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《与角有关的计算》解答题专练
一．解答题（共35小题）
1．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数．
【思路点拔】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC∠AOB120°＝40°；
（2）∵∠AOD∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
2．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，边CD与BE交于点F，∠D＝30°．
【计算与观察】
（1）若∠ACB＝145°，求∠DCE的度数．
【猜想与证明】
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．
【拓展与运用】
（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠CFB的度数．
【思路点拔】（1）先由∠ACB＝145°，∠ACD＝∠ECB＝90°得∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝55°，进而根据∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE可得出∠DCE的度数；
（2）设∠ACE＝α，则∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣α，∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝α+90°，由此可得出∠ACB与∠DCE的特殊关系；
（3）由∠DCE：∠ACB＝2：7，设∠DCE＝2β，∠ACB＝7β，再由（2）得∠ACB+∠DCE＝180°，进而得β＝20°，则∠DCE＝2β＝40°，然后由三角形的外角定理可得∠CFE的度数．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝145°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝145°﹣90°＝55°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣55°＝35°；
（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
设∠ACE＝α，
∵∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝α+90°，
∴∠ACB+∠DCE＝α+90°+90°﹣α＝180°；
（3）∵∠DCE：∠ACB＝2：7，
∴设∠DCE＝2β，∠ACB＝7β，
由（2）可知：∠ACB+∠DCE＝180°，
∴7β+2β＝180°，
解得：β＝20°，
∴∠DCE＝2β＝40°，
∵∠E＝∠B＝45°，
∴∠CFB＝∠E+∠DCE＝45°+40°＝85°．
3．如图，点A，O，B在同一直线上，∠BOC＝78°，∠DOE＝77°，OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线．
①求∠COE的度数；
②OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由．
【思路点拔】①由题意可得∠COD＝26°，根据∠COE＝∠DOE﹣∠COD可得答案．
②由题意可得∠AOE＝180°﹣∠COE﹣∠BOC＝51°，则∠AOE＝∠COE，即OE是∠AOC的平分线．
【解答】解：①∵OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线，∠BOC＝78°，
∴∠COD＝26°，
∵∠DOE＝77°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝51°．
②OE是∠AOC的平分线．
理由：∵∠AOE＝180°﹣∠COE﹣∠BOC＝180°﹣51°﹣78°＝51°，
∴∠AOE＝∠COE，
∴OE是∠AOC的平分线．
4．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一把含45°角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，一直角边OM与直线AB重合，另一直角边ON、斜边MN都在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转60°，如图2所示，此时∠CON＝ 150° ；
（2）将图1中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜360°），
①当旋转的角度α为何值时，射线OC所在的直线是△OMN的对称轴；
②是否存在相应的旋转角度α使得∠COM与∠CON互补？若存在，请直接写出α的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）直角三角尺绕点O按逆时针方向旋转60°，此时∠BON＝30°，∠CON＝∠BOC+∠BON＝150°；
（2）当旋转角度α时，射线OC所在的直线是△OMN的对称轴，分情况结合图形就可以计算出来旋转的角度α；
（3）存在旋转角度α使得∠COM与∠CON互补，利用互补的性质就可以计算出来．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，
∴直角三角尺绕点O按逆时针方向旋转60°后，∠BON＝30°，
∴∠CON＝∠BOC+∠BON＝150°，
故答案为：150°；
（2）①当直角三角尺绕点O按逆时针方向旋转到如下（一）位置时
∵∠MON＝90°，△OMN关于直线OC对称轴，
∴∠MOC＝45°，
