矩形、菱形性质,一次函数与方程的结合(原卷版+解析版)

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名称 矩形、菱形性质,一次函数与方程的结合(原卷版+解析版)
格式 zip
文件大小 790.2KB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2024-12-06 17:37:31

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
矩形、菱形性质,一次函数与方程的结合
一.选择题(共2小题)
1.如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,需要添加的条件是(  )
A.∠ABD=∠CBD B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=BC
【思路点拨】由平行四边形ABCD的性质得AD∥BC,则∠ADB=∠CBD,而∠ABD=∠CBD,所以∠ADB=∠ABD,推导出AB=AD,则四边形ABCD是菱形,可判断A不符合题意;由四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD,可推导出四边形ABCD是矩形,可判断B符合题意;由四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥BD,可证明四边形ABCD是菱形,可判断C不符合题意;由四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,可判断四边形ABCD是菱形,可判断D不符合题意,于是得到问题的答案.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵∠ABD=∠CBD,
∴∠ADB=∠ABD,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,但不一定是矩形,
故A不符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,
故B符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形,但不一定是矩形,
故C不符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,但不一定是矩形,
故D不符合题意,
故选:B.
2.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列一个条件,能判定 ABCD是菱形的是(  )
A.∠ABD=∠ADB B.AC=BD C.∠ABC=∠BCD D.AD=BC
【思路点拨】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.
【解答】解:A、∵∠ADB=∠ABD,
∴AD=AB,
∴ ABCD是菱形,故选项符合题意;
B、∵四边形ABCD是平行四边形,BD=AC,
∴ ABCD是矩形,故选项不符合题意;
C、∵AD∥BC,四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵∠BCD=∠ABC,
∴∠BCD=∠ABC=90°,
∴ ABCD是矩形,故选项不符合题意,
D、∵四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,
∴ ABCD还是平行四边形,故选项不符合题意;
故选:A.
二.填空题(共16小题)
3.如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,点P和点Q分别从点B和点D出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快 4 s后,四边形ABPQ成为矩形.
【思路点拨】根据矩形的性质,可得BC与AD的关系,根据矩形的判定定理,可得BP=AQ,构建一元一次方程,可得答案.
【解答】解;设最快x秒,四边形ABPQ成为矩形,由BP=AQ得
3x=20﹣2x.
解得x=4,
故答案为:4.
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P为斜边AB上一动点,过点P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于点F连结EF,则线段EF的最小值为  .
【思路点拨】连接PC,当CP⊥AB时,PC最小,利用三角形面积解答即可.
【解答】解:连接PC,
∵PE⊥AC,PF⊥BC,
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°,
∴四边形ECFP是矩形,
∴EF=PC,
∴当PC最小时,EF也最小,
即当CP⊥AB时,PC最小,
∵AC=8,BC=6,
∴,
∴PC的最小值.
∴线段EF长的最小值为,
故答案为:.
5.直线y=kx+b平行于直线y=2x﹣3,且过点(0,﹣1),则直线y=kx+b的函数解析式是  y=2x﹣1 .
【思路点拨】待定系数法求出一次函数解析式即可.
【解答】解:∵直线y=kx+b平行于直线y=2x﹣3,
∴k=2,
∵直线y=kx+b过点(0,﹣1),
∴﹣1=b,
∴一次函数解析式为:y=2x﹣1.
故答案为:y=2x﹣1.
6.已知直线y=2kx﹣k+1.
(1)若该直线与直线y=﹣3x+2没有公共点,则k=   ;
(2)若k≠0,直线经过定点P,则点P的坐标是   .
【思路点拨】(1)根据两条直线互相平行时,两条直线没有公共点,求出k的值即可;
(2)将直线的解析式进行变形,然后求出结果即可.
【解答】解:(1)∵直线y=2kx﹣k+1与直线y=﹣3x+2没有公共点,
∴两直线平行,
∴2k=﹣3,
解得:,
故答案为:;
(2)∵y=2kx﹣k+1=k(2x﹣1)+1,
∴令2x﹣1=0,
解得:,
当时,y=1,
∴定点P的坐标是.
故答案为:.
7.直线l是一次函数y=kx+b的图象,点A(﹣2,0)在直线l上.请写出方程kx+b=0的解  x=﹣2 .
【思路点拨】方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标.
【解答】解:∵点A(﹣2,0)在直线l上.
∴函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标A为(﹣2,0),
∴函数图象与x轴的交点A横坐标为﹣2,
则方程kx+b=0的解为x=﹣2;
故答案为:x=﹣2.
