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专题6.9 线段的双中点和双角平分线模型
对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段、角度的相关计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段（角）的和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点与双角平分线模型模型，可以写出的线段（角）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.线段的双中点模型 2
考点2.线段的多中点模型 6
考点3.双角平分线模型与角n等分线模型 9
模块3：能力培优 15
1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图，有：.
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.
如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.
2.角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫作这个角的平分线。如图所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA或∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA。 类似地，还有角的三等分线、n等分线等。
考点1.线段的双中点模型
【解题方法】
条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：.
证明：①当点B在线段AC上，如图1，
图1
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BM+BN，∴；
②当点B在线段AC的延长线上，如图2，
图2
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BM-BN，∴；
③当点B在线段CA的延长线上
图3
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BN-BM，∴；
例1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点是线段上的一点，点、分别是线段、的中点．(1)如图1，若点是线段的中点，且，则线段的长______，线段的长______；(2)如图2，若点是线段上的任一点，且，求线段的长．
例2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知线段，延长至点，使，点、均在线段的延长线上，且，是线段的中点，当点是线段的中点时，的长为 ．（用含有的式子表示）
例3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，M、N分别为的中点，若、，则 ．
例4．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知、、三点在同一直线上，，点、分别是线段、的中点，则线段的长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
例5．（23-24七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，点A，B，C在同一条直线上，H为的中点，M为的中点．N为的中点．则下列说法：①；②；③；④；其中正确的是 ．
例6．（23-24七年级·上海浦东新·期末）平面上有一条线段，长度为厘米，点C是线段的中点，点D是线段的中点，如果点E在线段上，且，则 厘米．
例7．（2023·广东·七年级统考期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点．(1)求线段的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
考点2.线段的多中点模型
【解题方法】
条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：．
证明：∵、是和的中点，∴，，
∴，∵、是和的中点，
∴，，∴，
∵，是和的中点，∴，，
∴，……发现规律：，
例1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，点P从距原点2个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A点的距离为（ ）
A． B． C． D．
例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ．
例3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作次，则 ．
例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；…
(1)请完成下列表格数据．
次数 线段的长
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次 ①______ ②________
… … …
(2)小明对线段的表达式进行了如下化简：
因为，所以，
两式相加，得，所以．请你参考小明的化简方法，化简的表达式．
(3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____．
考点3.双角平分线模型与角n等分线模型
【解题方法】
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
图1 图2 图3 图4
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：。
证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴。
4）角n等分线模型
条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：．
证明：，、分别是和的平分线，
，，
、分别是和的平分线，，
，
、分别是和的平分线，，
，…，
由此规律得：。
例1．（2024·山西临汾·七年级校联考阶段练习）如图，已知，是内一条射线，平分，平分，，则 ．
例2．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线，且．(1)求的度数；(2)若，直接写出的度数．
例3．（2023·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，那么的大小等于 °．
例4．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．
例6．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或 B．或或 C．或或 D．或或
例7．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．(1)求的度数；(2)如果．①求的度数；②若，直接写出的度数．
例8．（2024·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”．
(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________．
(2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）．
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角
C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个
2．（2023·浙江·七年级专题练习）如图所示，B，C是线段上任意两点，M是的中点，N是的中点，若，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
3．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，平分，平分，，，（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·湖北武汉·七年级校联考期末）如图，点A，B，C顺次在同一直线上，点M是线段的中点，点N是线段的中点．若想求出的长度，那么只需添加条件（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七年级·广东·培优）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，是的中点，是线段的中点，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，点在直线上，平分，平分，如果，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A． B． C． D．
8．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，两根木条的长度分别为和，在它们的中点处各打一个小孔M，N（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离 ．
12．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）已知、、三点在同一条直线上，、分别为线段、的中点，且，，则 。
13．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 ．
14．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别平分和．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．的度数 ．B．如果，的度数 ．
15．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）．
16．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 ．
17．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度．
18．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．
三、解答题（本大题共7小题，共48分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2024·浙江湖州·七年级统考期末）如图，已知线段，延长线段至点，使得．点为线段的中点，点为线段的中点．(1)若，求线段的长；(2)若，求的值．
20．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，点是线段上的一点，其中，，是线段的中点，是线段上一点．
(1)若为线段的中点，求的长度；(2)若为线段的一个三等分点，求的长度．
21．（2023·山东枣庄·七年级校考期末）（1）如图1，已知线段，C是线段AB上一点，，M是的中点，N是的中点．求线段的长．（2）如图2，已知点O是直线上一点，射线、分别是、的平分线．①若，求的度数．
②如果把“”条件去掉，那么的度数有变化吗？请说明理由．
22．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．
(1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．①若，求的度数（写出推理过程）；
②若，则的度数是________（直接填空）．
(3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
23．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________．
(2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；
②t为何值时，．
24．（2024·浙江·七年级专题练习）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
(1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．
(2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．
25．（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，．
(1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______；
(2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数；
(3)如图3，若在的内部，则______．
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专题6.9 线段的双中点和双角平分线模型
对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段、角度的相关计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段（角）的和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点与双角平分线模型模型，可以写出的线段（角）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.线段的双中点模型 2
考点2.线段的多中点模型 6
考点3.双角平分线模型与角n等分线模型 9
模块3：能力培优 15
1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图，有：.
