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第4章 相似三角形 专题突破仿真测试卷
一、选择题
1．下列各组线段中，线段a，b，c，d成比例线段的是（ ）
A．a=1，b=2，c=4，d=8 B．a=2，b=1，c=4，d=8
C．a=1，b=2，c=8，d=4 D．a=1，b=4，c=8，d=2
2．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
3．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD=2，DF=4，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
4．根据圆规的作图痕迹，只用无刻度的直尺就可以找到三角形重心的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已 ABC和 ADE均是等边三角形，点D在边BC上，DE与AC相交于点F，若AB=6，AD=5，CD=4，则EF=（ ）
A． B． C． D．
6．若3m=4n(mn≠0)，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点 是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ， 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积， ： 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 ABCD中，∠ABC的角平分线交AC于点F，交AD于点E，若DE= AB．则 =（ ）
A． B． C． D．
9．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C在弦AB上，且AC＝6，过点C作CD⊥AB交OB于点D，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
10．如图，在平面直角坐标系中，点、都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，作轴于点，连接、，并延长交轴于点若，的面积是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．与的相似比为2：3，则与的周长比为 .
12．已知 ，则 ＝ ．
13．如图，已知在四边形ABED中，点C是线段AB的中点，且∠A=∠B=∠DCE，BE=2，AD=8，那么AC= 。
14．如图，DA⊥AC，EB⊥AC， FC⊥AC，AB=2，AC=6，EF=5，那么DF= 。
15．如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，位似比，若，则 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E在AB边上，AE＝4，BE＝2，点F是AC上的一个动点．连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°并延长至其2倍，得到线段EG，当时，点G到CD的距离是 ．
三、综合题
17．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6 ，BC＝6，CE＝3．
（1）求CD的长；
（2）求证：△CDE∽△BDC．
18．图1、图2均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 的端点均在格点上，回答下列问题：
（1）在图1中， ， ；
（2）在图2中请用一把无刻度的尺子，画出线段 三等分点 ．（保留作图痕迹）
19．如图，在 ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC上一点，BD＝2，E、F分别是AB、AC边上的动点，且∠EDF＝∠B.
（1）找出图中与 BDE相似的三角形，并说明理由；
（2）是否存在这样的位置，使DE⊥EF？若存在，求出BE的长；若不存在，说明理由.
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+b经过点A(-1，0)，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y= (x>0)交于点C，且BC=2AB，BD∥x轴交反比例函数y= (x>0)于点D，连接AD。
（1）b= ，k= ；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y= (x>0)的图象于点F，且EF= BD，求m的值。
21．如图，圆内接四边形ABDC中，AB=AC=4，AD=5，E为弧CD的中点，AE交CD于点F，M为AD上一点，且AM=4．
（1）求证：∠DBM=∠DAF；
（2）求BD·DC的值．
22．如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.
（1）求证：△DCE∽△DBC；
（2）若CE= ，CD=2，求直径BC的长.
23．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
（1）当DE⊥BC时，求DE的长；
（2）当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
（3）如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
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第4章 相似三角形 专题突破仿真测试卷
一、选择题
1．下列各组线段中，线段a，b，c，d成比例线段的是（ ）
A．a=1，b=2，c=4，d=8 B．a=2，b=1，c=4，d=8
C．a=1，b=2，c=8，d=4 D．a=1，b=4，c=8，d=2
【答案】A
【解析】【解答】解：A 、∵1×8=2×4，∴成比例，故符合题意；
B、∵2×8≠1×4，∴不成比例，故不符合题意；
C、∵2×8≠1×4，∴不成比例，故不符合题意；
D、∵2×1≠4×4，∴不成比例，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】如果其中两条线段a、d的乘积等于另外两条线段b、c的乘积，则四条线段a、b、c、d成比例线段，据此逐项判断即可.
2．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
【答案】A
【解析】【解答】解：∵若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，
∴对应高的比为3：2 ，
故答案为：A
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可得到。
3．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD=2，DF=4，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】【解答】AB∥CD∥EF ，BD=2，DF=4，
故答案为：A．
【分析】先求出，再代入计算求解即可。
4．根据圆规的作图痕迹，只用无刻度的直尺就可以找到三角形重心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-65°-50°=65°，
∴∠C=∠B，
∴AC=AB，
∵三角形的重心是三角形三边中线的交点，
∴作出顶角A的角平分线和AC边的垂直平分线即可，
故A符合题意，B，C，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可证得AC=AB，可得到△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质，可知作出顶角A的角平分线和AC边的垂直平分线即可，观察各选项中的作图痕迹，可得答案.
