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专题6.8.余角和补角
1、掌握互为余角和互为补角的概念及性质；
2、会用余角、补角性质进行有关计算；
3、掌握方位角的相关概念及计算。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.求一个角的余角 2
考点2.求一个角的补角 3
考点3.与余角、补角有关的计算 4
考点4.同（等）角的余（补）角相等的应用 5
考点5.邻补角的定义理解 6
考点6.利用邻补角互补求角度 8
考点7.方位角的表示 9
考点8.方位角中的角度计算 11
模块3：能力培优 13
1.余角、补角
（1）余角：如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余。
即∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角。也可以说一个角是另一个角的余角。
（2）补角：如果两个角的和为平角，则这两个角互为补角，简称互补。
若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角。也可以说一个角是另一个角的补角。
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
注意：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角（或补角）。
②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．
2.方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的。所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南。二要确定其旋转方向是向东还是向西。三要确定旋转角度的大小。
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
考点1.求一个角的余角
1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知，与互余，则 ．
2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）若，则的余角等于 °．
3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知，则的余角的度数为 ．
考点2.求一个角的补角
1．（24-25九年级上·云南文山·期中）如图，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级·广东清远·期中）图中，的补角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东中山·模拟预测）已知，则的补角为（ ）
A． B． C． D．
考点3.与余角、补角有关的计算
1．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线．(1)的补角是_____；(2)若，求和的度数；
2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）与互余，与互补，，那么 ．
3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知点O为直线上一点，，在内部作射线，且恰好平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．
考点4.同（等）角的余（补）角相等的应用
1．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）若，，则与的关系是（ ）
A．互补 B．互余 C．相等 D．无法确定
2．（23-24七年级·云南昭通·期末）将一副三角板分别按图中位置摆放，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建厦门·七年级统考期末）下列推理错误的是（ ）
A．因为，所以 B．因为，所以
C．因为，所以 D．因为，所以
考点5.邻补角的定义理解
1．（2023·黑龙江绥化·七年级统考期末）如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
2．（2023春·河北承德·七年级统考期末）下列四个选项中，与互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（ ）
A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB
考点6.利用邻补角互补求角度
1．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，已知点M，O，N在同一条直线上，，则 ．
2．（2023·上海嘉定·七年级校考期末）如图，已知直线、相交于点O，平分，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，直线和交于点O，．，则的度数为 ．
考点7.方位角的表示
1．（2023秋·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，山东省在北京市的（ ）.
A．西偏南方向 B．东偏南方向 C．西偏北方向 D．北偏西方向
2．（2023秋·浙江宁波·七年级统考开学考试）在一次台球比赛中，运动员需要把台球A向 （填方向） 撞击B球，使B被击进袋中．
3．（2023秋·广东肇庆·七年级校考开学考试）如图是小红家附近的平面示意图．
(1)火车站位于体育场的________面________m处，百货大楼位于少年宫的________偏________，________方向________m处．
(2)从汽车站去百货大楼，要先往________方向走________m到少年宫，再往________偏________，________°方向走________m到百货大楼．
(3)小兵家位于火车站的西偏北方向600m处，请在图中标出来．
考点8.方位角中的角度计算
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西临汾·七年级统考期末）如图，甲从点出发向北偏东方向走至点，乙从点出发向南偏西方向走至，则的度数是( )
A． B． C． D．
3．（2024上海杨浦·七年级校考期末）从世博地图可知，亚洲联合馆（A 点）在中国国家馆（O 点）的北偏东，太平洋联合馆（B点）在中国国家馆的北偏西，则等于（ ）
A． B． C． D．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·浙江·课后作业）如图，为直角，是的平分线，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，用量角器度量几个角的度数，下列结论正确的有（ ）
①；②与互补；③；④是的余角；⑤平分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25七年级上·浙江·课后作业）已知，，若，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一副三角尺的直角顶点O重合在一起，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）下列图形中，与是邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·四川达州·阶段练习）若和互补，与互补，若，则（ ）