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.
如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.
2.角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫作这个角的平分线。如图所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA或∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA。 类似地，还有角的三等分线、n等分线等。
考点1.线段的双中点模型
【解题方法】
条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：.
证明：①当点B在线段AC上，如图1，
图1
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BM+BN，∴；
②当点B在线段AC的延长线上，如图2，
图2
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BM-BN，∴；
③当点B在线段CA的延长线上
图3
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BN-BM，∴；
例1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点是线段上的一点，点、分别是线段、的中点．(1)如图1，若点是线段的中点，且，则线段的长______，线段的长______；(2)如图2，若点是线段上的任一点，且，求线段的长．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查与中点有关的线段计算，根据图形中线段的关系得到等量关系是关键．
（1）首先根据点M是线段的中点，，求出的长度是多少；然后根据点P是线段的中点，求出线段的长是多少即可．（2）根据点M是线段的中点，点N是线段的中点，可得，，据此判断出，求出线段的长是多少即可．
【详解】（1）解：∵M是线段的中点，，∴．
又∵点P是线段的中点，∴．
（2）∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，∴，，
∴．∵，∴．
例2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知线段，延长至点，使，点、均在线段的延长线上，且，是线段的中点，当点是线段的中点时，的长为 ．（用含有的式子表示）
【答案】/
【分析】本题考查了线段的中点计算，线段的和差计算，正确理解线段的中点是解题的关键，根据中点，线段的和差，依次计算即可．
【详解】∵，，∴．
∵，是线段的中点，∴．
∵点是线段的中点，∴．
∵，∴．∴．故答案为：．
例3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，M、N分别为的中点，若、，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差运算，先算出的长度，根据中点列式计算，即可作答．
【详解】解：∵、，∴
∵M、N分别为的中点，∴
则故答案为：4
例4．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知、、三点在同一直线上，，点、分别是线段、的中点，则线段的长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了线段的和差运算，线段的中点的含义，分类讨论：C在线段上，C在线段的延长线上，根据线段中点的性质，可得，的长，根据线段的和差，可得的长．
【详解】解：如图，当C在线段上时，
由点E，F分别是线段、的中点，得，，
∴．
如图，当C在线段的延长线上时，
由点E，F分别是线段、的中点，得，，
∴，综上可知，线段的长为或．故选：D．
例5．（23-24七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，点A，B，C在同一条直线上，H为的中点，M为的中点．N为的中点．则下列说法：①；②；③；④；其中正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质，根据线段中点的性质、结合图形计算即可判断．
【详解】解：∵H为的中点，M为的中点．N为的中点，
，
，，①正确；
∴，②正确；
，③错误，
，④正确，
综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．
例6．（23-24七年级·上海浦东新·期末）平面上有一条线段，长度为厘米，点C是线段的中点，点D是线段的中点，如果点E在线段上，且，则 厘米．
【答案】
【分析】本题考查了线段的和与差，与线段中点有关的计算等知识．熟练掌握线段的和与差，与线段中点有关的计算是解题的关键．
由题意知，，，，由点E在线段上，可得，由，可求，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，∵点C是线段的中点，∴，
∵点D是线段的中点，∴，
∵点E在线段上，∴，
又∵，∴，∴，故答案为：．
例7．（2023·广东·七年级统考期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点．
(1)求线段的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)(2)，详见解析
【分析】（1）利用线段的和差，线段的中点的性质计算；
（2）先画出图形，再利用线段的和差，线段的中点的性质计算．
【详解】（1）解：点在线段上，，，点、分别是、的中点，
，，
；
（2）解：如图所示，
点在线段的延长线上，且满足，
又点、分别是、的中点，，，
，的长度．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差，线段中点的性质．
考点2.线段的多中点模型
【解题方法】
条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：．
证明：∵、是和的中点，∴，，
∴，∵、是和的中点，
∴，，∴，
∵，是和的中点，∴，，
∴，……发现规律：，
例1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，点P从距原点2个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字的规律，数轴上两点间的距离，根据题意，找出数字规律后与2计算距离即可．
【详解】∵A表示的数是2，原点表示的数是0，
∴表示的数是，表示的数是，表示的数是，由此得到表示的数是，
故第12次跳动后，该点到A点的距离为，故选C．