5．如图，已 ABC和 ADE均是等边三角形，点D在边BC上，DE与AC相交于点F，若AB=6，AD=5，CD=4，则EF=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ABC和 ADE均是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠ADE=60°，DE= AD=5，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
∴△ABD∽△DCF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴EF=DE-DF= ，
故答案为：A．
【分析】先求出△ABD∽△DCF，再求出 ，最后计算求解即可。
6．若3m=4n(mn≠0)，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】A、 得， ，故本选项不符合题意；
B、由 得， ，故本选项符合题意；
C、由 得， ，故本选项不符合题意；
D、由 得， ，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据 3m=4n(mn≠0) 计算求解即可。
7．如图，点 是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ， 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积， ： 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设AB=1，
∴AE=，
∴BE=1-=，
∴S2=1×=，S3=×，
∴ ： =×：=.
故答案为：C.
【分析】设正方形ABCD的边长为1，根据黃金分割点的性质得到AE和BE的长，然后分别求出S2和S3的面积，再求比值，即可解答.
8．如图，在 ABCD中，∠ABC的角平分线交AC于点F，交AD于点E，若DE= AB．则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ABCD，
平分∠ABC，
DE= AB，
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据平行线的性质可得∠AEB=∠CBE，由角平分线的概念可得∠ABE=∠EBC，推AB=AE，结合已知条件可得 则 ，证明△AEF∽△CBF，然后根据相似三角形的性质进行求解.
9．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C在弦AB上，且AC＝6，过点C作CD⊥AB交OB于点D，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵OE⊥AB，AB＝8，
∴ ，
∵⊙O的半径为5，即OB=5，
∴ ，
∵AC＝6，
∴BC=AB-AC=2，
∵OE⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥OE，
∴△BCD∽△BEO，
∴ ，即 ，
解得： .
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得AE=BE=4，根据勾股定理求出OE，易得BC=AB-AC=2，证明△BCD∽△BEO，然后利用相似三角形的性质进行求解.
10．如图，在平面直角坐标系中，点、都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，作轴于点，连接、，并延长交轴于点若，的面积是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】根据题意，设 B的坐标为（m，）
即
故选：C
【分析】根据题意设B的坐标，根据已知三角形的面积列出等量关系式，三角形的高即是B的横坐标，可求出三角形的底CE的表达式，根据平行线平分线段成比例定理，由已知AB=2BC的关系式可推导出B的纵坐标和底边CE的比例关系，k值可求。
二、填空题
11．与的相似比为2：3，则与的周长比为 .
【答案】2：3
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为2∶3，∴△ABC与△DEF的周长之比等于2∶3.
故答案为：2∶3.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比可直接得出答案.
12．已知 ，则 ＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ = ．
故答案为： ．
【分析】先求出，再求出 = 即可作答。
13．如图，已知在四边形ABED中，点C是线段AB的中点，且∠A=∠B=∠DCE，BE=2，AD=8，那么AC= 。
【答案】4
【解析】【解答】解：∵∠B+∠BCE+∠BEC=180°，∠DCE+∠BCE+∠ACD=180°，∠B=∠DCE，
∴∠BEC=∠ACD，
∵∠A=∠B，
∴△ACD∽△BEC，
∴，
∴BC·AC=AD·BE，
∵ 点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
∴AC2=AD·BE=2×8=16，
∴AC=4.
【分析】先证出△ACD∽△BEC，得出，再根据线段中点的定义，得出AC=BC，从而得出AC2=AD·BE=16，即可求出AC的长.
14．如图，DA⊥AC，EB⊥AC， FC⊥AC，AB=2，AC=6，EF=5，那么DF= 。
【答案】
【解析】【解答】解：∵ AB=2，AC=6，
∴BC=6-2=4，
∵DA⊥AC，EB⊥AC， FC⊥AC，
∴DA∥BE∥FC，
∴，
∴，
∴DF=.
【分析】先求出BC的长，再根据平行线分线段成比例定理得出，代入数值进行计算，即可求出DF的长.
15．如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，位似比，若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴ ，即，
解得，DE＝4.5，
故答案为：4.5．
【分析】利用已知条件：△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，可得到AB∥DE，由此可推出△OAB∽△ODE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DE的长.