A．28° B．68° C．118° D．90°
7．（23-24六年级下·山东威海·期末）将一副三角板如图摆放，则与互为补角的是( )
A． B． C． D．
8．（22-23七年级·山西吕梁·期中）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级上·福建厦门·期末）下列推理正确的是（ ）
A． B．
C．， D．与互余，与互余与互余
10．（23-24七年级·河北保定·期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（题中所有角均指小于的角）．给出下列结论：①；②；③．其中结论一定正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023秋·山东菏泽·七年级校考期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若的余角为，则的补角的大小是 ．
14．（24-25七年级上·浙江·课后作业）若，则与的关系是 ．
15．（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ．
16．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示，已知，并给出下列说法：；与互补；的余角只有；⑤若则，其中一定正确的是 ．（填序号）
17．（22-23七年级上·广东梅州·阶段练习）如图，把一个三角板绕点旋转一定的角度，若，则 ，你的理由是 ．
18．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，直线与相交于点O，射线分别是的平分线．(1)请写出的所有余角；(2)请写出的所有补角．
20．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图1，和都是直角．
(1)如果，求的度数；
(2)当变小时，则的度数______（填“变大”、“不变”或“变小”）；
(3)在图2中利用能够画直角的工具画一个与相等的角．
21．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，平分．
(1)比较和的大小，并说明理由；(2)若平分，求的度数．
22．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，平分，平分，如果与互余，那么与有什么数量关系？请判断并说明理由．
小刚的解答过程如下：
与的数量关系是①_____．
理由：因为平分，平分，
所以，②_____，
所以．……
(1)小刚解答过程中的①应填的内容是_____；②应填的内容是_____．(2)将小刚后续的解题过程补充完整．
23．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，与互余，平分．(1)在图1中，若，则_________，_________；
(2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系．
24．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知O为直线上的一点，．
(1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向．
①若，则射线的方向是_________；
②与的关系为_________；
③与的关系为_________．
(2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数；
(3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
25．（23-24七年级上·广东汕头·期末）已知正方形的每个角都等于，请解决下列问题：
(1)如图1所示，将两个正方形的一个顶点重合放置，若，则_______度．
(2)如图2所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若，，求的度数．
(3)如图3所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若平分，则平分吗？为什么？
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专题6.8.余角和补角
1、掌握互为余角和互为补角的概念及性质；
2、会用余角、补角性质进行有关计算；
3、掌握方位角的相关概念及计算。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.求一个角的余角 2
考点2.求一个角的补角 3
考点3.与余角、补角有关的计算 4
考点4.同（等）角的余（补）角相等的应用 5
考点5.邻补角的定义理解 6
考点6.利用邻补角互补求角度 8
考点7.方位角的表示 9
考点8.方位角中的角度计算 11
模块3：能力培优 9
1.余角、补角
（1）余角：如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余。
即∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角。也可以说一个角是另一个角的余角。
（2）补角：如果两个角的和为平角，则这两个角互为补角，简称互补。
若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角。也可以说一个角是另一个角的补角。
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
注意：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角（或补角）。
②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．
2.方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的。所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南。二要确定其旋转方向是向东还是向西。三要确定旋转角度的大小。
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
考点1.求一个角的余角
1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知，与互余，则 ．
【答案】
【分析】本题考查求一个角的余角，根据互余两角的度数之和为90度，进行求解即可．
【详解】解：．故答案为：．
2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）若，则的余角等于 °．
【答案】
【分析】此题考查了余角和补角的知识，解决本题的关键是掌握如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．利用余角的概念求解即可．
【详解】解：的余角．故答案为：．
3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知，则的余角的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了求一个角的余角，根据互余的两个角的和为，计算即可得出答案．
