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《角的大小比较+角的和差》同步训练题（一）
一．选择题（共44小题）
1．已知OB是∠AOC内部一条射线，按如图所示的方式作图，得到射线OD，则（ ）
A．∠AOC＞∠DOB
B．∠AOC＜∠DOB
C．∠AOC＝∠DOB
D．∠AOC与∠DOB无法比较大小
2．如图，若∠AOC＞∠BOD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠AOB＞∠COD
B．∠AOB＝∠COD
C．∠AOB＜∠COD
D．∠AOB与∠COD的大小关系不确定
3．若∠A＝32°18′，∠B＝32°15′30″，∠C＝32.25°，则（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
4．如图，方格纸中的∠1和∠2的大小关系是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1
C．∠2＝90°+∠1 D．∠1+∠2＝180°
5．在综合与实践课上，将∠A与∠B两个角的关系记为∠A＝n∠B（n＞0），探索n的大小与两个角的类型之间的关系．（ ）
A．当n＝2时，若∠A为锐角，则∠B为锐角
B．当n＝2时，若∠A为钝角，则∠B为钝角
C．当n时，若∠A为锐角，则∠B为锐角
D．当n时，若∠A为锐角，则∠B为钝角
6．∠A＝40.4°，∠B＝40°4'，关于两个角的大小，下列正确的是（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定
7．如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC∠AOB，则下列结论成立的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC
B．∠AOC＜∠AOB
C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC
D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC
8．若∠A＝60°27′25″，∠B＝60.45°，则（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定
9．若∠1＝30.5°，∠2＝30°30'，则∠1与∠2的大小关系是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法判断
10．若∠A＝25°18′，∠B＝25°19′1″，∠C＝25.31°，则（ ）
A．∠B＞∠C＞∠A B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠B＞∠C D．∠B＞∠A＞∠C
11．已知∠A＝25.12°，∠B＝25°12′，∠C＝1518′，那么它们的大小关系为（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠C＞∠B＞∠A C．∠B＞∠A＞∠C D．∠C＞∠A＞∠B
12．如图，在边长相等的正方形网格中，∠1与∠2的大小关系为（ ）
A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定
13．若∠1＝75°24′，∠2＝75.3°，∠3＝75.12°，则下列正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠3 D．∠2＜∠3
14．如图所示，正方形网格中有∠α和∠β，如果每个小正方形的边长都为1，估测∠α与∠β的大小关系为（ ）
A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．无法估测
15．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则∠1与∠2的大小关系为（ ）
A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＞∠2 D．无法比较
16．一副三角板如图摆放，则最大的钝角的度数是（ ）
A．180° B．150° C．135° D．90°
17．用两个含30°的三角尺按照如图所示的方式放在水平桌面上（点B，O，C在一条直线上），则∠AOD和∠AOB+∠CDO的大小关系是（ ）
A．∠AOD＜∠AOB+∠CDO B．∠AOD＝∠AOB+∠CDO
C．∠AOD＞∠AOB+∠CDO D．无法确定
18．如图，一副三角尺按如下四种不同的方式摆放，其中，∠α≠∠β的图形的选项是（ ）
A． B．
C． D．
19．如图，利用一副三角板比较∠AOB与∠CPD的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图1中射线OB经过60°角的一边，图2中射线PC经过45°角的一边，则下列判断正确的是（ ）
A．∠CPD＞∠AOB B．∠AOB＞∠CPD C．∠AOB＝∠CPD D．无法判断
20．如果∠α＝3∠β，∠α＝2∠θ，那么必有（ ）
A．∠β∠θ B．∠β∠θ C．∠β∠θ D．∠β∠θ
21．已知∠MON与∠MOP，若OP在∠MON的内部，且∠MON＝120°，则∠MOP（ ）
A．一定是锐角 B．一定是直角
C．一定是钝角 D．可能是锐角
22．如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（ ）
A．∠A＞∠B
B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B
D．没有量角器，无法确定
23．已知∠α＝39°18′，∠β＝39.18°，∠γ＝39.3°，下面结论正确的是（ ）
A．∠α＜∠γ＜∠β B．∠γ＞∠α＝∠β C．∠α＝∠γ＞∠β D．∠γ＜∠α＜∠β
24．如图，若∠AOB＞∠COD，则∠AOD与∠BOC的大小关系是（ ）
A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOD＜∠BOC C．∠AOD＞∠BOC D．不能确定
25．比较∠CAB与∠DAB的大小，把它们的顶点A和边AB重合，把它们的另一边AC和AD放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，则（ ）
A．AD落在∠CAB的内部 B．AD落在∠CAB的外部
C．AC和AD重合 D．不能确定AD的位置
26．用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
27．已知∠1＝22°12′，∠2＝22.20°，∠3＝22°20″，下列结论正确的是（ ）
A．∠1＜∠2 B．∠1＜∠3 C．∠2＜∠3 D．∠1＝∠2
28．如图1，图2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，则∠AOB的度数可能（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
29．如图，带有弧线的角是用一副三角板拼成的，这个角的度数为（ ）
A．60° B．15° C．45° D．105°
30．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，∠AOC+∠DOB＝（ ）
A．135° B．170° C．180° D．145°
31．根据如图所示，下列式子错误的是（ ）
A．∠AOB＝∠AOC+∠COB B．∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC
C． D．∠AOC＝∠BOA﹣∠COB
32．如图，，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB，则∠COD的度数是（ ）
A．160° B．150° C．120° D．100°
33．α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁4人计算（α+β）的结果依次为28°、48°、68°、88°．已知4人中只有1人计算正确，则计算正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
34．借助一副三角尺，可以直接画出的角的大小是（ ）
A．65° B．75° C．85° D．95°
