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专题6.9 线段的双中点和双角平分线模型
线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查形式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1
考点2.线段上动点问题中的定值模型 4
考点3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 8
考点4.阅读理解型（新定义）模型 12
模块3：能力培优 15
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
考点1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型
例1．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒．
(1)的长为________个单位长度，的值为________；(2)当时，求点表示的数；
(3)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值．
【答案】(1)，；(2)点表示的数为；(3)或或或或．
【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值．（2）本题根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题；（3）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值；
此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论．
【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，，∴，
∵ 是的中点，∴，∴表示的数分别为，即的值为，故答案为：，；
（2）解：∵，，∴点只能在点的右边，位置如图所示：
∴，即，整理得，解得，
∴点表示的数为；
（3）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒，
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人到达点，此时点与点重合，即，
当机器人过点时，即，解得或，
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人到达点时，即，
当机器人超过机器人时，，解得或（舍去），
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人未到达点时，即，
当机器人与机器人相遇时，即，解得或，
综上可知，的值为或或或或．
例2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件：
①关于m、n的单项式与的和仍为单项式；②在运动过程中，总有．
(1)直接写出：_______，_______；(2)求出的值，并说明理由：(3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值．
【答案】(1)1，2(2)3(3)
【分析】本题考查了线段的和差倍分，一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．（1）根据同类项的定义列方程即可得到结论；（2）设，则，根据题意列方程即可得到结论；（3）设，由（2）知，，根据题意得到，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵关于、的单项式与的和仍为单项式，
∴单项式与是同类项，∴，故答案为：1，2；
（2）设运动了t秒，则设，则，
故答案为：3；
（3）设，由（2）知，，
①当点在线段上时，，解得：，
②当点在线段的延长线上时，，解得：，(不合题意，舍去)，
综上所述，．
例3．（23-24七年级上·天津和平·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M，B出发以的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）
(1)若，当点C、D运动了，求的值；(2)若点C、D运动时，总有，求的值；(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，直接写出的值．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】本题主要考查了线段的和差问题和两点间的距离的计算，（1）计算出和的长，进而可得出答案；（2）由结合（1）问便可解答；
（3）由，分两种情况讨论：①点N在线段上时，②点N在的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解；
【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，
∵，．
（2）解：设运动时间为t，则，∵，
又，，即，∴；
（3）解：由（2）可得：，∵，，，
点N在线段上时，如图，
∵，∴，，即．
当点N在线段AB的延长线上时，如图，
∵，，∴，即．
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答．
考点2.线段上动点问题中的定值模型
例1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知线段，线段在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若(1)求线段的长．(2)若点M，N分别为线段的中点，且，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，则是一个定值，请加以说明．
【答案】(1)(2)(3)见解析．
【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可得到答案；（2）分点C在点B左侧和右侧两种情况讨论求解即可；（3）先根据线段和差关系证明，再由即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，∴，∴，∴
（2）解：分两种情况讨论：①当点C在点B右侧时，如图所示：
∵点M，N分别为线段的中点，
∴，．
∴；
②当点C在点B左侧时，如图所示：
∵点M，N分别为线段的中点，∴，，
∴；综上所述，；
（3）解：定值为2，说明如下：
点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，如图所示：
∴，∵，∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和差关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键，．
例2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．
(1)直接写出木棒的长；(2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长；
(3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值．
【答案】(1)；(2)或；(3)，定值为．
【分析】（）根据题意可得的长等于的三分之一，即可求解；