∴此时α＝120°+45°＝165°，
②当直角三角尺绕点O按逆时针方向旋转到如下（二）位置时
∵∠BOC＝120°，
∴∠BOM＝180°﹣120°﹣45°＝15°，
∴此时α＝360°﹣15°＝345°，
答：当旋转165°或者345°时，射线OC所在的直线是△OMN的对称轴；
（3）存在旋转角度α使得∠COM与∠CON互补，
证明：∵∠COM＝120°，∠CON＝210°，
∴120°﹣α+210°﹣α＝180°，
∴α＝75°．
5．（1）理解计算：如图①，∠AOB＝80°，∠AOC＝40°．射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（2）拓展探究：如图②，∠AOB＝α，∠AOC＝β（α，β为锐角）．射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（3）迁移应用：线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图③，线段AB＝a，延长线段AB到C，使得BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．
【思路点拔】（1）根据角的平行线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论；
（2）根据角的平行线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论；
（3）根据（2）的原理，可直接得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝80°+40°＝120°，
射线OM平分∠BOC，
∴∠COM∠BOC120°＝60°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON∠AOC40°＝20°，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝60°﹣20°＝40°．
（2）∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝α+β，
∵射线OM平分∠BOC，
∴∠COM∠BOC（α+β），
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON∠AOCβ，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON（α+β）βα．
（3）∵AB＝a，BC＝b，
∴AC＝AB+BC＝a+b，
∵点M，N分别为AC，BC的中点，
∴CMAC（a+b），CNBC＝b，
∴MN＝CM﹣CNa．
故答案为：a．
6．已知∠AOB＝30°，∠BOP＝m∠AOP（m＞0，且OP不与OA重合）．
（1）当m＝1时，若射线OP在∠AOB内，请用量角器在图1中画出射线OP，则∠AOP的度数为 15° ；
（2）当m＝2时，OQ平分∠AOP，求∠BOQ的度数．
【思路点拔】（1）∠BOP＝m∠AOP，当m＝1时，即∠BOP＝∠AOP，OP是角平分线，计算求值即可；
（2）∠BOP＝m∠AOP，当m＝2时，即∠BOP＝2∠AOP，OQ平分∠AOP，计算求值即可．
【解答】解：（1）如图所示：
∵∠BOP＝m∠AOP，
∴当m＝1时，∠BOP＝∠AOP，
∴OP是角平分线，
∵∠AOB＝30°，
∴∠AOP∠AOB30°＝15°．
故答案为：15°；
（2）∵∠BOP＝m∠AOP，
∴当m＝2时，∠BOP＝2∠AOP，
①当点P在∠AOB内部时，
∵OQ平分∠AOP，
∴∠POQ∠AOP，
∴∠BOQ＝∠BOP+∠POQ＝2∠AOP∠AOP∠AOP，
∵∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝30°，∠BOP＝2∠AOP，
∴3∠AOP＝30°，
∴∠AOP＝10°，
∴∠BOQ∠AOP10°＝25°；
②当点P在∠AOB外部时，
∵∠BOP＝2∠AOP，
∴∠AOP＝∠AOB＝30°，
∵OQ平分∠AOP，
∴∠POQ∠AOP30°＝15°，
∴∠BOQ＝∠POQ+∠AOB＝15°+30°＝45°；
∴∠BOQ的度数为25°或45°．
7．如图，∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，若∠AOB＝120°，求∠EOC的大小．
【思路点拔】由∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，可设∠DOE＝x°，∠DOC＝y°，可得∠BOE＝3x°，∠COA＝3y°，然后根据∠AOB＝120°，可得∠DOE+∠BOE+∠DOC+∠COA＝∠AOB＝120°，可求x°+y°的大小，即可求∠EOC的大小．
【解答】解：设∠DOE＝x°，∠DOC＝y°，
∵∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，
∴∠BOE＝3x°，∠COA＝3y°，
∵∠DOE+∠BOE+∠DOC+∠COA＝∠AOB，
∴x°+3x°+y°+3y°＝120°，
∴4（x°+y°）＝120°，
∴x°+y°＝30°，
∵∠EOC＝∠DOE+∠DOC，
∴∠EOC＝x°+y°＝30°，
即∠EOC的大小30°．
8．若两个角的差的绝对值等于90°，则称这两个角互为“垂角”．例如：
∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1与∠2互为“垂角”（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）．
（1）已知一个角比它的“垂角”的少20°，求这个角的度数；
（2）如图所示，∠AOB＝120°，∠BOC＝45°，是否存在射线OD，使得∠AOD与∠COD互为“垂角”？若存在，直接写出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据“垂角”定义和给定的关系列方程组解答即可；