35．如图，下列式子正确的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOB+∠BOC
C．∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC D．∠AOC∠BOC
36．如图，下列式子正确的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOB+∠BOC
C．∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC D．∠AOC＝2∠BOC
37．如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的度数是（ ）
A．15° B．20° C．30° D．70°
38．若∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数是（ ）
A．50° B．90° C．50°或90° D．25°或45°
39．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝30°，∠2的大小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
40．下列各度数的角，不能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．15° B．65° C．75° D．165°
41．如图，射线OC，OD在∠AOB的内部．若∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝β（β＜α），则∠COD为（ ）
A．α﹣β B．2α﹣β C．2α﹣2β D．2β﹣α
42．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠AOB的大小为（ ）
A．15° B．45° C．30° D．75°
43．如图，长方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，连接DF，EF．将∠C沿DF 折叠，点C落在点G处；将∠B沿EF折叠，点B恰好落在FG的延长线上点H处．若∠BFE＝19°59'，则∠CFD的度数是（ ）
A．70°1' B．70°41' C．71°1' D．71°41'
44．将一张正方形纸片ABCD如图所示的方式折叠，AE，AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝10°，则∠EAF的度数为（ ）
A．50° B．40° C．45° D．60°
二．填空题（共5小题）
45．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB ∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”）．
46．如图所示的网格是正方形网格，∠DEF ∠ABC．（填“＞”，“＝”或“＜”）
47．若∠1＝20°13′，则∠2＝20.13°，则∠1 ∠2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
48．若∠A＝33.3°，∠B＝33°3′，是∠A ∠B（用“＞”，“＜”或“＝”连接）．
49．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠MPN．（填“＞”，“＝”或“＜”）
三．解答题（共11小题）
50．对于如图所示的各个角，用“＞”、“＜”或“＝”填空：
（1）∠AOB ∠AOC；
（2）∠DOB ∠BOC；
（3）∠BOC ∠AOD；
（4）∠AOD ∠BOD．
51．图①、图②两个钟表表示的时间分别为12：20、6：50．
（1）写出∠1和∠2的度数，并比较两个角的大小；
（2）在0时到12时之间，写出一个时间，使时针、分针所夹的度数与∠1的度数相等．
52．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠COD绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，求∠MON；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转；n°（0＜n＜60），则∠MOC＝ ，∠NOD＝ ．（用n的代数式表示）
（3）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），则∠MON＝ ．
53．定义：如图①，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC．若其中有一个角是另一个角的3倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）如图①，若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数＝ ；
（2）如图②，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转，同时射线PM绕点P以每秒3°的速度顺时针旋转，当PQ与PN第一次成100°角时，射线PQ和射线PM同时停止旋转．设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
54．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ ．
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
55．新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数；
（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角；
（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．
56．如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
57．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的n+1分位线．例如：如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的5分位线；∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的5分位线．
（1）若∠AOB＝45°，OP为∠AOB的3分位线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ ．
（2）如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP，OQ分别为∠AOC与∠BOC的4分位线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）．
①已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝ ．
②若∠AOC＝α，当α变化时，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
（3）如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的5分位线，且∠MON＝87°，请直接写出∠AOC的度数．
58．如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．
（1）猜想OC与OD的位置关系，并说明理由．
（2）求∠MON的度数．
59．如图所示，O为直线AB上一点，∠AOD：∠DOB＝3：1，OD平分∠COB，试判断AB与OC的位置关系．
60．已知：两块三角尺（直角三角形ABC和直角三角形ADE，∠BAC＝45°，∠DAE＝30°）按如图1摆放，点E、A、B在同一条直线上，AM、AN分别平分∠BAE和∠CAD．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠MAN的度数；
（3）将三角尺ADE绕点A按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAN的度数；如果变化，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
《角的大小比较+角的和差》同步训练题（一）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A A D A A D A A A B
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 A C A A B B C B C D A
题号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
答案 C C A D D C B C C C B
题号 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
答案 B C C A C D B D A A B
一．选择题（共44小题）
1．已知OB是∠AOC内部一条射线，按如图所示的方式作图，得到射线OD，则（ ）
A．∠AOC＞∠DOB
B．∠AOC＜∠DOB
C．∠AOC＝∠DOB
D．∠AOC与∠DOB无法比较大小
【思路点拔】根据角的和差关系即可解答．
【解答】解：当∠AOB＝∠COD时，∠AOC＝∠BOD，
所以∠AOC与∠DOB无法比较大小；
故选：D．
2．如图，若∠AOC＞∠BOD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠AOB＞∠COD
B．∠AOB＝∠COD
C．∠AOB＜∠COD
D．∠AOB与∠COD的大小关系不确定
【思路点拔】根据∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠COD+∠BOC及∠AOC＞∠BOD得∠AOB＞∠COD，由此可得出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠COD+∠BOC，
又∵∠AOC＞∠BOD，
∴∠AOB+∠BOC＞∠COD+∠BOC，
∴∠AOB＞∠COD，
故选：A．
3．若∠A＝32°18′，∠B＝32°15′30″，∠C＝32.25°，则（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
【思路点拔】将三个角的度数都转化成度分秒的形式后，即可得到三个角的大小关系．
【解答】解：∵1°＝60′；
∴0.25°＝60′×0.25＝15′；
∴∠C＝32°15′；
∴32°18′＞32°15′30″＞32°15′；
∴∠A＞∠B＞∠C．
故选：A．
4．如图，方格纸中的∠1和∠2的大小关系是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1
C．∠2＝90°+∠1 D．∠1+∠2＝180°
【思路点拔】先观察图形可知：∠BAC＝∠DEF＝90°，AB＝DE，AC＝EF，利用全等三角形的判定定理证明△ABC≌△EDF，从而证明∠3＝∠4，再根据∠2＝90°+∠4，∠1+∠3＝90°，进行代换即可求出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可知：∠BAC＝∠DEF＝90°，AB＝DE，AC＝EF，
∴△ABC≌△EDF，
∴∠3＝∠4，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠1，
∵∠2＝90°+∠4，
∴∠2＝90°+∠3＝90°+90°﹣∠1＝180°﹣∠1，
∴∠1+∠2＝180°，
故选：D．
5．在综合与实践课上，将∠A与∠B两个角的关系记为∠A＝n∠B（n＞0），探索n的大小与两个角的类型之间的关系．（ ）
A．当n＝2时，若∠A为锐角，则∠B为锐角
B．当n＝2时，若∠A为钝角，则∠B为钝角
C．当n时，若∠A为锐角，则∠B为锐角
D．当n时，若∠A为锐角，则∠B为钝角
【思路点拔】根据∠A＝n∠B，当n＝2时，则∠A＝2∠B，由∠A为锐角得0°＜2∠B＜90°，进而得0°＜∠B＜45°，由此可对选项A进行判断；根据∠A为钝角得90°＜2∠B＜180°，进而得45°＜∠B＜90°，由此可对选项B进行判断；当n时，则∠A∠B，根据∠A为锐角得0°∠B＜90°，进而得0°＜∠B＜180°，据此可对选项C，选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝n∠B，
当n＝2时，
∴∠A＝2∠B，
又∵∠A为锐角，
∴0°＜∠A＜90°，
∴0°＜2∠B＜90°，
∴0°＜∠B＜45°，
∴∠B为锐角，
故选项A正确，
∵∠A为钝角，
∴90°＜∠A＜180°，
∴90°＜2∠B＜180°，
∴45°＜∠B＜90°，
∴∠B是锐角，
故选项B不正确；
当n时，
∴∠A∠B，
又∵∠A为锐角，
∴0°＜∠A＜90°，
∴0°∠B＜90°，
∴0°＜∠B＜180°，
∴∠B可能是锐角也可能是钝角，
故选项C，选项D不正确．
故选：A．
6．∠A＝40.4°，∠B＝40°4'，关于两个角的大小，下列正确的是（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定
【思路点拔】先换算单位，再进行比较．
【解答】解：∵40.4°＝40°24′，
∴40°24′＞40°4'，
∴∠A＞∠B．
故选：A．
7．如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC∠AOB，则下列结论成立的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC
B．∠AOC＜∠AOB
C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC
D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC
【思路点拔】分两种情况，∠BOC在∠AOB的外部，∠BOC在∠AOB的内部．
【解答】解：分两种情况：
当∠BOC在∠AOB的外部，如图：
∵∠BOC∠AOB，
∴∠AOC＝3∠BOC，
当∠BOC在∠AOB的内部，如图：
∵∠BOC∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
故选：D．
8．若∠A＝60°27′25″，∠B＝60.45°，则（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定
【思路点拔】根据度、分、秒进行转化计算即可解决问题．
【解答】解：∵∠B＝60.45°＝60°27′，∠A＝60°27′25″，
∴60°27′25″＞60°27′，
即∠A＞∠B．
故选：A．
9．若∠1＝30.5°，∠2＝30°30'，则∠1与∠2的大小关系是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法判断
【思路点拔】首先将∠1＝30.5°转化为∠1＝30°30'，由此可得出∠1与∠2的大小关系．
【解答】解：∵∠1＝30.5°＝30°30'，
又∵∠2＝30°30'，
∴∠1＝∠2，
故选：A．
10．若∠A＝25°18′，∠B＝25°19′1″，∠C＝25.31°，则（ ）
A．∠B＞∠C＞∠A B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠B＞∠C D．∠B＞∠A＞∠C
【思路点拔】把25.31°化为25°18′36″，再比较大小即可．
【解答】解：因为∠C＝25.31°＝25°18′36″，25°19′1″＞25°18′36″＞25°18′，
所以∠B＞∠C＞∠A．
故选：A．
11．已知∠A＝25.12°，∠B＝25°12′，∠C＝1518′，那么它们的大小关系为（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠C＞∠B＞∠A C．∠B＞∠A＞∠C D．∠C＞∠A＞∠B
【思路点拔】根据小单位化成大单位除以进率，可得答案．
【解答】解：∵∠A＝25.12°，∠B＝25°12′＝25.2°，∠C＝1518′＝25.3°，
∴∠C＞∠B＞∠A，
故选：B．
12．如图，在边长相等的正方形网格中，∠1与∠2的大小关系为（ ）
A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定
【思路点拔】连接BD，判定四边形ACDB是平行四边形，推出AC∥BD，得到∠BDE＝∠1，而∠BDE＞∠2，即可得到答案．