（）设，分点在点左侧和右侧两种情况列方程求解即可；（）由式子的值为定值可判断出木棒和木棒重叠，分别求出点与点重合和点与点重合的时间，即可求出的取值范围，由木棒和木棒重叠可得的值为定值即为的值；本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，并运用分类讨论的方法分别列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，；
（2）解：设，当点在点左侧时，，
∵，∴，解得，∴；
当点在点右侧时，，
∵，∴，解得，∴；
∴的长为或；
（3）解：由题意可得，当木棒和木棒重叠时，式子的值为定值，
定值即为，
当点与点重合时，，解得；
当点与点重合时，，解得；
∴当时，式子的值为定值，定值为．
例3．（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且
(1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)或(2)(3)是，见解析
【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则．
（1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长；
（2）设，则，根据线段中点定义得，， ，从而得，由此可得的长；
（3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，，
，解得：，，
若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，如图1①所示：
，，；
②当点C在点B的右侧时，如图1②所示：
，；
综上所述：线段的长为或．
（2）解：设，如图2所示：
，∵点分别是线段的中点，
， ，∴，
∴；
（3）解：为定值，理由如下：设，
∵点D与点B重合，点C在点D的左侧，∴点C在线段上，
又∵点P在线段的延长线上，如图3所示：
∴，∴，
∴．∴为定值．
考点3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型
例1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）．
(1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值．
(3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？
(4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由．
【答案】(1)当时，；当时，(2)(3)能重合，(4)
【分析】（1）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到；当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到即．（2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段的中点．根据题意得到等量关系：列式计算即可；
（3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，列式计算即可；
（4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值．
【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，
∵，∴，∴；
当时，秒过后，点P运动的路程为，
∵，，∴即．
（2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，
当时，秒过后，点P运动的路程为，
∵，∴，∴；
∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．
∴秒过后，点Q运动的路程为，
∵点B是线段的中点．∴，∴，解得，
即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点．
（3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，
∴．解得：；故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合．
（4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等．
当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得，解得：．当时，线段与线段的长度相等．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为．
【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______．
【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点．
①点表示的数是______（用含的代数式表示）；
②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间；
③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值．
【分析】（）根据题意，求出，再根据结论解答即可求解；
（）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可；
根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解；
根据两点之间的距离公式求出，得到，当时即可求出常数的值，进而求出定值．
【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数，
∴，，∴；
线段的中点表示的数为；故答案为：；；
（）秒后，点表示的数为，点表示的数为，
∵点是线段的中点，∴点表示的数是，故答案为：；
当点为中点时，则，解得，不合，舍去；
当点为中点时，则，解得；
当点为中点时，则，解得；∴运动时间的值为或；
当点在点左侧时，，，
∴，
当时，∴，此时，定值．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键．
例3．（23-24七年级·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段上运动，当时，______；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【答案】(1)3(2)当时，点的运动时间的值为或20(3)
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰地分类讨论是解本题的关键．（1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案；（2）当点在线段上，，当点在线段的延长线上，，再建立方程求解即可；（3）先证明，，可得，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，，
∴，∴，
∵线段，∴，∴．故答案为：3．
（2）当点在线段上，，如图，
为的中点，∴，解得，
当点在线段的延长线上，，如图，
同理：解得，
综上所述，当时，点的运动时间的值为或20；
（3）当点在线段的反向延长线上时，，理由如下：如图，
为的中点，为的中点，
考点4.阅读理解型（新定义）模型
例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
