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专题6.11 角度中的动态模型
角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.旋转中的求值模型 2
考点2.旋转中的定值模型 4
考点3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 10
考点4.旋转中的分类讨论模型 14
模块3：能力培优 15
1、角度旋转模型解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②旋转角度取值范围。
2、常见的三角板旋转模型：
一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏起来。
3、钟表的相关问题
1）钟表的表面特点：钟表的表面一般都是一个圆形，共有12个大格，每个大格有5个小格，圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应30°角，每个小格对应6°角。表面一般有时针、分针、秒针三根指针。
2）钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每时转1大格，每12分转1小格，每12时转1个圆周；分针每5分转1大格，每 1分转1小格，每时转1个圆周；秒针每5秒转1大格，每1秒转1小格，每1分转1个圆周。
3）时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速，①钟表的时针转速为：30°/时或0.5°/ 分：②分针的转速为：6°/分或0.1/°秒；③秒针的转速为：6°/秒。
考点1.旋转中的求值模型
例1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于）
(1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°；
(2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）；(3)从图2的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数．
【答案】(1)100(2)，(3)
【分析】本题考查角的数量关系，数形结合是解答本题关键．（1）根据可得答案；（2）先分别表示出，，根据，求解即可；（3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可．
【详解】（1）∵，，∴，
∴；故答案为：100；
（2）如图，∵，，，
∴，，
∵，，
∴，；
（3）①当时，如图，
∵，∴，，
∵，，
∴；
②当时，如图，
∵，∴，，
∴．
综上所述：的度数为．
例2.（2024 浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）
【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分
【解析】（1），∵，∴
∵平分，，∴，∴
∴，解得：秒
（2）度 ∵，平分，∴
∴，∴解得：秒
（3）如图：∵，
由题可设为，为，∴
∵，，解得：秒
答：经过秒平分．
考点2.旋转中的定值模型
例1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．(1)当射线，重合时，______，(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______；
(3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部．
①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值；
②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围．
【答案】(1)(2)或或(3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：（1）直接根据角之间的关系进行求解即可；（2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可；（3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴当射线，重合时，，故答案为：；
（2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则；
如图2-2所示，当是的角平分线时，则；
如图2-3所示，当是的角平分线时，则；
综上所述，的度数为或或；
（3）解：①如图所示，∵，，
∴，
∴；
②度数不发生变化，为定值，理由如下：
∵，，∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴．
例2．（2023·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．
(1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分；
(3)如图④，当______时，恰好平分；
(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；
(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．
【答案】(1)4(2)7(3)10(4)(5)不变，，理由见解析；
【分析】（1）如图，由题意可得：，而，，
再证明，而，再建立方程求解即可；
（2）如图，证明，，再建立方程求解即可；
（3）如图，证明，，同理：，而，可得，从而可得答案；（4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案；（5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案．
【详解】（1）解：如图，由题意可得：，而，
∴，
∵平分，∴，而，∴，解得：；
（2）如图，∵，平分，∴，
∵，，∴，∴，解得：；
（3）如图，∵，恰好平分，∴，，
同理：，而，∴，解得：；
（4）如图，∵，，∴，
∵平分，∴，
∵，，∴，
∵平分，∴，
而，
∴．
（5）如图，∵，，∴，
∵平分，∴，
∵，，∴，
∵平分，∴，
而，
∴．
【点睛】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的含义，一元一次方程的应用，熟练的画出符合题意的图形，再利用数形结合的方法解题是关键．
例3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，．
(1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ；
(2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值；
(3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角）
【答案】(1)(2)3或(3)当时，；当时，
