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《余角和补角》同步提升训练题（一）
一．选择题（共29小题）
1．如图，学校A在点P的北偏东32°方向上，图书馆B在点P的南偏东46°方向上，则∠APB的度数为（ ）
A．102° B．100° C．104° D．103°
2．以广场为观测点，学校在广场北偏西30°的方向上，图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，若射线OA的方向是北偏东40°，∠AOB＝90°，则射线OB的方向是（ ）
A．南偏东50° B．南偏东40° C．东偏南50° D．南偏西50°
4．已知，学校在小明家的西偏北40°方向上，则小明家在学校的（ ）方向上．
A．北偏西40° B．北偏西50° C．东偏南40° D．东偏南50°
5．小华家在学校东偏北70°方向200米处，那么学校在小华的（ ）方向200米处．
A．北偏东70° B．东偏西70° C．西偏南70° D．南偏西70°
6．如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（ ）
A．点A在点O的北偏东30°方向上
B．点D在点O的东南方向上
C．点A在点O的北偏东60°方向上
D．点D在点O的南偏东45°方向上
7．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝（ ）
A．51° B．141° C．219° D．131°
8．如图，射线OA表示北偏东30°方向，射线OB表示北偏西50°方向，则∠AOB的度数是（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
9．如图，在A、B两处观测到C处的方位角分别是（ ）
A．北偏东65°，北偏西40°
B．北偏东65°，北偏西50°
C．北偏东25°，北偏西40°
D．北偏东35°，北偏西50°
10．如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东30°方向，∠AOB＝100°，则B地在灯塔O的（ ）
A．南偏东40°方向 B．南偏东50°方向
C．南偏西50°方向 D．东偏南30°方向
11．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是（ ）
A．北偏东75° B．北偏东60° C．北偏东45° D．北偏东15°
12．如图所示，∠AOB，∠COD都是以O为顶点的直角，能解释∠AOC＝∠BOD的理由是（ ）
A．同角的余角相等 B．平角的定义
C．角平分线的定义 D．同角的补角相等
13．如图，是一副三角尺的摆放位置，下列说法正确的是（ ）
A．∠α和∠β互余 B．∠α和∠β互补
C．∠α和∠β相等 D．∠α+∠β＝105°
14．若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
15．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④（∠α﹣∠β）．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
16．已知∠A与∠B互为余角，∠C与∠B互为补角，则∠C比∠A大（ ）
A．45° B．90° C．135° D．180°
17．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝110°，则∠BOC的度数是（ ）
A．20° B．65° C．70° D．75°
18．已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，且∠3＝3∠1，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
19．如果一个角的余角是30°，那么这个角的补角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
20．如果一个角的补角是这个角的余角的5倍，则这个角的度数为（ ）
A．45° B．52.5° C．60° D．67.5°
21．如果∠α和∠β互余，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的补角的式子中：①180°﹣∠β；②∠α+90°；③2（∠α+∠β）；④2∠α﹣∠β；⑤2∠α+∠β．正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④
22．如果∠α和∠β互补（∠α＞∠β），则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β，②∠α﹣90°，③，④，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
23．如图，在同一平面内，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，点F为OE反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④若OA绕点O顺时针旋转一周，其它条件都不变，若∠FOD：∠EOC＝1：6，则∠FOD＝18°或15°，其中结论一定正确的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
24．将一副三角板按图示进行摆放，其中α≠β的是（ ）
A．
B．
C．
D．
25．已知∠α＝42°12′，与∠α互余的角的度数是（ ）
A．132°12′ B．137°48′ C．57°48′ D．47°48′
26．若∠α＝54°32'，则∠α的余角的大小是（ ）
A．35°38' B．35°28' C．125°28' D．125°38'
27．若α＝13°35'，则α的补角等于（ ）
A．76°25' B．77°25' C．167°25' D．166°25'
28．已知一个角是53°17′28″，则它的补角是（ ）
A．126°42′32″ B．126°43′42″
C．126°32′42″ D．136°42′32″
29．若∠α的余角为54°32'，则∠α的补角的大小是（ ）
A．35°28' B．45°38' C．144°32' D．154°38'
二．填空题（共7小题）
30．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°的方向上，则∠AOB的度数是 ．
31．如图，射线OA表示方向是 ．
32．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝ ．
33．如图，射线OA表示南偏东28°，OB在东北方向，则∠AOB的度数是 ．
34．如图，若点A在点O北偏西60°的方向上，点B在点O的南偏东26°的方向上，则∠AOB（小于平角）的大小为 度．
35．如图，射线AB的方向是北偏东70°，射线AC的方向是南偏西30°，则∠BAC的度数是 ．
36．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西50°方向上，现测得∠AOB＝63°，此时客轮B在货轮O的 方向．
三．解答题（共24小题）
37．如图三角板和直尺放置．
（1）∠1与∠2的关系是 ；
（2）若∠1的补角比∠2的2倍多25°，求∠1的大小．
38．（1）如果一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数．
（2）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．
39．已知∠α与∠β互为补角，且∠β 的比∠α大25°，求∠α的余角．
40．【实践操作】三角尺中的数学问题．
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°；
①若∠BCH＝34°，则∠ACD＝ °；若∠ACD＝132°，则∠BCH＝ ；
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系．
41．定义：如果有三个角α，β，γ，满足α+β﹣γ＝90°，则称γ是α和β的“减余角”．
（1）已知∠1＝37°，∠2＝66°，若∠3是∠1和∠2的“减余角”，则∠3＝ ．
（2）现有一张正方形纸片ABCD，如图1所示，点E为线段BC上一点（不与B、C重合）．连结AE，将纸片沿着AE对折，使点B落在正方形纸片的内部且对应点为B′．
①若∠B′EC是∠AEB和∠AEB′的“减余角”，求∠AEB的度数．
②再将此正方形纸片沿着B′E所在直线对折，使点C落在正方形纸片的内部且对应点为C′，如图2所示．是否存在∠AEB，∠AEC′，∠B′EC中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出∠AEB的度数；若不存在，请说明理由．
42．如图，长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF的A′处，得到折痕EN．
（1）若∠BEM＝60°，∠NEM＝ ，∠FEM的余角有 ．
（2）若∠BEM＝α°，∠NEM＝ ，说明理由．
43．如图1，已知∠BOC＝120°，△MON是含30°角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将三角板按图2位置放置，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，若∠AOD＝∠BON，问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将三角板按图3位置放置，此时发现，当ON在∠AOC的内部时，绕点O旋转三角板△MON，∠AOM与∠NOC的差值不变，请你写出这个差值，即∠AOM﹣∠NOC＝ °．