（2）若，点是线段的巧点，则最长为______；
【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由．
【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点
【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用．
（1）根据“巧点”的定义解答即可；
（2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解；
（3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解．
【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点，
∴，∴点是线段的的“巧点”，故答案为：是．
（2）解：点在线段上，点为线段的巧点，∴则最长时，满足，
即，∴，故答案为：．
（3）解：秒后，，，，
∵为、的巧点∴或，或，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
∴当为或或时，为、的巧点．
例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作．
【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________；
若，，则_________．
(2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动．
①若点在上运动时，总有，求出的值；
②若，则当为何值时，；
③若时，，则___________．
【答案】(1)；18(2)①；②；③或
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段的数量关系，解题关键在于理解新定义，根据新定义列出方程即可．（1）根据新定义，列出式子即可．（2）①设，，表示出，列式子求解．
②根据定义，，表示出，即可求解．③分两种情况进行讨论，一个是当在的左侧时，一个当在的右侧时，根据新定义列出式子，进行求解．
【详解】（1）解：若，，则，
若，，则，
∵，∴．
∵∴．故答案为：；18；
（2）①，．∵，∴．
∴．∴；
②∵，，∴，则．
∴，，
∵，∴，故；
③∵．∴，．分两种情况：
当在的左侧时，
∵，∴．∴．
可知，，则；
当在的右侧时，
．，
则；综上所述，或；故答案为：或．
例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…．
(1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ；
②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）；
(3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)①5，；②M点为，N点为
(2)为，为(3)存在，n为5，为
【分析】（1）①由题意可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②根据，可得，即可．
（2）由（1）中②可得两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据点和也关于中点1对称，且k值不变即可求解．（3）根据题意可得，根据，可得点，到的中点的距离相等，从而表达出对应和的值，从特殊取值过程中，研究n和点以及点的关系，总结出一般规律进行解题．
【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，
∴．∴．∴．
∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴，
又∵，，
∴M点为5，N点为，故答案为：5，．
②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，
∴．∴．∴．
∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，
∴，且中点所对应的数为1，
又∵，∴中点所对应的数也为1，
∵，，
∴M点为，即，N点为，即；
（2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称，
∴．∴，
∴．∴为，为．
（3）解：存在，理由：∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”，
∴，
∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴的中点所表示的数为1，
∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，
∴．∴．∴，∴点，到的中点的距离相等，
当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为，
当n为2时，为，为，
当n为3时，为，为，
当n为4时，为，为，
以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是，
令，∴，
∴，∴． ．
当表示的数为65时，，解得：．
又∵和关于1对称，∴为．
答：存在次数n使得为65，此时n为5，为．
【点睛】本题考查列代数式的表达能力，数轴上表示数，利用数轴上线段中点解决相关问题，乘方，数的规律总结能力以及数轴相关知识运用，难度偏大，利用数形相结合是解题的关键．
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
①对应的数是；②点到达点时，；③时，；
④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴，根据两点间距离进行计算即可判断；利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断；根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
【详解】解：∵已知(在的左侧)是数轴上的两点，点对应的数为，且，
∴对应的数为，故正确；∵，∴点到达点时，，故是正确的；
当点在点右边时，∵，∴，∴；
当点在点左边时，∵，∴，∴，
∴时，或，故错误；
在点的运动过程中，当点在点右边时，；
在点的运动过程中，当点在点左边时，；
∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故错误；∴正确结论有，故选：．
2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可．
【详解】解：运动后，，，
M为的中点，，，故①错误；
设运动t秒，则，，
M为的中点，N为的中点，，
，的值随着运动时间的改变而改变，故②正确；
，，，
的值不变，故③正确；，，
，解得：，故④正确；故选：D
3．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查线段的和差倍分，根据点P的运动速度是点Q的一半，可得，根据可得，则．
【详解】解：点P的运动速度是点Q的一半，，
，，，
，
，故选C．
4．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变；
③的值不变； ④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可．
【详解】解：运动后，，，
M为的中点，，，故①错误；
设运动t秒，则，，
M为的中点，N为的中点，，
