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《角的和差》同步提升训练题（二）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C B D D A D A B C
题号 12 13 14 15 16
答案 B D A C C
一．选择题（共16小题）
1．如图，∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′＝80°，∠AOB＝20°，∠B′OC′＝35°，则∠1的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【思路点拔】由∠AOA′＝∠COC′＝80°，∠AOB＝20°，∠B′OC′＝35°可得∠BOA′＝60°，∠COB′＝45°，再结合∠BOB′＝80°可得∠BOC＝35°，最后根据∠1＝∠B′OC﹣∠BOC即可解答．
【解答】解：∵∠AOA′＝∠COC′＝80°，∠AOB＝20°，∠B′OC′＝35°，
∴∠BOA′＝∠AOA′﹣∠AOB＝60°，∠COB′＝∠COC′﹣∠B′OC′＝45°，
∵∠BOB′＝80°，
∴∠BOC＝∠BOB′﹣∠COB′＝35°，
∴∠1＝∠A′OB﹣∠BOC＝60°﹣35°＝25°．
故选：B．
2．如图，已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部且∠COD＝60°，则∠AOD与∠COB一定满足的关系为（ ）
A．∠AOD＝∠COB B．∠AOD+∠COB＝180°
C．∠AOD∠COB D．∠AOD+∠COB＝120°
【思路点拔】根据角的和差，可得∠AOD+∠COB＝∠AOC+∠COD+∠COD+∠DOB＝∠AOB+∠COD，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，∠COB＝∠COD+∠DOB，
∴∠AOD+∠COB＝∠AOC+∠COD+∠COD+∠DOB，
＝∠AOC+∠COD+∠DOB+∠COD
＝∠AOB+∠COD
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴∠AOD+∠COB＝120°+60°＝180°．
故选：B．
3．如图，已知∠AOC∠AOB，∠AOD∠AOB，且∠COD＝19°，则∠AOB的度数为（ ）
A．100° B．108° C．114° D．120°
【思路点拔】观察图形可知：∠AOD﹣∠AOC＝∠COD，根据∠COD＝19°，列出关于∠AOB的方程，解方程即可．
【解答】解：∵∠AOD﹣∠AOC＝∠COD＝19°，∠AOC∠AOB，∠AOD∠AOB，
∴，
，
∴∠AOB＝114°，
故选：C．
4．只利用一副学生用的三角板可以画出的角度为（ ）
A．50° B．105° C．35° D．125°
【思路点拔】根据一副学生用三角板的各角度数，通过计算它们的和差可得结论．
【解答】解：∵60°+45°＝105°，
∴利用一副学生用的三角板可以画出的角度为B．
∵90°、45°、30°、60°它们的和或差都不是50°、35°、125°，
∴利用一副学生用的三角板不可以画出的角度为A、C、D．
故选：B．
5．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（ ）
A．70° B．90° C．105° D．120°
【思路点拔】∠ABC等于30度角与直角的和，据此即可计算得到．
【解答】解：∠ABC＝30°+90°＝120°．
故选：D．
6．如图所示，OB是∠AOC平分线，∠COD∠BOD，∠COD＝17°，则∠AOD的度数是（ ）
A．70° B．83° C．68° D．85°
【思路点拔】先根据∠COD∠BOD，∠COD＝17°，求得∠BOC的度数，再根据OB是∠AOC平分线，求得∠AOC的度数，最后根据∠AOD＝∠AOC+∠COD进行计算．
【解答】解：∵∠COD∠BOD，∠COD＝17°，
∴∠BOC＝2∠COD＝2×17°＝34°，
∵OB是∠AOC平分线，
∴∠AOC＝2∠BOC＝2×34°＝68°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝68°+17°＝85°，
故选：D．
7．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是（ ）
A．北偏东70° B．北偏西70° C．南偏东70° D．南偏西50°
【思路点拔】根据题意可得：∠BOD＝40°，∠AOD＝15°，从而可得∠AOB＝∠AOC＝55°，然后利用角的和差关系可得∠DOC＝70°，从而利用方向角的定义即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠BOD＝40°，∠AOD＝15°，
∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝55°，
∵∠AOC＝∠AOB，
∴∠AOC＝55°，
∴∠DOC＝∠AOD+∠AOC＝70°，
∴OC的方向是北偏东70°，
故选：A．
8．已知∠AOB＝60°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB＝1：4，那么∠BOC的度数是（ ）
A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75°
【思路点拔】分两种情况求解：①当OC在∠AOB内时；②当OC在∠AOB外时；分别画图求出∠BOC即可．
【解答】解：如图1，当OC在∠AOB内时，
∵∠AOC：∠AOB＝1：4，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝15°，
∴∠BOC＝45°；
如图2，当OC在∠AOB外时，
∵∠AOC：∠AOB＝1：4，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝15°，
∴∠BOC＝75°；
∴∠BOC＝45°或75°，
故选：D．
9．从O点出发的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB＝50°，∠AOC＝30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．80°或20° B．40°或10° C．40°或20° D．80°或10°
【思路点拔】分当OC在∠AOB内部时，当OC在∠AOB外部时，两种情况根据角的和差关系求解即可．
【解答】解：如图所示，当OC在∠AOB内部时，
∵∠AOB＝50°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝20°；
如图所示，当OC在∠AOB外部时，
∵∠AOB＝50°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝80°；
综上所述，∠BOC的度数为80°或20°，
故选：A．
10．如图，将两块三角板的直角∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，绕点O转动三角板AOB，使两块三角板仍有部分重叠，且∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【思路点拔】根据题意可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOC＝∠BOD，再由∠AOD＝3∠BOD，可得3∠AOC+∠BOC＝180°，即可求解．
【解答】解：根据题意得：∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠COD＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOD＝3∠AOC，
∴3∠AOC+∠BOC＝180°，
∴2∠AOC+∠AOB＝180°，
∴2∠AOC+90°＝180°，
解得：∠AOC＝45°．
故选：B．
11．如图所示的是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能用这副三角板画出的角度是（ ）
A．18° B．108° C．82° D．117°
【思路点拔】由已知一副三角板可知90°，45°，36°，72°为已知角，
【解答】解：由图可知：
由三角板可得出角的度数为：90°，45°，36°，72°，
∵在初中范围内一般角所求的角的范围为0°～180°，
①可以直接画出的角：90°，45°，36°，72°；
②由两个已知角的和画出的角：81°，108°，117°，126°，135°，144°，162°，180°；
③由两个已知角的差画出的角：9°，18°，27°，54°；
④由三个角或四角角的和差可供有兴趣的同学探究．
∴A、B、D答案正确；
故选：C．
12．如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．130° D．140°
【思路点拔】根据图形和题目中的条件，可以求得∠AOB的度数和∠COD的度数，从而可以求得∠AOD的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝70°，∠BOC＝30°，
∴∠AOB＝40°；
同理可得，∠COD＝40°．
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝40°+30°+40°＝110°，
故选：B．
13．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是（ ）
A．北偏东30° B．北偏东45° C．北偏东60° D．北偏东75°
【思路点拔】首先求得∠AOB的度数，然后求得OC与正北方向的夹角即可判断．
【解答】解：∠AOB＝45°+15°＝60°，
则∠AOC＝∠AOB＝60°，OC与正北方向的夹角是60+15＝75°．
则OC在北偏东75°．
故选：D．
14．如图：∠AOC＝∠BOD＝105°，且∠AOD＝135°，则∠BOC的度数为（ ）
A．75° B．65° C．70° D．60°
【思路点拔】由图可知∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB，由于∠AOC已知，所以只要求出∠AOB即可，由图可知∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD，结合已知即可求出．
【解答】解：∵∠BOD＝105°，∠AOD＝135°，
∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝135°﹣105°＝30°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝105°﹣30°＝75°．
故选：A．
15．已知∠AOB＝58°32′，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°41′，则∠BOC的度数为（ ）
A．15°51′ B．101°13′
C．15°51′或101°13′ D．16°51′或101°13′
【思路点拔】分两种情况，射线OC在射线OA右侧或左侧，即可求出∠BOC．
【解答】解：（1）当射线OC在射线OA右侧，
∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝58°32′+42°41′＝101°13′；
（2）当射线OC在射线OA左侧，
∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝58°32′﹣42°41′＝15°51′．
∴∠BOC的度数是101°13′或15°51′．
故选：C．
16．在∠AOB 的内部引一条射线OC，则图中共有三个角，分别是∠AOB、∠AOC、∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB 的“好好线”．若∠AOC＝30°，且射线OC是∠AOB 的“好好线”，则∠AOB 的度数有下列情况：①45°，②60°，③90°，④120°．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
【思路点拔】根据“好好线”的定义得：OC是∠AOB的“好好线”时，有以下三种情况：①∠AOC＝2∠BOC，②∠AOB＝2∠AOC或∠AOB＝2∠BOC，③∠BOC＝2∠AOC，然后根据每一种情况分别求出∠AOB 的度数即可得出答案．
【解答】解：∵OC是∠AOB的“好好线”，
∴有以下三种情况：
①∠AOC＝2∠BOC，②∠AOB＝2∠AOC或∠AOB＝2∠BOC，③∠BOC＝2∠AOC，
①当∠AOC＝2∠BOC时，
∴2∠BOC＝30°，
∴∠BOC＝15°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝45°，
故①正确；
②当∠AOB＝2∠AOC或∠AOB＝2∠BOC时，
此时OC为∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝60°，