【详解】解：∵，∴的余角的度数为，故答案为：．
考点2.求一个角的补角
1．（24-25九年级上·云南文山·期中）如图，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求角的度数，根据平角的定义，求出的大小即可．
【详解】解：∵，∴；故选：C．
2．（23-24七年级·广东清远·期中）图中，的补角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了补角的定义，如果两个角的度数和为，那么这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角称为另一个角的补角．据此求解即可．
【详解】解：根据平角的意义知：,∴的补角是，故选：B．
3．（2024·广东中山·模拟预测）已知，则的补角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求一个角的补角，理解补角的定义是解题的关键．根据补角的定义（若两角之和为，则称这两个角“互为补角”）求解即可．
【详解】解：∵，∴补角为：，故选：D．
考点3.与余角、补角有关的计算
1．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线．
(1)的补角是_____；(2)若，求和的度数；
【答案】(1)或(2)，
【分析】本题考查余角与补，角度的计算，是基础题，熟记性质并准确识图，找出图中各角之间的关系是解题的关键．（1）根据角平分线的定义可得再根据补角的定义结合图形找出即可；
（2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出，先求出，再根据角平分线的定义解答．
【详解】（1）解：∵是的平分线，∴，
又∵，，
∴∴的补角是或；
（2）∵是的平分线，，
∴，∴，
∵，∴，
∵是的平分线，∴．
36．（23-24七年级下·河南郑州·期中）与互余，与互补，，那么 ．
【答案】/153度
【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键．
根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数．
【详解】∵与互余， ，∴，
∵与互补，∴．故答案为：．
3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知点O为直线上一点，，在内部作射线，且恰好平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键．（1）先根据余角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据计算即可；（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解．
【详解】（1）解：如图：
，，
平分，，；
（2）解：，平分，，
，，，
，．
考点4.同（等）角的余（补）角相等的应用
1．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）若，，则与的关系是（ ）
A．互补 B．互余 C．相等 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据同角的补角相等的性质即可求解．
【详解】解：∵，，∴，故选：C．
【点睛】本题考查补角的性质：同角或等角的补角相等．掌握补角的性质是解题的关键．
2．（23-24七年级·云南昭通·期末）将一副三角板分别按图中位置摆放，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角的余角相等解题即可．
【详解】如图，∵，∴，故选A．
【点睛】本题考查余角的性质，掌握同角或等角的余角相等是解题的关键．
3．（2023·福建厦门·七年级统考期末）下列推理错误的是（ ）
A．因为，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以
【答案】A
【分析】根据余角、补角的性质，利用等量代换思想逐项分析即可得出答案．
【详解】解：与不一定相等，根据，不能推出，故A选项推理错误，符合题意；，通过等量代换可得，故B选项推理正确，不合题意；
，通过等量代换可得，故C选项推理正确，不合题意；
，根据等角的余角相等可得，故D选项推理正确，不合题意；故选A．
【点睛】本题考查余角、补角，掌握等量代换思想是解题的关键．
考点5.邻补角的定义理解
1．（2023·黑龙江绥化·七年级统考期末）如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
【答案】D
【分析】根据邻补角的概念判断即可．
【详解】解：与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对，故选：D．
【点睛】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角．
2．（2023春·河北承德·七年级统考期末）下列四个选项中，与互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．
【详解】解：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，只有选项A中的与互为邻补角．故选：A．
【点睛】本题考查邻补角，关键是掌握邻补角的定义．
3.（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（ ）
A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB
【答案】C
【分析】相邻且互补的两个角互为邻补角
【详解】解：∠COM与∠NOC相邻且互补，所以互为邻补角. 故选：C
【点睛】熟记邻补角的定义是解题的关键.
考点6.利用邻补角互补求角度
1．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，已知点M，O，N在同一条直线上，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用邻补角求度数，根据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，故答案为：．
2．（2023·上海嘉定·七年级校考期末）如图，已知直线、相交于点O，平分，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义求出，再根据邻补角之和为计算，得到答案．
【详解】解：∵平分，，∴，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查的是邻补角、角平分线的定义，熟记邻补角之和为是解题的关键．
3.（2023·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，直线和交于点O，．，则的度数为 ．
【答案】/55度
【分析】先运用邻补角的定义求得的度数，再利用即可求出的度数．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是角的运算问题，邻补角等，数形结合是解题的关键．
考点7.方位角的表示
1．（2023秋·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，山东省在北京市的（ ）.