（2）分两种情况，利用“垂角”定义，再根据图形和已知条件中∠AOD与∠COD和的关系列方程组解答即可．
【解答】解：（1）设这个角为x°，它的垂角为y°，
根据题意，得
解得
故这个角的度数为50°；
（2）∠BOD的度数为：7.5°或82.5°或97.5°．
理由如下：
分两种情况：
①OD在∠AOC的内部时，
有
解得∠COD＝37.5°或∠COD＝127.5°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝45°﹣37.5°＝7.5°，
或∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝127.5°﹣45°＝82.5°；
②OD在∠AOC外部时，
解得∠COD＝52.5°或∠COD＝142.5°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝45°+52.5°＝97.5°，
或∠BOD＝∠BOC+∠COD＝45°+142.5°＝187.5°＞180°（舍去），
故∠BOD的度数为：7.5°或82.5°或97.5°．
9．如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线．
（1）如图1，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，已知∠AOB＝20°，∠BOC＝100°，求∠MON的度数；
（2）如图2，若∠AOC＝165°，∠AOM＝∠NOC∠BON，∠BOM：∠BON＝5：4，求∠MON的度数．
【思路点拔】（1）由OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，∠AOB＝20°，∠BOC＝100°，得∠AOM＝∠BOM∠AOB＝10°，∠BON＝∠CON∠BOC＝50°，即得∠MON＝∠BON+∠BOM＝60°；
（2）由∠AOM＝∠NOC∠BON，设∠AOM＝∠NOC＝α，则∠BON＝4α，又∠BOM：∠BON＝5：4，知∠BOM＝5α，可得165°＝α+5α+4α+α，解得α＝15°，故∠MON＝∠BOM+∠BON＝5α+4α＝9α＝135°．
【解答】解：（1）∵OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，∠AOB＝20°，∠BOC＝100°，
∴∠AOM＝∠BOM∠AOB＝10°，
∠BON＝∠CON∠BOC＝50°，
∴∠MON＝∠BON+∠BOM＝60°；
（2）由于∠AOM＝∠NOC∠BON，设∠AOM＝∠NOC＝α，则∠BON＝4α，
又∵∠BOM：∠BON＝5：4，
∴∠BOM＝5α，
∵∠AOC＝165°＝∠AOM+∠BOM+∠BON+∠NOC，
∴165°＝α+5α+4α+α，
∴α＝15°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝5α+4α＝9α＝135°．
10．已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足∠BOE∠BOC，∠DOF∠AOD，求∠EOF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝2：3，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOF的度数．
【思路点拔】（1）根据已知条件，∠AOB和∠COD是直角，可得出∠BOD和∠AOC与∠BOC的关系式，再根据∠AOC与∠AOB和∠BOD列出等量关系，即可得出答案；
（2）根据已知条件∠BOE∠BOC，可设∠BOE＝a，则∠BOC＝3a，再根据周角的关系可得到∠AOD的等量关系，再根据∠DOF∠AOD，可得到∠AOF的等量关系式，由∠BOE、∠AOB和∠∠AOF可列出等量关系，即可得到答案；
（3）分两种情况，①当射线OG在∠EOF内部时，由∠GOF：∠GOE＝2：3，可得出结果，当射线OG在∠EOF外部时，由∠GOF：∠GOE＝2：3，可得出结果．
【解答】（1）∠AOD+∠BOC＝180°．
证明：∵∠AOB和∠COD是直角，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠BOD+∠BOC＝∠COD，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC，
同理：∠AOC＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+90°﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）解：设∠BOE＝a，则∠BOC＝3a，
∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝2a，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB
＝360°﹣90°﹣3a﹣90°＝180°﹣3a，
∵∠DOF∠AOD，
∴∠DOF（180°﹣3a）＝120°﹣2a，
∴∠AOF∠AOD（180°﹣3a）＝60°﹣a，
∴∠EOF＝∠BOE+∠AOB+∠AOF＝a+90°+60°﹣a＝150°，
∠EOF的度数为150°；
（3）①当射线OG在∠EOF内部时，
∴∠GOF：∠GOE＝2：3，
∴∠GOF （∠GOF+∠GOE）∠EOF150°＝60°；
②当射线OG在∠EOF外部时，
∵∠GOF：∠GOE＝2：3，
∴∠GOF （∠GOF+∠GOE）
∠EOF
（∠DOF+∠COD+∠EOC）
（120°﹣2a+90°+2a）
＝84°．
综上所述，∠GOF 的度数是60°或84°．
11．如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB，∠BOE∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC．