【解答】解：连接BD，
由题意知AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∴AC∥BD，
∴∠BDE＝∠1，
∵∠BDE＞∠2，
∴∠1＞∠2，
故选：A．
13．若∠1＝75°24′，∠2＝75.3°，∠3＝75.12°，则下列正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠3 D．∠2＜∠3
【思路点拔】根据度分秒的换算换算∠1＝75.4°，然后进行比较，进而得出答案．
【解答】解：∠1＝75°24′＝75.4°，
∵75.12°＜75.3°＜75.4°，
∴∠3＜∠2＜∠1．
故选：C．
14．如图所示，正方形网格中有∠α和∠β，如果每个小正方形的边长都为1，估测∠α与∠β的大小关系为（ ）
A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．无法估测
【思路点拔】将∠α平移，让∠α与∠β两个角的顶点重合，即可解答．
【解答】解：将∠α平移，使∠α与∠β两个角的顶点重合，
可得：∠α在∠β的内部，
所以∠α＜∠β，
故选：A．
15．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则∠1与∠2的大小关系为（ ）
A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＞∠2 D．无法比较
【思路点拔】将∠1平移，让∠1与∠2两个角的顶点重合，即可解答．
【解答】解：将∠1平移，让∠1与∠2两个角的顶点重合，
如图：
可得：∠1在∠2的内部，
所以∠1＜∠2．
故选：A．
16．一副三角板如图摆放，则最大的钝角的度数是（ ）
A．180° B．150° C．135° D．90°
【思路点拔】先得出∠ACB＝60°，∠ACD＝90°，进而可得出答案．
【解答】解：由题意可知：∠ACB＝60°，∠ACD＝90°，
最大的钝角的度数是∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝60°+90°＝150°，
故选：B．
17．用两个含30°的三角尺按照如图所示的方式放在水平桌面上（点B，O，C在一条直线上），则∠AOD和∠AOB+∠CDO的大小关系是（ ）
A．∠AOD＜∠AOB+∠CDO B．∠AOD＝∠AOB+∠CDO
C．∠AOD＞∠AOB+∠CDO D．无法确定
【思路点拔】根据题意可得：∠AOB＝∠DOC＝30°，∠CDO＝90°，然后利用平角定义可得∠AOD＝120°，再利用角的和差关系可得∠AOB+∠CDO＝120°，即可解答．
【解答】解：由题意得：∠AOB＝∠DOC＝30°，∠CDO＝90°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOB﹣∠DOC＝120°，
∠AOB+∠CDO＝30°+90°＝120°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠CDO，
故选：B．
18．如图，一副三角尺按如下四种不同的方式摆放，其中，∠α≠∠β的图形的选项是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据各选项中的图形，分别求出∠α和∠β的度数即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，∠α＝180°﹣45°＝135°，∠β＝180°﹣45°＝135°，
∴∠α＝∠β，
故选项A不符合题意；
对于选项B，∠α＝45°，∠β＝45°，
∴∠α＝∠β，
故选项B不符合题意；
对于选项C，∠α＝120°，∠α＝60°，
∴∠α≠∠β
故选项C符合题意；
对于选项D，如图所示：
∵∠α+∠1＝90°，∠β+∠1＝90°，
∴∠α＝∠β，
故选项D不符合题意．
故选：C．
19．如图，利用一副三角板比较∠AOB与∠CPD的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图1中射线OB经过60°角的一边，图2中射线PC经过45°角的一边，则下列判断正确的是（ ）
A．∠CPD＞∠AOB B．∠AOB＞∠CPD C．∠AOB＝∠CPD D．无法判断
【思路点拔】根据两个图得到60°角在∠AOB内，45°角在∠CPD外，即可比较大小．
【解答】解：由图1可知：
60°角在∠AOB内，
由图2可知：
45°角在∠CPD外，
∴∠CPD＜45°＜60°＜∠AOB，
∴∠CPD＜∠AOB，
故选：B．
20．如果∠α＝3∠β，∠α＝2∠θ，那么必有（ ）
A．∠β∠θ B．∠β∠θ C．∠β∠θ D．∠β∠θ
【思路点拔】根据已知得到∠β与∠θ的等式，变形即可得答案．
【解答】解：∵∠α＝3∠β，∠α＝2∠θ，
∴3∠β＝2∠θ，
∴∠β∠θ或∠θ∠β，
故选：C．
21．已知∠MON与∠MOP，若OP在∠MON的内部，且∠MON＝120°，则∠MOP（ ）
A．一定是锐角 B．一定是直角
C．一定是钝角 D．可能是锐角
【思路点拔】根据OP在∠MON的内部得0°＜∠MOP＜120°，则∠MOP可能是锐角，也可能是直角或钝角，由此即可得出答案．
【解答】解：∵OP在∠MON的内部，且∠MON＝120°，
∴0°＜∠MOP＜∠MON，
∴0°＜∠MOP＜120°，
∴∠MOP可能是锐角，也可能是直角或钝角，
故选：D．
22．如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（ ）
A．∠A＞∠B
B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B
D．没有量角器，无法确定
【思路点拔】由图知∠A＞45°，∠B＜45°，故可比较大小．
【解答】解：∵图中三角尺为等腰直角三角形，
∴∠A＞45°，∠B＜45°，
∴∠A＞∠B，
故选：A．
23．已知∠α＝39°18′，∠β＝39.18°，∠γ＝39.3°，下面结论正确的是（ ）
A．∠α＜∠γ＜∠β B．∠γ＞∠α＝∠β C．∠α＝∠γ＞∠β D．∠γ＜∠α＜∠β
【思路点拔】首先把∠α转化为39.3°，然后再来比较它们的大小．
【解答】解：∵∠α＝39°18′＝39.3°，39.18°＜39.3°，
∴∠α＝∠γ＞∠β．
故选：C．
24．如图，若∠AOB＞∠COD，则∠AOD与∠BOC的大小关系是（ ）
A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOD＜∠BOC C．∠AOD＞∠BOC D．不能确定
【思路点拔】根据已知∠AOB＞∠COD两边都加上∠BOD，即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOB＞∠COD，
∴∠AOB+∠BOD＞∠COD+∠BOD，
即∠AOD＞∠BOC，
故选：C．
25．比较∠CAB与∠DAB的大小，把它们的顶点A和边AB重合，把它们的另一边AC和AD放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，则（ ）
A．AD落在∠CAB的内部 B．AD落在∠CAB的外部
C．AC和AD重合 D．不能确定AD的位置
【思路点拔】如果两个角的顶点重合，且有一条边重合，两角的另一边落在重合边的同一侧，如果这两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一边在里面的小，在外面的大，由此解答即可，
【解答】解：根据题意得，AD落在∠CAB的内部，
故选：A．
26．用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置即可判断．
【解答】解：根据“叠合法”比较∠1与∠2的大小，可知：正确的是D．
故选：D．
27．已知∠1＝22°12′，∠2＝22.20°，∠3＝22°20″，下列结论正确的是（ ）
A．∠1＜∠2 B．∠1＜∠3 C．∠2＜∠3 D．∠1＝∠2
【思路点拔】把三个角的度数，都统一成一样的单位来比较即可．
【解答】解：∵∠1＝22°12′，
∠2＝22.20°＝22°12′，
∠3＝22°20″＝22°0′20″，
∴∠1＝∠2＞∠3，
故选：D．
28．如图1，图2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，则∠AOB的度数可能（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【思路点拔】结合三角板的相应的角的度数与∠AOB的比较，可判断∠AOB的范围，从而可求解．