A．西偏南方向 B．东偏南方向 C．西偏北方向 D．北偏西方向
【答案】B
【分析】根据方位的表示和定义判断；
【详解】解：由图，山东省在北京市的东偏南方向；故选：B
【点睛】本题考查方位的表示，理解平面内方位的表示方法是解题的关键．
2．（2023秋·浙江宁波·七年级统考开学考试）在一次台球比赛中，运动员需要把台球A向 （填方向） 撞击B球，使B被击进袋中．
【答案】 南偏西
【分析】根据方向角即可求解．
【详解】解：运动员需要把台球A向南偏西撞击B球，使B被击进袋中，故答案为：南偏西；．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
3．（2023秋·广东肇庆·七年级校考开学考试）如图是小红家附近的平面示意图．
(1)火车站位于体育场的________面________m处，百货大楼位于少年宫的________偏________，________方向________m处．
(2)从汽车站去百货大楼，要先往________方向走________m到少年宫，再往________偏________，________°方向走________m到百货大楼．
(3)小兵家位于火车站的西偏北方向600m处，请在图中标出来．
【答案】(1)正东，1200，西，南，45，750(2)正东，900，西，南，45，750(3)见解析
【分析】（1）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可；（2）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可；（3）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可．
【详解】（1）火车站位于体育场的正东面1200m处，百货大楼位于少年宫的西偏南方向750m处．故答案为：正东，1200，西，南，45，750；
（2）从汽车站去百货大楼，要先往正东方向走900m到少年宫，再往西偏南方向走750m到百货大楼，故答案为：正东，900，西，南，45，750；
（3）（厘米），小兵家如图：
【点睛】本题考查了方向与位置知识，结合题意分析解答即可．
考点8.方位角中的角度计算
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方位角的概念即可求解．
【详解】解：如图所示，
甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，，，
．故选：C．
【点睛】本题考查的是方向角，根据方向角的概念正确画出图形是解答此题的关键．
2．（2024·山西临汾·七年级统考期末）如图，甲从点出发向北偏东方向走至点，乙从点出发向南偏西方向走至，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，即可求解．
【详解】根据题意，，故选：D．
【点睛】本题考查了方位角的计算，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．
3．（2024上海杨浦·七年级校考期末）从世博地图可知，亚洲联合馆（A 点）在中国国家馆（O 点）的北偏东，太平洋联合馆（B点）在中国国家馆的北偏西，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意画出草图，根据图形计算即可
【详解】解：由题意得出图形：
所以，故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是方向角，关键是根据题意准确画出图形，根据图形求角的度数．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·浙江·课后作业）如图，为直角，是的平分线，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角的有关计算与角平分线的定义．结合已知条件与角平分线的定义解题即可．
【详解】解：∵为直角，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴
故选：B．
2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，用量角器度量几个角的度数，下列结论正确的有（ ）
①；②与互补；③；④是的余角；⑤平分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了余角和补角，角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．由图形，根据角的度量和互余、互补的定义求解即可．
【详解】解：①，故①错误；
②，，，它们互补，故②正确；
③，，它们的大小不相等，故③错误；
④，，，是的余角，故④正确；
⑤，，，不平分，故⑤错误；
综上分析可知，正确的有2个．
故选：B．
3．（24-25七年级上·浙江·课后作业）已知，，若，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】此题考查了等角的补角相等，根据等角的补角相等求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴．
故选：B．
4．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一副三角尺的直角顶点O重合在一起，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了角的数量关系，理清图中的角的和差关系，并结合方程求解是解题的关键．根据同角的余角相等可以证明，由题意设，则，结合图形列方程即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故选B．
5．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）下列图形中，与是邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】邻补角是指两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，且两个角的和为，由此即可求解．
【详解】解：、不是邻补角，原选项不符合题意；、是对顶角，原选项不符合题意；
、是邻补角，原选项符合题意；、不是邻补角，原选项不符合题意；故选：．
【点睛】本题主要考查邻补角的概念及识别，理解并掌握其概念，图形结合分析是解题的关键．
6．（23-24七年级下·四川达州·阶段练习）若和互补，与互补，若，则（ ）
A．28° B．68° C．118° D．90°