故②正确；
③当∠BOC＝2∠AOC时，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，
故③正确．
综上所述：正确的是①②③．
故选：C．
二．填空题（共14小题）
17．如图，已知∠COD＝∠AOB＝75°，当∠COD绕着点O旋转且OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ 150° ．
【思路点拔】根据当∠COD绕着点O旋转且OC在∠AOB内部时，可得∠BOC＝∠COD﹣∠BOD，∠AOD＝∠AOB+∠BOD，由此可得出∠AOD+∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠COD＝∠AOB＝75°，
当∠COD绕着点O旋转且OC在∠AOB内部时，
则有∠BOC＝∠COD﹣∠BOD，∠AOD＝∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC
＝∠AOB+∠BOD+∠COD﹣∠BOD
＝∠AOB+∠COD＝150°．
18．已知∠AOB＝60°，从顶点O引一条射线OC，若∠AOC＝20°，则∠BOC＝ 40°或80° ．
【思路点拔】分为两种情况：①当OC在∠BOA内部时，②当OC在∠BOA外部时，根据角之间的关系求出即可．
【解答】解：分为两种情况：①当OC在∠BOA内部时，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣20°＝40°；
②当OC在∠BOA外部时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝60°+20°＝80°．
故答案为：40°或80°．
19．如图，射线OB，OC三等分锐角∠AOD，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为 60° ．
【思路点拔】设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x，由∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOC+∠AOD+∠BOD＝200°求出x，进而求解．
【解答】解：∵OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOC+∠AOD+∠BOD＝x+x+x+2x+3x+2x＝10x＝200°，
∴x＝20°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝3x＝60°，
故答案为：60°．
20．已知∠AOB＝90°，，则∠BOC的度数为 60°或120° ．
【思路点拔】由题意，分OC在∠AOB的内部或外部进行分类讨论，然后结合已知条件利用角的和差倍分进行计算即可．
【解答】解：如图，当OC在∠AOB的内部时，
∵∠AOB＝90°，∠AOC∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°；
如图，当OC在∠AOB的外部时，
∵∠AOB＝90°，∠AOC∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝90°+30°＝120°；
综上，∠BOC的度数为60°或120°，
故答案为：60°或120°．
21．如图所示，∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，则∠AOD＝ 120° ．
【思路点拔】利用角的和差先求得∠AOB的度数，继而求得∠AOD的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝75°﹣30°＝45°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝45°+75°＝120°，
故答案为：120°．
22．如图，已知∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOB＝α，若以OA，OB，OC，OD，OE为边的各角之和等于380°，则∠AOB＝ 76° ．
【思路点拔】以OA为一边的角有：∠AOC＝α，∠AOD＝2α，∠AOE＝3α，∠AOB＝4α，以OB为一边的角有：∠BOE＝α，∠BOD＝2α，∠BOC＝3α，以OC为一边的角有：∠COD＝α，∠COE＝2α，以OE为一边的角有：∠EOD＝α，再根据以OA，OB，OC，OD，OE为边的各角之和等于380°，得α+2α+3α+4α+α+2α+3α+α+2α+α＝380°，由此解出α即可得∠AOB的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOB＝α，
∴以OA为一边的角有：∠AOC＝α，∠AOD＝2α，∠AOE＝3α，∠AOB＝4α，
以OB为一边的角有：∠BOE＝α，∠BOD＝2α，∠BOC＝3α，
以OC为一边的角有：∠COD＝α，∠COE＝2α，
以OE为一边的角有：∠EOD＝α，
又∵以OA，OB，OC，OD，OE为边的各角之和等于380°，
∴α+2α+3α+4α+α+2α+3α+α+2α+α＝380°，
解得：α＝19°，
∴∠AOB＝4α＝4×19°＝76°．
故答案为：76°．
23．如图，
（1）若∠AOB＝∠COD，则∠AOC＝∠ BOD ；
（2）若∠AOC＝∠BOD，则∠ AOB ＝∠ COD ．
【思路点拔】（1）利用角的和差计算；
（2）利用角的和差计算．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD；
故答案为：BOD；
（2）∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC﹣∠BOC＝∠BOD﹣∠BOC．
∴∠AOB＝∠COD．
故答案为：AOB，COD．
24．射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB＝60°，∠AOD＝40°，∠AOB＝3∠BOC，则∠COD的度数为 40°或80°或120° ．
【思路点拔】分四种情况画图分别进行解答，即①OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的外部，②OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的外部，③OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的内部，④OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的内部．
【解答】解：①当OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的外部，如图1所示；
∵∠AOB＝60°，∠AOD＝40°，∠AOB＝3∠BOC，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝60°﹣40°＝20°，
∠BOC∠AOB60°＝20°，
∴∠COD＝∠BOC+∠BOD＝20°+20°＝40°；
②当OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的外部，如图2所示；
∠COD＝∠DOA+∠AOB+∠BOC＝40°+60°+20°＝120°；
③当OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的内部，如图3所示；
∠COD＝∠AOD+∠AOC＝∠AOD+（∠AOB﹣∠BOC）＝40°+（60°﹣20°）＝80°；
④当OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的内部时，OC与OD重合，不符合题意；
所以，∠COD的度数为40°或80°或120°，
故答案为：40°或80°或120°，
25．已知∠AOB＝2∠BOC，∠BOC＝15°，那么∠AOC的度数是 15°或45° ．
【思路点拔】先求出∠AOB，再分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况讨论求解．
【解答】解：∵∠BOC＝15°，
∴∠AOB＝2∠BOC＝2×15°＝30°，
OC在∠AOB的内部时，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°﹣15°＝15°，
OC在∠AOB的外部时，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝30°+15°＝45°，
综上所述，∠AOC的度数25°或75°．
故答案为：15°或45°．
26．如图，已知∠AOB＝129°，∠1＝（5x+18）°，∠2＝（57﹣2x）°，那么∠2＝ 21 度．
【思路点拔】根据图形可得方程5x+18+57﹣2x＝129，解方程可得x的值，再把x的值代入∠2＝（57﹣2x）°即可算出答案．
【解答】解：由题意得：5x+18+57﹣2x＝129，
解得：x＝18，
∠2＝（57﹣2x）°＝（57﹣36）°＝21°．
故答案为：21．
27．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°．若∠AOC＝∠AOB，则射线OC的方向是 北偏东70° ．
【思路点拔】先求∠AOB的度数，再求∠NOC得结论．
【解答】解：由图知：∠AOB＝15°+40°＝55°，
∴∠AOC＝55°
∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC
＝15°+55°＝70°
∴射线OC在北偏东70°方向上．
故答案为：北偏东70°．
28．AD是△ABC的一条高线，若∠BAD＝55°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝ 35°或75° ．
【思路点拔】根据图形即可求解．
【解答】解：有两种情况：
①AD在△ABC内部，如图，
∵∠BAD＝55°，∠CAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°；
②AD在△ABC外部，如图，
∵∠BAD＝55°，∠CAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝55°﹣20°＝35°；
故答案为：35°或75°．
29．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线“．若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数为 20°或30°或40° ．
【思路点拔】分三种情况：①∠BOC＝2∠AOC；②∠AOB＝2∠AOC；③∠AOC＝2∠BOC；分别求解即可．
【解答】解：若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意：
①∠BOC＝2∠AOC，此时∠AOC＝20°；
②∠AOB＝2∠AOC，此时∠AOC＝30°；
③∠AOC＝2∠BOC，此时∠AOC＝40°；
故答案为：20°或30°或40°．
30．如图，灯塔A位于港口O的北偏西15°方向，灯塔B位于港口O的东北方向，海面现有一艘轮船C，若∠AOC+∠AOB＝90°，则∠COA＝ 30 °．
【思路点拔】根据方位角的定义可得∠AOB的度数，再根据角的和差关系即可求出结果．
【解答】解：由题意可得：∠AOB＝15°+45°＝60°，
∵∠AOC+∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
三．解答题（共30小题）
31．若∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，且|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题：
（1）若∠α和∠β互为“伙伴角”，当∠α＝130°时，求∠β的度数；
（2）如图，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B'，若∠1与∠2互为“伙伴角”，求∠3的度数．
【思路点拔】（1）根据互为“伙伴角”定义得|∠α﹣∠β|＝60°，则∠β＝∠α﹣60°或∠β＝∠α+60°，将∠α＝130°代入得∠β的度数；
（2）由折叠的性质得∠1＝∠3，根据∠1与∠2互为“伙伴角”得|∠1﹣∠2|＝60°，则∠2＝∠2﹣60°或∠2＝∠1+60°，再根据∠1+∠2+∠3＝180°得2∠3+∠3﹣60°＝180°或2∠3+∠3+60°＝180°，由此可得∠3的度数．
【解答】解：（1）∵∠α和∠β互为“伙伴角”，
∴|∠α﹣∠β|＝60°，
∴∠α﹣∠β＝60°或∠β﹣∠α＝60°，
∴∠β＝∠α﹣60°或∠β＝∠α+60°，
∵∠α＝130°，
∴∠β＝70°或∠β＝190°，
∵∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，