例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，根据线段的差可得，，的长度表示，根据规律进行推理即可得出，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，∵，∴，
∵线段 和 的中点 ，∴，
同理：，∴，……
依次类推， ，∴，故答案为：4．
例3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作次，则 ．
【答案】
【分析】本题考查两点间的距离，根据线段中点的定义得出是解题关键．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果．
【详解】解：∵线段，线段和的中点，，
∴，
∵线段和的中点，；
∴
发现规律：，∴．故答案为：．
例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；…
(1)请完成下列表格数据．
次数 线段的长
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次 ①______ ②________
… … …
(2)小明对线段的表达式进行了如下化简：
因为，所以，
两式相加，得，所以．请你参考小明的化简方法，化简的表达式．
(3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____．
【答案】(1)①；②
(2)(3)
【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键．
（1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案；
（2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式；（3）根据类比猜想可得答案．
【详解】（1）解：，；
故答案为：，；
（2）因为，所以．
两式相加，得．所以；
（3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是．
故答案为：．
考点3.双角平分线模型与角n等分线模型
【解题方法】
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
图1 图2 图3 图4
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：。
证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴。
4）角n等分线模型
条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：．
证明：，、分别是和的平分线，
，，
、分别是和的平分线，，
，
、分别是和的平分线，，
，…，
由此规律得：。
例1．（2024·山西临汾·七年级校联考阶段练习）如图，已知，是内一条射线，平分，平分，，则 ．
【答案】/25度
【分析】由角平分线的性质可得，再由，可求得，进一步利用角平分线的性质求解即可．
【详解】解：平分，，，
，，
平分，，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的和差计算，仔细观察图形找到数量关系是解题的关键．
例2．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线，且．(1)求的度数；(2)若，直接写出的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用角平分线的的定义依次求出、即可；
（2）利用角平分线的的定义依次用表示、即可；
【详解】（1）解：，是的平分线，，
是的平分线，．
（2）解：；，是的平分线，，
是的平分线，．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
例3．（2023·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，那么的大小等于 °．
【答案】40
【分析】据角平分线的定义得到，，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵是的平分线，∴，
设，，则，
又∵是的平分线，∴
∴，∵，∴，∴，
∴．故答案为：40．
【点睛】本题考查角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，解题关键是找出图中各角之间的和差关系．
例4．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】①根据平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出，得出，即可得出结论；③无法证明；④根据，得出，，即可得出结论．
【详解】解：①∵平分，平分，平分，
∴，，，
，，
即，故①正确；
②∵
，，
∴，故②正确；③与不一定相等，故③错误；
④根据解析②可知，，∴，
∵，∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出是解题关键．
例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．
【答案】
【分析】由角平分线性质推理得，，，据此规律可解答．
【详解】解：，、分别是和的平分线，
，，
、分别是和的平分线，，
，
、分别是和的平分线，，
，…，
由此规律得：．故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例6．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或 B．或或 C．或或 D．或或
【答案】C
【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．
【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，
；综上，为或或，故选：C．
【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
例7．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．(1)求的度数；(2)如果．①求的度数；②若，直接写出的度数．
【答案】(1)；(2)①；②或．
【分析】（1）由角平分线定义可知，，再根据和可得结果；（2）①利用角之间的和差关系求解即可；②分当在上方时，当在下方时，利用角之间的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：∵，分别平分和，∴，，
则，
∵，∴；
（2）①∵，，∴，