【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分．（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，在的右侧，因此，分在左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案．
【详解】（1）解：平分，
，故答案为：；
（2）
由题意知，当转到时，两条射线均停止运动
此时（秒）则停止转动时，
即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况：
①当在左侧时，
则由得，解得
②当在右侧时，
则由得，解得 综上，t的值为3或7.5；
（3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒）
由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置
①当时，如图1所示
此时，
则为定值
②当时，如图2所示
此时，
则不为定值
③当时，如图3所示
此时，
则为定值
④当时，如图4所示
此时，
则不为定值
综上，当或时，为定值．
考点3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）
例1．（23-24七年级上·上海·期末）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线．
(1)如图1，若，求的度数；(2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择 题．
．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为 ．
．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数．
【答案】(1)(2)选择A: ；选择B：∠EOF的度数是或
【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．
（1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案；
（2）．根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可；
．分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可．
【详解】（1）解：，，，
，分别是和的角平分线，
，，；
（2）解：选择题．，分别是和的角平分线，
，，
；故答案为：；
选择题．①射线，只有1个在外面，如图3①，
．
②射线，个都在外面，如图3②，
．
故的度数是或．
例2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上．
(1)在图1中， ；(2)如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系．
【答案】(1)；(2)或时与垂直；(3)
【分析】（1）本题考查有关角平分线的计算，根据得到，结合角平分线即可得到答案；（2）本题考查角度旋转问题，根据垂直列式求解即可得到答案；（3）本题考查角度旋转问题，设，分别表示出，，即可得到答案
【详解】（1）解：∵，∴，
∵平分，∴；
（2）解：由题意可得，
①当在之内时，由（1）得，，
∵，∴，即：，解得：，
②当旋转超过时，如图，
，
∵，∴，即：，解得：，
综上所述：或时与垂直；
（3）解：由题意可得，如图所示，
设，∵， ∴，
，∴．
例3．（23-24七年级上·河南周口·期末）特例感知（）如图，线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由；
知识迁移（）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，在内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，则__________；
②请你猜想，和三个角具有怎样的数量关系，并说明理由；
类比探究（）如图，在内部转动，若，，，，直接写出用含有的式子表示的度数．
【答案】（）线段的长度不会发生变化，理由见解析；
（）；，理由见解析；（）．
【分析】（）由线段中点得到，再根据线段的和差关系即可求解；（）由角平分线得到，再根据角的和差关系即可求解；．根据的方法即可求解；（）根据，代入已知条件即可求解；本题考查了线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：（）线段的长度不会发生变化，
∵、分别是的中点，，，，
，，，
，；
（）∵射线和射线分别平分和，
∴，，∴，
∵，，∴，
∴，∴，故答案为：；
，
理由：和分别平分和，，，
∴，
∵，∴，
∴，，，
即；
（），，，
，，，．
考点4.旋转中的分类讨论模型
例1．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”．
(1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由；(2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度；(3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由．
【答案】(1)是，理由见详解(2)9或6或12(3)或或，理由见详解
【分析】本题主要考查再新定义下线段的数量关系和角度之间的关系，以及一元一次方程的应用，
根据线段中的关系和“幸福点”的定义即可求得；分情况讨论点C的位置，结合“幸福点”定义找到对应关系计算即可；计算射线和射线移动过程中所形成的角，分情况讨论构成角的“幸福线”所在位置，找到对应关系计算即可；
【详解】（1）解：是，理由如下：∵点C为线段的中点，∴，∴，
则线段的中点是这条线段的“幸福点”；
（2）∵点C为线段的“幸福点”，，∴，或，或；
当，则；当，则，解得；
当，则，解得，那么；
综上所述，线段的长度9或6或12；
（3）根据题意得，，则，，
当重合时，，解得，∴射线与射线运动时间为，
∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，
∴，或，或，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”．
例2．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．
(1)如图2，若，则______，______；
(2)若射线是的角平分线，且．①旋转到图3的位置，的度数是多少？（用含的代数式表示）②在旋转过程中，若，则此时的值．
【答案】(1)；(2)；或
【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键．
（1）根据，以及角的和差计算即可；
（2）①先求，再利用得出结论；
②分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可．
【详解】（1）解：，∴，∵，∴，
∵，∴；
∵，，