，的值随着运动时间的改变而改变，故②正确；
，，，
的值不变，故③正确；
，，，解得：，故④正确；
故选：D
5．（23-24七年级上·四川广元·期末）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动(点B在点C的左侧)，且，下列结论：
①，； ②当点B与点O重合时，；③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查数轴的性质，解题关键是掌握数轴上两点之间的距离公式，线段中点的含义．根据平方式和绝对值的非负性求出，，即可判断①结论；根据点B与点O重合时，得到点C表示的数为2，即可判断②结论；设点P对应的数是x，根据数轴上两点之间距离公式得出，，，即可判断③结论；设B表示的数为c，则C表示的数为， 根据中点定义可求M表示的数为，N表示的数为，然后数轴上两点间距离公式求出，即可判断④结论．
【详解】解：∵，
∴，，∴，，故①正确；∴，
当点B与点O重合时，点B在点C的左侧，∴C对应的数是2，∴，故②错误；
当点C与点A重合时，点C对应的数是4，点B对应的数是2，
设点P对应的数是x，则，，，
∴，故③正确；
设B表示的数为c，则C表示的数为， ∵M为线段的中点，∴M表示的数为，
∵N为线段的中点，A表示的数是4，∴N表示的数为
∴，故④正确，∴正确的是①③④，故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，．
【答案】2或18
【分析】设线段运动的时间为t秒，则，，，，．分两种情况计算：①当M点在N点左侧时，②当M点在N点右侧时，分别将和用含有t的式子表示出来，根据列方程即可求出t的值．
本题主要考查了线段的中点、线段的和差、直线上的动点问题，解题的关键是正确的把各条线段用含有t的式子表示出来，并且注意分类讨论．
【详解】，
设线段运动的时间为t秒，则，，，，
∵点N是线段的中点，
．
①当M点在N点左侧时
，
，
，
，
解得．
②当M点在N点右侧时，
，
，
，
，
解得．
综上，线段运动2秒或18秒时，．
故答案为：2或18．
7．（23-24七年级上·广东·课后作业）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为 ．
【答案】1或
【分析】设运动的时间为t秒，点A表示的数为a，点b表示的数为b，点M表示的数为m，则，然后表示出，再由得到，再讨论点M在数轴上的位置，结合已知条件进行求解即可．
【详解】解；设运动的时间为t秒，点A表示的数为a，点b表示的数为b，点M表示的数为m，则，∴点C在数轴上表示的数为，点D在数轴上表示的数为，∴，∵，∴，即：，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由得，，即：；∴，
②若点M在线段上时，如图2所示：
由得， ，即：；∴；
③若点M在线段上时，如图3所示：
由得，，即：，
∵此时，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由得，，即：；而，因此，不符合题意舍去，综上所述，的值为1或，故答案为：1或．
【点睛】本题主要考查了数轴表示数的意义，整式的加减计算，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．
8．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．
设运动时间为秒．
（1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ；
（3）点、相遇时， 秒．
【答案】 7.2
【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置；
（2）由题意知，；（3）由题意知，，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒，
点从，运动时间为秒，
∵，∴当点到达终点时，点运动路程为，
∵，∴点在边上，故答案为：；
（2）解：由题意知，，故答案为：；
（3）解：由题意知，，解得，，故答案为：7.2．
【点睛】本题考查动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ．
【答案】5
【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案．
【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．
∵，即与重合，∴与C之间的距离为．故答案为：5
【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键．
10．（2024·江苏·无锡市七年级期中）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
【答案】1或
【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a ∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；
而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．
11．（23-24七年级上·四川巴中·期末）如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是，，1，且点C为线段的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段的中点，P、Q为数轴上两个动点，点P从点B向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点D向左运动，速度为每秒3个单位长度，P、Q同时运动，运动时间为．有下列结论：①若点E表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点P是线段的中点；其中正确的有 ．(填序号)
【答案】①③/③①
【分析】①根据线段的中点的定义以及点D、E可确定点C、F表示的数，进而得到的长度；②由，分两种情况讨论：点E在点D的右侧时以及点E在点D的左侧时，可得到点E表示的数，由点F为线段的中点可得点F表示的数，进而得到的长度；③当时，可得到的长，从而确定点P、Q，即可得到的长；④当时，可得到的长，从而确定点P、Q，进而判断．
【详解】解：①若点E表示的数是3，
∵点F为线段的中点，D表示的数是1，∴，即F表示的数是2，
∵数轴上点A、B表示的数分别是 9 ， 1 ，点C为线段的中点，
∴点C表示的数为，∴，故①正确；
②若，当点E在点D的右侧时，则点E表示的数是4，
∵点F为线段的中点，∴，即F表示的数是，∴，
当点E在点D的左侧时，则点E表示的数是，
∵点F为线段的中点，∴，即F表示的数是，∴，
综上，或，故②不正确；
③当时，，
∵B、D表示的数分别是，1，∴P、Q表示的数分别是，∴，故③正确；
④当时，，，∴P、Q表示的数分别是，，
∵点P在D、Q的左侧，不可能是线段的中点，故④不正确；故答案为：①③．
【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，点是线段上一点，这样，图中共有三条线段，，若其中一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“两倍分点”
（1）线段中点 （选填“是”或“不是”）这条线段的“两倍分点”；
（2）若，点从点开始，以每秒1个单位的速度沿射线运动，设运动时间为且．则 时，点是线段的“两倍分点”．
【答案】 是 ，12，18
【分析】本题考查线段之间的数量关系，与线段中点有关的计算：
（1）根据中点的性质以及“两倍分点”的定义，进行判断即可；