8.如图,直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2),则关于x的方程2x=kx+b的解是  x=1 .
【思路点拨】首先利用函数解析式y=2x求出m的值,然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b=2的解可得答案.
【解答】解:∵直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2),
∴2=2m,
∴m=1,
∴P(1,2),
∴关于x的方程kx+b=2x的解是x=1,
故答案为:x=1.
9.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与y=﹣x+2的图象交于点P(m,3),则关于x,y的二元一次方程组的解为   .
【思路点拨】将点P(m,3)代入y=﹣x+2,求出m的值,即可得点P的坐标,根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点的坐标可得答案.
【解答】解:将点P(m,3)代入y=﹣x+2,
得3=﹣m+2,
解得m=﹣1,
∴点P的坐标为(﹣1,3).
∴关于x,y的二元一次方程组的解为.
故答案为:.
10.直线y1=ax与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,关于x的不等式的解集为  x>﹣2 .
【思路点拨】根据图象,找直线y1在y2下方部分的x的取值范围即可.
【解答】解:由图可知:两条直线的交点横坐标为﹣2,
由知,直线y1在直线y2的下方,
∵当x>﹣2时,直线l1在直线l2的下方,
∴关于x的不等式的解集为x>﹣2.
故答案为:x>﹣2.
11.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(a,﹣2),一次函数y=2x的图象过点A,则不等式2x≤kx+b的解集为  x≤﹣1 .
【思路点拨】根据图象可知一次函数y=kx+b,与一次函数y=2x的图象的交点,即可得出不等式2x≤kx+b的解集.
【解答】解:∵一次函数y=2x的图象过点A(a,﹣2),
∴﹣2=2a,
∴a=﹣1,
∴A(﹣1,﹣2),
∵一次函数y=kx+b与一次函数y=2x的图象的交点为A(﹣1,﹣2),
又∵2x≤kx+b,
∴根据图象可得出直线y=2x在直线y=kx+b的下方,
∴2x≤kx+b的解集为x≤﹣1.
故答案为:x≤﹣1.
12.如图,函数y=kx+b的图象过点(2,3),则不等式kx+b≤3的解集是  x≤2 .
【思路点拨】先观察图象的增减性和经过的点,再根据条件即可求解.
【解答】解:观察图象可知,y随x的增大而增大,且图象经过点(2,3),
∴kx+b≤3的解集是x≤2.
故答案为:x≤2.
13.直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式(k1﹣k2)x+b>0的解集为  x<﹣1 .
【思路点拨】将不等式变形为k1x+b>k2x,再利用函数图象解决即可.
【解答】解:由图可知:两条直线的交点坐标为(﹣1,﹣2),
∵(k1﹣k2)x+b>0,
∴k1x﹣k2x+b>0,
∴k1x+b>k2x,即直线l1在直线l2的上方,
∵当x<﹣1时,直线l1在直线l2的上方,
∴解集为x<﹣1,
故答案为:x<﹣1.
14.已知关于x的一次函数y1=k1x与y2=k2x+b的图象如图所示,则关于x的不等式k1x>k2x+b>0的解集是 2<x<3 .
【思路点拨】写出一次函数y1=k1x图象在y2=k2x+b的图象上方所对应的自变量的范围即可.
【解答】解:关于x的不等式k1x>k2x+b>0的解集是2<x<3.
故答案为2<x<3.
15.如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,3)和点B(﹣4,0),一次函数y=mx的图象经过点A,则关于x的不等式组0<kx+b<mx的解集为  ﹣4<x<﹣2 .
【思路点拨】利用函数图象,写出在x轴上方且函数y=kx+b的函数值小于函数y=mx的函数值对应的自变量的范围即可.
【解答】解:当x>﹣4时,y=kx+b>0;
当x<﹣2时,kx+b<mx,
所以不等式组0<kx+b<mx的解集为﹣4<x<﹣2.
故答案为:﹣4<x<﹣2.
16.如图,点A(0,2),点B(2,0),点P为线段AB上一个动点,作PM⊥y轴于点M,作PN⊥x轴于点N,连接MN,当MN取最小值时,则四边形OMPN的面积为   .
【思路点拨】证明四边形OMPN是矩形,得OP=MN,当OP⊥AB时OP最短,即MN最小,再由勾股定理与三角形的面积求得OP的长,然后求得PN的长,即可解决问题.
【解答】解:如图,连接OP.
由已知可得:∠PMO=∠MON=∠ONP=90°,
∴四边形OMPN是矩形,
∴OP=MN,
在Rt△AOB中,当OP⊥AB时OP最短,即MN最小.
