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专题6.12 图形的初步知识 章末检测
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25七年级上·河南郑州·期中）在中国传统文化中，折叠灯笼是一种既美观又富有创意的手工艺品．当它折叠起来时看起来是平面的，当被提起来后又变成了如图所示的圆柱形的灯笼，这种现象说明的数学道理是（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线
【答案】C
【分析】本题考查了点、线、面、体的相关知识．熟练掌握由平面图形变成立体图形的过程是面动成体是解题的关键．
根据由平面图形变成立体图形的过程是面动成体判断作答即可．
【详解】解：由题意知，这种现象说明的数学道理是面动成体，故选：C．
2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列几何体中是三棱锥的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三棱锥的定义和特点，根据三棱锥的特点：三棱锥的每个面都是三角形即可得解，熟练掌握三棱锥的定义是解决此题的关键．
【详解】根据三棱锥的定义，选项D中几何体由四个三角形组成，是三棱锥，故选：D．
3．（24-25七年级上·浙江·期中）有下列关于角的说法：
①两条射线组成的图形叫作角；②角的边越长，角越大；③在角一边的延长线上取一点D；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解决此题的关键．
【详解】有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，故①错误，不符合题意；
角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故②错误，不符合题意；
角的边是射线，不能延长，故③错误，不符合题意；
角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，④正确，符合题意，
∴只有④一个选项正确，故选：A．
4．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，下面的说法正确的是（ ）
A．点在直线上 B．可以表示成或
C．直线和相交于点 D．射线和射线表示同一条射线
【答案】C
【分析】本题主要考查了角的表示方法，射线和直线的相关概念，根据以上知识逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、点不在直线上，原说法错误，不符合题意；
B、可以表示成，不可以表示成，原说法错误，不符合题意；
C、直线和相交于点，原说法正确，符合题意；
D、射线和射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意；故选：C．
5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（ ）
A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同
C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积相同，体积不同
【答案】D
【分析】本题考查平面图形的旋转体，圆柱的侧面积和体积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积和体积，即可得出结果．
【详解】解：甲图圆柱的侧面积为，体积为；
乙图圆柱的侧面积为：，体积为；
，，故甲乙的侧面积相同，体积不同；故选：D．
6．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ）
A． B．当点C为的中点时，
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
【分析】本题考查线段的中点性质，根据线段的中点性质可推出，，当时，，即可推出，进而即可得解，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分．
【详解】A：∵M、N分别是、的中点，∴，，
∵C为上任意一点，∴不一定等于，∴不一定等于，∴A错误，不符合题意；
B：当C为中点时，，∴，∴，
∴B错误，不符合题意；
C：∵，∴，∴，∴C正确，符合题意；
D：∵，∴，∴，∴D错误，不符合题意；故选：C．
7．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图①、图②、图③和图④，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角板中的角度的关系，同角的余角相等，根据直角三角板中的角度分别求出和逐项求解即可．
【详解】图①，，∴，符合题意；
图②，，∴，不符合题意；
图③，根据同角的余角相等可得，符合题意；
图④，，∴，符合题意；
综上所述，摆放位置中的图形为①③④．故选：D．
8．（2024七年级上·辽宁·专题练习）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（ ）
A．4 B．20 C．10 D．20或4
【答案】D
【分析】本题考查与线段的中点有关的计算．分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当点在线段上时，如图：
由题意，得：，，∴，∴；
当点在线段上时，如图：
则，，∵，∴，∴；故选：D．
9．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据、分别是、的角平分线，可得，，根据，可得，再结合，可得，问题随之得解．
【详解】∵、分别是、的角平分线，
∴，，
∵，∴，即，
∵，，∴，
∵，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了有关角平分线的计算，明确题意，厘清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．
10．（2024七年级上·浙江·专题练习）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键．
根据线段中点的定义，找出题目中的规律求出，因此，进而中点的定义即可解答．
【详解】解：∵，是的中点，∴．
∵，是的中点，∴．
∵，是的中点，∴，．．．∴，∴．
∵是的中点，∴．故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25七年级上·河北衡水·期中）要把木条固定在墙上，至少要钉两个钉子，这说明一个几何事实： ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】本题考查两点确定一条直线的实际应用，根据两点确定一条直线求解即可．
