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第4章 相似三角形 新题特训全优测评
一、选择题
1．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．若，相似比为1：2，则与的面积的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
3．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC．若S△BDC：S△ADC＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板．针对的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若，则有种不同的剪法；
乙：若，则有种不同的剪法；
丙：若，则有种不同的剪法．
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
6．如图，在中，点、分别在边、上，，已知，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3， BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形中，M是边的中点，N为线段与的交点，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，则旗杆AC的高度是（ ）
A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
10．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．两个相似三角形的周长之比为，那么它们的相似比为 ．
12．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是 ．
13．如图，已知点E为知形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，延长DE交以CD为直径的半圆于点F，当AE＝20，BE＝15，DF＝24时，则矩形AD边的长为 .
14．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 ．
15．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是 的中点，连结AC交BD于点E，连结AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为 .
16．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
三、综合题
17．矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB=6，AD=12，AE=10，求DF的长．
18．如图，△ABC中，点D在边AC上，且∠ABD＝∠C.
（1）求证：△ADB∽△ABC；
（2）若AD＝4，AC＝9，求AB的长.
19．已知：如图，在△ABC中，，以腰AB为直径作，分别交BC，AC于点D，E，连接OD，DE.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均落在格点上.
（1） ；
（2）点P为BD的中点，过点P作直线交DA于点E，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，求矩形BCNM的面积.
21．已知如图，AD是ABC的中线，且，E为AD上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，试求线段AD的长．
22．△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；
（1）如图1，若D为BC的中点， ，求证：AF＝FD；
（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得 ；
（3）若F为AD的中点，设 ，请求出m、n之间的等量关系.
23． 如图，矩形OABC的边OA，OC在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，OA=8，点D从点O开始沿OA边向点A以每秒2个单位的速度移动，与此同时，点E从点A开始沿OA边向点O以每秒1个单位的速度移动，DF⊥x轴，交OB于点F，连结EF，当点D到达点A时，两点同时停止移动，设移动时间为t秒.
（1）直接写出：AB= .DF= （含t的代数式表示）.
（2）当点D在点E的左侧时，若△DEF的面积等于2，求t的值.
（3）在整个过程中，
①若在矩形OABC的边上能找到点P，Q，使得以E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，求出所有满足条件的t的值.
②以DA，DF为邻边作矩形DAGF，连结EG，取线段EG的中点Q，连结FQ，求FQ的最小值（直接写出答案）.
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第4章 相似三角形 新题特训全优测评
一、选择题
1．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
即
故答案为：D.
【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积，将等积式改写成比例式即可.
2．若，相似比为1：2，则与的面积的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，相似比为1：2，
∴与的面积的比为1：4.
故答案为：C.
【分析】直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质得出结论.
3．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【答案】D
【解析】【解答】解：A（1，0），C（3，0），
AO=1，CO=3，
△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
△OAB与△OCD的相似比为1：3，
△OAB与△OCD的面积比为 1：9 ，
故答案为：D.
【分析】先求出△OAB与△OCD的相似比，再利用△OAB与△OCD的面积比等于相似比的平方即可得出结论.
4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC．若S△BDC：S△ADC＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴BD∶AD=1∶3，
∴BD∶AB=1∶4
∵，
∴△BDE∽△BAC，
∴
∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴S△DEO∶S△CAO=.
故答案为：D.
【分析】由同高三角形的面积之比就等于底之比可得BD∶AD=1∶3，则BD∶AB=1∶4，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BDE∽△BAC，由相似三角形对应边成比例得进而根据平行于三角形一边的直线，解其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DEO∽△CAO，进而根据相似三角形的面积之比等于底之比可得结论.
5．如图，在纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板．针对的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若，则有种不同的剪法；
乙：若，则有种不同的剪法；
丙：若，则有种不同的剪法．
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【答案】C
【解析】【解答】解：如下图，过点P作PE∥AB交AC于E，或者过P作PD∥AC交AB与D，
∴，
∴此时
如下图，过P作交AB于F，
∴
此时
如下图，过P作交AC于G，
∴
当G与A重合时，即，
得，
此时
当时，有四种剪法，当时，有3种剪法，
∴甲和乙对，丙错，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应边互相成比例，求出AP的取值范围即可.