∵A(0,2),点B(2,0),
∴OA=2,OB=2,
根据勾股定理得:AB4,
∵S△AOBOA OBAB OP,
∴OP,
∴MN,
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时,MN最小,最小值为,
在Rt△POB中,根据勾股定理得:BP1,
∵S△OBPOP BPOB PN,
∴PN,
∴ON,
∴矩形OMPN的面积=ON×PN,
即当MN取最小值时,则四边形OMPN的面积为,
故答案为:.
17.已知点(a,b)和(c,d)都在直线y=﹣x+2上,若b<d,则a > c.(填“>”“<”或“=”).
【思路点拨】分别把点(a,b)和(c,d)代入直线y=﹣x+2,求出a与c的值,再比较出其大小即可.
【解答】解:∵点(a,b)和(c,d)都在直线y=﹣x+2上,y随x的增大而减小,
∵b<d,
∴a>c.
故答案为:>.
18.如图,一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4),则方程组的解是   .
【思路点拨】由两条直线的交点坐标(m,4),先求出m,再求出方程组的解即可.
【解答】解:∵y=x+2的图象经过P(m,4),
∴4=m+2,
∴m=2,
∴一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(2,4),
∴方程组的解是,
故答案为.
三.解答题(共8小题)
19.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,P,N,Q分别在OA,OB,OC,OD上,连接而成的四边形MPNQ是矩形,且AM=BP=CN=DQ.求证:四边形ABCD是矩形.
【思路点拨】由四边形MPNQ是矩形推导出∠MPN=90°;OM=OP=ON=OQ,进一步得到OA=OB=OC=OD,即可解决问题.
【解答】证明:∵四边形MPNQ是矩形,
∴∠MPN=90°,OM=OP=ON=OQ,
∵在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AM=BP=CN=DQ,
∴OA=OB=OC=OD,
∴四边形MPNQ是矩形.
20.如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC平分∠BAD,过点D作DP∥AC,过点C作CP∥BD,DP、CP交于点P,连接OP.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AC=12,BD=16,求OP的长.
【思路点拨】(1)根据平行四边形的性质得到OB=OD,根据角平分线的性质得到AC⊥BD,根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形;
(2)根据已知条件得到CD=10,根据菱形的判定和性质定理即可得到结论.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,
∵AC 平分∠BAD,
∴AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)解:在菱形ABCD中,AC=12,BD=16,
∴AC⊥BD,OD8,OCAC=6,
∴CD10,
∵DP∥AC,CP∥BD,
∴四边形OCPD是平行四边形,
∵AC⊥BD,
∴四边形OCPD是矩形,
∴OP=CD=10.
21.如图,在平行四边形ABCD中,E为线段AB的中点,连接AC,CE,延长CB交DA的延长线于点F.连接BF,∠CAF=90°.
(1)求证:四边形ACBP是矩形;
(2)若CF=13,BC=5,四边形AECD的面积是  45 .
【思路点拨】(1)根据四边形ABCD为平行四边形,得出AF∥BC,再证明△AEF≌△BEC,得出AF=BC,证出四边形ACBF为平行四边形,结合∠CAF=90°,即可证明四边形ACBF是矩形.
(2)根据四边形ACBF是矩形,CF=13,BC=5,四边形ABCD为平行四边形,结合勾股定理得出BF=AC=12,AD=BC=5,算出S△AEC,S△ADC,即可求解;
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,
即AF∥BC,
∴∠FAE=∠EBC,
∵E为线段AB的中点,
∴AE=BE,
在△AEF和△BEC中,

∴△AEF≌△BEC(ASA),
∴AF=BC,
∵AF∥BC,
∴四边形ACBF为平行四边形,
∵∠CAF=90°,
∴四边形ACBF是矩形.
(2)解:∵四边形ACBF是矩形,CF=13,BC=5,四边形ABCD为平行四边形,
∴,
∴,,
四边形AECD的面积=S△AEC+S△ADC=15+30=45,
故答案为:45.
22.如图,在 ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,CF=AE.连接AF,BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形;
(2)若∠DAB=60°,AF平分∠DAB,AD=4,求AB的长.
【思路点拨】(1)由题意可证四边形DFBE是平行四边形,且DE⊥AB,可得结论;
(2)方法一根据含30度角的直角三角形的边角关系可求DE的长度,则可得BF的长度,即可求AB的长度.方法二可以利用含30度角的直角三角形的边角关系AE=2,然后根据平行四边形及角平分线定义可得∠AFD=∠DAF,所以DA=DF=4,进而可以解决问题.