【详解】解：要把木条固定在墙上，至少要钉两个钉子，这说明一个几何事实：两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线．
12．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中） ．
【答案】
【分析】本题考查了角的换算，掌握角度换算的方法是解题的关键．
根据，进行计算即可求解．
【详解】解：，，故答案为：①；② ．
13．（24-25七年级上·河北保定·期中）若一个棱柱有十个顶点，则它有 个面；若所有侧棱长的和为，则每条侧棱长为 cm；
【答案】
【分析】本题考查了常见几何体，根据题意得出几何体为五棱柱，进而求得面的个数，以及侧棱的长，即可求解．
【详解】解：一个棱柱有十个顶点，棱柱上下对称，所以是五棱柱，∴底面是五边形，有个侧面，
∴共有个面所有侧棱长的和为，∴每条侧棱长为：，故答案为：，．
14．（2024七年级上浙江·专题练习）在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ．
【答案】/75度
【分析】本题考查了钟面角问题，读懂题意，准确计算是正确解决本题的关键．
用分针转动的角度：减去时针与分针所成角度为，时针转动的角度：，即即可求解．
【详解】解：寅时二刻是指，∵时，时针与分针所成角度为，
再过15分钟，分针转动的角度：，
时针转动的角度：，∴，故答案为：．
15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ．
【答案】②④/④②
【分析】本题考查了中点的定义，三等分点，线段的和差，根据三等分点及可得，进而可得，得到，即可判断①；进而可得，得到，再根据中点的定义得到，即得，即可判断②；由可得，据此可判断③；由，进而可判断④，正确识图是解题的关键．
【详解】解：∵是的三等分点，，∴，，
∴， ∴， ∴，∴，故①错误；
∵ ，∴， ∵，∴，
∵是线段的中点，∴， ∴，
∴，故②正确； ∵，，
∴ ， ∵，
∴，∴，故③错误；
∵，，∴，
∵， ∴，故④正确；综上，正确的有②④，故答案为：②④．
16．（2024七年级上浙江·专题练习）已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ．
【答案】或
【分析】本题考查两点间的距离，t秒后点P的路程是，点Q的路程是，再根据两点运动的方向和的长可得答案．
【详解】解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，，
∴在P与Q相遇前，；
在P与Q相遇后，．故答案为：或．
17．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，的值为 ．
【答案】或或
【分析】分①当在左边且平分时，②当在右边且平分时，③当在右边且平分时，三类讨论位置，根据平角定义列式即可得到答案．
【详解】解：①当在左边且平分时，
∵，，∴；
②当在右边且平分时，
∵，∴，
∵，∴，∴；
③当在右边且平分时，
∵，∴，∴，
综上所述的值为或或．
【点睛】本题考查角平分线及角度加减，解题的关键是分类讨论位置．
18．（23-24七年级上·福建厦门·期末）已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么 ．
【答案】或/ 或
【分析】先通过方程有无数多个解解出的值，然后分类讨论C点的位置直接求解即可．
【详解】关于x的方程有无数多个解
，则，解得
1.当C在内部时，如图平分，
设，则，，
，解得
2.当C在外部时，如图 平分，
设，则，，
，解得
综上所述：或．故答案为：或．
【点睛】此题考查一元一次方程解的情况，以及角的计算，解题关键是无数组解的情况是未知数的系数和常数项分别为0，解题技巧是射线需要分类讨论不同的位置．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．
(1)如果，，求的长；(2)如果，求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了线段中点有关的计算．（1）先求出，再求出，根据线段的中点求出的长即可；（2）求出，，把代入求出即可．
【详解】（1）解：∵点M是线段的中点，∴，
∵，∴，∵，∴；
（2）解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，∴，，
∵，∴．
21．（23-24七年级上·广东·期末）如图，已知线段，点与点在线段上，点在线段外．
(1)根据要求画出图形：画直线，画射线，连接；(2)图中共有 条射线；
(3)根据（1）的作图，以点A为端点的线段有 条，的理由是 ；
(4)根据（1）的作图，按图填空： ；
(5)若点D为线段的中点，，，则线段的长度为为 ．
【答案】(1)见解析(2)6(3)4，两点之间线段最短(4)(5)1
【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段和两点之间的距离．
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）根据射线的定义求解；
（3）先根据线段的定义确定以点为端点的线段，然后根据线段公理可判断；
（4）利用几何图形可得到与的差为；
（5）先求出，再计算出，接着利用线段中点的定义求出，然后计算即可．
【详解】（1）解：如图，直线，画射线，线段为所作；
（2）解：图中射线有：，，，，，，共6条；故答案为：6；
（3）解：以点为端点的线段有、、、，共4条，
的理由是：两点之间线段最短；故答案为：4，两点之间线段最短；
（4）解：；故答案为：；
（5）解：，，，，
点为线段的中点，，．故答案为：1．
22．（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为．
(1)正方形底面的边长是 厘米，(2)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
(3)若1平方米硬纸板价格为5元．则制作12个这样包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）
【答案】(1)(2)(3)元
【分析】（1）由长方体包装盒的展开图即可直接求出正方形底面的边长；
（2）根据“表面积个底面面积个侧面面积”计算即可得出答案；（3）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：由长方体包装盒的展开图可知，其正方形底面的边长是：，
故答案为：；
（2）解：根据题意，制作一个这样的包装盒需要的硬纸板的面积为：，
答：制作一个这样的包装盒需要平方厘米的硬纸板；
（3）解：（元），
答：制作个这样的包装盒需花费元．
【点睛】本题主要考查了几何体展开图的认识，有理数的减法运算，由展开图计算几何体的表面积，有理数四则混合运算，有理数乘除混合运算等知识点，正确地计算出长方体的表面积是解题的关键．
23．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转．
