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《图形的初步认识》综合测试卷
一．选择题（共10小题）
1．在一条直线上从左到右有A、B、C个点，以下语句不能判定点B是线段AC中点的是（ ）
A．AB+BC＝AC B．AB＝BC C．AC＝2BC D．
2．下列几何体是锥体的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．数学来源于生活，又应用于生活．生活中有下列现象，其中能用“经过两点有且只有一条直线”来解释的现象有（ ）
①植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上；
②小狗看到远处的食物，径直向食物奔跑过去；
③木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线；
④把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4．如图，点M，P，N是直线l上从左至右的三个点，下列说法错误的是（ ）
A．点P在直线MN上 B．点P在线段MN上
C．点N在线段MP上 D．点N在射线MP上
5．如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B位于数轴上原点两侧，且OB＝2OA．若点A表示的数是2，则点B表示的数是（ ）
A．2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
7．如图，AE是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（ ）种车票．
A．10 B．11 C．20 D．22
8．如图，点A、B、C在同一直线上，O为AC的中点，E为AB的中点，F为BC的中点，则下列说法：①EF＝OC；②EF（AC+OB）；③EO（AO﹣OB）；④OF（OC+OB），其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④
9．将长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，使得∠A′EB′＝40°，其中EF，EG为折痕，则∠FEG的度数为（ ）
A．40° B．70° C．80° D．110°
10．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为12cm，若AP：PB＝1：3，则这根绳子原来的长度为（ ）
A．16cm B．28cm
C．16cm或32cm D．16cm或28cm
二．填空题（共6小题）
11．图中有直线 条，射线 条，线段 条．
12．如图，一副三角板的直角∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，若∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为 .
13．如图，点B是线段AC的中点，点D在线段BC上，且，AC＝20，则BD＝ ．
14．一个角的余角比它的补角的还少40°，则这个角为 度．
15．如图，线段AB：CD＝3：4，E、F分别是AB、CD的中点，且EC＝12，BD＝20，则线段EF的长为 ．
16．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“平衡线”．若∠AOB＝72°，且射线OC是∠AOB的“平衡线”，则∠AOC的度数为 ．
三．解答题（共8小题）
17．如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 条线段．
（2）若AB＝CD．
①比较线段的长短：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）．
②若AB：BD＝1：4，BC＝12，求AC的长度．
18．如图，点D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，且．
（1）若BC＝8，求DC的长；
（2）若EC＝8，求AE的长．
19．如图，观察下列几何体并回答问题：
（1）n棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，n棱锥有 个面、 条棱、 个顶点．
（2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式．
20．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数．
21．追本溯源
题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）．
（1）如图1，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的 ，AM＝MB＝ AB．
拓展延伸
（2）如图2，线段AC上依次有D，B，E三点，，E是BC的中点，．
①求线段AB的长；
②求线段DE的长．
22．【实践操作】三角尺中的数学问题．
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°．
①若∠BCH＝35°，则∠ACD＝ °；若∠ACD＝131°，则∠BCH＝ °；
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系．
23．（1）如图1所示，直线AB，CD相交于O，∠AOE＝90°，∠COF＝90°．
①直接写出图中∠AOF的余角；
②如果，求∠EOF的度数．
（2）如图2所示，已知O为线段AB的中点，，，OC＝1，求线段AB，CD的长．