【思路点拔】设∠AOB＝x，根据角平分线的定义、补角的概念，结合题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：设∠AOB＝x，则∠BOC＝180°﹣x，
∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD∠AOBx，
∵∠BOE∠EOC，
∴∠BOE∠BOC＝60°x，
由题意得，x+60°x＝70°，
解得，x＝60°，
∠EOC（180°﹣x）＝80°．
12．新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°25′，请直接写出∠M的4倍角的度数；
（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB所有的2倍角；
（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．
【思路点拔】（1）根据∠M＝10°25′，则4∠M＝4×10°25′＝41°40′，由此可得∠M的4倍角的度数；
（2）根据∠AOB＝∠BOC＝∠COD，则∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB．据此可得图1中∠AOB的2倍角；
（3）设∠AOB＝α，依题意得∠AOC＝3α，∠COD＝4α，则∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α，∠BOD＝∠BOC+∠COD＝6α，再根据∠BOD＝90°得6α＝90°，由此解出α＝15°，进而可得∠BOC的度数．
【解答】解：（1）∵∠M＝10°25′，
∴4∠M＝4×10°25′＝41°40′．
∴∠M的4倍角的度数为41°40′；
（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
∴∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB．
∴图1中∠AOB的2倍角有∠AOC，∠BOD；
（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，
设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝3α﹣α＝2α，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝2α+4α＝6α，
∵∠BOD＝90°，
∴6α＝90°，
∴α＝15°，
∠BOC＝2α＝30°．
13．如图，已知∠AOE＝130°，∠AOB：BOC＝2；1，且3∠COE＝2∠AOB，求∠AOB的度数．
【思路点拔】设∠AOB＝2x°，∠BOC＝x°，求出∠COE∠AOBx°，根据∠AOE＝130°得出方程，求出x即可．
【解答】解：设∠AOB＝2x°，∠BOC＝x°，
∵3∠COE＝2∠AOB，
∴∠COE∠AOBx°，
∵∠AOE＝130°，
∴x+x+2x＝130，
解得：x＝30，
∴∠AOB＝2x°＝60°．
14．已知：射线OC、OD是∠AOB内部的两条射线，且∠AOD＝30°，∠BOC＝60°．
（1）如图①，若∠AOB＝120°，求∠COD的度数；
（2）如图②，若∠AOB＝70°，求∠COD的度数：
（3）若∠AOB＝α（60°＜α＜180°），求∠COD的度数（用含α的代数式表示）．
【思路点拔】（1）根据角的和差即可得到结论；
（2）根据角的和差即可得到结论；
（3）根据角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）如图①，∵∠AOD＝30°，∠BOC＝60°，∠AOB＝120°，
∴∠COD＝∠AOB﹣∠AOD﹣∠BOC＝120°﹣30°﹣60°＝30°；
（2）如图②，∵∠AOD＝30°，∠BOC＝60°，∠AOB＝70°，
∴∠COD＝∠AOD+∠BOC﹣∠AOB＝30°+60°﹣70°＝20°；
（3）当60°＜α≤90°时，∠COD＝∠AOD+∠BOC﹣∠AOB＝30°+60°﹣α＝90°﹣α；
当90°＜α＜180°时，∠COD＝∠AOB﹣∠AOD﹣∠BOC＝α°﹣30°﹣60°＝α﹣90°．
15．新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数；
（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角；
（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．
【思路点拔】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；
（3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是结论可得．
【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′，
∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′；
（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD；
∴图中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；
（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，
设∠AOB＝α，
则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α，
∵∠BOD＝90°，
∴6α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠BOC＝2α＝30°．
16．如图1，将两块直角三角板AOB与COD的直角顶点O重合在一起，其中直角边OB在∠COD内部．