∴；故答案为：；．
（2）解：①∵，，∴，
∵射线是的角平分线，∴，
∴，
∵，∴；故答案为：；
②当旋转到左侧时，如图所示：∵是的角平分线，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴；
当旋转到右侧时，如图所示：设，∵，∴，∵是的角平分线，∴，
∵，∴，解得：，∴，
∴；综上分析可知，的值为：或．故答案为：或．
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·江苏·七年级校考期中）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值．
【解析】解：分两种情况：
①如图平分时，，即，解得；
②如图平分时，，即，解得．
综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．故选：．
【点睛】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．
2．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：
①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得，所以平分，①正确；
②当时，设，∵平分，∴，
∴ ，，
∴，
当时，设，∵平分，∴，
∴，∴，
∴，∴，故②正确；
③时，时，时故③正确；
④当时，当时，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
3．（23-24七年级下·浙江金华·期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
【答案】或
【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①，②，根据两种情况分别讨论并计算即可．
【详解】解：∵，，是的两条三分线，
∴，
①当，如图，
如原图所示：，所以；
②当时，如图，
则，所以，．故答案为：或．
【点睛】本题考查角的运算，旋转的性质，能够熟练掌握分类讨论思想是解决本题的关键．
4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为 （用含的代数式表示）．
【答案】或
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，分在上方和下方两种情况解答：先求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可求解，根据题意，运用分类讨论思想进行解答是解题的关键．
【详解】解：当在上方时，如图，
∵，∴，，
∵平分，∴，
∴；
当在下方时，如图，∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴；
∴的度数为或，故答案为：或．
5．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．
【答案】或
【分析】分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒；
∴运动的时间相同；设运动时间为秒，则：，
∵，∴，
当时：，
∴，，∴，∴，
∴，即：；
当，在上方时：如图，，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
当，在下方时：如图2，，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
综上：与之间的数量关系为或；故答案为：或．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键．
6．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ．
①如果，那么；②是定值；③若变小，则变大；④.
【答案】①②③④
【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断．
【详解】解：，，
，，
，
即，即，
当，则，故①正确；
，，故②正确；
，若变小，则变大，故③正确；
，
，，故④正确；
综上所述，故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了角的有关计算；解题的关键是结合图形对角进行正确拆分、组合．
7．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ．
【答案】/12度
【分析】分两种情况讨论：当点E在直线上方时，当点E在直线下方时，用含x的式子分别表示出和，再由，建立关于x的方程，即可求解．
【详解】解：设，
当点E在直线上方时，则，
∵平分，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，解得：，即；
当点E在直线下方时，则，
∵平分，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，解得：，此时，
∴此情况不存在，舍去；故答案为：
【点睛】本题考查了角的计算，画出图形，分类讨论思想和方程思想是解决问题的关键．
8．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．
【答案】或
【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，分两种情况：当在外部时，当在内部时，分别计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，当在外部时，由题意可得：，
， ，
，，
平分，，
；
如图，当在内部时，由题意可得：，
，，
平分，，
；
综上所述：的度数为或，故答案为：或．
9．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点G为直线上一点，，将绕点G逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转；在旋转过程中，射线始终平分；当，三条射线中有一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，分平分和平分两种情况进行讨论求解即可．理清角度之间的和差关系，是解题的关键．
【详解】解：如图，当平分时：则：，
∵平分；∴，
∵，∴，∴，
∴的度数为；
当平分时，则：，
∵平分；∴，∴，
∴，∴；
综上：的度数为或；故答案为：或．
10．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图，已知，当绕着点旋转且在内部时， ．
【答案】/150度
【分析】本题主要考查了平面图形中角的计算，设，求出，，是解题的关键．
【详解】解：设，∵，
∴，，
∴．故答案为：．
11．（2023·广东·七年级专题练习）一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，， 度．
【答案】105
【分析】根据角平分线的性质分别求出，的值，计算即可．
【详解】解：如图1：∵，，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