24．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ °；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝ °；
②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
《图形的初步认识》综合测试卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C D C C D D C
一．选择题（共10小题）
1．在一条直线上从左到右有A、B、C个点，以下语句不能判定点B是线段AC中点的是（ ）
A．AB+BC＝AC B．AB＝BC C．AC＝2BC D．
【思路点拔】先要把三个字母的顺序搞清楚，然后判断即可．
【解答】解：A、当点B是线段AC上任意一点时，都满足AB+BC＝AC，因此不能判定点B是线段AC中点，故A符合题意；
B、∵AB＝BC，
∴点B是线段AC中点，故B不符合题意；
C、∵AC＝2BC，
∴点B是线段AC中点，故C不符合题意；
D、∵，
∴点B是线段AC中点，故D不符合题意．
故选：A．
2．下列几何体是锥体的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据锥体与其他几何体的区别是锥体有一个顶点解答．
【解答】解：图中各几何体分别是：长方体、球、三棱柱、圆柱、圆锥、三棱柱；，
只有圆锥是锥体，
故选：A．
3．数学来源于生活，又应用于生活．生活中有下列现象，其中能用“经过两点有且只有一条直线”来解释的现象有（ ）
①植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上；
②小狗看到远处的食物，径直向食物奔跑过去；
③木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线；
④把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【思路点拔】根据直线的性质、线段的性质、点动成线逐一判断即可求解．
【解答】解：①植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，利用了“经过两点有且只有一条直线”，
②小狗看到远处的食物，径直向食物奔跑过去，利用了“两点之间线段最短”，
③木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，利用了“经过两点有且只有一条直线”，
④把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，利用了“点动成线”，
∴能用“经过两点有且只有一条直线”来解释的现象有①③，
故选：B．
4．如图，点M，P，N是直线l上从左至右的三个点，下列说法错误的是（ ）
A．点P在直线MN上 B．点P在线段MN上
C．点N在线段MP上 D．点N在射线MP上
【思路点拔】根据直线、射线、线段的定义进行判断即可．
【解答】解：A．点P在直线MN上，正确，故选项A不符合题意；
B．点P在线段MN上，正确，故选项B不符合题意；
C．点N在线段MP的延长线上，故选项C错误，符合题意；
D．点N在射线MP上，正确，故选项D不符合题意．
故选：C．
5．如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据平面图形是由矩形和三角形组成，因此它绕着直线l旋转一周得到的几何体是由圆柱和圆锥组成而得出答案．
【解答】解：∵已知的平面图形是由矩形和三角形组成，
∴这个平面图形绕直线l旋转一周得到的几何体是由圆柱体和圆锥体组成．
故选：D．
6．如图，点A，B位于数轴上原点两侧，且OB＝2OA．若点A表示的数是2，则点B表示的数是（ ）
A．2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
【思路点拔】根据已知条件和两点间的距离公式，求出OA和OB，再次利用两点间的距离公式，求出点B表示的数即可．
【解答】解：∵点A表示的数是2，原点表示的数为0，
∴OA＝2﹣0＝2，
∵OB＝2OA，
∴OB＝4，
∴点B表示的数为：0﹣4＝﹣4，
故选：C．
7．如图，AE是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（ ）种车票．
A．10 B．11 C．20 D．22
【思路点拔】观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制（5﹣1）种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式．
【解答】解：图中线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条，单程要10种车票，往返就是20种，即5×（5﹣1）＝20，
故选：C．
8．如图，点A、B、C在同一直线上，O为AC的中点，E为AB的中点，F为BC的中点，则下列说法：①EF＝OC；②EF（AC+OB）；③EO（AO﹣OB）；④OF（OC+OB），其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④
【思路点拔】①设AC＝2a，OB＝b，则OA＝OC＝a，AB＝a+b，BC＝a﹣b，进而得AE＝BE（a+b），BF＝CF（a﹣b），则EF＝BE+BF（a+b）（a﹣b）＝a，据此可对①进行判断；
②根据（AC+OB）（2a+b），EF＝a可对②进行判断；
③根据EO＝BE﹣OB（a﹣b），（AO﹣OB）a﹣b）可对③进行判断；