∴∠β＝70°；
（2）由折叠的性质得：∠1＝∠3，
∵∠1与∠2互为“伙伴角”，
∴|∠1﹣∠2|＝60°，
∴∠1﹣∠2＝60°或∠2﹣∠1＝60°，
∴∠2＝∠2﹣60°或∠2＝∠1+60°，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝∠3，
∴2∠3+∠2＝180°，
∴2∠3+∠3﹣60°＝180°或2∠3+∠3+60°＝180°，
由2∠3+∠3﹣60°＝180°，解得：∠3＝80°，
由2∠3+∠3+60°＝180°，解得：∠3＝40°，
综上所述：∠3的度数为80°或40°．
32．如图，A，O，B三点共线，∠1：∠2：∠3＝1：3：2，求∠BOC的度数．
【思路点拔】先根据平角的定义结合已知条件求出∠3的度数，再根据平角的定义求出∠BOC的度数即可．
【解答】解：∵∠1：∠2：∠3＝1：3：2，∠1+∠2+∠3＝180°，
∴，
∴∠BOC＝180°﹣∠3＝120°．
33．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数．
【思路点拔】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC∠AOB120°＝40°；
（2）∵∠AOD∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
34．如图，已知点O为直线AB上一点，∠BOC＝110°，OC⊥OD，OM平分∠AOC，∠BOP＝∠DOM．
（1）求∠AOD的度数；
（2）试说明：OP平分∠BOC；
（3）若改变∠BOC的大小，其余条件不变，设∠BOC＝α（90°＜α＜180°），（2）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用α表示∠COP．
【思路点拔】（1）先根据邻补角定义求出∠AOC＝70°，再根据OC⊥OD可得∠AOD的度数；
（2）先根据∠AOC＝70°及角平分线定义得∠AOM＝35°，进而得∠DOM＝55°，则∠BOP＝∠DOM＝55°，由此即可得出结论；
（3）根据邻补角定义得∠AOC＝180°﹣α，根据OC⊥OD得∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝α﹣90°，再根据角平分线定义得∠AOM∠AOC＝90°α，进而得∠DOM＝∠AOD+∠AOMα，则∠BOPα，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点O为直线AB上一点，∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝70°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣70°＝20°；
（2）∵∠AOC＝70°，OM平分∠AOC，
∴∠AOM∠AOC＝35°，
由（1）可知：∠AOD＝20°，
∴∠DOM＝∠AOD+∠AOM＝20°+35°＝55°，
∴∠BOP＝∠DOM＝55°，
∴∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝110°﹣55°＝55°，
∴∠BOP＝∠COP＝55°，
∴OP平分∠BOC；
（3）（2）中的结论依然成立，理由如下：
∵点O为直线AB上一点∠BOC＝α（90°＜α＜180°），
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣α，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，
∴OM平分∠AOC，
∴∠AOM∠AOC（180°﹣α）＝90°α，
∴∠DOM＝∠AOD+∠AOM＝α﹣90°+90°αα，
∴∠BOP＝∠DOMα，
∴∠COP＝∠BOC﹣∠DOM＝ααα，
∴∠BOP＝∠COPα，
∴OP平分∠BOC．
35．综合与实践．
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题．
问题1：已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，则∠AOD＝ 15° ．
问题2：已知AB＝60，点C是AB的中点，点D是AC的中点，则AD＝ 15 ．
数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空．
深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系．
（2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题．
如图1，点O在直线AB上，OC⊥OD（OC，OD在直线AB同侧），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD．求∠EOF的度数（无需作答）．
完成下列问题的解答：
①“运河小组”提出问题：如图2，线段AB＝180，点C，D在线段AB上（AC＜AD），CD＝90，点E，F分别是线段AC，BD的中点，求EF的长．
②“武林小组”提出问题：如图3，点O在直线AB上，OC⊥OD（OC，OD在直线AB两侧），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD．求∠EOF的度数．
【思路点拔】（1）问题1：根据OC平分∠AOB得AOC∠AOB＝30°，再根据OD平分∠AOC可得出∠AOD的度数；
问题2：根据点C是AB的中点得ACAB＝30，再根据点D是AC的中点可得出AD的长度；
（2）①先求出AC+DB＝90，再根据线段中点的定义得ECAC，DFDB，进而得EC+DF（AC+DB）＝45，据此可求出EF的长；
②设∠AOD＝α，根据垂直的定义及平角的定义得∠AOC＝90°﹣α，∠BOD＝180°﹣α，再根据角平分线的定义得∠AOE（90°﹣α），∠DOF（180°﹣α），由此得∠AOE+∠DOF＝135°﹣α，据此可求出∠EOF的度数．
【解答】解：（1）问题1：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC∠AOB＝30°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD∠AOC＝15°；
故答案为：15°．
问题2：∵AB＝60，点C是AB的中点，
∴ACAB＝30，
∵点D是AC的中点，
∴ADAC＝15，
故答案为：15．
（2）①∵线段AB＝180，点C，D在线段AB上（AC＜AD），CD＝90，
∴AC+DB＝AB﹣CD＝90，
∵点E，F分别是线段AC，BD的中点，
∴ECAC，DFDB，
∴EC+DF（AC+DB）90＝45，
∴EF＝EC+DF+CD＝45+90＝135；
②设∠AOD＝α，
∵点O在直线AB上，OC⊥OD
∴∠AOC＝90°﹣α，∠BOD＝180°﹣α，
∵OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，
∴∠AOE∠AOC（90°﹣α），∠DOF∠BOD（180°﹣α），
∴∠AOE+∠DOF（90°﹣α+180°﹣α）＝135°﹣α，
∵∠EOF＝∠AOE+∠DOF+∠AOD＝135°﹣α+α＝135°．
36．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B'处，得到折痕EC，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A'处，得到折痕EN．
（1）若∠BEC＝60°，则∠B'EC＝ 60 °，∠A'EN＝ 30 °，∠CEN＝ 90 °；
（2）若∠BEC＝m°，则（1）中∠CEN的值是否改变？∠CEN的度数是多少？请说明你的理由．
【思路点拔】（1）由折叠的性质和∠BEC的度数可得出结论；
（2）解法同（1）过程即可得出结论．
【解答】解：（1）由折叠可知∠BEC＝∠B′EC∠BEB′，∠AEN＝∠A′EN∠AEA′，
∵∠BEC＝60°，
∴∠B′EC＝60°，
∵∠BEB′+∠AEA′＝180°，
∴∠CEN＝∠A′EN+∠B′EC∠BEB′∠AEA′＝90°，
∴∠A′EN＝30°，
故答案为：60°，30°，90°．
（2）∠CEN的度数不变，∠CEN＝90°，理由如下：
由折叠可知∠BEC＝∠B′EC∠BEB′，∠AEN＝∠A′EN∠AEA′，
∴∠CEN＝∠A′EN+∠B′EC∠BEB′∠AEA′＝90°．
37．（1）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
①若∠DCE＝40°，则∠ACB＝ 140° ；若∠ACB＝120°，则∠DCE＝ 60 °；
②猜想∠ACB与∠DCE的度数有何特殊关系，并说明理由．
（2）如图（b），两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的度数有何关系？请说明理由．
（3）如图（c），已知∠AOB＝α，作∠COD＝β（α，β都是锐角且α＞β），若OC在∠AOB的内部，请直接写出∠AOD与∠BOC的度数关系．
【思路点拔】（1）①先求出∠BCD，再代入∠ACB＝∠ACD+∠BCD求出即可，先求出∠BCD，再代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD求出即可；
②先计算：∠ACB＝90°+∠BCD，再加上∠DCE可得结果；
（2）先计算∠DAB＝60°+∠CAB，再加上∠CAE可得结果；
（3）分情况讨论：①OD在OB上方；OD在∠BOC内部；③OD在∠AOC内部；④OD在OA下方．
【解答】解：（1）①根据题意，∠ACD＝90°，∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣40°＝50°，
∵∠BCE＝90°，
∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝50°+90°＝140°，
根据题意，∠BCE＝90°，∠ACB＝120°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：140°；60；
②根据题意，
∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+∠BCD，
∴∠ACB+∠DCE
＝90°+∠BCD+∠DCE
＝90°+∠BCE
＝180°；
（2）根据题意，
∠DAB+∠CAE＝120°，
∵∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝60°+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE
＝60°+∠CAB+∠CAE
＝60°+∠EAB
＝120°，
（3）
①OD在OB上方时，如图：∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+β，
②OD在∠BOC内部，如图：∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+β，
③OD在∠AOC内部，如图：∠AOD+∠BOC＝∠AOB﹣∠COD＝α﹣β，
④OD在OA下方，如图：
∠BOC﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝α﹣β．
综上所述，∠AOD+∠BOC＝α﹣β或∠AOD+∠BOC＝α+β或∠BOC﹣∠AOD＝α﹣β．
38．如图，点O在直线MN上，过点O引射线OA和OB．已知∠MOA＝2∠BON，∠BON比∠AOB大20°，求∠MOA和∠AOB的度数．
【思路点拔】设∠BON＝x°，则∠MOA＝2x°，根据题意列出方程，求解即可．
【解答】解：设∠BON＝x°，则∠MOA＝2x°，
则x﹣（180﹣x﹣2x）＝20，
解得：x＝50，
∴∠MOA＝2x＝100°，
∴∠AOB＝180°﹣x﹣2x＝30°．
39．定义：如果一条射线把一个角分成两个角，其中较大角的度数是原角度数的0.6倍，则称该射线为这个角的近似黄金分割线．如图（1），∠AOB＝60°，∠BOP＝36°则OP为∠AOB的近似黄金分割线．
（1）若∠AOB＝100°，OP为∠AOB的近似黄金分割线，则∠AOP＝ 40°或60° ；
（2）如图（2），如果点A，O，B三点在同一条直线上时，当射线OP在直线AB上方绕O点转动时，OM，ON始终分别为∠AOP和∠BOP的近似黄金分割线，当∠BOP＝α°时，求∠MON的度数（可以用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的基础上，若OP恰好为∠MON的平分线，求∠α的度数．
【思路点拔】（1）利用黄金分割线公式分别代入得出2种结果；
（2）已知∠BOP＝α°，求平面的另一个余角；
（3）再根据平分线的定义分别解出．
【解答】解：（1）∵OP为∠AOB的近似黄金分割线，
∴∠BOP＝0.6∠AOB或∠AOP＝0.6∠AOB，
∴若∠BOP＝0.6∠AOB＝0.6×100°＝60°，
则∠AOP＝∠AOB﹣∠BOP＝100°﹣60°＝40°