即，∴；
如图2：∵，，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，即，
∴；∴；故答案为：105．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
12．（23-24七年级·江西南昌·期末）如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为 秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）
【答案】1或13或25
【分析】利用角平分线求出，，求出，，求出，由角平分线，求出，，再分平分，平分，平分三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴；
分情况讨论：①当平分时，
∵，∴，即：，
∴，∴；
②平分时，则：，∴，∴；
③当平分时：则：，∴，
∴点旋转的角度为：，∴；
综上：的值为：1或13或25．故答案为：1或13或25．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
13．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，．若在平面内绕点O旋转，分别作和平分线OP、OQ，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分三种情况画出图形求解即可．
【详解】设，，如图1，
∵OP、OQ分别是和平分线，∴，
∴，
∴；
如图2，∵，
∵OP、OQ分别是和平分线，∴，
∴
；
如图3，∵OP、OQ分别是和平分线，∴，
∴
；故答案为：或．
【点睛】本题考查了角平分线定义，线段的和差，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
14．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，在射线旋转一周的过程中，经过 秒，射线、射线所在的直线互相垂直．
【答案】或
【分析】设经过秒时，射线、射线所在的直线互相垂直，将线段，沿线段平移，使点与点重合且，；根据题意，则（为整数）时，，，，等量代换，则，解出，根据旋转一周，求出的取值范围，根据代入，确定的取值，即可．
【详解】如图，所示
设经过秒时，射线、射线所在的直线互相垂直，
将线段，沿线段平移，使点与点重合且，，
当（为整数）时，，
∵，∴，
∴（为整数），解得：，
∵射线旋转一周，∴，∴，∴（为整数），
∴（为整数），∴为，；当时，；当时，；
综上所述：经过或秒时，射线、射线所在的直线互相垂直．故答案为：或．
三、解答题（本大题共11小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，
【操作发现】如图①，且两个角重合．
（1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时平分_________；的余角有_________个（本身除外），分别是_________．
【实践探究】（2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线在内部，且请探究：
①的补角有_________个，分别是：__________________．②求的度数
理由如下：（请利用图中的字母和数字完成证明过程）
因为，所以_________，_________．
又因为，所以_________．
【答案】（1）；2；和（2）①3；、、；②15；30；120
【分析】（1）根据旋转的定义，余角的定义进行解答即可；
（2）①根据补角的定义进行解答即可；②根据角度之间的数量关系进行解答即可．
【详解】解：（1）∵将绕着顶点O顺时针旋转45，∴，
∵，∴，∴，∴平分；
∵，，
∴和是的余角，共2个；故答案为：；2；和．
（2）①∵，
∴，，，
∴，，，
∴的补角有3个，分别是：、、；
②∵，，∴，，
又∵，∴；
故答案为：①3；、、；②15；30；120
【点睛】本题考查旋转，余角、补角、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握余角和补角的定义．
16．（23-24七年级上·河南新乡·期末）操作：在一张白纸上画一条直线，把一块直角三角板的直角顶点放在直线上．
(1)如图（1），当点都在直线上方时，试判断与的度数之和是多少，并说明理由；(2)如图（2），把直角三角板绕点C旋转，使点A在直线的下方，点仍在直线的上方，用测量或分析的方法完成下表，并判断与的数量关系．结论：______；
的度数 的度数 与的差
(3)如图（3），继续把直角三角板绕点C旋转，使点A和点B都在直线的下方，你发现与又有什么样的数量关系呢？请直接写出结论：______．
【答案】(1)，理由见解析(2)表格见解析(3)
【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，三角板中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握各个角之间的数量关系．（1）根据进行解答即可；（2）根据图形，求出，然后根据平角再求出即可；（3）根据，，进行解答即可．
【详解】（1）解：∵，∴，即．
（2）解：∵，，∴，
∴，∴；
∵，，∴，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴．
的度数 的度数 与的差
（3）解：∵，∴，
∴
，故答案为：．
17．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边，上的点，线段，分别以，的速度同时绕点O逆时针旋转．
(1)如图①若，当、逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值；(2)如图②，若分别在内部旋转时，总有，求的值；(3)如图③，C是线段上一点，点M从点A出发沿线段向点C运动，同时点N从点C出发沿线段向点B运动，M，N两点的速度比是．若运动过程中始终有，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题主要考查了角的和差，线段的和差，旋转的性质，对于（1），根据旋转可知，，再表示，然后根据的度数，可得答案；对于（2），设旋转时间是ts，并表示，即可得出，最后代入可得结论；对于（3），根据题意可得，再根据，可得，然后代入得出答案．
【详解】（1）∵线段分别以每秒，的速度绕点O旋转2s，
∴，，∴，
∴．
∵，∴；
（2）设旋转时间是ts，则，
∵，∴，则，
∴；
（3）∵M，N两点的速度之比是，∴．
∵，∴，∴，∴．
18．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备：
如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟．
解决问题：如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动．
（1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度．
