∴AM||CF
∴S△AFC=S△MFC
∵M为BC的中点
∴S△MCF：S△BCF=1：2
∴ 1：2=
【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质知AB=AC，得∠AFB=∠ACB=∠ABC，再由圆内接四边形的性质得∠AFG=∠AFC；
(2)①由F为的中点得∠FAE=∠CAF，即可证△AFC≌△AFG，得FC=FG，设AO=x，在BOM中，由乐观股定理得可得x的值，即可得OM的长，CF=2OM即得FG的长；
②由CF∥AM得S△AFC=S△CFM，而M为BC的中点，即得S△CFM：S△BFC=1：2，得1：2.
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