若∠AOP＝0.6∠AOB，
则∠AOP＝0.6×100°＝60°，
综上，∠AOP＝40°或60°．
（2）∵∠BOP＝α°，∴∠AOP＝180°﹣α°．
若∠AOM＝0.6∠AOP，那么∠BON＝0.6∠BOP，
则∠POM＝0.4∠AOP，∠PON＝0.4∠BOP，
∴∠MON＝∠POM+∠PON
＝0.4∠AOP+0.4∠BOP
＝0.4×（180°﹣α°）+0.4 α°
＝72°．
若∠AOM＝0.6∠AOP，∠PON＝0.6∠BOP，
则∠POM＝0.4∠AOP，
∴∠MON＝∠PON+∠POM
＝0.6∠BOP+0.4∠AOP
＝0.6 α°+0.4×（180°﹣α°）
＝72°+0.2α°．
若∠MOP＝0.6∠AOP，∠BON＝0.6∠BOP，
则∠PON＝0.4∠BOP，
∴∠MON＝∠MOP+∠PON
＝0.6∠AOP+0.4∠BOP
＝0.6×（180°﹣α°）+0.4 α°
＝108°﹣0.2α°．
若∠MOP＝0.6∠AOP，∠PON＝0.6∠BOP，
∴∠MON＝∠MOP+∠PON
＝0.6∠AOP+0.6∠BOP
＝0.6×（180°﹣α°）+0.6 α°
＝108°．
综上，∠MON＝72°或72°+0.2α°或108°﹣0.2α°或108°．
（3）
∵OP平分∠MON，∴∠MOP＝∠NOP．
若∠MOP＝0.6∠AOP＝0.6×（180°﹣∠α）＝180°﹣0.6∠α，∠NOP＝0.6∠BOP＝0.6∠α，
根据∠MOP＝∠NOP，
可知108°﹣0.6∠α＝0.6∠α，
1.2∠α＝108°，
∠α＝90°，
若∠MOP＝0.6∠AOP＝108°﹣0.6∠α，∠NOP＝0.4∠BOP＝0.4∠α，
根据∠MOP＝∠NOP，
可知108°﹣0.6∠α＝0.4∠α，
∠α＝108°．
若∠MOP＝0.4∠AOP＝0.4×（180°﹣∠α）＝72°﹣0.4∠α，∠NOP＝0.6∠α，
根据∠MOP＝∠NOP，
可知72°﹣0.4∠α＝0.62α，
∠α＝72°，
若∠MOP＝72°﹣0.4∠α，∠NOP＝0.4∠α，
根据∠MOP＝∠NOP，
可知72°﹣0.4∠α＝0.4∠α，
0.8∠α＝72°，
∠α＝90°．
综上，∠α＝90°、108°或72°．
40．如图1，将两块直角三角板的直角顶点A叠放在一起．
（1）若∠PAQ＝45°，则∠CAB＝ 135 °；若∠CAB＝130°，则∠PAQ＝ 50 °；
（2）猜想∠CAB与∠PAQ有何数量关系，并说明理由；
（3）如图2，若是两个同样的直角三角尺45°锐角的顶点A重合在一起，请直接写出∠PAB与∠CAQ的数量关系．
【思路点拔】（1）∠PAQ＝45°，根据角的和差定义求出∠BAP＝45°，则∠CAB＝∠BAP+∠CAP；若∠CAB＝130°，则∠BAP＝∠CAB﹣∠CAP，再进一步求出∠PAQ即可；
（2）∠CAB与∠PAQ的大小为∠CAB＝180°﹣∠PAQ，利用等角的余角相等求出∠CAQ＝∠BAP即可解答；
（3）∠PAB与∠CAQ的大小关系为∠PAB＝90°﹣∠CAQ，利用∠PAC+∠CAQ＝45°，∠BAC+∠CAQ＝45°求出∠PAC＝∠BAC即可解答．
【解答】解：（1）∵∠PAQ＝45°，∠BAQ＝90°，
∴∠BAP＝45°，
∵∠CAP＝90°，
∴∠CAB＝∠BAP+∠CAP＝45°+90°＝135°；
∵∠CAB＝130°，
∴∠BAP＝∠CAB﹣∠CAP＝130°﹣90°＝40°，
∴∠PAQ＝∠BAQ﹣∠BAP＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：135，50；
（2）∠CAB＝180°﹣∠PAQ，
理由如下：
∵∠CAQ+∠PAQ＝90°，∠BAP+∠PAQ＝90°，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∴∠BAP＝90°﹣∠PAQ，
∴∠CAB＝∠PAQ+2∠BAP＝∠PAQ+2（90°﹣∠PAQ）＝180°﹣∠PAQ，
即∠CAB＝180°﹣∠PAQ；
（3）∠PAB＝90°﹣∠CAQ，
理由如下：
∵∠PAC+∠CAQ＝45°，∠BAC+∠CAQ＝45°，
∴∠PAC＝∠BAC，∠BAC＝45°﹣∠CAQ，
∴∠PAB＝∠CAQ+2∠BAC＝∠CAQ+2（45°﹣∠CAQ）＝90°﹣∠CAQ．
即∠PAB＝90°﹣∠CAQ．
41．在数学活动课上，张老师将两个直角三角尺按如图所示方式摆放，探究∠AOD与∠BOC的数量关系．
【特殊情况，探索结论】
（1）如图①，已知∠AOB＝∠COD＝90°，若∠AOD＝25°，则∠BOC＝ 155° ．得出的结论是：∠AOD+∠BOC＝ 180° ．
（2）如图②，已知∠AOB＝∠COD＝45°，若∠AOD＝25°，则∠BOC＝ 65° ．得出的结论是：∠AOD+∠BOC＝ 90° ．
【特例启发，解答题目】
（3）如图③，若∠AOB＝∠COD＝α，∠AOD＝β，则∠BOC＝ 2α﹣β （用含α和β的式子表示）．
（4）如图④，已知∠AOB＝50°，∠COD＝100°，则∠AOD+∠BOC＝ 150° ．
【思路点拔】（1）先求∠AOC度数和∠BOC度数，再求∠AOD+∠BOC度数．
（2）先求∠BOD度数和∠BOC度数，再求∠AOD+∠BOC度数．
（3）先把∠BOD表示出来，再计算∠BOC度数．
（4）设∠AOD＝γ，故∠BOD＝50°﹣γ，由∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠BOD+∠COD计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，且∠AOD＝25°，
∴∠AOC＝90°﹣25°＝65°，
∴∠BOC＝AOC+∠AOB＝65°+90°＝155°．
∴∠AOD+∠BOC＝25°+155°＝180°．
故答案为155°，180°．
（2）∵∠AOB＝45°，且∠AOD＝25°，
∴∠BOD＝45°﹣25°＝20°，
∴∠BOC＝∠DOC+∠BOD＝45°+20°＝65°．
∴∠AOD+∠BOC＝25°+65°＝90°．
故答案为65°，90°．
（3）∵∠AOB＝α，∠AOD＝β，
∴∠BOD＝α﹣β，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝α﹣β+α＝2α﹣β．
故答案为：2α﹣β．
（4）设∠AOD＝γ，
∴∠BOD＝50°﹣γ，
∴∠AOD+∠BOC
＝∠AOD+∠BOD+∠COD
＝γ+50°﹣γ+100°
＝150°，
故答案为：150°．
42．如图，点A，O，B在同一直线上，∠BOC＝78°，∠DOE＝77°，OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线．
①求∠COE的度数；
②OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由．
【思路点拔】①由题意可得∠COD＝26°，根据∠COE＝∠DOE﹣∠COD可得答案．
②由题意可得∠AOE＝180°﹣∠COE﹣∠BOC＝51°，则∠AOE＝∠COE，即OE是∠AOC的平分线．
【解答】解：①∵OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线，∠BOC＝78°，
∴∠COD＝26°，
∵∠DOE＝77°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝51°．
②OE是∠AOC的平分线．
理由：∵∠AOE＝180°﹣∠COE﹣∠BOC＝180°﹣51°﹣78°＝51°，
∴∠AOE＝∠COE，
∴OE是∠AOC的平分线．
43．如图，射线OC，OD在∠AOB的内部．
（1）图中共有 6 个角；（注：图中所有角均指小于180°的角）
（2）若∠COD＝m°，∠AOB＝n°，求（1）中所有角的度数之和．（结果用含m，n的式子表示）
【思路点拔】（1）根据角的数量问题的统计角的个数的方法表示出图中所有的角即可解决问题；
（2）把（1）表示出的所有的角相加，变形为能用m，n表示的角后即可求出所有角的度数之和．
【解答】解：（1）图中的角有：∠AOC，∠AOD，∠AOB，∠COD，∠COB，∠DOB，共6个．
故答案为：6；
（2）∠AOC+∠AOD+∠AOB+∠COD+∠COB+∠DOB
＝（∠AOC+∠COB）+（∠AOD+∠DOB）+∠AOB+∠COD
＝∠AOB+∠AOB+∠AOB+∠COD
＝3∠AOB+∠COD
∵∠COD＝m°，∠AOB＝n°，
∴（1）中所有角的度数之和为（m+3n）°．
44．如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE＝20°，则∠ACB＝ 160 °；若∠ACB＝120°，则∠DCE＝ 60 °．
（2）如图2所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．
（3）如图3所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，将∠AOD与∠BOC的数量关系用含α与β的式子表示出来，直接写出结论．
【思路点拔】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB＝∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD求出即可；
（2）根据∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；
（3）根据∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
【解答】解：（1）∵∠BCE＝90°，∠DCE＝20°，
∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝70°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+70°＝160°：
故答案为：160；
当∠ACB＝120°时，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE∠∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60；
（2）∠DAB+∠CAE＝120°，
理由如下：
∵∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE
＝∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE
＝∠DAC+∠BAE
＝120°；
（3）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由如下，
∵∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD
＝（α﹣∠COB）+∠BOC+（β﹣∠BOC）
＝a+β﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β，
45．已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°．画出图形，求∠BOC的度数．
【思路点拔】分两种情况进行解答，（1）OC在∠AOB的内部，（2）OC在∠AOB的外部，分别对应两个角的和或差．
【解答】解：当OC在∠AOB的内部时，如图1，
∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣42°＝28°；
当OC在∠AOB的外部时，如图2，
∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝70°+42°＝112°；
因此∠BOC的度数为：28°或112°．
46．定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．
（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．
②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．
【思路点拔】（1）分两种情况讨论，分别计算．
（2）作出图形，用t表示图中的各个角，列出t的方程求解．注意t的取值范围，对解出的结果需要验证和取舍．
【解答】解：（1）依题意，∠AOC+∠COB＝120°，
且2∠AOC＝∠COB，或∠AOC＝2∠COB．
当2∠AOC＝∠COB时，∠AOC∠AOB＝40°；
当∠AOC＝2∠COB时，∠AOC∠AOB＝80°．
（2）∵5t＜180°，
∴t＜36°．
①当∠AOC＝2∠COD时，∠AOC∠AOD，
即3t（180°﹣5t），
解得t．
当2∠AOC＝∠COD时，∠AOC∠AOD，
即3t（180°﹣5t），
解得t．
②当∠BOC＝2∠COD时，∠BOC∠BOD，
即180°﹣3t5t，
解得t．
∴∠BOD＝5t．
当2∠BOC＝∠COD时，∠BOC∠BOD，
即180°﹣3t5t，
解得t36°，不合题意舍去．