（2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．
【答案】（1）18厘米/分钟；（2）7厘米/分钟
【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可；（2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟，
∴点P的运动时间为：分钟．
∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，
∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米，
∴点Q的速度为厘米/分钟；
（2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了，
∴此时点P的运动时间为：分钟．
∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，∴点O的路程为厘米．
∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，
∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米，
∴点Q的速度为厘米/分钟．
【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间．
19．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）钟面上的数学
基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常
[简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知：
（1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °：
[初步研究]（2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻：
①当时， ；②当时， ；
（3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ．
[深入思考]（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）．
①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ；
②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻．
【答案】（1）；6；（2）答案不唯一；②答不唯一案；（3）；（4）①2点分；2点分；②2点6分和2点分，2点分
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角．（1）根据1小时分解答即可；（2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可；（3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，据时针和分针的速度即可求解；（4）①设此时对应的时刻是2点x分，根据时针和分针转动的角度相同即可求解；②令时针所在直线为，分针所在直线为，分两种情况求解即可．
【详解】解：（1）∵时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．
∴时针每分钟转动，分针每分钟转动，故答案为：；6；
（2）①某个时刻的钟面角α为，可为或，②某个时刻的钟面角α为，可为，
故答案为：①或；②；
（3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，则时针转动的角度是，分针转动的角度是，
此时钟面角，
∵，∴，故答案为：；
（4）①时针恰好与分针重叠：设此时对应的时刻是2点x分，根据题意得，
，解得，，∴这一时刻是2点分，故答案为：2点分；
时针恰好与分针垂直：设此时对应的时刻是2点y分，则有：
或，解得：或，
∵时为3点整，不合题意，舍去，∴此时对应的时刻是2点分；
②令时针所在直线为，分针所在直线为，设此时对应的时刻是2点m分，为和角平分线时：，解得：；
为和角平分线时：，解得：；
为时针，为分针，平分时：，，
∵平分，∴，∴，解得：，
答：当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻在2点6分和2点分，2点分．
20．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角：，，，若其中有一个角的角度是另一个角的两倍，则称射线为的“倍分线”．
(1)若射线是的角平分线，则射线________（填“是”或“不是”）的“倍分线”；
(2)如图②，若，射线为的“倍分线”，求；
(3)若，射线从射线的位置开始，绕点逆时针以每秒的速度向射线运动，当射线到达射线时停止运动，运动的时间为秒，同时射线从射线的位置开始以每秒的速度向射线运动，如图③所示，并与射线同时停止，则当经过多少秒时，射线是的“倍分线”．
【答案】(1)是；(2)或或；(3)或或秒
【分析】本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，正确理解“倍分线”的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论．（1）根据“倍分线”的定义分析即可；（2）分三种情况讨论：当时；当时；时，利用“倍分线”的定义分别求解即可；（3）由题意可知，，，，分三种情况讨论：当时；当时；当时，利用“倍分线”的定义分别求解即可．
【详解】（1）解：射线是的角平分线，
，射线为的“倍分线”，故答案为：是；
（2）解： ①如图1，当时，；
②如图2，当时，，；
③如图3，时，，
，，综上可知，的度数为或或；
（3）解：由题意可知，，，，
①当时，此时，
则，解得：；
②当时，则，解得：，
③当时，此时，
则，解得：；
综上可知，当经过或或秒时，射线是的“倍分线”．
21．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，以相同的速度从出发，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，都停止运动．
(1)猜想：__________，并说明理由；
(2)已知射线始终平分，射线在内，且满足与互余．
①当秒时，__________；
②在运动过程中，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)180，理由见解析(2)①60；②，理由见解析
【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，余角的定义：
（1）根据题意可得，再由，即可求解；
（2）①根据题意可得，再由余角的定义，即可求解；②根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，再由余角的定义，可得，然后分别求出与的度数，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