44．（1）如图1，将一副三角尺的直角顶点重合在一起，∠ACB＝∠DCE＝90°．
①若∠DCB＝35°，则∠ACE的度数为 ．
②猜想∠ACE和∠DCB的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，把两个相同的三角尺的60°角的顶点重合在一起，∠BAC＝∠FAG＝60°．则∠BAG和∠FAC的数量关系为 ．
（3）已知∠MON＝α，∠POQ＝β（∠MON，∠POQ都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠MOQ和∠PON的数量关系．
45．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题：
（1）如图（1）：当∠DCE＝30°时，∠ACB+∠DCE＝ ，若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
（2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由．
46．如图，将两个角的顶点重合在一起，使角的一边在另一个角的内部．
（1）如图1，将两个同样的直角三角尺的60°锐角顶点A重合在一起．若∠CAE＝15°，则∠DAB＝ °；
（2）如图2，若是将一副直角三角尺的直角顶点C重合在一起．猜想∠ACB与∠DCE的数量关系？请说明理由；
（3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α、β都是锐角），若把它们的顶点O重合在一起．如图3，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系 ．
47．如图，以点O为观测点，射线OE，OS，OW，ON分别表示正东、正南、正西、正北方向．
（1）射线OA表示 方向；
（2）画出表示下列方向的射线：
①射线OB，表示南偏东60°；
②射线OC，表示南偏西50°；
③射线OD，表示西北方向；
（3）图中∠COD＝ °；
（4）图中∠AON的补角是 ．
48．如图：货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东59°的方向上，同时，在它的北偏东37°、南偏西12°、西北方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D．
（1）求∠BOE的补角的度数．
（2）①求∠WOD+∠AOB的度数．
②求∠BOD﹣∠WOC的度数．
49．综合探究
如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝45°，∠CED＝30°．
（1）如图1，∠ACD＝ °；
（2）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使CE刚好落在∠ACB的平分线上．此时，CD是否平分∠ACF？请说明理由；
（3）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使得CE落在∠ACB内部，
当∠ACE＝10°时，则∠BCD＝ °；
当∠BCD＝110°时，则∠ACE＝ °；
设∠ACE＝α，∠BCD＝β，试猜想α与β的数量关系，并说明理由．
50．如图，射线OB表示的方向是北偏东76°，射线OC表示的方向是北偏西46°，射线OA在射线OB和射线OC之间，且∠AOB＝32°．
（1）填空：∠COW的度数为 ；
（2）求射线OA的方向．
51．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是 ；
（2）求∠COD的度数；
（3）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
52．如图，射线OB表示的方向是北偏东76°，射线OC表示的方向是北偏西46°，射线OA在射线OB和射线OC之间，且∠AOB＝32°．求∠AOC的度数．
53．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是 ；
（2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
54．如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东30°的方向上，轮船B在灯塔P的南偏东70°的方向上．
（1）求从灯塔P看两轮船的视角（即∠APB）的度数？
（2）轮船C在∠APB的角平分线上，则轮船C在灯塔P的什么方位？
55．如图，射线OA表示的方向是北偏东44°，射线OB表示的方向是北偏东76°，已知图中∠BOC＝122°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）写出射线OC的方向．
56．【实践操作】三角尺中的数学问题．
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°．
①若∠BCH＝35°，则∠ACD＝ °；若∠ACD＝131°，则∠BCH＝ °；
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系．
57．若两个角的和为60°，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，∠AOB与∠AOD互补，若∠BOC＝10°．
（1）求∠AOB的度数．
（2）若如图2所示，射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM＝4∠AOM，求∠COM的度数．
58．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠AOC＝65°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OA上，求∠COE的度数．
（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O顺时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠AOE，求∠COD的度数．
59．如图1，直线AB与CD相交于点O，使∠BOC＝120°．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即∠MON＝90°．
（1）当三角尺一边OM在∠BOC的内部，且为∠BOC的三等分线，求∠BON的度数？
（2）当三角尺一边ON在∠AOC的内部（图②），求∠AOM﹣∠CON的值？
60．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠COD+∠AOB＝90°，则∠COD是∠AOB的内余角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，∠AOB＝72°，∠AOC＝20°，若∠COD是∠AOB的内余角，则∠BOD＝ ；
（2）如图2．已知∠AOB＝60°将OA绕点O顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜60°）得到OC．同时将OB绕点O顺时针方向旋转一个角度得到OD．若∠COB是∠AOD的内余角，求α的值；
（3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合，如图4将三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线OA，OB，OC，OD构成内余角时，请求出t的值．中小学教育资源及组卷应用平台
《余角和补角》同步提升训练题（一）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C A C C A B B B B A
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 A A B B B C B D D C A
题号 23 24 25 26 27 28 29
答案 C C D B D A C
一．选择题（共29小题）
1．如图，学校A在点P的北偏东32°方向上，图书馆B在点P的南偏东46°方向上，则∠APB的度数为（ ）
A．102° B．100° C．104° D．103°
【思路点拔】利用方向角的定义以及平角的定义即可求出∠APB的度数．
【解答】解：∵学校A在点P的北偏东32°方向上，图书馆B在点P的南偏东46°方向上，
∴∠APB＝180°﹣32°﹣46°＝102°；
故选：A．
2．以广场为观测点，学校在广场北偏西30°的方向上，图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据地图上的方向：上北下南，左西右东及角度依次判断即可．
【解答】解：A、选项图片中学校在广场北偏东60°的方向上，不符合题意；
B、选项图片中学校在广场北偏东30°的方向上，不符合题意；
C、选项图片中学校在广场北偏西30°的方向上，符合题意；
D、选项图片中学校在广场北偏西60°的方向上，不符合题意．
故选：C．
3．如图，若射线OA的方向是北偏东40°，∠AOB＝90°，则射线OB的方向是（ ）
A．南偏东50° B．南偏东40° C．东偏南50° D．南偏西50°
【思路点拔】根据方位角定义得到∠AOC＝40°，再利用补角关系求出∠BOD即可．
【解答】解：如图：
∵射线OA的方向是北偏东40°，
∴∠AOC＝40°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣90°＝50°