47．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一把含45°角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，一直角边OM与直线AB重合，另一直角边ON、斜边MN都在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转60°，如图2所示，此时∠CON＝ 150° ；
（2）将图1中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜360°），
①当旋转的角度α为何值时，射线OC所在的直线是△OMN的对称轴；
②是否存在相应的旋转角度α使得∠COM与∠CON互补？若存在，请直接写出α的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）直角三角尺绕点O按逆时针方向旋转60°，此时∠BON＝30°，∠CON＝∠BOC+∠BON＝150°；
（2）当旋转角度α时，射线OC所在的直线是△OMN的对称轴，分情况结合图形就可以计算出来旋转的角度α；
（3）存在旋转角度α使得∠COM与∠CON互补，利用互补的性质就可以计算出来．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，
∴直角三角尺绕点O按逆时针方向旋转60°后，∠BON＝30°，
∴∠CON＝∠BOC+∠BON＝150°，
故答案为：150°；
（2）①当直角三角尺绕点O按逆时针方向旋转到如下（一）位置时
∵∠MON＝90°，△OMN关于直线OC对称轴，
∴∠MOC＝45°，
∴此时α＝120°+45°＝165°，
②当直角三角尺绕点O按逆时针方向旋转到如下（二）位置时
∵∠BOC＝120°，
∴∠BOM＝180°﹣120°﹣45°＝15°，
∴此时α＝360°﹣15°＝345°，
答：当旋转165°或者345°时，射线OC所在的直线是△OMN的对称轴；
（3）存在旋转角度α使得∠COM与∠CON互补，
证明：∵∠COM＝120°，∠CON＝210°，
∴120°﹣α+210°﹣α＝180°，
∴α＝75°．
48．已知∠AOB＝150°，三角形纸板COD（∠COD＝60°）可以绕点O在∠AOB内任意旋转，且始终保持OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）如图1，当OC与OB重合时，求∠MON的度数．
（2）如图2，当三角形纸板COD绕点O在∠AOB内旋转时，请判断∠MON的大小是否会随∠COD的位置的变化发生改变？并说明理由．
（3）在三角形纸板COD旋转过程中，当时，请直接写出∠AOD的度数．
【思路点拔】（1）通过OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOB＝150°，∠COD＝60°分别求出∠BON，∠BOM即可求解；
（2）通过OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，表示出∠AOM，∠BON由∠MON＝∠AOB﹣∠AOM﹣∠BON即可求解；
（3）由（2）结合可得，分OD在OM右侧，OD在OM左侧两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵OC与OB重合，∠COD＝60°，ON平分∠DOB，
∴．
∵∠AOB＝150°，OM平分∠AOC，
∴，
∴∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝75°﹣30°＝45°；
（2）∠MON不会随∠COD位置的变化发生改变．理由如下：
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM∠AOC（∠AOB﹣∠BOC）（150°﹣∠BOC）＝75°∠BOC，
∵ON平分∠DOB，
∴∠BON∠BOD（∠BOC+∠COD）（∠BOC+60°）∠BOC+30°，
∴∠MON＝∠AOB﹣∠AOM﹣∠BON
＝150°﹣（75°∠BOC）﹣（∠BOC+30°）
＝45°，
故∠MON不会随∠COD位置的变化发生改变；
（3）由（2）可知，∠AOM＝75°∠BOC，∠BON∠BOC+30°，∠MON＝45°，
∵，
∴．
如图1，
当OD在OM右侧时，∠DON＝45°﹣9°＝36°．
∴∠BOD＝2∠DON＝2×36°＝72°，
∴∠AOD＝150°﹣72°＝78°．
如图2，
当OD在OM左侧时，∠DON＝45°+9°＝54°，
∴∠BOD＝2∠DON＝2×54°＝108°，
∴∠AOD＝150°﹣108°＝42°．
综上所述，∠AOD的度数为78°或42°．
49．已知一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°
（1）图1中∠BOD＝ 75 °．
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O按顺时针方向旋转一个角度α，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方：
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；
②是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时的α的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据平平角的定义即可得到结论；
（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；
②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°，
故答案为：75；
（2）①当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，
∴∠AOB∠AOD＝60°α＝45°，
∴α＝30°，
当OB平分∠AOC时，
∵∠AOC＝180°﹣α，
∴∠AOB＝90°α＝45°，
∴α＝90°；
当OB平分∠DOC时，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；
②当OA在OD的左侧时，则∠AOD＝120°﹣α，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（120°﹣α），
∴α＝105°；
当OA在OD的右侧时，则∠AOD＝α﹣120°，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（α﹣120），
∴α＝125°，
综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD．
50．已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，则∠AOD和∠BOC之间的关系为 ∠AOD+∠BOC＝180° ；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝4：5，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOE的度数．
【思路点拔】（1）因为射线OB在∠COD内部，∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD可得；
（2）因为射线OA，射线OB都在∠COD外部，可得∠AOD+∠BOC＝180°，因为，，可得∠BOE+∠AOF的度数，又因∠EOF＝∠FOA+∠AOB+∠BOE，可得∠EOF的度数；
（3）分射线OG在∠EOF内部、射线OG在∠EOF外部两种情况．
【解答】解：（1）∵射线OB在∠COD内部，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，
故答案为：∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）∵射线OA，射线OB都在∠COD外部，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∵，，即∠AOF∠AOD，
∴4∠BOE+4∠AOF＝180°，即∠BOE+∠AOF＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠EOF＝∠FOA+∠AOB+∠BOE＝135°；
（3）设∠GOF＝4x，则∠GOE＝5x，
①当射线OG在∠EOF内部时，
4x+5x＝135°，
解得：x＝15°，
此时∠GOE＝75°，
②当射线OG在∠EOF外部时，
4x+5x＝360°﹣135°，
解得：x＝25°，
此时∠GOE＝125°，
∴∠GOE＝75°或∠GOE＝125°．
51．已知∠AOB＝30°，∠BOP＝m∠AOP（m＞0，且OP不与OA重合）．
（1）当m＝1时，若射线OP在∠AOB内，请用量角器在图1中画出射线OP，则∠AOP的度数为 15° ；
（2）当m＝2时，OQ平分∠AOP，求∠BOQ的度数．
【思路点拔】（1）∠BOP＝m∠AOP，当m＝1时，即∠BOP＝∠AOP，OP是角平分线，计算求值即可；
（2）∠BOP＝m∠AOP，当m＝2时，即∠BOP＝2∠AOP，OQ平分∠AOP，计算求值即可．
【解答】解：（1）如图所示：
∵∠BOP＝m∠AOP，
∴当m＝1时，∠BOP＝∠AOP，
∴OP是角平分线，
∵∠AOB＝30°，
∴∠AOP∠AOB30°＝15°．
故答案为：15°；
（2）∵∠BOP＝m∠AOP，
∴当m＝2时，∠BOP＝2∠AOP，
①当点P在∠AOB内部时，
∵OQ平分∠AOP，
∴∠POQ∠AOP，
∴∠BOQ＝∠BOP+∠POQ＝2∠AOP∠AOP∠AOP，
∵∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝30°，∠BOP＝2∠AOP，
∴3∠AOP＝30°，
∴∠AOP＝10°，
∴∠BOQ∠AOP10°＝25°；
②当点P在∠AOB外部时，
∵∠BOP＝2∠AOP，
∴∠AOP＝∠AOB＝30°，
∵OQ平分∠AOP，
∴∠POQ∠AOP30°＝15°，
∴∠BOQ＝∠POQ+∠AOB＝15°+30°＝45°；
∴∠BOQ的度数为25°或45°．
52．如图，将一副三角板摆放在一起，∠DAB＝m°．
（1）当0＜m＜45时，
①若m＝20，则∠CAD＝ 25° °，∠BAE＝ 80° °；
②猜想∠CAD与∠BAE有何数量关系，并说明理由；
（2）当0＜m＜120且∠BAE＝6∠CAD时，求m的值．
【思路点拔】（1）①先依题意得：∠BAC＝45°，∠EAD＝60°，再由m＝20，得∠DAB＝20°，然后根据∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB，∠BAE＝∠DAB+∠EAD可得出答案；
②由∠DAB＝m°，且0＜m＜45，得∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝（45﹣m）°，∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝（m+60）°，由此得∠CAD+∠BAE＝105°，据此可得出∠CAD与∠BAE之间的数量关系；
（2）根据∠DAB＝m°，且0＜m＜120，分两种情况讨论如下：①当0＜m≤45时，则∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝（45﹣m）°，∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝（m+60）°，然后由∠BAE＝6∠CAD，得m+60＝6（45﹣m），据此解出m即可；②当45＜m＜120时，则∠CAD＝∠DAB﹣∠BAC＝（m﹣45）°，∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝（m+60）°，然后∠BAE＝6∠CAD，得m+60＝6（m﹣45），据此解出m即可，综上所述可得m的值．
【解答】解：（1）①依题意得：∠BAC＝45°，∠EAD＝60°，
∵m＝20，
∴∠DAB＝20°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝45°﹣20°＝25°，∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝20°+60°＝80°；
故答案为：25°；80°．
②∠CAD+∠BAE＝105°，理由如下：
∵∠DAB＝m°，且0＜m＜45，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝（45﹣m）°，
∴∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝（m+60）°，
∠CAD+∠BAE＝（45﹣m）°+（m+60）°＝105°．
（2）∵∠DAB＝m°，且0＜m＜120，
∴有以下两种情况：
①当0＜m≤45时，如图1所示：