根据题意得：，∵，∴；故答案为：180
（2）解：①当秒时，，
∵与互余，∴；故答案为：60
②，理由如下：如图，
根据题意得：，∵射线始终平分∴，
∵与互余，∴，∴，
∴，∴．
22．（23-24七年级上·浙江台州·期末）定义：当射线在内部，时，我们称为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则．
(1)如图1，射线在内部，若，则_________；若，则__________；(2)如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为秒．①若射线，的运动速度均为每秒，试用含的式子表示和，并直接写出它们的数量关系；②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当为何值时，
(3)如图3，在钟面内有三条射线，和，分别指向12点，4点，8点．射线，同时从射线开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，同时到射线停止旋转．设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示．
【答案】(1)，(2)①；②的值为3或7(3)
【分析】（1）根据角值的定义进行代数运算，即可作答．（2）①根据运动时间为秒和射线，的运动速度均为每秒，即可作答；②射线，的运动速度分别为每秒和，先用含的代数式表达和，再代入，计算化简求值，即可作答．
（3）根据三条射线，和的起点和运动方向，列出含的代数式，结合和射线运动到的内部这两个条件，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，∵射线在内部，若，则；
∵，∴；
（2）解：①由题意可知，．
，，．
，，
．．
②运动到时，，停止运动，，．
当时，，，．
，若，则，解得．
当时，，，
同理可由，解得．综上，的值为3或7．
（3）解：由射线所对应的时间可知．
，同时到射线停止旋转，的速度是的2倍，，
，，．
当射线运动到内部时，，，
．
【点睛】本题以新定义的形式考查角的运动型问题，涉及到列代数式，新定义以及角的运算，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题中的新定义，能根据射线运动过程中角度的变化进行适当的分类讨论．
23．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知，射线从位置出发，以每秒的速度顺时针向射线旋转；与此同时，射线以每秒的速度，从位置出发逆时针向射线旋转，到达射线后又以同样的速度顺时针返回，当射线返回并与射线重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．(1)当时，求的度数；(2)若，当时，求的值；(3)在旋转过程中，是否存在t的值，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)10或20(3)存在，或或
【分析】（1）当时，得到，利用求出结果即可；（2）分两种情况：①当OP与OQ第一次相遇前；②当OP与OQ第一次相遇后，分别列出等量关系式求解即可；（3）分三种情况：①当OP与OQ第一次相遇前；②当OP与OQ第一次相遇前后，但OQ未到达OA前；③当OQ到OA后返回与OP第二次相遇前，分别列出等量关系式求解即可．
【详解】（1）∵，，∴；
（2）∵度，度，
①当OP与OQ第一次相遇前，，解得，
②当OP与OQ第一次相遇后，，解得，
∴当或时，；
（3）①当OP与OQ第一次相遇前，
∵度，度，度，度，
∴，解得．
②当OP与OQ第一次相遇后，但OQ未到达OA前，
∵度，度，度，度，
∴解得，
③当OQ到OA后返回与OP第二次相遇前，
∵度，度，度，
∴，解得，综上所述，当或或时，．
【点睛】本题考查角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间方程．
24．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从一个角（小于）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若，则是的“三分角”．
(1)如图1，已知，，是的“三分角”，求的度数．
(2)如图2，已知，是的平分线，射线从出发，绕点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当是的“三分角”时，求t的值．
【答案】(1)；(2)秒或秒．
【分析】（1）根据“三分角”的定义及角的和差关系，列式计算即可求解；
（2）分两种情况讨论，当和时，计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵是的“三分角”，∴，∴，∴；
（2）解：∵，是的平分线，∴，
∵是的“三分角”，∴，
分两种情况讨论，当，此时秒；
当，此时秒；综上，t的值为秒或秒．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，“三分角”的定义，掌握新定义是解题的关键．
25．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在直线上取一点O，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点O逆时针转动，当与第一次重合时停止．
(1)如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数；
(2)如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由；(3)如图2，当时，若直角三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 秒．（直接写出结果）
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)25.2或54
【分析】（1）因为和互余，，可得，所以，已知，可得的度数；（2），因为，所以，即，可得与的数量关系；（3）分在直线上方、不在直线上方两种情况讨论．
【详解】（1）解：和互余，，
，，，，
，，；
（2）解：，，，，
，；
（3）解：设旋转的时间为秒，①在直线上方时，，，
，，
，，解得：，
，，，，
，，解得：，
②不在直线上方时，，，，，
，，解得：，故答案为：25.2或54．
【点睛】本题考查角的计算，解一元一次方程，两个角互余，两个角互补，解题关键是注意分类讨论．
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专题6.11 角度中的动态模型
角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.旋转中的求值模型 2
考点2.旋转中的定值模型 4
考点3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系） 10
考点4.旋转中的分类讨论模型 14
模块3：能力培优 15