【答案】B
【分析】由同角的补角相等即可求解．
【详解】解：∵和互补，与互补
∴同为的补角
∵同角的补角相等
∴
故选：B
【点睛】本题考查同角的补角相等．熟记结论即可．
7．（23-24六年级下·山东威海·期末）将一副三角板如图摆放，则与互为补角的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据各选项中与的位置，结合互补的定义判断即可．
【详解】解：A、由图可知与相等，则与不互补，故本选项不符合题意；
B、由平角的定义可知，，则，即与互余，故本选项不符合题意；
C、由图可知，，，则，故本选项不符合题意；
D、由图可知，，则，故与互为补角，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了补角的定义，观察图形从中找到与存在的数量关系是解题的关键．
8．（22-23七年级·山西吕梁·期中）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据可得，根据同角的余角相等可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查余角的有关计算，解题的关键是掌握同角或等角的余角相等．
9．（23-24七年级上·福建厦门·期末）下列推理正确的是（ ）
A． B．
C．， D．与互余，与互余与互余
【答案】C
【分析】根据题意逐项推理判断即可．
【详解】解：A、当，，时，，但，，故A选项错误；
B、当，，时，，但，，故B选项错误；
C、∵，又∵，
由等式的基本性质可知，，∴，故C选项正确；
D、与互余，与互余∴，，
∴，故D选项错误；故选：C．
【点睛】本题考查同角的余角相等，及等式的基本性质，熟练的运用等式的基本性质将等式变形是解决问题的关键．
10．（23-24七年级·河北保定·期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（题中所有角均指小于的角）．给出下列结论：①；②；③．其中结论一定正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】由根据等角的余角相等得到，而，即可判断①正确；由，而，即可判断②正确；由，而，即可判断③不正确．
【详解】解：∵，
∴，
而，
∴，所以①正确；
，所以②正确；
，而，所以③不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了余角和补角，角度的计算，余角的性质，准确识图是解题的关键．
11．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了余角的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键．
根据，即可求得，，代入，从而求解．
【详解】解：如图：
∵三个大小相同的正方形，∴，∴，，
∴，即，故选：C．
12．（2023秋·山东菏泽·七年级校考期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可．
【详解】解：如图：
∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处
∴∠2=∠3=，∠1=∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．故答案为D．
【点睛】本题考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若的余角为，则的补角的大小是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角的补角和余角，熟练掌握角的补角和余角是解题的关键；
先计算出的度数，从平角为互补角的和，从而解得．
【详解】解：的余角为，，
的补角为，故答案为：．
14．（24-25七年级上·浙江·课后作业）若，则与的关系是 ．
【答案】互余
【分析】本题考查余角的定义，求出，根据和为的两个角互为余角即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴与互余．
故答案为：互余
15．（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ．
【答案】 /50度 或
【分析】本题考查了量角器中的角度计算，互余等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为，即可求出的度数，从而得出的余角的度数，再根据射线所指示的度数为，即可求解．
【详解】解：根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为，
∴，
则的余角的度数为，
根据图2可得，射线所指示的度数为，
∴射线所指示的度数为，射线所指示的度数为，
故答案为：或．
16．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示，已知，并给出下列说法：；与互补；的余角只有；⑤若则，其中一定正确的是 ．（填序号）
【答案】②③⑤
【分析】根据余角的定义、角的计算和角平分线性质，对五个结论逐一计算即可．本题考查了角的计算，余角的定义和角平分线定义，解题的关键是对角平分线的理解和掌握．
【详解】解：如图：
∵，
∴
∴
故是正确的；
∵
∴
则
故是正确的；
∵，
∴
∵
∴
∴
故⑤是正确的；
∵
∴的余角有、
故是错误的；
但无法得出
故是错误的；
故答案为：②③⑤
17．（22-23七年级上·广东梅州·阶段练习）如图，把一个三角板绕点旋转一定的角度，若，则 ，你的理由是 ．
【答案】 /度 同角的余角相等
【分析】根据题意可得，由此可利用同角的余角相等得到．
【详解】解：由三角板中角度的特点可知，
∴（同角的余角相等），
∵，
∴，
故答案为：，同角的余角相等．
【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，正确理解题意是解题的关键．
18．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角．
由，得到，即得．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如图，直线与相交于点O，射线分别是的平分线．
(1)请写出的所有余角；
(2)请写出的所有补角．
【答案】(1)与
(2)与
【分析】本题考查了角平分线、补角、垂线的定义以及角的计算．
（1）根据互余的定义确定的余角；
（2）根据互补的定义确定的补角．
【详解】（1）解：∵是平分线，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴的余角为与；