由（1）可知，，则，
∴，
②由①可知，，∵平分，∴，
当在上方时，；
当在下方时，；综上，为或．
【点睛】本题考查角平分线的定义，利用角的和差关系求解的度数，解决问题的关键在于结合图形，找角之间的和差关系．
例8．（2024·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”．
(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________．
(2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）．
【答案】(1)或(2)或或或
【分析】（1）根据“3等分线”的定义分和两种情况求解即可；
（2）分为的“3等分线”和为的“3等分线”两种情况求解即可．
【详解】（1）根据“3等分线”的定义可得，或
∵ ∴或故答案为： 或
（2）①当OA在的内部时，如图，
根据“3等分线”的定义可得，或
②当OB在的内部时，如图，
根据“3等分线”的定义可得，或
此时，或
综上，的度数为或或或．
【点睛】本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3等分线”的定义是解答本题的关键．
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角
C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个
【答案】C
【详解】解：∵射线OC、OD把平角∠AOB三等分，∴，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴，
∴，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
∠AOC与∠AOD、∠FOE、∠BOC都是互为补角，故C选项符合题意；
∠AOE与∠AOC、∠COD、∠BOD都是互为余角，故D选项不符合题意；故选：C
【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解题的关键．
2．（2023·浙江·七年级专题练习）如图所示，B，C是线段上任意两点，M是的中点，N是的中点，若，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据M是的中点，N是的中点，得出，，根据，，得出，求出，根据求出结果即可．
【详解】解：∵M是的中点，N是的中点，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，∴，故选：C．
【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
3．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，平分，平分，，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义和角的运算求解即可．
【详解】解：∵平分，平分，，
∴，，∴，
∵，∴，∴．故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的定义和角度的运算，熟练掌握与角平分线的有关的角度运算是解答的关键．
4．（2023秋·湖北武汉·七年级校联考期末）如图，点A，B，C顺次在同一直线上，点M是线段的中点，点N是线段的中点．若想求出的长度，那么只需添加条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由中点的定义得，从而可得．
【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴，∴，
∴只要已知，即可求出的长度．故选：B．
【点睛】本题考查了线段的中点，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
5．（2024七年级·广东·培优）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，是的中点，是线段的中点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和差计算，熟练掌握线段中点的定义及线段的和差计算是解答本题的关键．先求出，再由线段中点的定义，可得，，由此即可求得的长．
【详解】，，
，
是的中点，是线段的中点，
，，
．
故选C．
6．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，点在直线上，平分，平分，如果，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合已知条件可求得的度数，然后将代入计算即可求得答案．
【详解】解：平分，平分，，，
，
，，，故选：A．
【点睛】本题考查角的计算及角平分线的定义，结合已知条件求得是解题的关键．
7．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题．
【详解】解：平分，，
，，，
，，故选：C．
【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分两种情况B，在点A同侧时，B，在点A两侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：①B，在点A同侧时，如图所示：
是的中点，是的中点，，，
．
②B，在点A两侧时，如图，
是的中点，是的中点，，，
．
综上：与之间距离为或，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合．
9．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值．
【详解】解：∵，分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，……
由此可得：，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．
10．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案．
【详解】解：∵，射线为的三等分线．
∴或，
∴，∴的度数为或．故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，两根木条的长度分别为和，在它们的中点处各打一个小孔M，N（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离 ．
【答案】2.5或11.5
【分析】本题主要考查了线段的中点问题，注意两端重合有2种情况，如图，设短的木条为，长的木条为，然后分B、C两点重合与A、C两点重合两种情况进一步分析求解即可.