∴射线OB的方向是南偏东50°，
故选：A．
4．已知，学校在小明家的西偏北40°方向上，则小明家在学校的（ ）方向上．
A．北偏西40° B．北偏西50° C．东偏南40° D．东偏南50°
【思路点拔】根据题目的已知条件画出图形，即可解答．
【解答】解：如图：
∴学校在小明家的西偏北40°方向上，则小明家在学校的东偏南40°方向上，
故选：C．
5．小华家在学校东偏北70°方向200米处，那么学校在小华的（ ）方向200米处．
A．北偏东70° B．东偏西70° C．西偏南70° D．南偏西70°
【思路点拔】利用方向角的定义即可解答．
【解答】解：如图：
∴小华家在学校东偏北70°方向200米处，那么学校在小华的西偏南70°方向200米处．
故选：C．
6．如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（ ）
A．点A在点O的北偏东30°方向上
B．点D在点O的东南方向上
C．点A在点O的北偏东60°方向上
D．点D在点O的南偏东45°方向上
【思路点拔】根据方向角的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、点A在点O的北偏东60°方向上，故A符合题意；
B、点D在点O的东南方向上，故B不符合题意；
C、点A在点O的北偏东60°方向上，故C不符合题意；
D、点D在点O的南偏东45°方向上，故D不符合题意；
故选：A．
7．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝（ ）
A．51° B．141° C．219° D．131°
【思路点拔】根据方向角的定义以及角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：如图，由方向角的定义可知，∠AON＝54°，∠SOB＝15°，
∴∠AOB＝∠AOW+∠WOS+∠SOB
＝90°﹣54°+90°+15°
＝141°，
故选：B．
8．如图，射线OA表示北偏东30°方向，射线OB表示北偏西50°方向，则∠AOB的度数是（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
【思路点拔】根据方向角的定义可直接确定∠AOB的度数．
【解答】解：因为OA表示北偏东30°方向的一条射线，OB表示北偏西50°方向的一条射线，
所以∠AOB＝30°+50°＝80°．
故选：B．
9．如图，在A、B两处观测到C处的方位角分别是（ ）
A．北偏东65°，北偏西40°
B．北偏东65°，北偏西50°
C．北偏东25°，北偏西40°
D．北偏东35°，北偏西50°
【思路点拔】根据方向角的定义即可判断．
【解答】解：A处观测到的C处的方向角是：北偏东65°，
B处观测到的C处的方向角是：北偏西50°．
故选：B．
10．如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东30°方向，∠AOB＝100°，则B地在灯塔O的（ ）
A．南偏东40°方向 B．南偏东50°方向
C．南偏西50°方向 D．东偏南30°方向
【思路点拔】利用平角180°减去30°与100°的和进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
180°﹣30°﹣100°＝50°，
∴B地在灯塔O的南偏东50°方向，
故选：B．
11．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是（ ）
A．北偏东75° B．北偏东60° C．北偏东45° D．北偏东15°
【思路点拔】首先求得∠AOB的度数，然后求得OC与正北方向的夹角即可判断．
【解答】解：∠AOB＝45°+15°＝60°，
则∠AOC＝∠AOB＝60°，OC与正北方向的夹角是60+15＝75°．
则OC在北偏东75°．
故选：A．
12．如图所示，∠AOB，∠COD都是以O为顶点的直角，能解释∠AOC＝∠BOD的理由是（ ）
A．同角的余角相等 B．平角的定义
C．角平分线的定义 D．同角的补角相等
【思路点拔】根据题意易得：∠AOC+∠BOC＝90°，∠COB+∠DOB＝90°，然后根据同角的余角相等可得∠AOC＝∠DOB，即可解答．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOC＝90°，∠COB+∠DOB＝90°，
∴∠AOC＝∠DOB（同角的余角相等），
故选：A．
13．如图，是一副三角尺的摆放位置，下列说法正确的是（ ）
A．∠α和∠β互余 B．∠α和∠β互补
C．∠α和∠β相等 D．∠α+∠β＝105°
【思路点拔】根据平角的定义，得到∠α+∠β＝90°，即可得出结论．
【解答】解：由图可知：∠α+90°+∠β＝180°，
∴∠α+∠β＝90°，
∴∠α和∠β互余；
故选：A．
14．若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拔】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，即可求出有关的结论．
【解答】解：∵∠1+∠2＝90°（1），∠1+∠3＝180°（2），
∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°，
∴①正确．
（1）+（2）得，∠3+∠2＝270°﹣2∠2，
∴②正确．
（2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2，
∴③正确．
由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝90°，
得，∠3＝180°﹣∠1＝2∠1+2∠2﹣∠1＝∠1+2∠2，
∴∠3＞∠1+∠2，
∴④错误．
故选：B．
15．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④（∠α﹣∠β）．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
【思路点拔】根据∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，求出∠β的余角是90°﹣∠β，90°﹣∠β表示∠β的余角；∠α﹣90°＝90°﹣∠β，即可判断②；180°﹣∠α＝∠β，根据余角的定义即可判断③；求出（∠α﹣∠β）＝90°﹣∠β，即可判断④．
【解答】解：∵∠α与∠β互补，
∴∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，
∴90°﹣∠β表示∠β的余角，∴①正确；
∠α﹣90°＝180°﹣∠β﹣90°＝90°﹣∠β，∴②正确；
180°﹣∠α＝∠β，∴③错误；
（∠α﹣∠β）（180°﹣∠β﹣∠β）＝90°﹣∠β，∴④正确；
故选：B．
16．已知∠A与∠B互为余角，∠C与∠B互为补角，则∠C比∠A大（ ）
A．45° B．90° C．135° D．180°
【思路点拔】根据余角补角定义可得∠A+∠B＝90°，∠B+∠C＝180°，于是得到结论．
【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠C＝180°，
∴∠C﹣∠A＝90°，
即∠C比∠A大90°，
故选：B．
17．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝110°，则∠BOC的度数是（ ）
A．20° B．65° C．70° D．75°
【思路点拔】由题意知，∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB，根据∠BOC＝∠COD﹣∠BOD，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝110°﹣90°＝20°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝70°．
故选：C．
18．已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，且∠3＝3∠1，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【思路点拔】根据余角和补角的定义可得∠1＝90°﹣∠2，∠3＝180°﹣∠2，从而可得180°﹣∠2＝3（90°﹣∠2），然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，
∴∠1＝90°﹣∠2，∠3＝180°﹣∠2，
∵∠3＝3∠1，
∴180°﹣∠2＝3（90°﹣∠2），
解得：∠2＝45°，
故选：B．
19．如果一个角的余角是30°，那么这个角的补角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【思路点拔】先根据余角的定义求出这个角的度数，进而可求出这个角的补角．
【解答】解：由题意，得：
180°﹣（90°﹣30°）
＝180°﹣60°
＝120°．
故这个角的补角的度数是120°．
故选：D．
20．如果一个角的补角是这个角的余角的5倍，则这个角的度数为（ ）
A．45° B．52.5° C．60° D．67.5°
【思路点拔】设这个角为x°，依据题意列方程求解．
【解答】解：设这个角为x°，则它的余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°
据题意得方程：180﹣x＝5（90﹣x）；
解得x＝67.5°；
故选：D．
21．如果∠α和∠β互余，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的补角的式子中：①180°﹣∠β；②∠α+90°；③2（∠α+∠β）；④2∠α﹣∠β；⑤2∠α+∠β．正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④