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E在AB边上，AE＝4，BE＝2，点F是AC上的一个动点．连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°并延长至其2倍，得到线段EG，当时，点G到CD的距离是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：如图1所示，过点G作NH∥AD分别交BA，CD延长线于 H，N，过点F作FM∥BC，交AB于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=∠HAD=∠ADC=∠AND=90°，
∴∠H=∠N=∠AMF=90°，
∴四边形HADH是矩形，，即，
∴HN=AD，
由旋转的性质可知∠GEF=90°，
∴∠HEG+∠NEF=90°，
又∵MEF+∠MFE=90°，
∴∠HEG=∠MFE，
∴△HEG∽△MFE，
∴，
∴，，
∵MF∥BC，
∴△AMF∽△ABC，
∴，，
∴，
∴，
∴，即点G到CD的距离为；
如图2所示，过点G作NH∥AD分别交直线BA，直线CD于 H，N，过点F作FM∥BC，交AB于M，
同理可求出，，
同理可证△AMF∽△ABC，
∴，，
∴，
∴，
∴，即点G到CD的距离为；
综上所述，点G到CD的距离为或．
【分析】分两种情况：①当线段EG在EA的右侧；②当线段EG在EA的左侧；根据旋转的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义分别求解即可.
三、综合题
17．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6 ，BC＝6，CE＝3．
（1）求CD的长；
（2）求证：△CDE∽△BDC．
【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°AB＝6 ，BC＝6，
∴AC＝ ＝12；
∴AE＝AC﹣CE＝9，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE；
∴ ，
∴CD＝ ＝ ＝2 ，
（2）证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，
∴BE＝ ＝3 ，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴ ，
∴DE＝ ，
∴BD＝4 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵∠D＝∠D，
∴△CDE∽△BDC．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理先求出AC=12，再证明 △CDE∽△ABE ，最后求解即可；
（2）先求出 BE＝ ＝3 ， 再利用相似三角形的性质与判定求解即可。
18．图1、图2均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 的端点均在格点上，回答下列问题：
（1）在图1中， ， ；
（2）在图2中请用一把无刻度的尺子，画出线段 三等分点 ．（保留作图痕迹）
【答案】（1）；3
（2）解：如图2所示
【解析】【解答】解：(1)如图1，
∵DF=4，AF=5，
∴ ；
∵AB//DC
∴∠BAE=∠CDE，
又∠BEA=∠CED，
∴△ABE∽△DCE，
∴
故答案为： ，3；
【分析】（1）j两∠DAB放在△ADF中，由图形可知DF=4，AF=5，利用锐角三角函数的定义可求出tan∠DAB的值；再由AB∥DC，易证△ABE∽△DCE，利用相似三角形的周长比等于相似比，可求出这两个三角形的周长比.
（2）利用平行线等分线段定理画出MN的三等分点.
19．如图，在 ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC上一点，BD＝2，E、F分别是AB、AC边上的动点，且∠EDF＝∠B.
（1）找出图中与 BDE相似的三角形，并说明理由；
（2）是否存在这样的位置，使DE⊥EF？若存在，求出BE的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：△BDE∽△CFD，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC=∠BED，
∴△BDE∽△CFD；
（2）解：存在.理由如下：
如图1，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH= BC= ×6=3，
∵∠DEF=∠AHB =90°，∠EDF＝∠B，
∴Rt△ABH∽Rt△FDE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵△DBE∽△FCD，
∴ ，
∵BD=2，
∴DC=BC-BD=6-2=4，
∴ ，
∴ ，
∴BE= ；
∴存在这样的位置，使DE⊥EF，此时BE= .
【解析】【分析】 （1）根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据三角形的外角性质及∠EDF=∠B可得∠FDC=∠BED，从而可判定△CFD∽△BDE；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，证明△ABH∽△FDE，得出DE：DF=3：5，再由△CFD∽△BDE得出比例式，代入相关线段的长计算即可．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+b经过点A(-1，0)，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y= (x>0)交于点C，且BC=2AB，BD∥x轴交反比例函数y= (x>0)于点D，连接AD。
（1）b= ，k= ；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y= (x>0)的图象于点F，且EF= BD，求m的值。
【答案】（1）3；18
（2）∵反比例函数的解析式为y=，点D的纵坐标为3，
∴点D的坐标为（6，3），
∴BD=6，
∴S△ABD=×6×3=9.