（1）如图2，若∠AOC＝20°，则∠BOC＝ 70 °，∠AOD＝ 110 °；
（2）若∠AOC＝α（0°＜α＜90°）．
①∠AOD和∠BOC有什么关系？请说明理由；
②当∠AOD＝4∠BOC时，求α的度数．
【思路点拔】（1）根据角之间的数量关系求出角的度数；
（2）①分别表示出∠AOD和∠BOC与∠AOC的数量关系，再将两个角相加便能得到答案；
②根据倍数关系先求出∠AOD的度数，再根据角之间的数量关系求出α度数．
【解答】解：（1）∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣20°＝70°；
∠AOD＝90°+AOC＝90°+20°＝110°，
故答案为：70；110．
（2）①∵∠AOD＝90°+∠AOC，
∠BOC＝90°﹣AOC，
∴∠AOD+∠BOC＝90°+∠AOC+90°﹣∠AOC＝180°；
②∵∠AOD＝4∠BOC，
∴∠BOC＝180°÷（1+4）＝36°，
∠AOD＝36°×4＝144°，
α＝144°﹣90°＝54°．
17．已知∠AOB＝∠COD，射线OC在∠AOB的内部，按要求完成下列各小题．
（1）尝试探究：如图1，已知∠AOB＝90°，∠AOD+∠BOC的度数为 180 °；
（2）初步应用：如图2，若∠AOB＝45°时，求∠AOD+∠BOC的度数，并说明理由；
（3）拓展提升：如图3，若∠AOB＝α（0°＜α＜180°），试判断∠AOD+∠BOC与α之间的数量关系．
【思路点拔】（1）首先根据题意得到∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用角的和差求解即可；
（2）首先根据题意得到∠AOB＝∠COD＝45°，然后利用角的和差求解即可；
（3）首先根据题意得到∠AOB＝∠COD＝α，然后利用角的和差求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°．
（2）∵∠AOB＝∠COD＝45°，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°．
（3）∵∠AOB＝∠COD＝45°，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+α＝2α．
18．已知∠AOB，过点O作射线OK，如果，则称∠BOK是∠AOB的“伴随角”．如图1，不难发现∠AOB的“伴随角”有两个，∠BOK1和∠BOK2都是∠AOB的“伴随角”．
（1）已知∠AOB的“伴随角”为20°，求∠AOB的度数；
（2）如图2，点O在直线MN上，满足：①∠AOB＝90°；②∠FOB＝80°；③∠FOM：∠NOB＝1：11，请依据以上条件，计算出∠AON的度数；
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB的余角是∠MON补角的．射线OK和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，射线OK的速度为每秒12°，射线OA的速度为每秒4°，两条射线相遇时停止．在旋转过程中∠BOK能否成为∠AOB的“伴随角”．若能，请求出符合条件的旋转时间；若不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据“伴随角”的定义，直接求值即可；
（2）先求出∠AOF＝10°，设∠FOM＝x°，∠NOB＝11x°，根据∠FOB＝80°列方程求出，进而即可得到结论；
（3）设运动时间为t，则∠AOB＝4t°，∠MOK＝12t°，分2种情况：射线OK顺时针旋转，当OK在OB上方时；射线OK顺时针旋转，当OK在OB下方时；分别列出方程即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB的“伴随角”为20°，
∴∠AOB＝2×20°＝40°；
（2）∵∠AOB＝90°，∠FOB＝80°，
∴∠AOF＝10°，
∵∠FOM：∠NOB＝1：11，
设∠FOM＝x°，∠NOB＝11x°，
∴∠MOB＝（180﹣11x）°，
∵∠FOB＝80°，
∴x+180﹣11x＝80，
解得：x＝10，
∴∠FOM＝10°
∴∠AON＝180°﹣10°﹣10°＝160°；
（3）设运动时间为t，则∠AOB＝4t°，∠MOK＝12t°，
∵∠MON＝120°，∠NOB的余角是∠MON补角的，
∴，∠BOM＝120°﹣40°＝80°，
射线OK顺时针旋转，当OK在OB上方时，，即，
则∠BOK＝（80﹣12t）°，∠AOB＝4t°，
∵∠BOK是∠AOB的“伴随角”，
∴，
解得：；
射线OK顺时针旋转，当OK在OB下方时，，
则∠BOK＝（12t﹣80）°，∠AOB＝4t，
∵∠BOK是∠AOB的“伴随角”，
∴，
解得：t＝8；
综上所述：运动时间为秒或8秒．
19．如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起．观察分析：
（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB＝ 145° ；
若∠ACB＝150°，则∠DCE＝ 30° ；
猜想探究：
（2）请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）如图2，若将两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，请你猜想∠DAB与∠CAE有何关系，请说明理由；
（4）如图3，如果把任意两个锐角∠AOB、∠COD的顶点O重合在一起，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α、β都是锐角），请你直接写出∠AOD与∠BOC的关系．
【思路点拔】（1）若∠DCE＝35°，根据90°计算∠ACE的度数，再利用和计算∠ACB的度数；若∠ACB＝150°，同理，反之计算可得结果；
（2）先计算：∠ACB＝90°+∠BCD，再加上∠DCE可得结果；
（3）先计算∠DAB＝60°+∠CAB，再加上∠CAE可得结果；