（2）分四种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）一条线段的中点把这条线段分成相等的两部分，这条线段是每一部分的2倍，所以一条线段的中点是这条线段的“两倍分点”，故答案为：是；
（2）∵，点从点开始，以每秒1个单位的速度沿射线运动，∴，
∵点是线段的“两倍分点”∴点在线段上，∴，
当点运动到点时，所需时间为秒，∴，
当时：，解得：；
当时：，解得：；
当时：；
当时：，解得：；故答案为：，12，18．
13．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）如图，点A，B，C在直线上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点位于A，B两点之间，且到点的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线向右运动，点的速度是3个单位长度，点的速度是1个单位长度，设运动时间为，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的值为 ．
【答案】或或33
【分析】分点为的中点，点为的中点，为的中点，三种情况进行讨论求解．
【详解】解：∵，∴，
①当点为的中点时，，解得：；
②当点为的中点时，，解得：；
③当为的中点时，，解得：；
综上：或或；故答案为：或或33
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，与线段中点有关的计算．解题的关键是读懂题意，利用分类讨论的思想，正确的列出方程．
三、解答题（本大题共12小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：①A、B两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为___________；点Q表示的数为___________．
(2)求当t为何值时，；(3)当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为的三等分点且靠近于P点，求的值．
【答案】(1)①10，3；②，(2)1或3(3)5
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；
（2）根据点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案；由，得到方程，求解即可得到答案；
（3）先表示，，再代入计算即可．
【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为8，
，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为；
②t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为；
（2），
，
或3，
或3时，；
（3）∵的中点为M，N为的三等分点且靠近于P点，
∴，
，
∴．
15．（23-24七年级上·浙江温州·期中）新定义学习：
【新知学习】若A，B，C是数轴上的三个点，如果点C到A的距离等于点C到B的距离，那么我们就称点C是的中点．例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是2，那么点C是的中点．
【知识运用】(1)如图2，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为，点F所表示的数为2，求的中点所表示的数，并说明理由．(2)如图3，若数所表示的点G是的中点，那么M表示的数为 ，N表示的数为 （只要写出符合条件的一对值即可）．
【知识拓展】(3)如图4，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．现有一只电子蜗牛P从点A出发，以1个单位每秒的速度向右运动；同时另一只电子蜗牛Q从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，若点M，N分别是和的中点，则在P，Q的运动过程中，当 秒时，M，N点到原点的距离相等（请直接写出答案）．
【答案】(1)，理由见解析(2)(3)秒或秒
【分析】本题考查了实数与数轴，结合中点公式与方程解答是解题的关键．
（1）利用中点公式解答；
（2）根据中点公式结合中点定义，求出、即可．
（3）表示出、表示的数，列方程解答．
【详解】（1）解：、中点为，
理由：到和2的距离都是3；
（2）解：①，
取，则，
故答案为：1，（答案不唯一）；
（3）解：由题意得：点表示的数为，点表示的数为，
点表示的数为，点表示的数为，
①，在数轴同侧，则有，解得；
②，在数轴异侧，则有，解得；
综上所述，当秒或24秒时，点，到原点的距离相等．
16．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图（1），已知A，B为数轴上的两点，点O表示原点，点A表示的数为．动点C从A出发做匀速运动，动点D从B出发做匀速运动．
(1)若动点C向右运动，动点D向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整．
时间（秒） 0 1 2
C点在数轴上的位置所表示的数 _____
D点在数轴上的位置所表示的数 _____ 3 2
(2)若点D先出发2秒后，点C开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数．(3)如图（2），若动点C，D以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点P以恒定速度和方向从点O出发运动．在运动过程中，如果点F为线段的中点，且，试求点P的运动方向和速度．
【答案】(1)，；(2)；(3)点P向右运动，且运动速度为个单位/秒．
【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，利用表格得出点C，点D的运动速度，根据距离时间速度，求出距离，即可解题．
（2）本题考查一元一次方程的实际应用，设C点的运动秒后，两点相遇，根据点C的运动距离点D总的的运动距离，建立方程求解，即可得到相遇时间，再推出点C的运动距离，即可解题．
（3）本题考查一元一次方程的实际应用，以及线段中点的定义，设点P的运动速度为个单位/秒，运动时间为秒，表示出，，，根据题意分以下两种情况讨论，①点P向右运动，②点P向左运动，根据以上两种情况通过建立方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，点C向右运动的速度为：个单位/秒，
当时间为2秒时，C点在数轴上的位置所表示的数为：，
点D向左运动的速度为：个单位/秒，
当时间为0秒时，点D在数轴上的位置所表示的数为：，
故答案为：，；
（2）解：由动点D从B出发可知，点B表示的数为，
设C点的运动秒后，两点相遇，
根据题意有：，
解得：，
C点运动的距离为，
两点相遇时的位置所表示的数为：；
（3）解：设点P的运动速度为个单位/秒，运动时间为秒，
下面分情况讨论：
①点P向右运动，
有，，，
点F为线段的中点，
，
，
，整理得，解得，
即点P向右运动，且运动速度为个单位/秒；
②点P向左运动，
有，
，
，整理得，解得（不合题意，舍去），
综上所述，点P向右运动，且运动速度为个单位/秒．
17．（2024·浙江·七年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．
（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，.