【思路点拔】根据余角和补角的定义进行判断即可．
【解答】解：∵∠α和∠β互余，
∴∠α+∠β＝90°，
∴∠β＝90°﹣∠α，
∵∠β的补角为180°﹣∠β，
∴其补角还可以表示为180°﹣（90°﹣∠α）＝∠α+90°，
∵∠α+∠β＝90°，
∴2∠α+2∠β＝180°，
∴∠β的补角还可以表示为2∠α+2∠β﹣∠β＝2∠α+∠β，
则正确的有①②⑤，
故选：C．
22．如果∠α和∠β互补（∠α＞∠β），则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β，②∠α﹣90°，③，④，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【思路点拔】由∠α和∠β互补，可得∠α+∠β＝180°，即：∠β＝180°﹣∠α，，再逐一判断即可．
【解答】解：∵∠α和∠β互补，
∴∠α+∠β＝180°，
∴∠β＝180°﹣∠α，，
于是有：
∠β的余角为：90°﹣∠β，故①正确；
∠β的余角为：90°﹣∠β＝90°﹣（180°﹣∠α）＝∠α﹣90°，故②正确；
∠β的余角为：90°﹣∠β∠α∠β﹣∠β∠α∠β，故③正确；
90°，不是∠β的余角，故④错误．
正确的有：①②③．
故选：A．
23．如图，在同一平面内，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，点F为OE反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④若OA绕点O顺时针旋转一周，其它条件都不变，若∠FOD：∠EOC＝1：6，则∠FOD＝18°或15°，其中结论一定正确的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拔】由∠AOB＝∠COD＝90°，根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，结合∠COE＝∠BOE即可判断①正确；
由∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合∠AOB＝∠COD＝90°即可判断②正确；
由∠BOC﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而不能判断∠AOD＝∠AOC，即可判断③不正确；
设∠AOF＝∠FOD＝α，利用周角等于360°列方程求解，从而可判断④不正确．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠COE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠DOE，
所以①正确；
∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOC+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝180°，
所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线，由①知，∠AOE＝∠DOE，
∴∠EOF﹣∠AOE＝∠EOF﹣∠DOE，
∴∠AOF＝∠FOD，∠AOD＝2∠AOF．
设∠AOF＝∠FOD＝α，
∵∠FOD：∠EOC＝1：6，
∴∠EOC＝6α，
∴∠EOC＝∠EOC＝6α，∠AOD＝2α，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣2α，
∴∠AOD+∠AOC+∠BOD+∠COE+∠BOE
＝2α+2（90°﹣2α）+2α+2α
＝360°，
∴α＝18°，
∴∠FOD＝α＝18°，所以④不正确；
所以，正确的结论有2个．
故选：C．
24．将一副三角板按图示进行摆放，其中α≠β的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】A．根据图形可知：∠α+∠1＝90°，∠1+∠β＝90°，然后根据余角的性质：同角的余角相等，进行判断即可；
B．由图形可知：∠β＝45°，∠α+∠β＝90°，求出∠α，进行判断即可；
C．由图可知：∠α＝45°，∠α+∠β＝60°，求出∠β，进行判断即可；
D．由图可知：∠α＝45°，∠α+∠β＝90°，求出∠β，进行判断即可．
【解答】解：A．如图所示：
，
∵∠α+∠1＝90°，∠1+∠β＝90°，
∴∠α＝∠β，
故此选项不符合题意；
B．如图可知：∠β＝45°，∠α+∠β＝90°，
∴∠α＝∠β＝45°，
故此选项不符合题意；
C．由图可知：∠α＝45°，∠α+∠β＝60°，
∴∠β＝15°，
∴∠α≠∠β
D．故此选项符合题意；
由图可知：∠α＝45°，∠α+∠β＝90°，
∴∠β＝45°，
∴∠α＝∠β，
故此选项不符合题意；
故选：C．
25．已知∠α＝42°12′，与∠α互余的角的度数是（ ）
A．132°12′ B．137°48′ C．57°48′ D．47°48′
【思路点拔】如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，由此计算即可．
【解答】解：∵∠α＝42°12′，
∴∠α互余的角的度数是90°﹣42°12′＝89°60′﹣42°12′＝47°48′，
故选：D．
26．若∠α＝54°32'，则∠α的余角的大小是（ ）
A．35°38' B．35°28' C．125°28' D．125°38'
【思路点拔】如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，据此计算即可．
【解答】解：∵∠α＝54°32'，
∴∠α的余角是90°﹣54°32'＝89°60'﹣54°32'＝35°28'，
故选：B．
27．若α＝13°35'，则α的补角等于（ ）
A．76°25' B．77°25' C．167°25' D．166°25'
【思路点拔】如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角；由此计算即可．
【解答】解：若α＝13°35'，
则α的补角为180°﹣13°35'＝179°60'﹣13°35'＝166°25'，
故选：D．
28．已知一个角是53°17′28″，则它的补角是（ ）
A．126°42′32″ B．126°43′42″
C．126°32′42″ D．136°42′32″
【思路点拔】用180°减53°17′28″，即可求解．
【解答】解：180°﹣53°17′28″＝179°59′60″﹣53°17′28″＝126°42′32″，
故选：A．
29．若∠α的余角为54°32'，则∠α的补角的大小是（ ）
A．35°28' B．45°38' C．144°32' D．154°38'
【思路点拔】如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，据此计算即可．
【解答】解：∵∠α的余角是54°32'，
∴∠α＝90°﹣54°32'＝89°60'﹣54°32'＝35°28'，
∴∠α的补角是180°﹣35°28'＝144°32′．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
30．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°的方向上，则∠AOB的度数是 82° ．
【思路点拔】根据已知条件可直接确定∠AOB的度数．
【解答】解：∵OA是表示北偏东60°方向的一条射线，OB是表示南偏东38°方向的一条射线，
∴∠AOB＝180°﹣60°﹣38°＝82°，
故答案为：82°．
31．如图，射线OA表示方向是 东北方向或北偏东45° ．
【思路点拔】根据题意可知射线OA所指方向为东北方向或北偏东45°．
【解答】解：射线OA所指方向为东北方向或北偏东45°．
故答案为：东北方向或北偏东45°．
32．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝ 141° ．
【思路点拔】首先计算出∠3的度数，再计算∠AOB的度数即可．
【解答】解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，
∠3＝90°﹣54°＝36°，
∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．
故答案为：141°．
33．如图，射线OA表示南偏东28°，OB在东北方向，则∠AOB的度数是 107° ．
【思路点拔】根据题意可得：∠AOD＝28°，∠COB＝45°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠AOD＝28°，∠COB＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣∠COB﹣∠AOD＝107°，
故答案为：107°．
34．如图，若点A在点O北偏西60°的方向上，点B在点O的南偏东26°的方向上，则∠AOB（小于平角）的大小为 146 度．
【思路点拔】结合图形，然后求出OA与西方的夹角的度数，再列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵点A在点O北偏西60°的方向上，
∴OA与西方的夹角为90°﹣60°＝30°，
又∵点B在点O的南偏东26°的方向上，
∴∠AOB＝30°+90°+26°＝146°．
故答案为：146．
35．如图，射线AB的方向是北偏东70°，射线AC的方向是南偏西30°，则∠BAC的度数是 140° ．