【解答】(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,DC=AB,
∵CF=AE,
∴DF=BE且DC∥AB,
∴四边形DFBE是平行四边形,
又∵DE⊥AB,
∴四边形DFBE是矩形;
(2)解:方法一:
∵∠DAB=60°,AD=4,DE⊥AB,
∴AE=2,DEAE=2,
∵四边形DFBE是矩形,
∴BF=DE=2,
∵AF平分∠DAB,
∴∠FAB∠DAB=30°,且BF⊥AB,
∴ABBF=6.
方法二:
∵∠DAB=60°,AD=4,DE⊥AB,
∴AE=2,
∵AB∥DC,
∴∠AFD=∠BAF,
∵AF平分∠DAB,
∴∠DAF=∠BAF,
∴∠AFD=∠DAF,
∴DA=DF=4,
又DF=BE=4,
∴AB=AE+BE=6.
23.如图,四边形ABCD是平行四边形,过A点作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且AE=AF.
(1)证明四边形ABCD是菱形;
(2)若BE=2,∠B=60°,求四边形ABCD的面积.
【思路点拨】(1)证明△ABE≌△ADF,可得AB=AD,进而证明平行四边形ABCD为菱形;
(2)根据菱形的性质可得AB=BC,由∠B=60°,进而可得△ABC是等边三角形,勾股定理求得AE,根据菱形的面积公式,即可求解.
【解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形.
∴∠B=∠D,
∵AF⊥CD,AE⊥BC,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
在△ABE和△ADF中:

∴△ABE≌△ADF(AAS),
∴AB=AD,
∴平行四边形ABCD为菱形;
(2)∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC,
∵∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∵AE⊥BC,
∴BC=2EC=4=AB,
∴,
∴菱形ABCD的面积为.
24.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且BD=2AB,AE∥BD,OE∥AB.
(1)求证:四边形ABOE是菱形;
(2)若AO=10,四边形ABOE的面积是120,求BD的长.
【思路点拨】(1)易证四边形ABOE是平行四边形,再由菱形的判定即可得出结论;
(2)连接BE,交OA于F,由菱形的性质得OA⊥BE,AF=OFOA=5,BF=EFBE,再由菱形的面积求出BE=60,则BF=30,然后由勾股定理得出OB=5,即可得出结论.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=ODBD,
∵BD=2AB,
∴AB=OB,
∵AE∥BD,OE∥AB,
∴四边形ABOE是平行四边形,
又∵AB=OB,
∴平行四边形ABOE是菱形;
(2)解:如图,连接BE,交OA于F,
∵四边形ABOE是菱形,
∴OA⊥BE,AF=OFOA=5,BF=EFBE,
∵S四边形ABOE=120OA BE10×BE=2BE,
∴BE=60,
∴BF=30,
∴OB5,
∴BD=2OB=10,
即BD的长为10.
25.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC平分∠BAD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)若DH⊥AB于点H,AC=48,AB=25,求DH的长.
【思路点拨】(1)由平行四边形的性质得CD∥AB,则∠DCA=∠BAC,而∠DAC=∠BAC,所以∠DCA=∠DAC,则AD=CD,即可证明四边形ABCD是菱形;
(2)由菱形的性质及AC=48得OA=OCAC=24,AC⊥BD,而AB=25,求得OD=OB7,则BD=14,因为DH⊥AB于点H,所以25DH48×14=S菱形ABCD,求得DH.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,
∴∠DCA=∠BAC,
∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠BAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=CD,
∵四边形ABCD是平行四边形,且AD=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,AC=48,AB=25,
∴OA=OCAC48=24,AC⊥BD,
∴∠AOB=90°,
∴OD=OB7,
∴BD=OD+OB=7+7=14,
∵DH⊥AB于点H,
∴AB DHAC BD=S菱形ABCD,
∴25DH48×14,
解得DH,
∴DH的长为.
26.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,BD的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接DE,DG.
(1)求证:四边形BGDE是菱形:
(2)若∠EDG=30°,∠C=45°,ED=6,求△DGC的面积.
【思路点拨】(1)由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证∠EDB=∠DBG=∠ABD=∠GDB,可得BE∥DG,DE∥GB,由菱形的判定可证结论;
(2)过点D作DH⊥BC,由菱形的性质可得DE=DG=6,DG∥EB,由直角三角形的性质可得CH=DH=3,,进而得到GC=33,利用S△DGCGC DH解答即可.