【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置；
（2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值.
（3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值.
【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则，
由得，即
，，，即所以点P在线段AB的处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，
由可知，
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
， 综合上述，的值为或；
（3）②的值不变.
由点、运动5秒可得，
如图，当点M、N在点P同侧时，点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点停止运动时，，点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
所以②的值不变正确，.
【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.
18．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图①，已知线段，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且．
(1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)17或25(2)(3)不是定值，理由见解析．
【分析】本题主要考查了非负数的性质，线段的和差关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据非负数的性质求出m、n的值，分类讨论进行求解即可；
（2）根据线段和差关系进行计算即可．；
（3）先根据线段和差关系证明，再由即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
①当点C在点B的左侧时，
，
，
，
②当点C在点B的右侧时，
，
，
，
综上所述，的长为17或25．
（2）解：∵点M，N分别为线段的中点，
，．
∴；
（3）解：不是定值，说明如下：
点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，如图所示：
∴，
∵，
∴
，
∵点位值不确定，
∴长度不确定，
故不是定值．
19．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，在数轴上A，B，C三点分别表示的数是x，y，z．z是绝对值最小的整数，且x，y满足．(1)填空：______， ______，______；
(2)若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点C分别以每秒2个单位长度和1个单位长度的速度向左运动．假设t秒钟过后，若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请判断的值是否随着时间t的变化而变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由；
(3)如图，点D，E分别在点C的左右两侧，若点P，Q分别从点D，E处开始相向运动，在点C处相遇后，点P继续向点E处运动，点Q停止了14秒后再继续向点D处运动．点P，Q到达点E，D处立即折返，仍在C处相遇．已知点P每秒运动3个单位长度，点Q每秒运动4个单位长度，求点D与点E之间的距离．
【答案】(1)，1，0(2)的值不随着时间t的变化而变化，其值为1，理由见详解；
(3)点D与点E之间的距离为84个单位长度
【分析】（1）根据绝对值与偶次幂的非负性可进行求解；（2）由（1）可知：点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为1，点C在数轴上表示的数为0，则由题意可得：t秒钟过后，点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为，然后代入求解即可；
（3）设点P、Q第一次在点C相遇的时间为t，则有：，然后可得，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵，且，
∴，
∴，
∵z是绝对值最小的整数，
∴；
故答案为，1，0；
（2）解：的值不随着时间t的变化而变化，理由如下：
由（1）可知：点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为1，点C在数轴上表示的数为0，则由题意可得：t秒钟过后，点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为，
∴，
∴
；
（3）解：设点P、Q第一次在点C相遇的时间为t，则有：
，
∴第二次相遇时，点P从点C运动到点E后折返回点C处所需时间为，而点Q从点C运动到点D后折返回点C处所需时间为，
∵点Q停止了14秒后再继续向点D处运动，
∴，解得：，
∴，即点D与点E之间的距离为84个单位长度．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用及线段的和差问题，熟练掌握数轴上的动点问题、一元一次方程的应用及线段的和差问题是解题的关键．
20．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
(1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________．
(2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
【答案】(1)3(2)①当为或时，点是线段的三等分点；②的值为或或
【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键．（1）由，，可得出的长度；
（2）①点是线段的三等分点，分两种情况：或进行讨论求解即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴
故答案为：3；
（2）由题意可得：，
∴，
点是线段的三等分点，分两种情况：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：当为或时，点是线段的三等分点；
由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
点，点分别是，的三等分点，的值为或或．
21．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”．
(1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ．
(3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点．①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值．
【答案】(1)不是
(2)3或6或9或18
(3)或4或10；②或8或10或13
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差，
（1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答；
（2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可；
（3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可；
熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）假设点P是线段的中点，
∴，
∴线段的中点不是该线段的“倍距点”，
故答案为：不是；
（2）当点C在线段上时，，
若，则，
若，则；
当点C在线段延长线上时，，则，则
当点C在线段延长线上时，，则；
故答案为：3或6或9或18；
（3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点，
∴点C表示的数为11，
①由题意得，，
∴，
若点为的“倍距点”，
则或，
即，解得或10；
或，解得（负舍）；
综上，的值为或4或10；
②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，
∴，
∵点为的“倍距点”，
∴则或，
即或，
解得或8或10或13．
22．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为．
【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______；
(2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”）
【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置
(3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度；
(4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值
【答案】(1)(2)(3)(4)或
【分析】（1）根据线段之间的数量关系代入解答即可；
（2）根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题；
（3）由题意可知，点C表示的数是，设M点离O点近，且，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；（4）根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，；②点P在点C左侧，．
【详解】（1）解：由题意得，∴，
∵，∴；
（2）解：如图，∵，
当时，，，即点也是图1中线段的圆周率点，
与的数量关系是相等；故答案为：；
（3）解：由题意可知，点C表示的数是，
∵点M、N均为线段的圆周率点，不妨设M点离O点近，且，
∴，∴，解得：，
∴，∴；
（4）解：由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：，
当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，
①如图①，点P在点C左侧，
∵，，∴；
如图②，点P在点C左侧，
∵，∴，∴；
综上所述，t的值为或．