【详解】如图，设短的木条为，长的木条为，
则：，，
①当B、C两点重合时，
此时；
②当A、C两点重合时，
此时；
综上所述，的长度为或，
故答案为：2.5或11.5．
12．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）已知、、三点在同一条直线上，、分别为线段、的中点，且，，则
【答案】8或2
【分析】首先要考虑、、三点在直线上的不同位置：点在线段上或点在线段的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算．
【详解】解：、分别为、的中点，
，，
如图，点在线段上时，
，
如图，点在线段的延长线上时，
，故答案为：8或2．
【点睛】本题考查两点间的距离，正确考虑三点在直线上的不同位置，掌握线段的中点概念是解题的关键．
13．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 ．
【答案】或13
【分析】画出图形，分两种情况讨论①；②．设，根据直线l上所有线段的长度之和为91，列方程，先求出x，即可求出的长.
【详解】①当时，如图1
设，则，，，
∵直线l上所有线段的长度之和为91
②当时，如图2,
故答案为：或13
【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线l上的线段的条数，及要进行分类讨论.
14．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别平分和．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．的度数 ．B．如果，的度数 ．
【答案】 A（或者选B）
【分析】A：根据角平分线的定义得到，，再根据平角的定义，结合代入计算；B：根据角平分线的定义求出，继而得到，再次利用角平分线求出，最后根据平角的定义求出结果．
【详解】解：A：∵，分别平分和，
∴，，∴；
B：∵平分，，∴，∴，
∵平分，∴，∴；
故答案为：A（或者选B）；；．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平角，解题的关键是利用角平分线和平角得出角的关系．
15．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）．
【答案】/
【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可．
【详解】解：∵M为的中点，N为的中点，
∴，．
∵线段和线段在同一直线上，
线段（A在左，B在右）的长为a，
长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，
∴分以下5种情况说明：
①当在左侧时，如图1，
即，
，
，
；
②当点D与点A重合时，如图2，
即
，
；
③当在内部时，如图3，
即
，
；
④当点C在点B右侧时，
同理可得：；
⑤当在右侧时，
同理可得：；
综上所述：线段的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
16．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 ．
【答案】1
【分析】先由线段 中点定义得出，，又因为，利用线段和差即可求得，，代入即可求解．
【详解】解∶∵，P，Q分别是，的中点，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
故答案为∶1．
【点睛】本题考查线段和差倍分，熟练掌握线段和差倍分的运算是解题的关键．
17．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，当射线在的内部时，当射线在的外部时，根据角平分线的定义得出，结合图形即可求解．
【详解】解：分两种情况讨论，当射线在的内部时，如图所示，
∵，，、分别是和的平分线，
∴ ∴；
当射线在的外部时，如图所示，
∵，，、分别是和的平分线，
∴∴；
综上所述，或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．
18．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．
【答案】
【分析】设，则，，由角平分线的定义得出，，，然后再逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设，
，，
，，
平分，平分，平分，
，，，
，故正确，符合题意；
，
度数未知，与不一定互补，故错误，不符合题意；
，故正确，符合题意；
，，
，故正确，符合题意；
综上所述，正确的有：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共48分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2024·浙江湖州·七年级统考期末）如图，已知线段，延长线段至点，使得．点为线段的中点，点为线段的中点．(1)若，求线段的长；(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根据，求出，得出，根据中点定义求出，即可得出答案即可；（2）先用a表示出，得出，根据中点定义即可得出，得出，即可得出，求出a的值即可．
【详解】（1）解：，，，
为的中点，，．
（2）解：，，
为中点，为中点，，，
，，．
【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系．
20．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，点是线段上的一点，其中，，是线段的中点，是线段上一点．
(1)若为线段的中点，求的长度；(2)若为线段的一个三等分点，求的长度．
【答案】(1)4(2)3或5
【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算，数形结合，分类讨论是解题的关键．（1）根据线段中点的性质得出,，结合图形，即可求解；（2）根据线段中点的性质以及三等分点的性质，分类讨论，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵是线段的中点，为线段的中点，
∴,，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵是线段的中点，
∴，
∵为线段的一个三等分点，
∴或，
∴或；
∴的长为或．