④根据OF＝OB+BF（a+b），（OC+OB）（a+b）可对④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①设AC＝2a，OB＝b，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OCAC＝a，
∴AB＝OA+OB＝a+b，BC＝OC+OB＝a﹣b，
∵E为AB的中点，F为BC的中点，
∴AE＝BEAB（a+b），BF＝CFBC（a﹣b），
∴EF＝BE+BF（a+b）（a﹣b）＝a，
∴EF＝OC，
故①正确；
②∵（AC+OB）（2a+b），
又∵EF＝a，
∴EF（AC+OB），
故②不正确；
③∵EO＝BE﹣OB（a+b）﹣b（a﹣b），
又∵（AO﹣OB）（a﹣b），
∴EO（AO﹣OB），
故③正确；
④∵OF＝OB+BF＝b（a﹣b）（a+b），
又∵（OC+OB）（a+b），
∴OF（OC+OB），
故④正确，
综上所述：正确的是①③④．
故选：D．
9．将长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，使得∠A′EB′＝40°，其中EF，EG为折痕，则∠FEG的度数为（ ）
A．40° B．70° C．80° D．110°
【思路点拔】先由折叠性质得∠AEF＝∠A'EF，∠BEG＝∠B'EG，再根据∠AEA'+∠BEB'+∠A′EB′＝180°得∠A'EF+∠B'EG＝70°，由此可得∠FEG的度数．
【解答】解：由折叠性质得：∠AEF＝∠A'EF，∠BEG＝∠B'EG，
∴∠AEA'＝2∠A'EF，∠BEB'＝2∠B'EG，
∵∠AEA'+∠BEB'+∠A′EB′＝180°，∠A′EB′＝40°，
∴2∠A'EF+2∠B'EG+40°＝180°，
∴∠A'EF+∠B'EG＝70°，
∴∠FEG＝∠A'EF+∠B'EG+∠A′EB′＝70°+40°＝110°．
故选：D．
10．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为12cm，若AP：PB＝1：3，则这根绳子原来的长度为（ ）
A．16cm B．28cm
C．16cm或32cm D．16cm或28cm
【思路点拔】根据“折合点”的不同分两种情况，即点A为“折合点”，点B为“折合点”，分别得出所剪出的三段线段，根据较长的一段为12cm列方程求出AB，进而得出绳子的长即可．
【解答】解：∵AP：PB＝1：3，AP+PB＝AB，
∴APAB，PBAB，
①当“折合点”在点A时，绳子所剪成2AP，PB，PB三段，
而2APAB，PBAB，2AP＜PB，
∴PB＝12AB，
解得AB＝16，此时绳子长为2AB＝32cm；
②当“折合点”在点B时，绳子所剪成AP，AP，2PB，
由①得，2PB＝12，
解得PB＝6，即AB＝6，
解得AB＝8，
此时绳子长为2AB＝16cm；
综上所述，绳子长为16cm或32cm，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．图中有直线 1 条，射线 9 条，线段 6 条．
【思路点拔】根据直线、射线、线段的定义即可判断．
【解答】解：有一条直线BC
A为端点的射线有2条，以D为端点的射线有1条，以B端点的射线有3条，以C端点的射线有3条共9条射线；
线段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条．
故答案为：1；9；6．
12．如图，一副三角板的直角∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，若∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为 45° .
【思路点拔】利用角的和差关系和直角，先求出∠BOD，再利用直角三角形的两个锐角互余求出∠BOC、∠AOC．
【解答】解：∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOB+∠BOD＝3∠BOD．
∴∠AOB＝2∠BOD．
∵∠AOB＝∠COD＝90°．
∴∠BOD＝45°．
∵∠BOD+∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝45°．
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝45°．
故答案为：45°．
13．如图，点B是线段AC的中点，点D在线段BC上，且，AC＝20，则BD＝ 5 ．
【思路点拔】先根据点B是线段AC的中点，AC＝20得出BC的长，再由BDBC即可得出结论．
【解答】解：∵点B是线段AC的中点，AC＝20，BDBC，
∴BCAC20＝10，
∴BD10＝5．
故答案为：5．
14．一个角的余角比它的补角的还少40°，则这个角为 30 度．
【思路点拔】设这个角的度数为x，由题意列出方程90°﹣x，从而解决此题．
【解答】解：设这个角的度数为x．
由题意得，90°﹣x．
∴x＝30°．
∴这个角为30°．
故答案为：30．
15．如图，线段AB：CD＝3：4，E、F分别是AB、CD的中点，且EC＝12，BD＝20，则线段EF的长为 ．
【思路点拔】设AB＝3x，CD＝4x，根据线段中点的定义得到BEABx，CFCD＝2x，求得BC＝12x，得到BC+CD＝12x+4x＝20，求得x，于是得到结论．
【解答】解：∵AB：CD＝3：4，
∴设AB＝3x，CD＝4x，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BEABx，CFCD＝2x，
∵EC＝12，
∴BC＝12x，
∵BD＝20，
∴BC+CD＝12x+4x＝20，
∴x，
∴EF＝CE+CF＝12，
故答案为：．
16．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“平衡线”．若∠AOB＝72°，且射线OC是∠AOB的“平衡线”，则∠AOC的度数为 24°或36°或48° ．