（2）解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴的补角为与．
20．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图1，和都是直角．
(1)如果，求的度数；
(2)当变小时，则的度数______（填“变大”、“不变”或“变小”）；
(3)在图2中利用能够画直角的工具画一个与相等的角．
【答案】(1)
(2)变大
(3)见解析
【分析】（1）根据直角的定义得到，由此可得，则；
（2）仿照（1）的求解方法求出即可得到结论；
（3）根据同角的余角相等仿照图（1）画图即可．
【详解】（1）解：∵和都是直角，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵和都是直角，
∴，
∴，
∴，
∴当变小时，则的度数变大，
故答案为：变大；
（3）解：如图2所示：．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，同角的余角相等，灵活运用所学知识是解题的关键．
21．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，平分．
(1)比较和的大小，并说明理由；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)；理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角的比较大小和角平分线的性质，解一元一次方程，解决此题的关键是熟练运用角平分线的性质及角的和差列出方程式．
（1）先说明，再说明，从而得出，再根据，即可得到；
（2）设，则，，列方程即可求得．
【详解】（1）解：；理由如下：
，
，
平分，
，
，
，
．
（2）解：设，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
22．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，平分，平分，如果与互余，那么与有什么数量关系？请判断并说明理由．
小刚的解答过程如下：
与的数量关系是①_____．
理由：因为平分，平分，
所以，②_____，
所以．
……
(1)小刚解答过程中的①应填的内容是_____；②应填的内容是_____．
(2)将小刚后续的解题过程补充完整．
【答案】(1)互补；；
(2)见解析．
【分析】此题考查了角平分线有关计算，熟记角平线定义，余角和补角定义，是解题的关键．
（1）根据角平分线定义解答；
（2）根据余角和补角的定义求解即可．
【详解】（1）解：与的数量关系是互补．
理由：因为平分，平分，
所以，，
所以，
因为与互余，
所以，
所以，
所以与互补．
故答案为：互补；；
（2）解：因为与互余，
所以，
所以，
所以与互补．
23．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，与互余，平分．
(1)在图1中，若，则_________，_________；
(2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）根据余角的定义可得：，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答；
（2）利用（1）的解题思路进行计算，即可解答．
【详解】（1）∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；；
（2），
理由：∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
24．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知O为直线上的一点，．
(1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向．
①若，则射线的方向是_________；
②与的关系为_________；
③与的关系为_________．
(2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数；
(3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)①北偏东；②相等；③互补
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键．
（1）①根据方向角的定义即可求解；
②根据同角的余角相等即可得出结论；
③先根据同角的余角相等得出，再根据两角互补的定义即可得出结果；
（2）①根据同角的余角可知，又根据角平分线的定义可得，两式相减即可得出结果；
（3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴射线的方向是北偏东；
②∵由题意知，，
∴；
③由题意知，，
∴，
又，
∴．
即与的关系为互补．
故答案为：①北偏东；②相等；③互补；
（2）由题意知，，
∴．
∵恰好平分，
∴，
∴，
∴．
（3），理由如下：
∵为的平分线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
25．（23-24七年级上·广东汕头·期末）已知正方形的每个角都等于，请解决下列问题：
(1)如图1所示，将两个正方形的一个顶点重合放置，若，则_______度．
(2)如图2所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若，，求的度数．
(3)如图3所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若平分，则平分吗？为什么？
【答案】(1)
(2)
(3)平分，理由见解析
【分析】（1）根据正方形各角等于，得出，再根据，，即可得出答案；
（2）结合图形可得，再利用即可求出的度数；
（3）根据和等角的余角相等得出，，再根据角平分线的性质得出，从而得出答案．
【详解】（1）解：∵正方形的每个角都等于，
∴，，
∴，
∵，
∴。
故答案为：；
（2）∵正方形的每个角都等于，
∴，
∵，，
∴。
∴的度数为；
（3）平分，理由如下：
∵正方形的每个角都等于，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分。
【点睛】本题考查角的计算，余角，角平分线的性质．根据所给出的图形，找到角与角的关系是解题的关键．
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