（4）先计算∠AOD＝β+∠COA，再加上∠BOC可得结果．
【解答】解：（1）若∠DCE＝35°，
∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACE＝90°﹣35°＝55°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝55°+90°＝145°；
若∠ACB＝150°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：145°，30°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°，
理由：∵∠ACE+∠ECD＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE+∠ECD+∠ECD+∠DCB＝180°，
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠ECD＝180°；
（3）∠DAB+∠EAC＝120°，
理由：∵∠DAE+∠EAC＝60°，∠EAC+∠CAB＝60°，
∴∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB＝120°，
∵∠DAE+∠EAC+∠CAB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠EAC＝120°；
（4）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由是：
∵∠AOD＝∠DOC+∠COA＝β+∠COA，
∴∠AOD+∠BOC＝β+∠COA+∠BOC，
＝β+∠AOB，
＝α+β．
20．如图，点O是直线AB上的一点，∠COE＝120°，∠AOF∠AOE．
（1）当∠BOE＝15°时，求∠COA的度数；
（2）当∠FOE比∠BOE的余角大40°，求∠COF的度数．
【思路点拔】（1）根据∠BOE＝15°即可得到∠AOE＝165°，结合∠COE＝120°，即可得到答案；
（2）根据∠FOE比∠BOE的余角大40°可得∠FOE＝90°﹣∠BOE+40°＝130°﹣∠BOE，结合∠AOF∠AOE可得180°﹣∠BOF（180°﹣∠BOE），整体代入化简求解即可得到答案；
【解答】解：（1）∵∠BOE＝15°，
∴∠AOE＝165°，
∵∠COE＝120°，
∴∠COA＝∠AOE﹣∠COE＝165°﹣120°＝45°；
（2）由题意得，∠FOE＝90°﹣∠BOE+40°＝130°﹣∠BOE，
∵∠AOF∠AOE，
∴180°﹣∠BOF（180°﹣∠BOE），
∴180°﹣（∠EOF+∠BOE）＝60°∠BOE，
∴180°﹣130°＝60°∠BOE，
∴∠BOE＝30°，
∴∠EOF＝90°﹣30°+40°＝100°，
∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝120°﹣100°＝20°．
21．（1）如图1，∠AOB＝∠COD＝90°，若∠BOC＝65°，则∠AOD＝ 115° ；若∠AOD＝130°，则∠BOC＝ 50° ；
（2）如图2，∠AOB＝∠COD＝60°，则∠AOD与∠BOC又有怎样的数量关系，请说明理由；
（3）如图3，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），若把它们的顶点O重合一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系，不必说明理由．
【思路点拔】（1）先求出∠BOD，再代入∠AOD＝∠AOB+∠BOD求出即可；先求出∠BOD，再代入∠BOC＝∠COD﹣∠BOD求出即可；
（2）根据角的和差关系，得出∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD即可；
（3）根据∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD求出即可．
【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠BOC＝65°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝25°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+25°＝115°；
∵∠AOD＝130°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝130°﹣90°＝40°，
∵∠COD＝90°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：115°，50°；
（2）∠AOD与∠BOC的数量关系是：
∠AOD+∠BOC＝120°．
理由如下：
∵∠AOD+∠BOC
＝∠AOD+（∠COD+∠BOD）
＝∠AOD+∠COD+∠BOD
＝∠COD+（∠AOD+∠BOD）
＝∠COD+∠AOB，
又∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOD+∠BOC＝60°+60°＝120°；
（3）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由如下：
∵∠AOD+∠BOC
＝∠AOD+（∠COD+∠BOD）
＝∠AOD+∠COD+∠BOD
＝∠COD+（∠AOD+∠BOD）
＝∠COD+∠AOB，
又∠AOB＝α，∠COD＝β，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β．
22．已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度数．
（2）若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为 2m° ．