(1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ；
(2)如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小；
(3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ；
(4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）
①运动停止时， ；②请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ．
【答案】(1)(2) (3)
(4)；当时，；当时，
【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用；
（1）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出；
（2）由，设，根据、O、三点共线，则，得出，再根据，即可求解；
（3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解；
（4）①算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数；
②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可；
【详解】（1）∵，，三点共线，∴，
∵，∴，故答案为：；
（2）解：∵，设，
∵平分，∴，
∵、O、三点共线，则，∴，解得：，
∴
（3）这个定值是，理由， ∵，设，则，
∴，，
∴，∴小田的发现是正确的，这个定值是；
（4）∵，∴，，
设运动时间为，则，则，
①运动停止时，即时，旋转的角度为，
∴，故答案为：；
②当点，，三点共线时，；
∴当时，，，∴；
当时，，，∴，
综上，当时，；当时，．
24．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)若，，秒时，________°；
(2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值；
(3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．
①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒；②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系．
【答案】(1)100；(2)；(3)①12或30或48；②
【分析】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答．（1）根据，即可求解；（2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解；（3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可，
②由与始终互余，得出，进而可求解．
【详解】（1）解：当，，秒时，
，，，
；故答案为：100；
（2）解：，
又在的左侧且平分，
解得：，
（3）解：①当是的角平分线时，如图所示：
又始终平分，
∴，
当是的角平分线时，如图所示：
又始终平分，，此时射线与重合，
解得：，
当是的角平分线时，如图所示：
又始终平分，，
又，，解得：，故答案为：或30或48；
②当在的左侧时，如图所示：又始终平分，
与始终互余，
，化简得：．
25．（24-25七年级上浙江·期末）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识．
一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B，C，O为表盘圆心．
(1)若为，，B是的中点，则手表全长 ．
(2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合．① ；②作射线，使，求此时的度数．
(3)如图④，自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时内，经过________分钟，的度数是．
【答案】(1)12(2)① 75；②或(3)t的值为或
【分析】本题考查与线段中点有关的计算，钟面角的计算，一元一次方程的应用：
（1）根据线段的中点，求出的长，比例关系，求出的长，再根据，计算即可；
（2）①求出分针每分钟走，时针每分钟走，根据角的和差关系进行求解即可；
②分在的内部和在的外部，两种情况进行求解即可；
（3）设经过t分钟，的度数是，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：因为B是的中点．所以．所以．
因为，所以．所以．
（2）①分针每分钟走，时针每分钟走．
30分钟时针走过，即时针从8点到走过，所以．
②当在的内部时，，
所以．
当在的外部时，．
综上，的度数为或．
（3）解：设经过t分钟，的度数是．
因为时针与分针每分钟走的度数差为，所以．
因为平分，所以．
当时，；当时，．综上，t的值为或．
26．（24-25七年级上浙江·期末）（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数；
（2）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，，仍然是，的平分线．试求的度数；
（3）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转，，仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由．
【答案】（1）（2）（3）不变，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的计算；（1）由角平分线得、，再相加即可；（2）用已知来分别表示、，再根据计算即可；（3）根据旋转的不同位置，分情况讨论，通过画图根据（2）的思路解答即可．
【详解】解：（1）∵，仍然是，的平分线，，，
∴，，∴．
（2）∵，，∴，，，仍然是，的平分线，
∴，，
∴；
（3）不变，当时，，如图，
此时，，
∴；
当时，，如图，
此时，，
∴；
当时，，如图，
此时，，
∴；
当时，，即为第（2）小问，此时；
当时，，如图，
此时，，
∴；
当时，，如图，
此时，，
∴；
综上所述，当在旋转的过程中，的度数保持不变．
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专题6.12 图形的初步知识 章末检测
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25七年级上·河南郑州·期中）在中国传统文化中，折叠灯笼是一种既美观又富有创意的手工艺品．当它折叠起来时看起来是平面的，当被提起来后又变成了如图所示的圆柱形的灯笼，这种现象说明的数学道理是（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线