【思路点拔】根据方向角的意义求出∠BON＝70°，∠CAS＝30°，∠SAE＝90°，再根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键．
【解答】解：如图，由题意可知，∠BON＝70°，∠CAS＝30°，∠SAE＝90°，
所以∠BAC＝∠BOE+∠EAS+∠SAC
＝90°﹣70°+90°+30°
＝140°，
故答案为：140°．
36．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西50°方向上，现测得∠AOB＝63°，此时客轮B在货轮O的 北偏西67° 方向．
【思路点拔】根据图形及方位角即可求解．
【解答】解：根据题意得：灯塔A在它的南偏西50°方向，
所以∠SOA＝50°，
∵∠AOB＝63°，
∴∠NOB＝180°﹣∠BOA﹣∠SOA＝180°﹣50°﹣63°＝67°，
故答案为：北偏西67°．
三．解答题（共24小题）
37．如图三角板和直尺放置．
（1）∠1与∠2的关系是 ∠1+∠2＝90° ；
（2）若∠1的补角比∠2的2倍多25°，求∠1的大小．
【思路点拔】（1）根据平角等于180°即可解答；
根据和为180度的两个角互为补角；和为90度的两个角互为余角解答即可．
【解答】解：（1）∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
故答案为：∠1+∠2＝90°；
（2）设∠1＝x°，则∠2＝（90﹣x）°，根据题意得：
180﹣x＝2（90﹣x）+25，
解得x＝25，
∴∠1＝25°．
38．（1）如果一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数．
（2）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．
【思路点拔】（1）设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．
（2）设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．
【解答】解：（1）设这个角为x°，则这个的补角的度数为（180﹣x）°，它的余角的度数为（90﹣x）°，
根据题意，得180°﹣x＝4（90°﹣x），
解得x＝60°，
故这个角的度数是60°．
（2）设这个角的度数为x°，则这个的补角的度数为（180﹣x）°，它的余角的度数为（90﹣x）°，
根据题意，得：180°﹣x＝2（90°﹣x）+40°，
解得x＝40°．
故这个角的度数为40°．
39．已知∠α与∠β互为补角，且∠β 的比∠α大25°，求∠α的余角．
【思路点拔】设∠α＝x°，则∠β的度数是（180﹣x）°，然后根据∠β的比∠α大25°即可列方程求解．
【解答】解：设∠α＝x°，则∠β的度数是（180﹣x）°，
根据题意得：（180﹣x）＝x+25，
解得：x＝57，
则∠α＝57°．
∴∠α的余角为90°﹣57°＝33°．
40．【实践操作】三角尺中的数学问题．
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°；
①若∠BCH＝34°，则∠ACD＝ 146 °；若∠ACD＝132°，则∠BCH＝ 48 ；
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系．
【思路点拔】（1）①已知∠ACB＝∠DCH＝90°，根据角的和差即可求出∠ACD和∠BCH的度数；
②根据前两个小问的结论猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，结合前两个小问的解题思路即可得出证明；
（2）根据（1）的解题思路确定∠CAF与∠EAB之间的数量关系并证明．
【解答】解：（1）①∵∠BCH＝34°，∠ACB＝∠DCH＝90°，
∴∠DCB＝∠DCH﹣∠BCH
＝90°﹣34°
＝56°，
∴∠ACD＝∠BCA+∠DCB
＝56°+90°
＝146°，
∵∠ACB＝∠DCH＝90°，∠ACD＝132°，
∴∠DCB＝∠ACD﹣∠ACB
＝132°﹣90°
＝42°，
∴∠BCH＝∠DCH﹣∠DCB
＝90°﹣42°
＝48°，
故答案为：146；48；
②猜想：∠ACD+∠BCH＝180°，
理由如下：∵∠ACB＝∠DCH＝90°，
∴∠ACB+∠DCH＝180°，
∴∠ACH+∠BCH+∠BCH+∠DCB＝180°，
∴∠ACH+∠BCH+∠DCB+∠BCH＝180°，
∴∠ACD+∠BCH＝180°；
（2）∠CAF+∠EAB＝120°，
理由如下：∵∠CAB＝∠EAF＝60°，
∴∠CAB+∠EAF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CAE+∠EAB+∠EAB+∠BAF＝120°，
∴∠CAE+∠EAB+∠BAF+∠EAB＝120°，
∴∠CAF+∠EAB＝120°．
41．定义：如果有三个角α，β，γ，满足α+β﹣γ＝90°，则称γ是α和β的“减余角”．
（1）已知∠1＝37°，∠2＝66°，若∠3是∠1和∠2的“减余角”，则∠3＝ 13° ．
（2）现有一张正方形纸片ABCD，如图1所示，点E为线段BC上一点（不与B、C重合）．连结AE，将纸片沿着AE对折，使点B落在正方形纸片的内部且对应点为B′．
①若∠B′EC是∠AEB和∠AEB′的“减余角”，求∠AEB的度数．
②再将此正方形纸片沿着B′E所在直线对折，使点C落在正方形纸片的内部且对应点为C′，如图2所示．是否存在∠AEB，∠AEC′，∠B′EC中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出∠AEB的度数；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）由“减余角”得∠1+∠2﹣∠3＝90°，再计算即可．
（2）由“减余角”得∠AEB+∠AEB′﹣∠B′EC＝90°，再利用平角∠AEB+∠AEB′+∠B′EC＝180°计算即可．
（3）分两种情况讨论：当∠AEB+∠AEC′﹣∠B′EC＝90°时，当∠AEB+∠B′EC﹣∠AEC′＝90°时，再利用“减余角”定义计算即可．
【解答】解：（1）∵∠3是∠1和∠2的“减余角”，
∴∠1+∠2﹣∠3＝90°，
∴∠3＝13°，
故答案为：13°．
（2）∵∠B′EC是∠AEB和∠AEB′的“减余角”，
∴∠AEB+∠AEB′﹣∠B′EC＝90°，
∵∠AEB+∠AEB′+∠B′EC＝180°，
∴（∠AEB+∠AEB′﹣∠B′EC）+（∠AEB+∠AEB′+∠B′EC）＝90°+180°，
∴∠AEB+∠AEB′＝135°，
由对折得∠AEB＝∠AEB′，
∴∠AEB＝67.5°．
（3）存在∠AEB，∠AEC′，∠B′EC中的一个角是其它两个角的“减余角”．
理由如下：
由对折设∠B'EC'＝∠B'EC＝α，
∠AEB'＝β，
∴∠AEB＝α+β．
当∠AEB+∠AEC′﹣∠B′EC＝90°时，
α+β+β﹣α＝90°，
∴β＝45°，
由平角∠AEB+∠AEC'+∠B'EC'+∠B'EC＝180°，
∴α+β+β+2α＝180°，
∴α＝30°，
∴∠AEB＝α+β＝75°．
当∠AEB+∠B′EC﹣∠AEC′＝90°时，
α+β+α﹣β＝90°，
∴α＝45°，
由平角∠AEB+∠AEC'+∠B'EC'+∠B'EC＝180°，
∴β＝22.5°，
∴∠AEB＝67.5°．
综上所述，∠AEB＝75°或67.5°．
42．如图，长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF的A′处，得到折痕EN．
（1）若∠BEM＝60°，∠NEM＝ 90° ，∠FEM的余角有 ∠FEN、∠AEN ．
（2）若∠BEM＝α°，∠NEM＝ 90° ，说明理由．
【思路点拔】（1）∠NEM＝∠A′EN+∠B′EM，∠FEM+∠FEN＝90°，∠FEM+∠AEN＝90°；
（2）∠NEM＝∠A′EN+∠B′EM．
【解答】解：（1）由于折叠，∠BEM＝∠B′EM，∠AEN＝∠A′EN，
∵∠BEM＝60°，
∴∠B′EM＝60°，∠AEA′＝60°，
∴∠A′EN＝∠AEN＝30°，
∵∠NEM＝∠A′EN+∠B′EM，
∴∠NEM＝90°，
∴∠FEM+∠FEN＝90°，∠FEM+∠AEN＝90°，
故答案为：90°，∠FEN、∠AEN；
（2）∵∠BEM＝α°，
∴∠B′EM＝α°，∠AEA′＝180°﹣2α，
∴∠A′EN＝∠AEN＝90°﹣α，
∵∠NEM＝∠A′EN+∠B′EM，
∴∠NEM＝90°，
故答案为：90°．
43．如图1，已知∠BOC＝120°，△MON是含30°角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将三角板按图2位置放置，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，若∠AOD＝∠BON，问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将三角板按图3位置放置，此时发现，当ON在∠AOC的内部时，绕点O旋转三角板△MON，∠AOM与∠NOC的差值不变，请你写出这个差值，即∠AOM﹣∠NOC＝ 30° °．
【思路点拔】（1）利用OD求出∠COD的度数，和∠AOC的度数作比较得出关系即可；
（2）利用角度的相加相减，根据图象进行角度的转化．
【解答】解：（1）直线ON平分∠AOC，理由如下：
∵∠AOD＝∠BON，
∴OD和ON在一条直线上，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB∠BOC120°＝60°，
∵∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，
∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°，
∴∠COD∠AOC，
∴直线ON平分∠AOC；
（2）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
44．（1）如图1，将一副三角尺的直角顶点重合在一起，∠ACB＝∠DCE＝90°．
①若∠DCB＝35°，则∠ACE的度数为 145° ．
②猜想∠ACE和∠DCB的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，把两个相同的三角尺的60°角的顶点重合在一起，∠BAC＝∠FAG＝60°．则∠BAG和∠FAC的数量关系为 ∠BAG+∠FAC＝120° ．
（3）已知∠MON＝α，∠POQ＝β（∠MON，∠POQ都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠MOQ和∠PON的数量关系．
【思路点拔】（1）①∠ACE＝∠ACB+∠DCE﹣∠DCB可得；
②根据∠ACE+∠DCB＝∠ACB+∠DCE可得；
（2）根据∠BAG+∠FAC＝∠FAG+∠BAC可得；
（3）根据∠MOQ+∠PON＝∠POQ+∠MON可得．
【解答】（1）①∠ACE＝∠ACB+∠DCE﹣∠DCB＝145°，
故答案为：145°；
②∠ACE+∠DCB＝180°，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∠ACE+∠DCB＝∠ACB+∠DCE，
∴∠ACE+∠DCB＝180°；
（2）∵∠BAG+∠FAC＝∠FAG+∠BAC，∠BAC＝∠FAG＝60°，
∴∠BAG+∠FAC＝120°，
故答案为：∠BAG+∠FAC＝120°；
（3）∵∠MOQ+∠PON＝∠POQ+∠MON，∠MON＝α，∠POQ＝β，
∴∠MOQ+∠PON＝α+β．
45．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题：
（1）如图（1）：当∠DCE＝30°时，∠ACB+∠DCE＝ 30° ，若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
（2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由．
【思路点拔】（1）当∠DCE＝30°时，利用互余计算出∠BCD，然后可得到∠ACB+∠DCE的度数；若∠DCE为任意锐角时，利用∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCD+∠DCE＝90°，然后计算出∠ACB+∠DCE＝180°；
（2）利用周角定义得到∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE＝360°所以∠ECD+∠ACB＝360°﹣（∠ACD+∠ECB）＝180°．
【解答】解：（1）∠ACB+∠DCE＝180°；
若∠DCE为任意锐角时，∠ACB+∠DCE＝180°，
理由如下：∵∠ACE+∠DCE＝90°，
∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°．
理由如下：∵∠ACD＝90°＝∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE＝360°，
∴∠ECD+∠ACB＝360°﹣（∠ACD+∠ECB）＝360°﹣180°＝180°．
故答案为30°．
46．如图，将两个角的顶点重合在一起，使角的一边在另一个角的内部．
（1）如图1，将两个同样的直角三角尺的60°锐角顶点A重合在一起．若∠CAE＝15°，则∠DAB＝ 105 °；
（2）如图2，若是将一副直角三角尺的直角顶点C重合在一起．猜想∠ACB与∠DCE的数量关系？请说明理由；
（3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α、β都是锐角），若把它们的顶点O重合在一起．如图3，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系 ∠AOD+∠BOC＝α+β ．
【思路点拔】（1）根据等角减同一个角相等可得∠BAC＝∠DAE＝60°﹣15°＝45°，则∠DAB＝∠BAC+∠DAE+∠CAE代入数据计算即可；
（2）根据等角的余角相等可得∠BCD＝∠ACE＝90°﹣∠DCE，则∠ACB＝∠BCD+∠ACE+∠DCE＝90°﹣∠DCE+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°﹣∠DCE，整理即可；
（3）根据∠AOB＝α，∠COD＝β，则有∠AOC＝α﹣∠BOC，∠DOB＝β﹣∠BOC，所以∠AOD＝∠AOC+∠DOB+∠BOC＝α﹣∠BOC+β﹣∠BOC+∠BOC＝α+β﹣∠BOC，整理即可．
【解答】解：（1）∵∠BAE＝∠CAD＝60°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°﹣15°＝45°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAE+∠CAE＝45°+45°+15°＝105°，
故答案为：105°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE＝90°﹣∠DCE，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACE+∠DCE＝90°﹣∠DCE+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝180°；
（3）∵∠AOB＝α，∠COD＝β，
∴∠AOC＝α﹣∠BOC，∠DOB＝β﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOC+∠DOB+∠BOC＝α﹣∠BOC+β﹣∠BOC+∠BOC＝α+β﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β．
故答案为：∠AOD+∠BOC＝α+β．
47．如图，以点O为观测点，射线OE，OS，OW，ON分别表示正东、正南、正西、正北方向．
（1）射线OA表示 北偏东30° 方向；
（2）画出表示下列方向的射线：
①射线OB，表示南偏东60°；
②射线OC，表示南偏西50°；
③射线OD，表示西北方向；
（3）图中∠COD＝ 85 °；
（4）图中∠AON的补角是 ∠AOS和∠BOW ．
【思路点拔】（1）根据角度即可得出方位角；
（2）根据方位角的大小画出射线即可；
（3）根据∠COD＝180°﹣∠COS﹣∠NOD计算即可；
（4）根据补角的定义解答即可．
【解答】解：（1）射线OA表示北偏东30°，
故答案为：北偏东30°；
（2）如图所示，
（3）∠COD＝180°﹣∠COS﹣∠NOD＝180°﹣50°﹣45°＝85°，
故答案为：85；
（4）∵∠AON+∠AOS＝180°，
∴∠AON与∠AOS互补；
∵∠AON＝30°，∠BOW＝60°+90°＝150°，
∴∠AON+∠BOW＝180°，
∴∠AON与∠BOW互补，
∴∠AON的补角是∠AOS和∠BOW，
故答案为：∠AOS和∠BOW．
48．如图：货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东59°的方向上，同时，在它的北偏东37°、南偏西12°、西北方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D．
（1）求∠BOE的补角的度数．
（2）①求∠WOD+∠AOB的度数．
②求∠BOD﹣∠WOC的度数．
【思路点拔】（1）根据题意得出∠DON＝∠WOD＝45°，∠COS＝12°，∠BON＝37°，∠AOS＝59°，求出∠BOE的度数，再求出答案即可；
（2）①先求出∠AOB的度数，再求出答案即可；
②先求出∠BOD和∠WOC的度数，再求出答案即可．
【解答】解：∵货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东59°的方向上，同时，在它的北偏东37°、南偏西12°、西北方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D，
∴∠DON＝∠WOD＝45°，∠COS＝12°，∠BON＝37°，∠AOS＝59°，
（1）∵∠BON＝37°，∠NOE＝90°，
∴∠BOE＝∠NOE﹣∠BON＝90°﹣37°＝53°，
∴∠BOE的补角的度数是180°﹣53°＝127°；
（2）①∵∠BON＝37°，∠AOS＝59°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠BON+∠AOS）＝84°，
∵∠WOD＝45°，
∴∠WOD+∠AOB＝45°+84°＝129°；
②∵∠BON＝37°，∠DON＝45°，
∴∠BOD＝∠BON+∠DON＝37°+45°＝82°，
∵∠WOS＝90°，∠COS＝12°，
∴∠WOC＝∠WOS﹣∠COS＝90°﹣12°＝78°，
∴∠BOD﹣∠WOC＝82°﹣78°＝4°．
49．综合探究
如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝45°，∠CED＝30°．
（1）如图1，∠ACD＝ 135 °；
（2）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使CE刚好落在∠ACB的平分线上．此时，CD是否平分∠ACF？请说明理由；
（3）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使得CE落在∠ACB内部，
当∠ACE＝10°时，则∠BCD＝ 125 °；