【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键．
23．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．
(1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可；
（2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可；
（3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果．
【详解】（1）解：当运动时间为时，，，
∵，∴，∴，
∵，∴；
（2）解：设运动时间为，则，，∴，，
∵，∴，∴
∵，∴，∴．
（3）解：∵，∴，，，
∵，∴点P在点O右边，
当点P在O、B之间时，∴，
∵，∴，∴，∴．
当点P在点B右边时，∵，，
∴，∴；综上，或．
【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果．
24．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点．
(1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______；
(2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离；
(3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？
【答案】(1)，(2)之间的距离(3)或时，等式成立
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点等知识．运动过程中用含的式子表达线段的长度是解决本题的关键．（1）用含式子表示，即可求解；
（2）由题意先求和，根据中点定义求出和，即可求得的距离；
（3）分两种情况：当点到达点之前时，当点到达点返回时，分别表示、，代入题中等式，即可求出时间．
【详解】（1）解：，，
又，，．
（2）如图， 点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为，
，，
又、是线段、的中点，，，
．
（3）当点到达点之前时，即时，
由题意得，，，，
又，，解得：；
当点到达点返回时，即时，
由题意得，，，
又，，解得：，
综上所述，当或时，等式成立．
25．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且．
(1)__________，__________；
(2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为．①求为何值，线段的长为；②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)16，8(2)①或或；②存在，
【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形．
（1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果；
（2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在上，N在上），此时即可列出方程求得，当M点返回时，点M在上，点N在上，此时，列出方程求得，
【详解】（1）解：，，故答案是：16，8；
（2）①当M、N第一次相遇时，，当M到达E点时，，
如图1，
当时，，∴，
如图2，
当时，，∴，
如图3，
当时，，∴，
综上所述：或或；
②如图4，
当时，由得，，∴，
如图5，
当时，，∴，此时不构成四边形，舍去
综上所述：．
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专题6.9 线段的双中点和双角平分线模型
线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查形式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1
考点2.线段上动点问题中的定值模型 4
考点3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 8
考点4.阅读理解型（新定义）模型 12
模块3：能力培优 15
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
考点1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型
例1．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒．
(1)的长为________个单位长度，的值为________；(2)当时，求点表示的数；
(3)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值．
例2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件：
①关于m、n的单项式与的和仍为单项式；②在运动过程中，总有．
(1)直接写出：_______，_______；(2)求出的值，并说明理由：(3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值．
例3．（23-24七年级上·天津和平·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M，B出发以的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）
(1)若，当点C、D运动了，求的值；(2)若点C、D运动时，总有，求的值；(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，直接写出的值．
考点2.线段上动点问题中的定值模型
例1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知线段，线段在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若(1)求线段的长．(2)若点M，N分别为线段的中点，且，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，则是一个定值，请加以说明．
例2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．
(1)直接写出木棒的长；(2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长；
(3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值．
例3．（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且
(1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
考点3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型
例1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）．
(1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值．
(3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？
(4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由．
例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为．
【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______．
【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点．
①点表示的数是______（用含的代数式表示）；
②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间；
③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由．
例3．（23-24七年级·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段上运动，当时，______；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
考点4.阅读理解型（新定义）模型
例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
（2）若，点是线段的巧点，则最长为______；
【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由．
例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作．
【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________；
若，，则_________．
(2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动．
①若点在上运动时，总有，求出的值；
②若，则当为何值时，；
③若时，，则___________．
例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…．
(1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ；
②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）；
(3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由．
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
①对应的数是；②点到达点时，；③时，；
④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化．
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
3．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变；