6．如图，在中，点、分别在边、上，，已知，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∵ ，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据，得到，再根据已知条件得到：进而求出的长.
7．如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3， BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A，B，选项中阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等， 剪下的阴影三角形与原三角形相似 ，故本选项不符合题意；
C选项中，对应边不成比例，剪下的阴影三角形与原三角形不相似，故该选项正确，符合题意；
D选项中，，对应边成比例，且夹角相等，则剪下的阴影三角形与原三角形相似 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可
8．如图，在矩形中，M是边的中点，N为线段与的交点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
是边的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】由矩形的性质及线段的中点可得，由平行线可证，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.
9．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，则旗杆AC的高度是（ ）
A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可知△DEF∽△ABC，
∴，
∴，
解之：AC=9.
故答案为：9
【分析】利用已知条件可知△DEF∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AC的长.
10．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作BE∥AC交AD于E，作BH⊥AE于H，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠DBE=∠C，∠ADC=∠EDB，
∴△ADC∽△EDB，
∴，
设AB=AC=6a，
∴BE=14a，
∵∠BAD=120°，BH⊥AE，
∴∠ABH=30°，
∴，，
∴，
在Rt△BEH中，根据勾股定理，得
∵EH2=BE2-BH2，
∴
∴，
即，
解得AD=3a，
则；
故答案为：A.
【分析】作BE∥AC交AD于E，作BH⊥AE于H，根据等边对等角可得∠ABC=∠C，根据两直线平行，内错角相等可得∠DBE=∠C，推得∠ABC=∠DBE，根据有两个角对应相等的三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得，根据比例设AB=AC=6a，则BE=14a，根据三角形的外角的等于与它不相邻的两个内角之和可得∠ABH=30°，根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得BH和EH的值，推得AE=10a，结合比例可得AD=3a，即可求解.
二、填空题
11．两个相似三角形的周长之比为，那么它们的相似比为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：两个相似三角形的周长之比为，那么它们的相似比为4：9.
故答案为：4：9.
【分析】根据相似三角形的性质即可求解.
12．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵各条平行线间距离相等，
∴，
∵，
∴，解得：，
故答案为：2．
【分析】
此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出即可求解．
13．如图，已知点E为知形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，延长DE交以CD为直径的半圆于点F，当AE＝20，BE＝15，DF＝24时，则矩形AD边的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥CD于H，交AB于点T，连接CF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵∠AEB=90°，AE=20，BE=15，
∴AB=，
∵ET⊥AB，
∴AE EB=AB ET，
∴ET==12，
∴AT=DH=，
∵CD是直径，
∴∠CFD=90°，
∴CF=，
∵∠EDH=∠CDF，∠EHD=∠CFD=90°，
∴△DHE∽△DFC，
∴，
∴，
∴EH=，
∴AD=BC=HT=ET+EH=12+=.
故答案为：.
【分析】过点E作EH⊥CD于H，交AB于点T，连接CF，由矩形的性质可得AB=CD，AB∥CD，利用勾股定理可得AB，根据等面积法可求出ET，由圆周角定理可得∠CFD=90°，利用勾股定理可得CF，证明△DHE∽△DFC，根据相似三角形的性质可得EH，然后根据AD=BC=HT=ET+EH进行计算.
14．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，
∴，
∴S△ABC=4S△ADE=4，
∴S四边形DBCE=4-1=3.
【分析】根据相似三角形的性质得出，从而得出S△ABC=4，即可得出S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=3.
15．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是 的中点，连结AC交BD于点E，连结AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OC交BD于K.
∵ ，
∴OC⊥BD，
∵BE＝4DE，
∴可以假设DE＝k.BE＝4k，则DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，
∵AB是直径，
∴∠ADK＝∠DKC＝∠ACB＝90°，
∴AD∥CK，
∴AE：EC＝DE：EK，
∴AE：6＝k：1.5k，
∴AE＝4，
∵△ECK∽△EBC，
∴EC2＝EK EB，
∴36＝1.5k×4k，
∵k＞0，
∴k＝ ，
∴BC＝ ＝ ＝2 ，
∴AB＝ ＝ ＝4 .