【思路点拔】分①∠AOB＝2∠AOC，②∠AOB＝2∠BOC，③∠AOC＝2∠BOC，④∠BOC＝2∠AOC四种情况，再根据角的和差进行计算即可得．
【解答】解：由题意，分以下四种情况：
①当∠AOB＝2∠AOC时，射线OC是∠AOB的“平衡线”，
∵∠AOB＝72°，
∴∠AOC∠AOB＝36°；
②当∠AOB＝2∠BOC时，射线OC是∠AOB的“平衡线”，
∵∠AOB＝72°，
∴∠BOC∠AOB＝36°；
③当∠AOC＝2∠BOC时，射线OC是∠AOB的“平衡线”，
∵∠AOB＝72°，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
∴∠AOC，
解得∠AOC＝48°；
④当∠BOC＝2∠AOC时，射线OC是∠AOB的“平衡线”，
∵∠AOB＝72°，
∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
∴∠AOC+2∠AOC＝72°，
解得∠AOC＝24°；
综上，∠AOC的度数为24°或36°或48°，
故答案为：24°或36°或48°．
三．解答题（共8小题）
17．如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 6 条线段．
（2）若AB＝CD．
①比较线段的长短：AC ＝ BD（填“＞”、“＝”或“＜”）．
②若AB：BD＝1：4，BC＝12，求AC的长度．
【思路点拔】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；
（2）①根据等式的性质即可得到答案；
②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AC的长．
【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，
故答案为：6．
（2）①∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
故答案为：＝．
②∵AB：BD＝1：4，AC＝BD，
∴AC＝4AB，
∴BC＝3AB，
∵BC＝12，
∴AB＝4，
∴AC＝AB+BC＝16．
18．如图，点D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，且．
（1）若BC＝8，求DC的长；
（2）若EC＝8，求AE的长．
【思路点拔】（1）先求出，即有AC＝AB+BC＝14，根据点D是线段AC的中点，可得即可；
（2）根据E是线段BC的中点，EC＝8，可得BC＝2EC＝16，进而可得，随之可得AE＝AC﹣CE＝28﹣8＝20．
【解答】解：（1）∵，BC＝8，
∴，
∴AC＝AB+BC＝14，
∵点D是线段AC的中点，
∴；
（2）∵E是线段BC的中点，EC＝8，
∴BC＝2EC＝16，
∵，
∴，
∴AC＝AB+BC＝28，
∴AE＝AC﹣CE＝28﹣8＝20．
19．如图，观察下列几何体并回答问题：
（1）n棱柱有 （n+2） 个面、 3n 条棱、 2n 个顶点，n棱锥有 （n+1） 个面、 2n 条棱、 （n+1） 个顶点．
（2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式．
【思路点拔】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可；（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为V+F﹣E＝2．
【解答】解：（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点，n棱锥有（n+1）个面，2n条棱，（n+1）个顶点；
故答案为：（n+2），3n，2n，（n+1），2n，（n+1）；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，
如图：
根据上表总结出这个关系为V+F﹣E＝2．
20．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数．
【思路点拔】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC∠AOB120°＝40°；
（2）∵∠AOD∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
21．追本溯源
题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）．
（1）如图1，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的 中点 ，AM＝MB＝ AB．
拓展延伸
（2）如图2，线段AC上依次有D，B，E三点，，E是BC的中点，．
①求线段AB的长；
②求线段DE的长．
【思路点拔】（1）根据线段中点的定义即可得到答案；
（2）①根据BE与AC的关系可得AC的长度，再根据线段的中点定义可得答案；
②根据线段的和差可得DB的长，利用线段的和差可得答案．
【解答】解：（1）由题意可知，点M叫做线段AB的中点，
∴，
故答案为：中点，；
（2）①∵，
∴AC＝5BE＝5×2＝10，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE＝2×2＝4，
∴AB＝AC﹣BC＝10﹣4＝6；
②∵，
∴，
∴DE＝DB+BE＝4+2＝6．
22．【实践操作】三角尺中的数学问题．
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°．
①若∠BCH＝35°，则∠ACD＝ 145 °；若∠ACD＝131°，则∠BCH＝ 49 °；