1、角度旋转模型解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②旋转角度取值范围。
2、常见的三角板旋转模型：
一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏起来。
3、钟表的相关问题
1）钟表的表面特点：钟表的表面一般都是一个圆形，共有12个大格，每个大格有5个小格，圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应30°角，每个小格对应6°角。表面一般有时针、分针、秒针三根指针。
2）钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每时转1大格，每12分转1小格，每12时转1个圆周；分针每5分转1大格，每 1分转1小格，每时转1个圆周；秒针每5秒转1大格，每1秒转1小格，每1分转1个圆周。
3）时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速，①钟表的时针转速为：30°/时或0.5°/ 分：②分针的转速为：6°/分或0.1/°秒；③秒针的转速为：6°/秒。
考点1.旋转中的求值模型
例1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于）
(1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°；
(2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）；(3)从图2的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数．
例2.（2024 浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）
考点2.旋转中的定值模型
例1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．(1)当射线，重合时，______，(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______；
(3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部．
①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值；
②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围．
例2．（2023·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．
(1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分；
(3)如图④，当______时，恰好平分；
(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；
(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．
例3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，．
(1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ；
(2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值；(3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角）。
考点3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）
例1．（23-24七年级上·上海·期末）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线．
(1)如图1，若，求的度数；(2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择 题．
．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为 ．
．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数．
例2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上．
(1)在图1中， ；(2)如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系．
例3．（23-24七年级上·河南周口·期末）特例感知（）如图，线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），分别是的中点．在线段运动的过程中，线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由；
知识迁移（）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，在内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，则__________；
②请你猜想，和三个角具有怎样的数量关系，并说明理由；
类比探究（）如图，在内部转动，若，，，，直接写出用含有的式子表示的度数．
考点4.旋转中的分类讨论模型
例1．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”．
(1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由；(2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度；(3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由．
例2．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．
(1)如图2，若，则______，______；
(2)若射线是的角平分线，且．①旋转到图3的位置，的度数是多少？（用含的代数式表示）②在旋转过程中，若，则此时的值．
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·江苏·七年级校考期中）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：
①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
3．（23-24七年级下·浙江金华·期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为 （用含的代数式表示）．
5．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．
6．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ．
①如果，那么；②是定值；③若变小，则变大；④.