故答案为：4 .
【分析】连接OC交BD于K，利用垂径定理可证得OC⊥BD，设DE＝k.BE＝4k，则DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，再利用直径所对的圆周角是直角可证得∠ADK＝∠DKC＝∠ACB＝90°，由AD∥CK，利用平行线分线段成比例定理可求出AE的长；再证明△ECK∽△EBC，利用相似三角形的性质，可得到关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值；然后利用勾股定理求出BC，AB的长.
16．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：延长BF交DC于点N，如图，
设小正方形在DE上的顶点为M，设，
大正方形与小正方形的面积之比为5，
，
，
，
，
化简得，
，
，
∴，，
，，
，
∴，
，
设，则，
，
，
，
∴，
，
又 ，
，
，
，
，
.
故答案为：3.
【分析】延长BF交DC于N，设小正方形在DE上的顶点为M，设，由面积比得，又，求得，利用，得到，，利用，得到，
设，根据相似比求出EF的长，进而求大正方形面积.
三、综合题
17．矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB=6，AD=12，AE=10，求DF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠B=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：由（1）可知△ABE∽△DFA，
∴AB：DF=AE：AD，
∵AB=6，AD=12，AE=10，
解得DF=7.2.
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行内错角相等得出∠AEB=∠DAF，根据垂直的定义及矩形的四个角都是直角得出∠B=∠AFD=90°，根据有两组角对应相等的三角形相似得出△ABE∽△DFA；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出AB：DF=AE：AD，根据比例式建立方程，求解即可。
18．如图，△ABC中，点D在边AC上，且∠ABD＝∠C.
（1）求证：△ADB∽△ABC；
（2）若AD＝4，AC＝9，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC；
（2）解：∵△ADB∽△ABC，
∴，即AB2＝AC AD，
∵AD＝4，AC＝9，
∴AB2＝4×9＝36，
∴AB＝6.
【解析】【分析】（1）由题意根据相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ADB∽△ABC；
（2）由（1）可得△ADB∽△ABC，于是可得比例式求解.
19．已知：如图，在△ABC中，，以腰AB为直径作，分别交BC，AC于点D，E，连接OD，DE.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
【答案】（1）证明：∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴，
∴，
∴BD=DC；
（2）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=，
∴∠ODB=∠B=65°，
∵∠EDC=∠A=50°，
∴∠ODE=180°-∠ODB-∠EDC=180°-65°-50°=65°.
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得∠B=∠ODB=∠C，根据同位角相等两直线平行可得OD∥AC，于是可得比例式=1，结合已知可求解；
（2）由等边对等角和三角形的内角和定理可求得∠B=∠C的度数，结合（1）的结论和平角的定义可求解.
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均落在格点上.
（1） ；
（2）点P为BD的中点，过点P作直线交DA于点E，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，求矩形BCNM的面积.
【答案】（1）
（2）解：∵直线，
∴△DEP∽△DCB，
，
∵点P为BD的中点，
，
∴.
又∵，，，
∴四边形BCNM是矩形，
∴∠BCN＝90°.
，
，
，
又，
∴△ABC∽△NCE.
∴，
在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝1，
∴.
，.
∴矩形BCNM的面积.
【解析】【解答】（1）解：由题意知：AC=1， CD=5，
，
故答案为：；
【分析】(1)由题意根据三角形的面积等于底×高可求解；
（2）根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△DEP∽△DCB，根据相似三角形的性质得比例式，结合已知可求得DE=EC=CD的值；由已知易得四边形BCNM是矩形，于是∠BCN=90°，由同角的余角相等可得∠BCA=∠CEN，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△NCE，根据相似三角形的性质得比例式求NC的值，然后根据矩形的面积=两邻边之积可求解.