【解答】解：由图1可得∠AOB＜45°，由图2可得∠AOB＞30°，
∴30°＜∠AOB＜45°，
故选：C．
29．如图，带有弧线的角是用一副三角板拼成的，这个角的度数为（ ）
A．60° B．15° C．45° D．105°
【思路点拔】依题意得ACB＝45°，∠DCB＝30°，再根据∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
依题意得：∠ACB＝45°，∠DCB＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
30．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，∠AOC+∠DOB＝（ ）
A．135° B．170° C．180° D．145°
【思路点拔】由三角板的特征得出∠AOB＝∠COD＝90°，即可表示出∠AOD，再根据∠AOC＝∠AOD+∠COD即可求出∠AOC+∠DOB的度数．
【解答】解：由题意得，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝90°﹣∠DOB，
∵∠AOC＝∠AOD+∠COD，
∴∠AOC＝90°﹣∠DOB+90°＝180°﹣∠DOB，
∴∠AOC+∠DOB＝180°，
故选：C．
31．根据如图所示，下列式子错误的是（ ）
A．∠AOB＝∠AOC+∠COB B．∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC
C． D．∠AOC＝∠BOA﹣∠COB
【思路点拔】根据各角之间的和差关系进行判断得出正确选项．
【解答】解：A、∠AOB＝∠AOC+∠COB，故本选项正确，不符合题意；
B、∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，故本选项正确，不符合题意；
C、∠AOC＝∠AOC+∠COB，故∠AOC∠BOC错误，符合题意；
D、∠AOC＝∠BOA﹣∠COB，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
32．如图，，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB，则∠COD的度数是（ ）
A．160° B．150° C．120° D．100°
【思路点拔】根据平面各角和为360°，又因为各角与∠AOB有关系，用∠AOB表示其余角，设∠AOB＝x°故有3x+3x+2x+x＝360，解之可得X，又因为∠COD＝3∠AOB，即可得解．
【解答】解：设∠AOB＝x°，由题意3x+3x+2x+x＝360，
可得x＝40，即∠AOB＝40°，
又因为∠COD＝3∠AOB，即∠COD＝120°．
故选：C．
33．α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁4人计算（α+β）的结果依次为28°、48°、68°、88°．已知4人中只有1人计算正确，则计算正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【思路点拔】先根据已知条件，求出α+β的取值范围，进而求出的取值范围，进行解答即可．
【解答】解：∵α、β都是钝角，
∴90°＜α＜180°，90°＜β＜180°，
∴180°＜α+β＜360°，
∴，
∴，
∴乙的计算正确，
故选：B．
34．借助一副三角尺，可以直接画出的角的大小是（ ）
A．65° B．75° C．85° D．95°
【思路点拔】先分清一副三角尺，各个角的度数分别为多少，然后将各个角相加或相减即可得出答案．
【解答】解：利用一副三角尺可以画出75°角，用45°和30°组合即可；
故选：B．
35．如图，下列式子正确的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOB+∠BOC
C．∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC D．∠AOC∠BOC
【思路点拔】通过观察图形，分清哪个角是哪两个角的和，哪个角是哪两个角的差，从而判断即可．
【解答】解：A、不知道OC是不是∠AOB的平分线，
故此选项不符合题意；
B、∵射线OC在∠AOB的内部，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，
故此选项不符合题意；
C、∵射线OC在∠AOB的内部，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，
故此选项符合题意；
D、不知道OC是不是∠AOB的平分线，
故此选项不符合题意；
故选：C．
36．如图，下列式子正确的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOB+∠BOC
C．∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC D．∠AOC＝2∠BOC
【思路点拔】通过观察图形，分清哪个角是哪两个角的和，哪个角是哪两个角的差，从而判断即可．
【解答】解：A、不知道OC是∠AOB的平分线，故此选项不符合题意；
B、∵射线OC在∠AOB的内部，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，故此选项不符合题意；
C、∵射线OC在∠AOB的内部，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，故此选项符合题意；
D、不知道OC是∠AOB的平分线，故此选项不符合题意；
故选：C．
37．如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的度数是（ ）
A．15° B．20° C．30° D．70°
【思路点拔】因为等腰三角板中的锐角为45°，而直角三角板板中较大的锐角为60°，直接相减就可求得结果．
【解答】解：由图形可知，∠AOB＝60°﹣45°＝15°．
故选：A．
38．若∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数是（ ）
A．50° B．90° C．50°或90° D．25°或45°
【思路点拔】分两种情况：①OC在∠AOB内部；②OC在∠AOB外部．分别用∠AOB的度数减去或加上∠BOC的度数，即可求出两种情况下∠AOC的度数．
【解答】解：①当OC在∠AOB内部时，
∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°；
②当OC在∠AOB外部时，
∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+20°＝90°．
∴∠AOC的度数为50°或90°，
故选：C．
39．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝30°，∠2的大小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【思路点拔】先求出∠EAC的度数，再根据余角的概念求出∠2．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝30°，
∴∠EAC＝60°﹣30°＝30°，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝90°﹣30°＝60°，
故选：D．
40．下列各度数的角，不能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．15° B．65° C．75° D．165°
【思路点拔】一副三角尺上的度数为45°，45°，90°和30°，60°，90°，据此可求得答案．
【解答】解：一副三角尺上的度数为45°，45°，90°和30°，60°，90°．
A、15°＝60°﹣45°，可以画出，该选项不符合题意；
B、不可以画出，该选项符合题意；
C、75°＝45°+30°，可以画出，该选项不符合题意；
D、165°＝90°+30°+45°，可以画出，该选项不符合题意．
故选：B．
41．如图，射线OC，OD在∠AOB的内部．若∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝β（β＜α），则∠COD为（ ）
