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第3章 圆的基本性质 真题突破单元检测
一、选择题
1．同一平面内， 一个点到圆的最小距离为 ， 最大距离为 ， 则该圆的半径为 （ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
2．已知 的半径为5cm，点 在 外，则 的长（ ）
A．大于 B．不大于 C．小于 D．不小于
3．如图，已知OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．如图， 是 的直径，弦 于点M， ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
5．①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 ；从上述4个命题中任取一个，是真命题的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
6．一块圆形宣传标志牌如图所示，点 ， ， 在 上， 垂直平分 于点 ，现测得 ， ，则圆形标志牌的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠BDC＝20°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20° B．50° C．70° D．80°
8．在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确是（ ）
A．AE＝BE B． C．CE＝EO D．
9．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝4，则 的长为（ ）
A． B． C． D．2π
10．如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11． 已知的一条弦AB的长等于半径，则此弦所对的圆周角的度数为 ．
12．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为 ．
13．如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB=8，CD=2，则⊙O的半径长为 ．
14．如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 ．
15．如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为 .
三、综合题
17．如图，已知 、 是 的直径，弦 于 ．
（1）若 cm， cm，求 的半径；
（2）若 ，求 的度数．
18．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）.
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1.
（2）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）直接写出直线A2C2的解析式.
19．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求弦BC的长；
（2）求弦BD的长；
（3）求CD的长．
20．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型. 已知这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米.
（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度.
21．某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图.已知半径 ， ， .（计算结果保留 ）
（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？
（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）.
22．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C.
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若 是等腰三角形，设底边 ，腰 ，求圆片的半径R.
23．如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D.点E是圆上一点，且，连接交于点F.
（1）求证：
（2）当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数.
（3）探究线段、、之间的数量关系，并证明.
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第3章 圆的基本性质 真题突破单元检测
一、选择题
1．同一平面内， 一个点到圆的最小距离为 ， 最大距离为 ， 则该圆的半径为 （ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】【解答】解：分为两种情况：
①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为8cm，则直径是14cm，因而半径是7cm；
②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为8cm，则直径是2cm，因而半径是1cm.
故答案为：C.
【分析】①当点P在圆内时，直径是14cm，据此可得半径；②当点P在圆外时，直径是2cm，据此可得半径.
2．已知 的半径为5cm，点 在 外，则 的长（ ）
A．大于 B．不大于 C．小于 D．不小于
【答案】A
【解析】【解答】解：设点P与圆心O的距离为d，
∵点P在 外，
∴d＞r，
∵r＝5cm，
∴d＞r，
即：OP＞5cm.
故答案为：A.
【分析】若圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当dr时，点在圆外，据此即可得出答案.
3．如图，已知OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵OA=OB=OC，∴A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上．
作⊙O．
∵ ∠ACB和∠AOB是同弧 所对的圆周角和圆心角，且∠ACB=30°，
∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得∠AOB=60°．
故答案为：C．
【分析】根据OA=OB=OC，可得A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上，再利用圆周角的性质求解即可。
4．如图， 是 的直径，弦 于点M， ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，
∴CM= =4，
∴CD=8．
故答案为：C．
【分析】先求出直径AB的长，再求出半径CO=AO=5，结合AM=2，即可得到OM=3，最后利用勾股定理求出CM的长，最后利用垂径定理可得CD=2CM。
5．①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 ；从上述4个命题中任取一个，是真命题的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误，是假命题；
②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误，是假命题；
③在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③正确，是真命题；
④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为，所以④错误，是假命题．
其中真命题有1个，所以是真命题的概率是：.
故答案为：D.
【分析】根据确定圆的条件可判断①；平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，据此判断②；根据弦、圆心角的关系可判断③；根据弧长公式可判断④，接下来找出真命题的个数，然后利用概率公式进行计算.
6．一块圆形宣传标志牌如图所示，点 ， ， 在 上， 垂直平分 于点 ，现测得 ， ，则圆形标志牌的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连结 ， ，如图，设半径为 ，
∵ ， ，
∴ ，点 、 、 三点共线，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
即 ，
解得 .
故答案为：B.
【分析】连接OD、OA，设半径为r，则OD=r-2，由垂径定理可得AD=4，然后在Rt△ADO中，由勾股定理求解即可.
7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠BDC＝20°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20° B．50° C．70° D．80°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠BDC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠A＝∠BDC＝20°，然后根据余角的性质进行求解.