2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列几何体中是三棱锥的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·浙江·期中）有下列关于角的说法：
①两条射线组成的图形叫作角；②角的边越长，角越大；③在角一边的延长线上取一点D；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，下面的说法正确的是（ ）
A．点在直线上 B．可以表示成或
C．直线和相交于点 D．射线和射线表示同一条射线
5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（ ）
A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同
C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积相同，体积不同
6．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ）
A． B．当点C为的中点时，
C．如果，那么 D．如果，那么
7．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图①、图②、图③和图④，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
8．（2024七年级上·辽宁·专题练习）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（ ）
A．4 B．20 C．10 D．20或4
9．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024七年级上·浙江·专题练习）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25七年级上·河北衡水·期中）要把木条固定在墙上，至少要钉两个钉子，这说明一个几何事实： ．
12．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中） ．
13．（24-25七年级上·河北保定·期中）若一个棱柱有十个顶点，则它有 个面；若所有侧棱长的和为，则每条侧棱长为 cm；
14．（2024七年级上浙江·专题练习）在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ．
15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ．
16．（2024七年级上浙江·专题练习）已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ．
17．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，的值为 ．
18．（23-24七年级上·福建厦门·期末）已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．(1)如果，，求的长；(2)如果，求的长．
21．（23-24七年级上·广东·期末）如图，已知线段，点与点在线段上，点在线段外．
(1)根据要求画出图形：画直线，画射线，连接；(2)图中共有 条射线；
(3)根据（1）的作图，以点A为端点的线段有 条，的理由是 ；
(4)根据（1）的作图，按图填空： ；
(5)若点D为线段的中点，，，则线段的长度为为 ．
22．（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为．
(1)正方形底面的边长是 厘米，(2)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
(3)若1平方米硬纸板价格为5元．则制作12个这样包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）
23．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转．
(1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ；
(2)如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小；
(3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ；
(4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）
①运动停止时， ；②请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ．
24．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)若，，秒时，________°；
(2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值；
(3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．
①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒；②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系．
25．（24-25七年级上浙江·期末）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识．
一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B，C，O为表盘圆心．
(1)若为，，B是的中点，则手表全长 ．
(2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合．① ；②作射线，使，求此时的度数．
(3)如图④，自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时内，经过________分钟，的度数是．
26．（24-25七年级上浙江·期末）（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数；
（2）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，，仍然是，的平分线．试求的度数；
（3）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转，，仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由．
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