【解答】(1)证明:在△ABC中,BD平分∠ABC,BD的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,
∴∠ABD=∠DBG,
∵EG垂直平分BD,
∴DG=BG,DE=EB,
∴∠DBG=∠GDB,∠ABD=∠EDB,
∴∠EDB=∠DBG=∠ABD=∠GDB,
∴BE∥DG,DE∥GB,
∴四边形BGDE是平行四边形,
又∵DE=EB,
∴四边形BGDE是菱形;
(2)解:如图,过点D作DH⊥BC,
∵四边形BGDE是菱形,
∴∠ABC=∠EDG=30°,DE=DG=BG=6,DG∥EB,
∴∠ABC=∠DGC=30°,
又∵DH⊥BC,
∴,,
∵∠C=45°,DH⊥BC,
∴∠C=∠CDH=45°,
∴CH=DH=3,
∴GC=GH+HC=33,
∴S△DGCGC DH(33)×3.中小学教育资源及组卷应用平台
矩形、菱形性质,一次函数与方程的结合
一.选择题(共2小题)
1.如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,需要添加的条件是(  )
A.∠ABD=∠CBD B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=BC
2.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列一个条件,能判定 ABCD是菱形的是(  )
A.∠ABD=∠ADB B.AC=BD C.∠ABC=∠BCD D.AD=BC
二.填空题(共16小题)
3.如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,点P和点Q分别从点B和点D出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快   s后,四边形ABPQ成为矩形.
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P为斜边AB上一动点,过点P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于点F连结EF,则线段EF的最小值为   .
5.直线y=kx+b平行于直线y=2x﹣3,且过点(0,﹣1),则直线y=kx+b的函数解析式是    .
6.已知直线y=2kx﹣k+1.
(1)若该直线与直线y=﹣3x+2没有公共点,则k=    ;
(2)若k≠0,直线经过定点P,则点P的坐标是    .
7.直线l是一次函数y=kx+b的图象,点A(﹣2,0)在直线l上.请写出方程kx+b=0的解    .
8.如图,直线y=2x与y=kx+b相交于点P(m,2),则关于x的方程2x=kx+b的解是    .
9.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与y=﹣x+2的图象交于点P(m,3),则关于x,y的二元一次方程组的解为    .
10.直线y1=ax与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,关于x的不等式的解集为    .
11.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(a,﹣2),一次函数y=2x的图象过点A,则不等式2x≤kx+b的解集为    .
12.如图,函数y=kx+b的图象过点(2,3),则不等式kx+b≤3的解集是    .
13.直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式(k1﹣k2)x+b>0的解集为    .
14.已知关于x的一次函数y1=k1x与y2=k2x+b的图象如图所示,则关于x的不等式k1x>k2x+b>0的解集是   .
15.如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,3)和点B(﹣4,0),一次函数y=mx的图象经过点A,则关于x的不等式组0<kx+b<mx的解集为    .
16.如图,点A(0,2),点B(2,0),点P为线段AB上一个动点,作PM⊥y轴于点M,作PN⊥x轴于点N,连接MN,当MN取最小值时,则四边形OMPN的面积为    .
17.已知点(a,b)和(c,d)都在直线y=﹣x+2上,若b<d,则a   c.(填“>”“<”或“=”).
18.如图,一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4),则方程组的解是    .
三.解答题(共8小题)
19.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,P,N,Q分别在OA,OB,OC,OD上,连接而成的四边形MPNQ是矩形,且AM=BP=CN=DQ.求证:四边形ABCD是矩形.
20.如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC平分∠BAD,过点D作DP∥AC,过点C作CP∥BD,DP、CP交于点P,连接OP.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AC=12,BD=16,求OP的长.
21.如图,在平行四边形ABCD中,E为线段AB的中点,连接AC,CE,延长CB交DA的延长线于点F.连接BF,∠CAF=90°.
(1)求证:四边形ACBP是矩形;
(2)若CF=13,BC=5,四边形AECD的面积是    .
22.如图,在 ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,CF=AE.连接AF,BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形;
(2)若∠DAB=60°,AF平分∠DAB,AD=4,求AB的长.
23.如图,四边形ABCD是平行四边形,过A点作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且AE=AF.
(1)证明四边形ABCD是菱形;
(2)若BE=2,∠B=60°,求四边形ABCD的面积.
24.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且BD=2AB,AE∥BD,OE∥AB.
(1)求证:四边形ABOE是菱形;
(2)若AO=10,四边形ABOE的面积是120,求BD的长.
25.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC平分∠BAD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)若DH⊥AB于点H,AC=48,AB=25,求DH的长.
26.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,BD的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接DE,DG.
(1)求证:四边形BGDE是菱形:
(2)若∠EDG=30°,∠C=45°,ED=6,求△DGC的面积.