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系．
【思路点拔】（1）①已知∠ACB＝∠DCH＝90°，根据角的和差即可求出∠ACD和∠BCH的度数；
②根据前两个小问的结论猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，结合前两个小问的解题思路即可得出证明；
（2）根据（1）的解题思路确定∠CAF与∠EAB之间的数量关系并证明．
【解答】解：（1）①∵∠ACB＝∠DCH＝90°，∠BCH＝35°，
∴∠DCB＝∠DCH﹣∠BCH
＝90°﹣35°
＝55°，
∴∠ACD＝∠DCB+∠BCA
＝55°+90°
＝145°，
∵∠ACD＝131°，∠ACB＝∠DCH＝90°，
∴∠DCB＝∠ACD﹣∠ACB
＝131°﹣90°
＝41°，
∴∠BCH＝∠DCH﹣∠DCB
＝90°﹣41°
＝49°，
故答案为：145，49；
②猜想：∠ACD+∠BCH＝180°，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCH＝90°，
∴∠ACB+∠DCH＝180°，
∴∠ACH+∠BCH+∠BCH+∠DCB＝180°，
∴∠ACH+∠BCH+∠DCB+∠BCH＝180°，
∴∠ACD+∠BCH＝180°；
（2）∠CAF+∠EAB＝120°，理由如下：
∵∠CAB＝∠EAF＝60°，
∴∠CAB+∠EAF＝120°，
∴∠CAE+∠EAB+∠EAB+∠BAF＝120°，
∴∠CAE+∠EAB+∠BAF+∠EAB＝120°，
∴∠CAF+∠EAB＝120°．
23．（1）如图1所示，直线AB，CD相交于O，∠AOE＝90°，∠COF＝90°．
①直接写出图中∠AOF的余角；
②如果，求∠EOF的度数．
（2）如图2所示，已知O为线段AB的中点，，，OC＝1，求线段AB，CD的长．
【思路点拔】（1）①根据和为90度的两角互余，进行判断即可；②由①得到∠AOC＝∠EOF，推出，再根据∠AOC+∠AOD＝180°，进行求解即可；
（2）线段之间的数量关系以及和差关系进行求解，是解题的关键．
【解答】解：（1）①∵∠AOE＝90°，∠COF＝90°，
∴∠AOF+∠AOC＝90°，∠AOF+∠EOF＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOF+∠BOD＝90°，
∴与∠AOF互余的角有：∠AOC、∠EOF、∠BOD；
②由①可知：∠AOC＝∠EOF，
∵，
∴，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴6∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝∠EOF＝30°；
（2）∵O为线段AB的中点
∴，
∵，
∴，
∴AB＝6OC＝6，
∵，，
∴．
24．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ 40 °；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝ 135 °；
②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．
【思路点拔】（1）根据题意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，进而得出答案；
（2）①由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，根据∠AOC＝120°，得出∠AOP＝90°，∠BOQ＝45°，再求解即可；
②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案；
③设∠MOC＝α，则∠NOC＝90°﹣α，根据题意得出∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，列出方程，求得∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，
∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，
∴∠AOP＝20°，
∴∠BOP＝40°，
故答案为：40；
（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），
∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，
∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，
∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，
故答案为：135；
②不变，
∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，
∴，，
∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，，，，，＝135°；
③设∠MOC＝α，
∵∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣α，
∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，
∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，
∴，
∴α＝67.5°，
∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，
∴∠AOC＝90°．