21．（2023·山东枣庄·七年级校考期末）（1）如图1，已知线段，C是线段AB上一点，，M是的中点，N是的中点．求线段的长．
（2）如图2，已知点O是直线上一点，射线、分别是、的平分线．
①若，求的度数．
②如果把“”条件去掉，那么的度数有变化吗？请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②不变，理由见解析
【分析】（1）根据线段中点定义可求，的长度，然后根据求解即可；
（2）①先根据角平分线的定义求出，，然后根据邻补角定义求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据求解即可；
②根据角平分线定义可得，，根据邻补角定义可得，代入计算即可解决问题．
【详解】解：（1）∵， ，M是的中点，N是的中点，
∴，，∴；
（2）①∵射线是的平分线，，
∴，，又∴，
∵射线是的平分线，∴，∴；
②的度数不变．理由如下：
∵射线、分别是、的平分线，，，
又 ，．
【点睛】本题考查了有关线段中点的计算，有关角平分线的计算，掌握线段中点的定义和角平分线定义是解题的关键．
22．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．
(1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．①若，求的度数（写出推理过程）；
②若，则的度数是________（直接填空）．
(3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55°
【分析】（1）根据求出，利用角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；（2）①由平角的定义，角平分线的定义求出，根据进行求解即可；②同①法，进行计算即可；（3）分在内部和在外部两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵为的角平分线，∴，
∴；故答案为：；
（2）①解：∵，，∴，
又∵为的角平分线，为的角平分线，
∴，，
∴，
②∵，，∴，
又∵为的角平分线，为的角平分线，
∴，，
∴；故答案为：；
（3）①当在内部时，如图：
∵，平分，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，
②当在外部时，如图：
∵，平分，∴，
∵，∴，
∵平分，∴；
综上：的度数是或；故答案为：或．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．解题的关键是正确的识图，理清角之间的和差关系．
23．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________．
(2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；
②t为何值时，．
【答案】(1)，
(2)①；②1或8
【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；
（2）①设运动时间为，再根据的值是个定值即可求出的值；②分点从点向点方向运动时和点从点向点方向运动两种情况分析即可．
【详解】（1）解：，，，，
，，，
∴故答案为：，；
（2）①设运动时间为，则，，
根据“点值”的定义得：，，
的值是个定值，
的值是个定值，；
②当点从点向点方向运动时，
，，；
当点从点向点方向运动时，
，，，的值为1或8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键．
24．（2024·浙江·七年级专题练习）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
(1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．
(2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．
【答案】(1)∠AOC的度数为40°或80°；(2)①：t=或；②∠BOD=度
【分析】（1）分两种情况讨论，列式计算即可；（2）①分两种情况讨论，列式计算即可；
②计算得到∠COD=8t-180°，分两种情况讨论，列式计算即可．
【详解】（1）解： OC是∠AOB的三等分线，当∠AOC=∠AOB时，如图：
∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠AOB=80°；
当∠AOC=∠AOB时，如图：∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠AOB=40°；
综上，∠AOC的度数为40°或80°；
（2）解：①∵OC是∠AOD的三等分线，∴OC在∠AOD内，
依题意得：(180°-5t)3=3t或(180°-5t)3×2=3t，解得：t=或；
②∵OC是∠BOD的三等分线，∴OC在∠BOD内，
∵∠BOD+∠AOC=180°-∠COD，∠AOC=3t，∠BOD=5t，∴∠COD=8t-180°，
依题意得：(8t-180°) ×3=5t或(8t-180°)×=5t，解得：t=或；
∴∠BOD=度或度（舍去）．
【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三等分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
25．（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，．
(1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______；
(2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数；
(3)如图3，若在的内部，则______．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）根据题意可知，，再根据求解即可；
（2）由（1）同理可知，即可求解；
（3）由（1）同理可知，，再根据即可求解．
【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，，∴，，
∴．故答案为：；
（2）解：由（1）可知；
（3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，，
∴，，
∴，
∴．故答案为：．
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