8．在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确是（ ）
A．AE＝BE B． C．CE＝EO D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据垂径定理可得A、B、D三个选项都是正确的.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理结合弦、弧的关系进行判断.
9．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝4，则 的长为（ ）
A． B． C． D．2π
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，∠CAO＝60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵∠AOB＝140°，
∴∠COB＝80°，
∵OA＝4，
∴ 的长＝ ＝ π，
故答案为：C．
【分析】先求出∠AOC＝60°，再求出∠COB＝80°，最后利用弧长公式计算求解即可。
10．如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由于是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可
作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则
， ，此时为最小值
连接，
平分，，
，
在中，，
，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称的性质，确定当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可．
二、填空题
11． 已知的一条弦AB的长等于半径，则此弦所对的圆周角的度数为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：如图，
易知OA=OB=OC，故△AOB为等边三角形，故∠AOB=60°，当C在优弧上时，∠ACB=30°，当点C在劣弧上时，∠ACB=150 °
故答案为：30°或150°.
【分析】由弦长等于半径，即知△AOB为等边三角形，分C在优弧与劣弧上时，分别得∠ACB的度数.
12．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=CD，∠OBD= ∠ABC=30°，
∴OA=OB=2OD=2，
∴AD=3，BD= ，
∴AB= =2 ，
∴BC=2 ，
∴△ABC的面积= BC AD= ×2 ×3=3 ；
故答案为：3 ．
【分析】作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD= ∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积= BC AD，即可得出结果．
13．如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB=8，CD=2，则⊙O的半径长为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵⊙O的弦AB=8，半径OD⊥AB，
∴AC= AB= ×8=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r﹣CD=r﹣2，连接OA，
在Rt△OAC中，
OA2=OC2+AC2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5．
故答案为：5．
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，再连接OA，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值即可．
14．如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 ．
【答案】点N
【解析】【解答】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；
故答案为点N．
【分析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．
15．如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π
【解析】【解答】解：∵半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，
∴S半圆AB=S半圆A′B，∠ABA′=45°，
∴S阴影部分+S半圆AB=S半圆A′B，+S扇形ABA′，
∴S阴影部分=S扇形ABA′= =2π．
故答案为2π．
【分析】根据旋转的性质得S半圆AB=S半圆A′B，∠ABA′=45°，由于S阴影部分+S半圆AB=S半圆A′B，+S扇形ABA′，则S阴影部分=S扇形ABA′，然后根据扇形面积公式求解．
16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H.
∵AQ=QP
∴OQ⊥PA
∴∠AQO=90°
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在 中，∵∠COH=60°，OC=1
∴OH= ，
在 中，
∴CQ的最大值为 .
故答案为： .
【分析】连接OQ，作CH⊥AB于H，首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.
三、综合题
17．如图，已知 、 是 的直径，弦 于 ．
（1）若 cm， cm，求 的半径；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）解：设半径为r
∵弦 ，
∴
∵
∴
在△DOE中，
∴
解得
即 的半径为10cm．
（2）解：连接BD
∵ 是 的直径
∴
∴
∵弦
∴
∴
∵
∴
∴
【解析】【分析】（1）由垂径定理求出DE的长，运用勾股定理列出关于OD的方程求解即可；
（2）连接BD，根据圆周角定理可以得到，，再结合即可得到，再计算即可。
18．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）.
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1.
（2）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）直接写出直线A2C2的解析式.
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）解： .
【解析】【解答】解：（3）由（2）可得， ，
设直线A2C2的解析式为y=kx+b，
将 代入y=kx+b，得： ，
解得： ，
∴ .
【分析】（1）根据平移的规律找出点A、B、C向左平移4个单位长度后的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转90°的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接；
（3）由图形可得A2（1，-1），C2（3，-2），设直线A2C2的解析式为y=kx+b，将A2、C2代入求出k、b，据此可得直线解析式.
19．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求弦BC的长；
（2）求弦BD的长；
（3）求CD的长．
【答案】（1）解：是的直径，
，
在中，
，
（2）解：是的直径，
，
∠ACB的平分线交⊙O于点D，
是等腰直角三角形，
（3）解：如图，作于H，
是的直径，
，
∠ACB的平分线交⊙O于点D，
是等腰直角三角形，
在中
【解析】【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，再利用勾股定理求出BC的长即可；
（2）由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，由角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD，从而得出AD=BD，即得△ABD是等腰直角三角形，从而求出BD=AB，继而得解；
（3） 作于H， 可求△BCH是等腰直角三角形，可得BH=CH=BC=4，再利用勾股定理求出DH的长，利用CD=DH+DH即可得解.