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝（45﹣m）°，∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝（m+60）°，
∵∠BAE＝6∠CAD，
∴m+60＝6（45﹣m），
解得：m＝30；
②当45＜m＜120时，如图2所示：
∴∠CAD＝∠DAB﹣∠BAC＝（m﹣45）°，∠BAE＝∠DAB+∠EAD＝（m+60）°，
∵∠BAE＝6∠CAD，
∴m+60＝6（m﹣45），
解得：m＝66．
综上所述：当0＜m＜120且∠BAE＝6∠CAD时，m的值30或66．
53．已知∠AOB＝40°．
（1）如图1，OC在∠AOB的内部，且，则∠BOC＝ 30° ；
（2）如图2，∠AOC＝20°，OM在∠AOB的内部，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内时，会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均大于0°且不超过180°）．
【思路点拔】（1）根据角的数量关系求出∠BOC与∠AOB的关系，从而求得∠BOC的度数；
（2）设∠CON＝x°，根据角之间的数量关系表示出∠AON和∠COM，相加求和即可；
（3）设∠CON＝x°，根据角之间的数量关系表示出∠AON和∠BOM，得出代数式从而得解．
【解答】解：（1）∵∠AOC∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∴∠AOB∠BOC，
∵∠AOB＝40°，
∴∠BOC＝30°；
故答案为：30°；
（2）设∠CON＝x°，
∵3∠CON＝∠NOM，∠CON+∠NOM＝∠COM，
∴∠COM＝4∠CON＝4x°，
∵∠CON+∠AON＝∠AOC＝20°，
∴∠AON＝（20﹣x）°，
∴4∠AON+∠COM＝80°﹣4x+4x＝80°；
（3）当∠BOM＝180°时，t＝180÷5＝36s；
当∠COM＝180°时，t＝（180+20+40）÷5＝48s；
当∠AON＝180°时，∠CON＝180°﹣20°＝160°，此时，∠MOC＞180°，
∴ON不在左侧，即∠AON≠180°；
当ON和OA重合时，∠AOM＝3∠AOC＝60°，∠BOM＝20°，t＝（360﹣20）÷5＝68s；
当OC和OM重合时，t＝（20+40）÷5＝12s；
①当0≤t≤12时，∠BOM＝5t°，∠COM＝（60﹣5t）°，
∴∠CON∠COM＝（15t）°，
∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝（t+5）°，
∴∠AON∠BOMt+5t＝5°，为定值；
②当12＜t≤36时，∠BOM＝5t°，∠COM＝（5t﹣60）°，
∴∠CON＝（t﹣15）°，
∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝（t+5）°，
∴∠AON∠BOMt+5t＝5°，为定值；
③当36≤t≤48时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝（5t﹣60）°，
∴∠CON＝（t﹣15）°，
∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝（t+5）°，
∴∠AON∠BOMt+5﹣450tt﹣445，不是定值；
④当48＜t＜68时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝∠BOM+60°＝（420﹣5t）°，
∴∠CON＝（105﹣1.25t）°，
∴∠AON＝∠CON﹣∠AOC＝（85﹣1.25t）°，
∴∠AON∠BOM＝85﹣1.25t﹣90+1.25t＝5°，为定值；
⑤当68＜t＜72时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝∠BOM+60°＝（420﹣5t）°，
∴∠CON＝（105﹣1.25t）°，
∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝（1.25t﹣85）°，
∴∠AON∠BOM＝1.25t﹣85﹣90+1.25t＝2.5t﹣175，不是定值；
综上所述，当0＜t≤36或48＜t＜68时，∠AON∠BOM会为定值5°．
54．将一副三角板的直角顶点重合按图①方式摆放，图②是依据图①而作出的几何图形，试依据图②回答下列问题．
（1）若∠ACB＝150°，求∠ACE度数；
（2）设∠BCD＝α，∠ACE＝β，试探究α、β之间的数量关系，并说明理由；
（3）请探究∠ACB与∠DCE之间有何数量关系？直接写出你的结论．
【思路点拔】（1）根据题意得∠BCE＝90°，从而可得∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE，求出答案即可；
（2）由题意得∠ACD＝∠BCE＝90°，从而可得∠BCD＝a＝90°﹣∠DCE，∠ACE＝B＝90°﹣∠DCE，进而可得答案；
（3）由∠ACB＝∠ACE+∠ECB，得∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠ECB+∠DCE＝∠ACD+∠ECB＝90°+90°＝180°．
【解答】解：（1）∵∠BCE＝90°，∠ACB＝150°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝150°﹣90°＝60°；
（2）a＝β，理由如下：
∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD﹣∠DCE＝∠BCE﹣∠DCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴α＝β；
（3）∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB，∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠ECB+∠DCE＝∠ACD+∠ECB＝90°+90°＝180°．
即∠ACB+∠DCE＝180°．
55．如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．
（1）若AC＝6cm，则EF＝ 12 cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；
（3）①对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠EOF；
②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论．
【思路点拔】（1）依据AB＝20cm，CD＝4cm，AC＝6cm可得DB＝10cm，再根据E、F分别是AC、BD的中点，即可得到CEAC＝3cm，DFDB＝5cm，进而得出EF＝3+4+5＝12（cm）；
（2）依据E、F分别是AC、BD的中点，可得ECAC，DFDB，再根据EF＝EC+CD+DF进行计算，即可得到EF（20+4）＝12（cm）；
（3）①依据OE、OF分别平分∠AOC在∠BOD，可得∠COE∠AOC，∠DOF∠BOD，再依据∠EOF＝∠COE+∠COD+∠DOF进行计算，即可得到结果；②的证明和①一样．
【解答】解：（1）∵AB＝20cm，CD＝4cm，AC＝6cm，
∴DB＝10cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴CEAC＝3cm，DFDB＝5cm，
∴EF＝3+4+5＝12（cm）．
故答案为：12．
（2）EF的长度不变．理由：
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴ECAC，DFDB，
∴EF＝EC+CD+DE
．
∵AB＝20cm，CD＝4cm，
∴EF（cm）．
（3）①：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠COE∠AOC，∠DOF∠BOD，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF
．
②；过程同①．
56．【问题发现】
如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．
（1）①∠AOD与∠BOC的数量关系是 ∠AOD＝∠BOC ．
②∠AOC与∠BOD的数量关系是 ∠AOC﹣∠BOD＝180° ．
【问题探究】
（2）若将这副三角尺按图2所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处．
①∠AOD和∠BOC有怎样的数量关系？说明理由．
②∠AOC和∠BOD有怎样的数量关系？说明理由．
【思路点拔】（1）①观察图形可知：∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∠BOC＝∠COD+∠BOD，然后代换即可；
②观察图形可知：∠AOB＝∠COD＝90°，根据∠AOC＝∠AOB+∠BOD+∠COD，然后解答即可；
（2）①观察图形可知：∠AOB＝∠COD＝90°，根据∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，∠BOC＝∠COD﹣∠BOD进行解答即可；
②观察图形可知：∠AOB＝∠COD＝90°，根据∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC进行解答即可．
【解答】解：（1）①由题意可知：∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∠BOC＝∠COD+∠BOD，
∴∠AOD＝∠BOC；
②由题意可知：∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOD+∠COD＝180°+∠BOD，
∴∠AOC﹣∠BOD＝180°+∠BOD﹣∠BOD＝180°，
故答案为：①∠AOD＝∠BOC；②∠AOC﹣∠BOD＝180°；
（2）由题意可知：∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，∠BOC＝∠COD﹣∠BOD，
∴∠AOD＝∠BOC；
②由题意可知：∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD﹣∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°．
57．如图，已知点O为直线CE上一点，∠COD＝3∠BOD，，且∠DOE＝54°，求∠AOB的度数．
【思路点拔】根据平角的定义求出∠COD，进而求出∠AOC和∠BOD，再由平角的定义求出∠AOB的度数即可．
【解答】解：∵∠DOE＝54°，
∴∠COD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣54°＝126°，
∵∠AOCCOD，
∴∠AOC126°＝63°，
∵∠COD＝3∠BOD，
∴∠BOD∠COD126°＝42°，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠DOE＝180°﹣63°﹣42°﹣54°＝21°．
58．如图，∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，若∠AOB＝120°，求∠EOC的大小．
【思路点拔】由∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，可设∠DOE＝x°，∠DOC＝y°，可得∠BOE＝3x°，∠COA＝3y°，然后根据∠AOB＝120°，可得∠DOE+∠BOE+∠DOC+∠COA＝∠AOB＝120°，可求x°+y°的大小，即可求∠EOC的大小．
【解答】解：设∠DOE＝x°，∠DOC＝y°，
∵∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，
∴∠BOE＝3x°，∠COA＝3y°，
∵∠DOE+∠BOE+∠DOC+∠COA＝∠AOB，
∴x°+3x°+y°+3y°＝120°，
∴4（x°+y°）＝120°，
∴x°+y°＝30°，
∵∠EOC＝∠DOE+∠DOC，
∴∠EOC＝x°+y°＝30°，
即∠EOC的大小30°．
59．一副三角板ABC．DBE，如图1放置，三角板的一边重合（∠D＝30°、∠BAC＝45°）．
（1）请直接写出图1中，∠ABD＝ 15 度；
（2）如图2，将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度：
①若旋转到∠DBC＝90°时，请求出∠ABE的度数；
②若旋转到0°＜∠CBE＜45°时，请求出∠DBC+∠ABE的度数．
【思路点拔】（1）算出∠DBE、∠ABC的角度，∠ABD＝∠DBE﹣∠ABC，可得；
（2）①∠ABE＝∠DBE+∠ABC﹣∠DBC，
②∠DBC+∠ABE＝∠DBE+∠ABC．
【解答】解：（1）∠DBE＝90°﹣∠D＝60°，∠ABC＝90°﹣∠BAC＝45°，
∠ABD＝∠DBE﹣∠ABC＝15°，