（3）EF=BD=×6=2，
设E(m ， 3m+3 ) ，
当0∵点F在反比例函数y=上，
∴( m+2）( 3m＋3 )=18，
解得，m1=-4(舍去），m2=1 ，
当m > 2时，点F的坐标为( m-2 ，3m+3 ) ，
∵点F在反比例函数y=上，
∴( m-2 )( 3m+3 )=18 ，
1+√33
解得，m3=(舍去），m4=，
综上所述，m的值为1或
【解析】【解答】 解：如图，过点C作CN⊥x轴于点N，
∵ 直线y=3x+b经过点A(-1，0)，
∴-3+b=0，
∴b=3，
∴直线的解析式为y=3x+3，
∴点B的坐标为（0，3），
∵CM∥y轴， BC=2AB，
∴，
∴，
∴CN=9，AN=3，
∴ON=2，
∴点C的坐标为（2，9），
∵ 反比例函数y= (x>0)经过点C，
∴k=2×9=18，
故答案为：3；18；
【分析】（1）过点C作CN⊥x轴于点N，先求出直线的解析式，得出点B的坐标，根据平行线分线段成比例求出CN，AN，ON的长，得出点C的坐标，即可求解；
（2）求出点D的坐标，得出BD的长，再利用三角形的面积公式即可得出答案.
21．如图，圆内接四边形ABDC中，AB=AC=4，AD=5，E为弧CD的中点，AE交CD于点F，M为AD上一点，且AM=4．
（1）求证：∠DBM=∠DAF；
（2）求BD·DC的值．
【答案】（1）证明：设∠DAE=α，∠ADC=β
∵E为弧CD的中点
∴∠DAE=∠EAC=α
∵AB=AC
∴弧AB=弧AC
∴∠ADC=∠ADB=β
∵∠BDC+∠BAC=180°
∴∠BAM=180°-2α-2β
∵AB=AM
∴∠BMA=α+β
∴∠DBM=α
∴∠DBM=∠DAF
（2）解：∵ E为弧CD的中点，
∵AE平分∠DAC，
∵，
∴DF=DC，
∵∠DAF=∠DBM，∠ADB=∠ADC，
∴△BDM∽△ADF，
∴，
∴，
∴ BD·DC =9.
【解析】【分析】 （1） 设∠DAE=α，∠ADC=β，结合E为CD弧的中点和AB=AC， 由圆内接四边形的性质把∠BAM表示出来，再由AB=AM，由三角形的内角和定理把∠BMA表示出来，则∠DBM可表示，于是可得结论；
（2）通过证明△BDM∽△ADF，由相似三角形的性质可求解．
22．如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.
（1）求证：△DCE∽△DBC；
（2）若CE= ，CD=2，求直径BC的长.
【答案】（1）证明：∵D是弧AC的中点，
∴ ，
∴∠ACD=∠DBC，且∠BDC=∠EDC，
∴△DCE∽△DBC；
（2）解：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴DE 1.
∵△DCE∽△DBC，
∴ ，
∴ ，
∴BC=2 .
【解析】【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠DBC，且∠BDC=∠EDC，可证△DCE∽△DBC；（2）根据直径所对的圆周角等于90°可得 ∠BDC=90°， 由勾股定理可求DE=1，由相似三角形的对应边成比例建立方程可求BC的长.
23．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
（1）当DE⊥BC时，求DE的长；
（2）当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
（3）如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在△DCE和△DBE中，
，
∴△DCE≌△DBE（ASA），
∴CE＝BE，
∵CE+BE＝BC＝4，
∴CE＝BE＝2，
∵，
∴，
∴DE＝；
（2）解：∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°＝∠ACB，
∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，
①当△CEF∽△ABC时，
则∠ECF＝∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ECF+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵DE平分∠CDB，
∴，
∴tan∠CDE＝tan45°＝1；
②当△CEF∽△BAC时，
则∠ECF＝∠ABC，
∴DC＝DB，
∵DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∴，
综上所述，∠CDE的正切值为1或；
（3）解：如图，过点E作EG⊥AB于点G，
∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，
∴EF＝EG，
∵DE＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），
∴DF＝DG，
∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，
∴BD＝2DF，
∴DG＝BG，
∵EG⊥BD，
∴DE＝BE，
设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，
∴，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE＝BE，
∴∠BDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴，即，
解得：CD＝3，，
∴，
故这时AD的长为．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC的值，再利用ASA证明 △DCE≌△DBE ，最后求DE的值即可；
（2）先求出 △CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC， 再利用相似三角形的性质求解即可；
（3）先求出 Rt△DEF≌Rt△DEG ，再利用锐角三角函数和相似三角形的性质求解即可。
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