21．已知如图，AD是ABC的中线，且，E为AD上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，试求线段AD的长．
【答案】（1）证明：∵CD=CE，
∴∠CED=∠EDC，
∵∠AEC+∠CED=180°，∠ADB+∠EDC=180°，
∴∠CEA=∠ADB，
∵∠DAC=∠B
∴△ACE∽△BAD．
（2）解：∵AD是三角形ABC的中线，
∴
∵∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
，即
∵△ACE∽△BAD，
，即
【解析】【分析】（1） 由CD=CE可得∠CED=∠EDC，利用补角的性质可推出∠CEA=∠ADB， 结合∠DAC=∠B，根据相似三角形的判定定理即证；
（2） 先证△ACD∽△BCA，利用相似三角形的性质可求出AC的长，由（1）知△ACE∽△BAD， 根据相似三角形的性质即可求解.
22．△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；
（1）如图1，若D为BC的中点， ，求证：AF＝FD；
（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得 ；
（3）若F为AD的中点，设 ，请求出m、n之间的等量关系.
【答案】（1）解：作DG∥BE交AC于G，
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴ ＝ ＝1，
∴EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴ ＝ ，
∵ ，EG＝GC，
∴ ＝1，
∴ ＝1.
∴AF＝FD；
（2）解：作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；
（3）解：作DG∥BE交AC于G.
∵DG∥BE，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ，设AC＝a，AE＝an，EC＝a-an，EG＝m (a-an)，
∵EF∥DG，
∴ ＝ ，
∵F为AD的中点，
∴ 即 .
【解析】【分析】（1）作DG∥BE交AC于G， 由于DG∥BE，根据平行线等分线段定理得出EG=CG，再由EF∥DG，根据平行线分线段成比例得出，结合EG=GC，推出 ＝1，即可解答；
（2）根据垂直平分线的作法分别求出BC的中点D和AD的中点F，连接BF交AC于E，则E点为所求；
（3）作DG∥BE交AC于G，DG∥BE， 根据平行线分线段成比例的性质求出 ，设AC＝a，AE＝an，EC＝a-an，EG＝m (a-an)，由EF∥DG，再根据平行线分线段成比例的性质推出 ＝ ，结合F为AD的中点，即可求得结果.
23． 如图，矩形OABC的边OA，OC在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，OA=8，点D从点O开始沿OA边向点A以每秒2个单位的速度移动，与此同时，点E从点A开始沿OA边向点O以每秒1个单位的速度移动，DF⊥x轴，交OB于点F，连结EF，当点D到达点A时，两点同时停止移动，设移动时间为t秒.
（1）直接写出：AB= .DF= （含t的代数式表示）.
（2）当点D在点E的左侧时，若△DEF的面积等于2，求t的值.
（3）在整个过程中，
①若在矩形OABC的边上能找到点P，Q，使得以E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，求出所有满足条件的t的值.
②以DA，DF为邻边作矩形DAGF，连结EG，取线段EG的中点Q，连结FQ，求FQ的最小值（直接写出答案）.
【答案】（1）4；t
（2）解：由题意，
整理得：，
解得或.
满足条件的的值为2或.
（3）解：①如下图中，当时，
，
取AB的中点，易证，以EF，EQ为邻边作正方形EFPQ，此时点在BC边上满足条件.
如下图中，当t=4时，点与重合，点与重合，作正方形EQBA，即可满足条件.
如下图，当时，此时轴，四边形PEFQ是正方形
综上，或4或时，满足条件.
②.
【解析】【解答】解：（1）由题意可知A（8，0），B（8，4），
∴AB=4，
∵DF⊥OA，AB⊥OA，
∴∠ODF=∠OAB，
∴
∴
∴DF=t，
故答案为：4，t；
（3）②如下图，由题意，，
∴，
∵，
∴时，FQ的最小值为.
【分析】(1)求出A，B两点坐标可得AB的长，利用平行线分线段成比例定理即可求出DF；
(2)利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题；
(3)①分t=2或4或情形分别求解即可解决问题；
②如图中，由题意，由两点间距离公式，根据二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可.
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