A．α﹣β B．2α﹣β C．2α﹣2β D．2β﹣α
【思路点拔】由∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD可得结论．
【解答】解：设∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝β（β＜α），
而∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD，
∴α＝β+β﹣∠COD，
∴∠COD＝2β﹣α，
故选：D．
42．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠AOB的大小为（ ）
A．15° B．45° C．30° D．75°
【思路点拔】根据三角板的摆放位置，即可找出∠AOB＝45°﹣30°，此题得解．
【解答】解：∠AOB＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
43．如图，长方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，连接DF，EF．将∠C沿DF 折叠，点C落在点G处；将∠B沿EF折叠，点B恰好落在FG的延长线上点H处．若∠BFE＝19°59'，则∠CFD的度数是（ ）
A．70°1' B．70°41' C．71°1' D．71°41'
【思路点拔】根据折叠定义得到∠BFE＝∠HFE，∠CFD＝∠GFD，然后根据平角定义推出∠BFE+∠CFD＝90°，最后根据∠BFE的度数即可求出∠CFD的度数．
【解答】解：由折叠得到：∠BFE＝∠HFE，∠CFD＝∠GFD，
又∵∠BFE+∠HFE+∠CFD+∠GFD＝180°，
∴∠BFE+∠CFD＝90°，
∵∠BFE＝19°59'，
∴∠CFD＝90°﹣19°59'＝70°1'．
故选：A．
44．将一张正方形纸片ABCD如图所示的方式折叠，AE，AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝10°，则∠EAF的度数为（ ）
A．50° B．40° C．45° D．60°
【思路点拔】根据翻折的性质可知∠BAE＝∠B′AE，∠DAF＝∠D′AF，由此可得：2∠DAF+2∠BAE＝∠DAB+∠B′AD′，得出∠DAF+∠BAE＝50°，再通过角的和差关系即可求出的值．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB＝90°，
由翻折可得：∠BAE＝∠B′AE，∠DAF＝∠D′AF，
∴2∠DAF+2∠BAE＝∠DAB+∠B′AD′，
即：2（∠DAF+∠BAE）＝90°+10°＝100°，
∴∠DAF+∠BAE＝50°，
∴∠EAF＝90°﹣（∠DAF+∠BAE）＝90°﹣50°＝40°．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
45．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB ＞ ∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【思路点拔】取格点E，使OB＝OE，作射线OE，则∠AOB＝∠COE，然后比较∠COE和∠COD的大小，根据等量代换，即可作答．
【解答】解：如图，取格点E，使OA＝OE，作射线OE，
则∠AOB＝∠DOE，
∵∠DOE＞∠COD，
∴∠AOB＞∠COD，
故答案为：＞．
46．如图所示的网格是正方形网格，∠DEF ＜ ∠ABC．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【思路点拔】过点E向下作竖直线EG，根据网格线可得∠ABC＝∠DEG，∠EDG＞∠DEF，即可比较∠DEF和∠ABC的大小．
【解答】解：过点E向下作竖直线EG，
由网格线可得，∠ABC＝∠DEG＝45°，
∵∠EDG＞∠DEF，
∴∠DEF＜∠ABC，
故答案为：＜．
47．若∠1＝20°13′，则∠2＝20.13°，则∠1 ＞ ∠2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【思路点拔】把角度化成同单位制，再比较即可．
【解答】解：∵∠1＝20°13′＝1213′，
∠2＝20.13°＝1207.8′
又∵1213′＞1207.8′，
∴∠1＞∠2．
故答案为：＞．
48．若∠A＝33.3°，∠B＝33°3′，是∠A ＞ ∠B（用“＞”，“＜”或“＝”连接）．
【思路点拔】先将∠A＝33.3°化成∠A＝33°18′，再进行比较即可．
【解答】解：∠A＝33.3°＝33°18′，
∵33°18′＞33°3′，
∴∠A＞∠B．
故答案为：＞．
49．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ＝ ∠MPN．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【思路点拔】根据正方形网格的特征，以及角叉开的程度进行判断即可．
【解答】解：根据网格的特征以及角的表示可知，
∠MPN＝∠COD，
而∠COD＝∠AOB，
因此∠MPN＝∠AOB，
故答案为：＝．
三．解答题（共11小题）
50．对于如图所示的各个角，用“＞”、“＜”或“＝”填空：
（1）∠AOB ＜ ∠AOC；
（2）∠DOB ＞ ∠BOC；
（3）∠BOC ＜ ∠AOD；
（4）∠AOD ＞ ∠BOD．
【思路点拔】根据各角之间的大小关系判断即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，
∴∠AOB＜∠AOC．
故答案为：＜．
（2）∵∠DOB＝∠DOC+∠BOC，
∴∠DOB＞∠BOC．
故答案为：＞．
（3）∵∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD，
∴∠BOC＜∠AOD．
故答案为：＜．
（4）∵∠AOD＝∠BOD+∠AOB，
∴∠AOD＞∠BOD．
故答案为：＞．
51．图①、图②两个钟表表示的时间分别为12：20、6：50．
（1）写出∠1和∠2的度数，并比较两个角的大小；
（2）在0时到12时之间，写出一个时间，使时针、分针所夹的度数与∠1的度数相等．
【思路点拔】（1）由钟表表盘的特征可知，分针60分钟转一圈，每分钟转动：360°÷60＝6°，时针12小时转一圈，时针每小时转动360°÷12＝30°，每分钟转动：360°÷12÷60＝0.5°；接下来分别计算出分针与时针所走的度数，即可求出∠1和∠2的度数．
（2）由分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，求出与∠1相等的角．
【解答】解：（1）∵分针60分钟转一圈，
∴分针每分钟转动6°．
∵时针12小时转一圈，
∴时针每小时转动30°，
∴时针每分钟转动0.5°．
①12：20，分针走了20×6°＝120°，时针走了20×0.5°＝10°，
∴时针与分针所成的角的度数是120°﹣10°＝110°．
∠1＝110°．
②6：50，分针走了50×6°＝300°，时针走了30°×6+50×0.5°＝205°，
∴时针与分针所成的角的度数是300°﹣205°＝95°．
∠2＝95°．
110°＞95°，则∠1＞∠2．
（2）答案不唯一，如11：40．
11：40，分针走了40×6°＝240°，时针走了30°×11+40×0.5°＝350°，
∴时针与分针所成的角的度数是350°﹣240°＝110°．
52．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠COD绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，求∠MON；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转；n°（0＜n＜60），则∠MOC＝ 80°n° ，∠NOD＝ 40°n° ．（用n的代数式表示）
（3）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），则∠MON＝ 100° ．
【思路点拔】（1）根据∠MON＝∠AOB+∠BOD﹣∠AOM﹣∠DON可得答案；
（2）先分别表示出∠AOC＝120°+n°，∠BOD＝60°+n°，然后根据，求解即可；