7．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ．
8．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．
9．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点G为直线上一点，，将绕点G逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转；在旋转过程中，射线始终平分；当，三条射线中有一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，的度数为 ．
10．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图，已知，当绕着点旋转且在内部时， ．
11．（2023·广东·七年级专题练习）一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，， 度．
0
12．（23-24七年级·江西南昌·期末）如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为 秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）
13．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，．若在平面内绕点O旋转，分别作和平分线OP、OQ，则的度数为 ．
14．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，在射线旋转一周的过程中，经过 秒，射线、射线所在的直线互相垂直．
三、解答题（本大题共11小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，
【操作发现】如图①，且两个角重合．
（1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时平分_________；的余角有_________个（本身除外），分别是_________．
【实践探究】（2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线在内部，且请探究：
①的补角有_________个，分别是：__________________．②求的度数
理由如下：（请利用图中的字母和数字完成证明过程）
因为，所以_________，_________．
又因为，所以_________．
16．（23-24七年级上·河南新乡·期末）操作：在一张白纸上画一条直线，把一块直角三角板的直角顶点放在直线上．
(1)如图（1），当点都在直线上方时，试判断与的度数之和是多少，并说明理由；(2)如图（2），把直角三角板绕点C旋转，使点A在直线的下方，点仍在直线的上方，用测量或分析的方法完成下表，并判断与的数量关系．结论：______；
的度数 的度数 与的差
(3)如图（3），继续把直角三角板绕点C旋转，使点A和点B都在直线的下方，你发现与又有什么样的数量关系呢？请直接写出结论：______．
17．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边，上的点，线段，分别以，的速度同时绕点O逆时针旋转．
(1)如图①若，当、逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值；(2)如图②，若分别在内部旋转时，总有，求的值；(3)如图③，C是线段上一点，点M从点A出发沿线段向点C运动，同时点N从点C出发沿线段向点B运动，M，N两点的速度比是．若运动过程中始终有，求的值．
18．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备：
如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟．
解决问题：如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动．
（1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度．
（2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．
19．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）钟面上的数学
基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常
[简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知：
（1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °：
[初步研究]（2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻：
①当时， ；②当时， ；
（3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ．
[深入思考]（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）．
①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ；
②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻．
20．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角：，，，若其中有一个角的角度是另一个角的两倍，则称射线为的“倍分线”．
(1)若射线是的角平分线，则射线________（填“是”或“不是”）的“倍分线”；
(2)如图②，若，射线为的“倍分线”，求；
(3)若，射线从射线的位置开始，绕点逆时针以每秒的速度向射线运动，当射线到达射线时停止运动，运动的时间为秒，同时射线从射线的位置开始以每秒的速度向射线运动，如图③所示，并与射线同时停止，则当经过多少秒时，射线是的“倍分线”．
21．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，以相同的速度从出发，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，都停止运动．
(1)猜想：__________，并说明理由；
(2)已知射线始终平分，射线在内，且满足与互余．
①当秒时，__________；
②在运动过程中，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
22．（23-24七年级上·浙江台州·期末）定义：当射线在内部，时，我们称为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则．
(1)如图1，射线在内部，若，则_________；若，则__________；(2)如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为秒．①若射线，的运动速度均为每秒，试用含的式子表示和，并直接写出它们的数量关系；②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当为何值时，
(3)如图3，在钟面内有三条射线，和，分别指向12点，4点，8点．射线，同时从射线开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，同时到射线停止旋转．设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示．
23．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知，射线从位置出发，以每秒的速度顺时针向射线旋转；与此同时，射线以每秒的速度，从位置出发逆时针向射线旋转，到达射线后又以同样的速度顺时针返回，当射线返回并与射线重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．(1)当时，求的度数；(2)若，当时，求的值；(3)在旋转过程中，是否存在t的值，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从一个角（小于）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若，则是的“三分角”．
(1)如图1，已知，，是的“三分角”，求的度数．
(2)如图2，已知，是的平分线，射线从出发，绕点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当是的“三分角”时，求t的值．
25．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在直线上取一点O，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点O逆时针转动，当与第一次重合时停止．
(1)如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数；
(2)如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由；(3)如图2，当时，若直角三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 秒．（直接写出结果）
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