当∠BCD＝110°时，则∠ACE＝ 25 °；
设∠ACE＝α，∠BCD＝β，试猜想α与β的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）∠ACD＝∠ACB+∠BCD可得；
（2）证∠ACD是否等于∠DCF，即CD是否平分∠ACF；
（3）根据∠BCD＝∠ECD+∠ACB﹣∠ACE，∠ACE＝∠ACB﹣（∠BCD﹣∠ECD），∠ACE+∠BCD＝∠ACB+∠ECD可得．
【解答】解：（1）∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝135°，
故答案为：135；
（2）CD是∠ACF 的平分线，
∵CE落在∠ACB 的平分线上，
∴∠ACE＝∠BCE45°＝22.5°，
∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DCF＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠ACD＝∠DCF，
∴CD平分∠ACF；
（3）当∠ACE＝10°时，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝35°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝125°，
当∠BCD＝110°时，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD＝20°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝25°，
α+β＝135°，
∵∠BCD＝∠BCE+∠ECD，
又∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝45°
∴α+β＝∠ACE+∠BCD
＝∠ACE+∠BCE+∠ECD
＝∠ACB+∠ECD
＝45°+90°
＝135°
故答案为：125，25．
50．如图，射线OB表示的方向是北偏东76°，射线OC表示的方向是北偏西46°，射线OA在射线OB和射线OC之间，且∠AOB＝32°．
（1）填空：∠COW的度数为 44° ；
（2）求射线OA的方向．
【思路点拔】（1）根据题意可得：∠WON＝90°，∠CON＝46°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：∠BON＝76°，∠AOB＝32°，从而利用角的和差关系可得∠AON＝44°，然后根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：∠WON＝90°，∠CON＝46°，
∴∠COW＝∠WON﹣∠CON＝44°，
故答案为：44°；
（2）由题意得：∠BON＝76°，∠AOB＝32°，
∴∠AON＝∠BON﹣∠AOB＝44°，
∴射线OA的方向是北偏东44°．
51．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是 北偏东70° ；
（2）求∠COD的度数；
（3）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
【思路点拔】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；
（2）根据∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，进而求出∠COD的度数；
（3）根据射线OE平分∠COD，即可求出∠COE＝35°再利用∠AOC＝55°求出答案即可．
【解答】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，
∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，
∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°，
∵∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC＝55°，
∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°，
∴OC的方向是北偏东70°；
故答案为：北偏东70°；
（2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，
∴∠BOC＝110°．
又∵射线OD是OB的反向延长线，
∴∠BOD＝180°．
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．
（3）∵∠COD＝70°，OE平分∠COD，
∴∠COE＝35°．
∵∠AOC＝55°．
∴∠AOE＝90°．
52．如图，射线OB表示的方向是北偏东76°，射线OC表示的方向是北偏西46°，射线OA在射线OB和射线OC之间，且∠AOB＝32°．求∠AOC的度数．
【思路点拔】根据方向角的定义得到∠BON＝76°，∠CON＝46°，结合图形中角的和差关系得出答案．
【解答】解：如图，由题意可得：∠BON＝76°，∠CON＝46°，
∴∠BOC＝∠BON+∠CON＝122°，
∵∠AOB＝32°，
∴∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝90°．
53．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是 北偏东70° ；
（2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
【思路点拔】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；
（2）根据∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，进而求出∠COD的度数，根据射线OE平分∠COD，即可求出∠COE＝35°再利用∠AOC＝55°求出答案即可．
【解答】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，
∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，
∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°，
∵∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC＝55°，
∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°，
∴OC的方向是北偏东70°；
故答案为：北偏东70°；
（2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，
∴∠BOC＝110°．
又∵射线OD是OB的反向延长线，
∴∠BOD＝180°．
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．
∵∠COD＝70°，OE平分∠COD，
∴∠COE＝35°．
∵∠AOC＝55°．
∴∠AOE＝90°．
54．如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东30°的方向上，轮船B在灯塔P的南偏东70°的方向上．
（1）求从灯塔P看两轮船的视角（即∠APB）的度数？
（2）轮船C在∠APB的角平分线上，则轮船C在灯塔P的什么方位？
【思路点拔】（1）根据∠APB＝180°﹣∠APN﹣∠BPS即可求出；
（2）根据PC平分∠APB求出∠APC，然后根据∠NPC＝∠APN+∠APC即可解答．
【解答】解：（1）由题意可知∠APN＝30°，∠BPS＝70°
所以：∠APB＝180°﹣∠APN﹣∠BPS＝80°；
（2）∵PC平分∠APB，且∠APB＝80°
∵∠APC∠APB＝40°
∴∠NPC＝∠APN+∠APC＝70°
∴轮船C在灯塔P的北偏东70°的方向上．
55．如图，射线OA表示的方向是北偏东44°，射线OB表示的方向是北偏东76°，已知图中∠BOC＝122°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）写出射线OC的方向．
【思路点拔】（1）根据方向角的定义，结合图形中角的和差关系得出答案；
（2）根据角的和差关系求出∠NOC即可．
【解答】解：（1）如图，射线OA表示的方向是北偏东44°，即∠NOA＝44°
射线OB表示的方向是北偏东76°，即∠NOB＝76°，
∴∠AOB＝∠NOB﹣∠NOA＝76°﹣44°＝32°，
即∠AOB＝32°；
（2）∵∠BOC＝122°，∠NOB＝76°，
∴∠NOC＝∠BOC﹣∠NOB
＝122°﹣76°
＝46°，
∴射线OC的方向为北偏西46°．
56．【实践操作】三角尺中的数学问题．
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°．
①若∠BCH＝35°，则∠ACD＝ 145 °；若∠ACD＝131°，则∠BCH＝ 49 °；
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系．
【思路点拔】（1）①已知∠ACB＝∠DCH＝90°，根据角的和差即可求出∠ACD和∠BCH的度数；
②根据前两个小问的结论猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，结合前两个小问的解题思路即可得出证明；
（2）根据（1）的解题思路确定∠CAF与∠EAB之间的数量关系并证明．