20．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型. 已知这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米.
（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度.
【答案】（1）解：抛物线的解析式为y=ax2+c，
又∵抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0），
∴0=256a+8，a=- .
∴抛物线的解析式为y=- x2+8（-16≤x≤16）；
（2）解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，
设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2
∴R2=（R-8）2+162，解得R=20；
（3）解：①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x=OE=16-4=12，
EF=y=3.5米；
②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH=D E′=16-4=12，O F′=R=20，
在Rt△OH F′中，H F′= ，
∵HE′=OD=OC-CD=20-8=12，E′F′=HF′-HE′=16-12=4（米）
∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米.
【解析】【分析】（1） 设抛物线的解析式为y=ax2+c， 将点B、C的坐标代入求出a、c值即可；
（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R， 由勾股定理知OB2=OD2+DB2 ，据此建立关于R的方程，求出R值即可；
（3） 在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x=OE=16-4=12，EF=y=3.5米；在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，OH⊥F′E′于H，则OH=D E′=16-4=12，O F′=R=20，由勾股定理求出HF'，先求出HE′=OD=OC-CD，再利用E′F′=HF′-HE′求出E'F'即可.
21．某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图.已知半径 ， ， .（计算结果保留 ）
（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？
（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）.
【答案】（1）解：优弧 的长为 cm，
优弧 的长为 cm，
至少需要花边的长度为 ；
（2）解：灯罩的侧面积为：
.
【解析】【分析】(1)直接根据弧长公式，求出 优弧 ， 优弧 的长即可.
(2)直接根据扇形面积公式计算即可.
22．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C.
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若 是等腰三角形，设底边 ，腰 ，求圆片的半径R.
【答案】（1）解：如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交于点O，点O即为所求的圆心
（2）解：连接AO，OB，BC
∵BC=8cm，
∴BD=4cm，
∵AB=5cm，
∴AD= =3cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-3）cm，
∴R2=42+（R-3）2，
解得：R= ，
∴圆片的半径R为 .
【解析】【分析】（1）分别作弦AB和AC的垂直平分线，交于点O，点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC ，BC交OA于点D，根据垂径定理和勾股定理可得AD的长度，故可得OD的长度，根据勾股定理可得OB的长度.
23．如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D.点E是圆上一点，且，连接交于点F.
（1）求证：
（2）当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数.
（3）探究线段、、之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）证明：连接PE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠PEB＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠PEB，
∵ ，
∴∠PBD＝∠PBE，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△EBP（AAS），
∴AB＝EB，
∴EB＝BC；
（2）解：当点P运动时，∠BFD的度数不会变化，
∵ ，
∴∠DEP＝∠EBP，
∵∠BFD＝∠EBP＋∠DEB，
∴∠BFD＝∠DEP＋∠DEB
＝∠PEB
＝60°，
∴∠BFD的度数为60°；
（3）解： ，理由如下：
延长 交于点J，
，
，
，
是等边三角形，
，
在 和 中，
， ，
，
连接 ，
四边形 是圆的内接四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
即 .
【解析】【分析】（1）连接PE，由等边三角形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，由圆周角定理可得∠PEB＝∠ACB＝60°，∠PBD＝∠PBE，利用AAS证明△ABP≌△EBP，得到AB＝EB，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠DEP＝∠EBP，由外角的性质可得∠BFD＝∠EBP＋∠DEB，则∠BFD＝∠DEP＋∠DEB=∠PEB，据此解答；
（3）延长CE、BP交于点J，由圆内接四边形的性质可得∠ABC+∠CED=180°，结合邻补角的性质可得∠JEF=∠ABC=60°，推出△JEF是等边三角形，EF=JE，根据对顶角的性质结合内角和定理可得∠JCP=∠PBA，连接PD，由圆内接四边形的性质可得∠PCB+∠PDB=180°，结合邻补角的性质可得∠ADP=∠PCB=60°，推出△ADP是等边三角形，的搭配AD=AP，结合线段的和差关系可得PC=DB，利用AAS证明△JPC≌△FDB，得到BF=JC，据此证明.
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