故答案为：15；
（2）①∠DBE＝90°﹣∠D＝60°，∠ABC＝90°﹣∠BAC＝45°，
∠ABE＝∠DBE+∠ABC﹣∠DBC＝15°，
②∵0°＜∠CBE＜45°，
∴0°＜∠ABE＜45°，
∠DBC+∠ABE＝∠DBE+∠ABC＝105°．
60．已知∠AOB＝110°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）按以下条件画图并完成探究：
探究一：当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜70）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由；
探究二：当∠COD从图1所示位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜140，且n≠30，n≠110）时，是否存在n使得∠AOD+∠EOF＝5∠COD，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）首先根据角平分线的定义求得∠EOB和∠COF的度数，然后根据∠EOF＝∠EOB+∠COF求解；
（2）探究一：∠AOE﹣∠BOF的值是定值．由题意得：∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∠BOC＝n°，∠AOC＝110°+n°，∠BOD＝n°+30°，再运用角平分线定义即可求得答案；
探究二：分三种情况讨论：①当0＜n＜30时，②当30＜n＜110时，③当110＜n＜140时．
【解答】解：（1）如图1，当OB、OC重合时，
∵∠AOB＝110°，∠COD＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝110°，∠BOD＝∠COD＝30°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOE∠AOC＝55°，∠BOF∠BOD＝15°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝55°+15°＝70°；
（2）探究一：∠AOE﹣∠BOF的值是定值．理由如下：
如图2，∵∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°+n°，∠BOD＝∠BOC+∠COD＝n°+30°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE∠AOC＝55°n°，∠BOF∠BODn°+15°，
∴∠AOE﹣∠BOF＝（55°n°）﹣（n°+15°）＝40°，
∴∠AOE﹣∠BOF的值为40°，是定值；
探究二：
①当0＜n＜30时，如图3，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝110°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝30°﹣n°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝110°+30°﹣n°＝140°﹣n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC∠AOC＝55°n°，∠BOF∠BOD＝15°n°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠BOC+∠BOF＝（55°n°）+n°+（15°n°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，
∴140°﹣n°+70°＝5×30°，
解得：n＝60（不符合题意，舍去）；
②当30＜n＜110时，如图4，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝110°﹣n°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝n°﹣30°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°﹣（n°﹣30°）＝140°﹣n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC∠AOC＝55°n°，∠DOF∠BODn°﹣15°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF＝（55°n°）+30°+（n°﹣15°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，
∴140°﹣n°+70°＝5×30°，
解得：n＝60，符合题意；
③当110＜n＜140时，如图5，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝n°﹣110°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝n°﹣30°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°﹣（n°﹣30°）＝140°﹣n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOA∠AOCn°﹣55°，∠DOF∠BODn°﹣15°，
∴∠EOF＝∠EOA+∠AOD+∠DOF＝（n°﹣55°）+140°﹣n°+（n°﹣15°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，
∴140°﹣n°+70°＝5×30°，
解得：n＝60（不符合题意，舍去）；
综上所述，n的值为60．中小学教育资源及组卷应用平台
《角的和差》同步提升训练题（二）
一．选择题（共16小题）
1．如图，∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′＝80°，∠AOB＝20°，∠B′OC′＝35°，则∠1的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
2．如图，已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部且∠COD＝60°，则∠AOD与∠COB一定满足的关系为（ ）
A．∠AOD＝∠COB B．∠AOD+∠COB＝180°
C．∠AOD∠COB D．∠AOD+∠COB＝120°
3．如图，已知∠AOC∠AOB，∠AOD∠AOB，且∠COD＝19°，则∠AOB的度数为（ ）
A．100° B．108° C．114° D．120°
4．只利用一副学生用的三角板可以画出的角度为（ ）
A．50° B．105° C．35° D．125°
5．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（ ）
A．70° B．90° C．105° D．120°
6．如图所示，OB是∠AOC平分线，∠COD∠BOD，∠COD＝17°，则∠AOD的度数是（ ）
A．70° B．83° C．68° D．85°
7．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是（ ）
A．北偏东70° B．北偏西70° C．南偏东70° D．南偏西50°
8．已知∠AOB＝60°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB＝1：4，那么∠BOC的度数是（ ）
A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75°
9．从O点出发的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB＝50°，∠AOC＝30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．80°或20° B．40°或10° C．40°或20° D．80°或10°
10．如图，将两块三角板的直角∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，绕点O转动三角板AOB，使两块三角板仍有部分重叠，且∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
11．如图所示的是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能用这副三角板画出的角度是（ ）
A．18° B．108° C．82° D．117°
12．如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．130° D．140°
13．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是（ ）
A．北偏东30° B．北偏东45° C．北偏东60° D．北偏东75°
14．如图：∠AOC＝∠BOD＝105°，且∠AOD＝135°，则∠BOC的度数为（ ）
A．75° B．65° C．70° D．60°
15．已知∠AOB＝58°32′，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°41′，则∠BOC的度数为（ ）
A．15°51′ B．101°13′
C．15°51′或101°13′ D．16°51′或101°13′
16．在∠AOB 的内部引一条射线OC，则图中共有三个角，分别是∠AOB、∠AOC、∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB 的“好好线”．若∠AOC＝30°，且射线OC是∠AOB 的“好好线”，则∠AOB 的度数有下列情况：①45°，②60°，③90°，④120°．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
二．填空题（共14小题）
17．如图，已知∠COD＝∠AOB＝75°，当∠COD绕着点O旋转且OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ ．
18．已知∠AOB＝60°，从顶点O引一条射线OC，若∠AOC＝20°，则∠BOC＝ ．
19．如图，射线OB，OC三等分锐角∠AOD，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为 ．
20．已知∠AOB＝90°，，则∠BOC的度数为 ．
21．如图所示，∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，则∠AOD＝ ．
22．如图，已知∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOB＝α，若以OA，OB，OC，OD，OE为边的各角之和等于380°，则∠AOB＝ ．
23．如图，
（1）若∠AOB＝∠COD，则∠AOC＝∠ ；
（2）若∠AOC＝∠BOD，则∠ ＝∠ ．
24．射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB＝60°，∠AOD＝40°，∠AOB＝3∠BOC，则∠COD的度数为 ．
25．已知∠AOB＝2∠BOC，∠BOC＝15°，那么∠AOC的度数是 ．
26．如图，已知∠AOB＝129°，∠1＝（5x+18）°，∠2＝（57﹣2x）°，那么∠2＝ 度．
27．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°．若∠AOC＝∠AOB，则射线OC的方向是 ．
28．AD是△ABC的一条高线，若∠BAD＝55°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝ ．
29．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线“．若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数为 ．
30．如图，灯塔A位于港口O的北偏西15°方向，灯塔B位于港口O的东北方向，海面现有一艘轮船C，若∠AOC+∠AOB＝90°，则∠COA＝ °．
三．解答题（共30小题）
31．若∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，且|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题：
（1）若∠α和∠β互为“伙伴角”，当∠α＝130°时，求∠β的度数；
（2）如图，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B'，若∠1与∠2互为“伙伴角”，求∠3的度数．
32．如图，A，O，B三点共线，∠1：∠2：∠3＝1：3：2，求∠BOC的度数．
33．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数．