（3）分二种情况：①当0＜n＜60时，②当60＜n＜120时，画出图形计算即可．
【解答】解：（1）∵，，
∴∠DON＝60°﹣20°＝40°，
∴∠MON＝∠AOB+∠BOD﹣∠AOM﹣∠DON
＝120°+60°﹣40°﹣40°
＝100°；
（2）如图，
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°，
∵，，
∴，，
故答案为：80°n°，40°n°；
（3）①当0＜n＜60时，如图，
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°，
∵，，
∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON
＝100°；
②当60＜n＜120时，如图，
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠BOC﹣∠BON
＝100°．
综上所述：∠MON的度数为100°．
故答案为：100°．
53．定义：如图①，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC．若其中有一个角是另一个角的3倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）如图①，若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数＝ 15°或20°或40°或45° ；
（2）如图②，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转，同时射线PM绕点P以每秒3°的速度顺时针旋转，当PQ与PN第一次成100°角时，射线PQ和射线PM同时停止旋转．设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
【思路点拔】（1）根据“巧分线”定义即可求解；
（2）根据“巧分线”定义分4种情况：当∠MPQ＝3∠NPQ时，当∠MPN＝3∠NPQ时，当∠MPN＝3∠MPQ时，当∠NPQ＝3∠MPQ时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，且射线OC在∠AOB的“巧分线”，
∴∠AOC＝3∠BOC或∠BOC＝3∠AOC或∠AOB＝3∠AOC或∠AOB＝3∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝60°
∴∠AOC＝45°或15°或20°或40°；
故答案为：15°或20°或40°或45°
（2）根据题意得：
当∠MPQ＝3∠NPQ时，则60+3t﹣4t＝3×4t，
解得；
当∠MPN＝3∠NPQ时，则60+3t＝3×4t，
解得；
当∠MPN＝3∠MPQ时，则60+3t＝3×（60+3t﹣4t），
解得t＝20；
当∠NPQ＝3∠MPQ时，
4t＝3（3t+60﹣4t），
解得．
此时，故不符合题意，舍去；
综上，当t为或或20时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
54．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 20° ．
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论；
（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式，即可求出α的值；
（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角，
∴∠COD∠AOB＝35°，
∵∠AOC＝15°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°；
故答案为：20°．
（2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α，
∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB∠AOD，即63°﹣α，
解得α＝21°，
当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角；
（3）能，理由如下，
由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下四种情况：
①当射线OC在∠AOB内，如图4，
此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°，
则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB∠AOD，即30°﹣3t°（30°+3t°），
解得t（秒）；
②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6，
如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°，
则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB∠AOD，即3t°﹣30°（30°+3t°），
解得t＝30（秒）；
如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°，
则∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠AOD∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°（360°﹣3t°+30°），
解得t＝90（秒）；
综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒．
55．新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数；
（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角；
（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．
【思路点拔】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；
（3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是结论可得．
【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′，
∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′；
（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD；
∴图中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；
（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，
设∠AOB＝α，
则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α，
∵∠BOD＝90°，
∴6α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠BOC＝2α＝30°．
56．如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据角平分线的定义可得答案；
（2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60﹣x，再利用AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠DOE∠AOD＝40°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣40°＝20°；
（2）∠BOD＝3∠COE，
设∠COE＝x，则∠DOE＝60°﹣x，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60°﹣x）＝180°﹣3x，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣3x）＝3x，