③的值不变； ④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
5．（23-24七年级上·四川广元·期末）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动(点B在点C的左侧)，且，下列结论：
①，； ②当点B与点O重合时，；③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，．
7．（23-24七年级上·广东·课后作业）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为 ．
8．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．
设运动时间为秒．
（1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ；
（3）点、相遇时， 秒．
9．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ．
10．（2024·江苏·无锡市七年级期中）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
11．（23-24七年级上·四川巴中·期末）如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是，，1，且点C为线段的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段的中点，P、Q为数轴上两个动点，点P从点B向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点D向左运动，速度为每秒3个单位长度，P、Q同时运动，运动时间为．有下列结论：①若点E表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点P是线段的中点；其中正确的有 ．(填序号)
12．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，点是线段上一点，这样，图中共有三条线段，，若其中一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“两倍分点”
（1）线段中点 （选填“是”或“不是”）这条线段的“两倍分点”；
（2）若，点从点开始，以每秒1个单位的速度沿射线运动，设运动时间为且．则 时，点是线段的“两倍分点”．
13．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）如图，点A，B，C在直线上，已知A，B两点间的距离为24个单位长度，点位于A，B两点之间，且到点的距离为15个单位长度，点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿直线向右运动，点的速度是3个单位长度，点的速度是1个单位长度，设运动时间为，在运动过程中，当点P，Q，C这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，满足条件的值为 ．
三、解答题（本大题共12小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：①A、B两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为___________；点Q表示的数为___________．
(2)求当t为何值时，；(3)当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为的三等分点且靠近于P点，求的值．
15．（23-24七年级上·浙江温州·期中）新定义学习：
【新知学习】若A，B，C是数轴上的三个点，如果点C到A的距离等于点C到B的距离，那么我们就称点C是的中点．例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是2，那么点C是的中点．
【知识运用】(1)如图2，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为，点F所表示的数为2，求的中点所表示的数，并说明理由．(2)如图3，若数所表示的点G是的中点，那么M表示的数为 ，N表示的数为 （只要写出符合条件的一对值即可）．
【知识拓展】(3)如图4，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．现有一只电子蜗牛P从点A出发，以1个单位每秒的速度向右运动；同时另一只电子蜗牛Q从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，若点M，N分别是和的中点，则在P，Q的运动过程中，当 秒时，M，N点到原点的距离相等（请直接写出答案）．
16．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图（1），已知A，B为数轴上的两点，点O表示原点，点A表示的数为．动点C从A出发做匀速运动，动点D从B出发做匀速运动．
(1)若动点C向右运动，动点D向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整．
时间（秒） 0 1 2
C点在数轴上的位置所表示的数 _____
D点在数轴上的位置所表示的数 _____ 3 2
(2)若点D先出发2秒后，点C开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数．(3)如图（2），若动点C，D以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点P以恒定速度和方向从点O出发运动．在运动过程中，如果点F为线段的中点，且，试求点P的运动方向和速度．
17．（2024·浙江·七年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．
（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
18．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图①，已知线段，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且．
(1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
19．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，在数轴上A，B，C三点分别表示的数是x，y，z．z是绝对值最小的整数，且x，y满足．(1)填空：______， ______，______；
(2)若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点C分别以每秒2个单位长度和1个单位长度的速度向左运动．假设t秒钟过后，若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请判断的值是否随着时间t的变化而变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由；
(3)如图，点D，E分别在点C的左右两侧，若点P，Q分别从点D，E处开始相向运动，在点C处相遇后，点P继续向点E处运动，点Q停止了14秒后再继续向点D处运动．点P，Q到达点E，D处立即折返，仍在C处相遇．已知点P每秒运动3个单位长度，点Q每秒运动4个单位长度，求点D与点E之间的距离．
20．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
(1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________．
(2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
21．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”．
(1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ．
(3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点．①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值．
22．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为．
【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______；
(2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”）
【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置
(3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度；
(4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值
23．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．
(1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值．
24．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点．
(1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______；
(2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离；
(3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？
25．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且．
(1)__________，__________；
(2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为．①求为何值，线段的长为；②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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