34．如图，已知点O为直线AB上一点，∠BOC＝110°，OC⊥OD，OM平分∠AOC，∠BOP＝∠DOM．
（1）求∠AOD的度数；
（2）试说明：OP平分∠BOC；
（3）若改变∠BOC的大小，其余条件不变，设∠BOC＝α（90°＜α＜180°），（2）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用α表示∠COP．
35．综合与实践．
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题．
问题1：已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，则∠AOD＝ ．
问题2：已知AB＝60，点C是AB的中点，点D是AC的中点，则AD＝ ．
数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空．
深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系．
（2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题．
如图1，点O在直线AB上，OC⊥OD（OC，OD在直线AB同侧），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD．求∠EOF的度数（无需作答）．
完成下列问题的解答：
①“运河小组”提出问题：如图2，线段AB＝180，点C，D在线段AB上（AC＜AD），CD＝90，点E，F分别是线段AC，BD的中点，求EF的长．
②“武林小组”提出问题：如图3，点O在直线AB上，OC⊥OD（OC，OD在直线AB两侧），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD．求∠EOF的度数．
36．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B'处，得到折痕EC，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A'处，得到折痕EN．
（1）若∠BEC＝60°，则∠B'EC＝ °，∠A'EN＝ °，∠CEN＝ °；
（2）若∠BEC＝m°，则（1）中∠CEN的值是否改变？∠CEN的度数是多少？请说明你的理由．
37．（1）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
①若∠DCE＝40°，则∠ACB＝ ；若∠ACB＝120°，则∠DCE＝ °；
②猜想∠ACB与∠DCE的度数有何特殊关系，并说明理由．
（2）如图（b），两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的度数有何关系？请说明理由．
（3）如图（c），已知∠AOB＝α，作∠COD＝β（α，β都是锐角且α＞β），若OC在∠AOB的内部，请直接写出∠AOD与∠BOC的度数关系．
38．如图，点O在直线MN上，过点O引射线OA和OB．已知∠MOA＝2∠BON，∠BON比∠AOB大20°，求∠MOA和∠AOB的度数．
39．定义：如果一条射线把一个角分成两个角，其中较大角的度数是原角度数的0.6倍，则称该射线为这个角的近似黄金分割线．如图（1），∠AOB＝60°，∠BOP＝36°则OP为∠AOB的近似黄金分割线．
（1）若∠AOB＝100°，OP为∠AOB的近似黄金分割线，则∠AOP＝ ；
（2）如图（2），如果点A，O，B三点在同一条直线上时，当射线OP在直线AB上方绕O点转动时，OM，ON始终分别为∠AOP和∠BOP的近似黄金分割线，当∠BOP＝α°时，求∠MON的度数（可以用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的基础上，若OP恰好为∠MON的平分线，求∠α的度数．
40．如图1，将两块直角三角板的直角顶点A叠放在一起．
（1）若∠PAQ＝45°，则∠CAB＝ °；若∠CAB＝130°，则∠PAQ＝ °；
（2）猜想∠CAB与∠PAQ有何数量关系，并说明理由；
（3）如图2，若是两个同样的直角三角尺45°锐角的顶点A重合在一起，请直接写出∠PAB与∠CAQ的数量关系．
41．在数学活动课上，张老师将两个直角三角尺按如图所示方式摆放，探究∠AOD与∠BOC的数量关系．
【特殊情况，探索结论】
（1）如图①，已知∠AOB＝∠COD＝90°，若∠AOD＝25°，则∠BOC＝ ．得出的结论是：∠AOD+∠BOC＝ ．
（2）如图②，已知∠AOB＝∠COD＝45°，若∠AOD＝25°，则∠BOC＝ ．得出的结论是：∠AOD+∠BOC＝ ．
【特例启发，解答题目】
（3）如图③，若∠AOB＝∠COD＝α，∠AOD＝β，则∠BOC＝ （用含α和β的式子表示）．
（4）如图④，已知∠AOB＝50°，∠COD＝100°，则∠AOD+∠BOC＝ ．
42．如图，点A，O，B在同一直线上，∠BOC＝78°，∠DOE＝77°，OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线．
①求∠COE的度数；
②OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由．
43．如图，射线OC，OD在∠AOB的内部．
（1）图中共有 个角；（注：图中所有角均指小于180°的角）
（2）若∠COD＝m°，∠AOB＝n°，求（1）中所有角的度数之和．（结果用含m，n的式子表示）
44．如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE＝20°，则∠ACB＝ °；若∠ACB＝120°，则∠DCE＝ °．
（2）如图2所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．
（3）如图3所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，将∠AOD与∠BOC的数量关系用含α与β的式子表示出来，直接写出结论．
45．已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°．画出图形，求∠BOC的度数．
46．定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．
（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．
②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．
47．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一把含45°角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，一直角边OM与直线AB重合，另一直角边ON、斜边MN都在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转60°，如图2所示，此时∠CON＝ ；
（2）将图1中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜360°），
①当旋转的角度α为何值时，射线OC所在的直线是△OMN的对称轴；
②是否存在相应的旋转角度α使得∠COM与∠CON互补？若存在，请直接写出α的值；若不存在，请说明理由．
48．已知∠AOB＝150°，三角形纸板COD（∠COD＝60°）可以绕点O在∠AOB内任意旋转，且始终保持OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）如图1，当OC与OB重合时，求∠MON的度数．
（2）如图2，当三角形纸板COD绕点O在∠AOB内旋转时，请判断∠MON的大小是否会随∠COD的位置的变化发生改变？并说明理由．
（3）在三角形纸板COD旋转过程中，当时，请直接写出∠AOD的度数．
49．已知一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°
（1）图1中∠BOD＝ °．
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O按顺时针方向旋转一个角度α，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方：
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；
②是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时的α的值；若不存在，请说明理由．
50．已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，则∠AOD和∠BOC之间的关系为 ；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝4：5，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOE的度数．
51．已知∠AOB＝30°，∠BOP＝m∠AOP（m＞0，且OP不与OA重合）．
（1）当m＝1时，若射线OP在∠AOB内，请用量角器在图1中画出射线OP，则∠AOP的度数为 ；
（2）当m＝2时，OQ平分∠AOP，求∠BOQ的度数．
52．如图，将一副三角板摆放在一起，∠DAB＝m°．
（1）当0＜m＜45时，
①若m＝20，则∠CAD＝ °，∠BAE＝ °；
②猜想∠CAD与∠BAE有何数量关系，并说明理由；
（2）当0＜m＜120且∠BAE＝6∠CAD时，求m的值．
53．已知∠AOB＝40°．
（1）如图1，OC在∠AOB的内部，且，则∠BOC＝ ；
（2）如图2，∠AOC＝20°，OM在∠AOB的内部，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内时，会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均大于0°且不超过180°）．
54．将一副三角板的直角顶点重合按图①方式摆放，图②是依据图①而作出的几何图形，试依据图②回答下列问题．
（1）若∠ACB＝150°，求∠ACE度数；
（2）设∠BCD＝α，∠ACE＝β，试探究α、β之间的数量关系，并说明理由；
（3）请探究∠ACB与∠DCE之间有何数量关系？直接写出你的结论．
55．如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．
（1）若AC＝6cm，则EF＝ cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；
（3）①对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠EOF；
②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论．
56．【问题发现】
如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．
（1）①∠AOD与∠BOC的数量关系是 ．
②∠AOC与∠BOD的数量关系是 ．
【问题探究】
（2）若将这副三角尺按图2所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处．
①∠AOD和∠BOC有怎样的数量关系？说明理由．
②∠AOC和∠BOD有怎样的数量关系？说明理由．
57．如图，已知点O为直线CE上一点，∠COD＝3∠BOD，，且∠DOE＝54°，求∠AOB的度数．
58．如图，∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，若∠AOB＝120°，求∠EOC的大小．
59．一副三角板ABC．DBE，如图1放置，三角板的一边重合（∠D＝30°、∠BAC＝45°）．
（1）请直接写出图1中，∠ABD＝ 度；
（2）如图2，将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度：
①若旋转到∠DBC＝90°时，请求出∠ABE的度数；
②若旋转到0°＜∠CBE＜45°时，请求出∠DBC+∠ABE的度数．
60．已知∠AOB＝110°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）按以下条件画图并完成探究：
探究一：当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜70）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由；
探究二：当∠COD从图1所示位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜140，且n≠30，n≠110）时，是否存在n使得∠AOD+∠EOF＝5∠COD，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由．