∴∠BOD＝3∠COE．
57．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的n+1分位线．例如：如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的5分位线；∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的5分位线．
（1）若∠AOB＝45°，OP为∠AOB的3分位线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ 30° ．
（2）如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP，OQ分别为∠AOC与∠BOC的4分位线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）．
①已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝ 135° ．
②若∠AOC＝α，当α变化时，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
（3）如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的5分位线，且∠MON＝87°，请直接写出∠AOC的度数．
【思路点拔】（1）根据题意可写出∠BOP＝2∠POA，且∠AOB＝45°，进而求得∠BOP；
（2）根据题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，①因为∠AOC＝120°，可求得∠POQ＝135°；
②写出∠POQ用α表达的表达式，可以看出α的大小并不影响∠POQ的大小，即∠POQ的大小并不会随着∠AOC的大小变化而变化；
（3）因为OM、ON的位置不确定，所以分4种情况讨论，第一种情况又分2种即：∠AOM＝4∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，第二种情况又分2种即：4∠AOM＝∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，再利用等式∠AOM+∠MON+∠BON＝180°求解．
【解答】解：（1）∵由题可得：∠BOP＝2∠POA，且∠AOB＝45°
∴∠BOP＝30°，∠POA＝15°．
（2）∵由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ
①当∠AOC＝120°时，可求得∠COP＝90°，∠AOP＝30°，∠BOC＝180°﹣120°＝60°，∠COQ＝45°，∠BOQ＝15°
所以∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°．
②不会发生变化．当∠AOC＝α时，
（3）设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α
∵射线OM、ON分别是∠AOC与∠BOC的5分位线
∴∠COM＝4∠AOM，∠BON＝4∠CON
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°
∵OM、ON的位置不确定，所以分4种情况讨论
第一种情况又分2种即：∠AOM＝4∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，
①当∠BON＝4∠CON时
设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α，∠AOM＝4α，∠BON＝4（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴4α+87°+4（87°﹣α）＝180°
∴α＝任意解，不符合实际情况，舍去
②当4∠BON＝∠CON时
设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α，∠AOM＝4α，∠BON（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴4α+87°（87°﹣α）＝180°
∴α＝19°
∴∠AOC＝5α＝5×19°＝95°
第二种情况又分2种即：4∠AOM＝∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON
③当∠BON＝4∠CON时
设∠MOC＝α，则∠AOMα，∠CON＝87°﹣α，∠BON＝4（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴α+87°+4（87°﹣α）＝180°
∴α＝68°
∴∠AOCα+α68°+68°＝85°
④当4∠BON＝∠CON时
设∠MOC＝α，则∠AOMα，∠CON＝87°﹣α，∠BON（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴α+87°（87°﹣α）＝180°
∴α＝任意解，不符合实际情况，舍去
综上所述：∠AOC＝85°或95°．
58．如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．
（1）猜想OC与OD的位置关系，并说明理由．
（2）求∠MON的度数．
【思路点拔】（1）根据平角定义及角的和差求出∠COD＝90°，再根据垂直定义即可得解；
（2）根据角平分线定义及角的和差求解即可．
【解答】解：（1）OC⊥OD，理由如下：
∠AOC+∠COD+∠DOB＝180°，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，
∴∠COD＝90°，
∴OC⊥OD；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴，
∵∠AOC＝30°，
∴∠COM＝15°，
同理，∠DON＝30°，
∵∠MON＝∠COM+∠COD+∠DON，∠COD＝90°，
∴∠MON＝15°+90°+30°＝135°．
59．如图所示，O为直线AB上一点，∠AOD：∠DOB＝3：1，OD平分∠COB，试判断AB与OC的位置关系．
【思路点拔】首先根据∠AOD：∠DOB＝3：1得到，然后根据角平分线的概念得∠BOC＝2∠DOB＝90°，即可得到OC⊥AB．
【解答】解：∵∠AOD：∠DOB＝3：1，∠AOD+∠DOB＝180°，
∴，
∵OD平分∠COB，
∴∠BOC＝2∠DOB＝90°，
∴OC⊥AB．
60．已知：两块三角尺（直角三角形ABC和直角三角形ADE，∠BAC＝45°，∠DAE＝30°）按如图1摆放，点E、A、B在同一条直线上，AM、AN分别平分∠BAE和∠CAD．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠MAN的度数；
（3）将三角尺ADE绕点A按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAN的度数；如果变化，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据题意，数形结合，利用平角定义求解即可得到答案；
（2）根据题意，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案；
（3）根据题意，设∠NAD＝x°，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案．
【解答】解：（1）∵E、A、B在同一条直线上，
∴∠BAE＝180°，
∵∠BAC＝45°，∠DAE＝30°，
∴∠DAC＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝105°；
（2）∵∠BAE＝180°，AM平分∠BAE，
∴，
由（1）知∠DAC＝105°，
∵AN平分∠CAD，
∴，
∴∠MAN＝∠MAE﹣∠DAE﹣∠NAD＝90°﹣30°﹣52.5°＝7.5°；
（3）∠MAN的度数在转动过程中不会变化，
设∠NAD＝x°，
∵AN平分∠CAD，则∠CAD＝2x°，∠BAE＝∠EAD+∠DAC+∠CAB＝30°+2x°+45°＝（75+2x）°，
∵AM平分∠BAE，
∴，
∴∠MAN＝∠MAE﹣∠DAE﹣∠NAD＝（37.5+x）°﹣30°﹣x°＝7.5°．