【解答】解：（1）①∵∠ACB＝∠DCH＝90°，∠BCH＝35°，
∴∠DCB＝∠DCH﹣∠BCH
＝90°﹣35°
＝55°，
∴∠ACD＝∠DCB+∠BCA
＝55°+90°
＝145°，
∵∠ACD＝131°，∠ACB＝∠DCH＝90°，
∴∠DCB＝∠ACD﹣∠ACB
＝131°﹣90°
＝41°，
∴∠BCH＝∠DCH﹣∠DCB
＝90°﹣41°
＝49°，
故答案为：145，49；
②猜想：∠ACD+∠BCH＝180°，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCH＝90°，
∴∠ACB+∠DCH＝180°，
∴∠ACH+∠BCH+∠BCH+∠DCB＝180°，
∴∠ACH+∠BCH+∠DCB+∠BCH＝180°，
∴∠ACD+∠BCH＝180°；
（2）∠CAF+∠EAB＝120°，理由如下：
∵∠CAB＝∠EAF＝60°，
∴∠CAB+∠EAF＝120°，
∴∠CAE+∠EAB+∠EAB+∠BAF＝120°，
∴∠CAE+∠EAB+∠BAF+∠EAB＝120°，
∴∠CAF+∠EAB＝120°．
57．若两个角的和为60°，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，∠AOB与∠AOD互补，若∠BOC＝10°．
（1）求∠AOB的度数．
（2）若如图2所示，射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM＝4∠AOM，求∠COM的度数．
【思路点拔】（1）已知∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，即∠AOB+∠AOC＝60°，因为∠AOC＝∠AOB+∠BOC，所以∠BOC+2∠AOB＝60°，已知∠BOC＝10°，可得∠AOB的度数；
（2）已知∠AOB与∠AOD互补，可得∠AOD的度数，因为∠DOM＝4∠AOM，∠DOM+∠AOM＝∠AOD，可得∠AOM、∠DOM的度数，又因∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝35°，所以∠COM＝∠AOC﹣∠AOM．
【解答】解：（1）∵∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，
∴∠AOB+∠AOC＝60°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，
∴∠BOC+2∠AOB＝60°，
∵∠BOC＝10°，
∴∠AOB＝25°；
（2）∵∠AOB与∠AOD互补，
∴∠AOD＝155°，
∵∠DOM＝4∠AOM，∠DOM+∠AOM＝∠AOD，
∴5∠AOM＝∠AOD＝155°，
∴∠AOM＝31°，
∴∠DOM＝124°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝35°，
∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝4°．
58．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠AOC＝65°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OA上，求∠COE的度数．
（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O顺时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠AOE，求∠COD的度数．
【思路点拔】（1）由∠COE＝∠DOE﹣∠AOC可得；
（2）因为OC恰好平分∠AOE，所以∠COE＝∠AOC＝65°，由∠COD＝∠DOE﹣∠COE可得．
【解答】解：（1）∠COE＝∠DOE﹣∠AOC＝90°﹣65°＝25°；
（2）∵OC恰好平分∠AOE，
∴∠COE＝∠AOC，
∵∠AOC＝65°，
∴∠COE＝65°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝90°﹣65°＝25°．
59．如图1，直线AB与CD相交于点O，使∠BOC＝120°．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即∠MON＝90°．
（1）当三角尺一边OM在∠BOC的内部，且为∠BOC的三等分线，求∠BON的度数？
（2）当三角尺一边ON在∠AOC的内部（图②），求∠AOM﹣∠CON的值？
【思路点拔】（1）因为OM为∠BOC的三等分线，需要分两种情况，∠BOC或∠BOC，代入求出∠BOM的值，进而可得结论；
（2）利用角度之间的关系，分别表达∠AOM和∠CON，再作差即可．
【解答】解：（1）∵OM为∠BOC的三等分线，
∴或∠BOC＝40°．
∴∠BON＝90°﹣40°＝50°或∠BON＝90°﹣80°＝10°．
（2）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠CON＝60°﹣∠AON，∠AOM＝90°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠CON＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
60．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠COD+∠AOB＝90°，则∠COD是∠AOB的内余角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，∠AOB＝72°，∠AOC＝20°，若∠COD是∠AOB的内余角，则∠BOD＝ 34° ；
（2）如图2．已知∠AOB＝60°将OA绕点O顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜60°）得到OC．同时将OB绕点O顺时针方向旋转一个角度得到OD．若∠COB是∠AOD的内余角，求α的值；
（3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合，如图4将三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线OA，OB，OC，OD构成内余角时，请求出t的值．
【思路点拔】（1）根据内余角可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD即可求解；
（2）根据旋转的性质分别用含α的式子表示∠COB，∠BOD的度数，再根据∠COB是∠AOD的内余角列式求解即可；
（3）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当OC在∠AOB内部时；当OC在射线OB下方时；当OD在OA上方时；当OD在∠AOB内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，列表求解即可．
【解答】解：（1）∵∠COD是∠AOB的内余角，
∴∠COD+∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝72°，
∴∠COD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣72°＝18°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD
＝72°﹣20°﹣18°
＝34°，
故答案为：34°；
（2）已知∠AOB＝60°，OA绕点O顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜60°）得到OC，OB绕点O顺时针方向旋转一个角度得到OD，
∴∠AOC＝α，，
∴∠BOC＝∠AOB﹣α＝60°﹣α，，
∵∠COB是∠AOD的内余角，
∴∠COB+∠AOD＝90°，
∴，
解得α＝45°
∴α的值为45°；
（3）根据题意可得，∠AOB＝30°，三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，
当OC在∠AOB内部时，如图所示，
∴∠AOC＝6t，∠BOD＝6t，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°﹣6t，∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝30°+6t，
若∠COB是∠AOD的内余角时，得∠COB+∠AOD＝90°，
∴30﹣6t+30+6t＝90°，无解，
∴当OC在∠AOB内部时，射线OA，OB，OC，OD不能构成内余角；
当OC在射线OB下方时，如图所示，
∴∠BOC＝6t﹣30°，∠AOD＝6t+30°，
若∠BOC是∠AOD的内余角，
∴6t﹣30°+6t+30°＝90°，
解得t＝7.5；
当OD在OA上方时，如图所示，
∴∠AOD＝360°﹣6t﹣30°＝330°﹣6t，∠BOC＝∠AOD+60°＝330°﹣6t+60°＝390°﹣6t，
若∠AOD是∠BOC的内余角，
∴330°﹣6t+390°﹣6t＝90°，
解得t＝52.5；
当OD在∠AOB内部时，如图所示，
∴∠AOC＝360°﹣6t，∠BOD＝360°﹣6t，∠AOD＝6t﹣∠AOC＝6t﹣（360°﹣6t）＝12t﹣360°，
∴∠BOC＝∠AOC+∠BOD＝360°﹣6t+360°﹣6t＝720°﹣12t，
若∠AOD是∠BOC的内余角，
∴12t﹣360+720﹣12t＝90°，无解，
∴当OD在∠AOB内部时，射线OA，OB，OC，OD不能构成内余角；
综上所述，当射线OA，OB，OC，OD构成内余角时，t的值为7.5秒或52.5秒．