（3）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
【思路点拔】（1）首先得出∠NOC＝90°﹣28°＝62°，再利用角平分线的定义得∠AON的度数，从而得出答案；
（2）与（1）同理可得答案；
（3）设∠AOC＝∠NOC＝x，则∠AOM＝90°﹣2x，表示出∠MOC和∠BON的度数即可．
【解答】解：（1）∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣28°＝62°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝62°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣62°×2＝56°；
（2）如图1，∵∠MOC＝m°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣m°＝（90﹣m）°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝（90﹣m）°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣（90﹣m）°×2＝2m°，
故答案为：2m°；
（3）不变，∠BON＝2∠MOC，
如图2，∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝x，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣2x，
∴∠MOC＝90°﹣x，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2x，
即∠BON＝2∠MOC．
23．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝45°．
（1）如图1，若∠BOD＝65°，则∠AOC＝ 115° ；若∠AOC＝120°，则BOD＝ 60° ；
（2）如图2，若∠AOC＝150°，则BOD＝ 30° ；
（3）猜想∠BOD与∠AOC的数量关系，并结合图1说明理由；
（4）如图3三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针以1秒钟15°的速度旋转，当时间t（其中0＜t≤6，单位：秒）为何值时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出t的值．
【思路点拔】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；
（2）根据∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD计算可得；
（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC可知两角互补；
（4）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥OB分别求出即可．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝65°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣65°＝115°，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90°+90°﹣120°＝60°；
故答案为：115°；60°；
（2）∠AOC＝150°，
∴∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COB
＝360°﹣150°﹣90°﹣90°
＝30°；
故答案为：30°；
（3）∠AOC与∠BOD互补．
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
即∠AOC与∠BOD互补；
（4）如图，
当OD⊥AB时，∠AOD＝30°，
∴15t＝30，
解得t＝2；
如图，
当CD⊥OB时，∠AOD＝45°，
∴15t＝45，
解得t＝3；
如图，
当CD⊥AB时，∠AOD＝75°，
∴15t＝75，
解得t＝5；
如图，
当OC⊥OB时，∠AOD＝90°，
∴15t＝90，
解得t＝6，
综上，t的值是2或3或5或6．
24．如图1，把一副直角三角板的直角边BO和DO分别放在直线MN上，两个三角板分别在直线MN两侧，∠AOB＝90°，∠COD＝30°．
（1）在图1中，∠AOC＝ 120° ，∠BOC＝ 150° ；
（2）如图2，OE为射线，将三角板AOB绕点O旋转，使△AOB的一边OB恰好平分∠NOE．问：此时OA是否平分∠DOE？请说明理由；
（3）将图2中的三角板AOB绕点O旋转至图3的位置，使OA在∠DOC的内部．
①求∠COB+∠DOA的度数；
②求∠BOD﹣∠AOC的度数．
【思路点拔】（1）根据角的和差解答即可；
（2）根据角平分线定义得∠EOB＝∠NOB，再根据等角的余角相等得∠AOE＝∠AOD，进而得出答案；
（3）①，由题意得出∠COB+∠DOA＝∠AOB+（∠COA+∠AOD），再代入计算即可，
②由题意得出∠BOD﹣∠AOC＝∠AOB﹣（∠AOD+∠AOC），代入计算即可．
【解答】解：（1）∠AOC＝90°+30°＝120°，∠BOC＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：120°，150°；
（2）OA平分∠DOE，理由如下：
∵OB平分∠NOE，
∴∠EOB＝∠NOB．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠EOB＝90°，∠AOD+∠NOB＝180°﹣∠AOB＝90°，
则∠AOE＝∠AOD，即OA平分∠DOE；
（3）①∠COB+∠DOA＝（∠AOB+∠COA）+∠AOD＝∠AOB+（∠COA+∠AOD）＝90°+30°＝120°；
②∠BOD﹣∠AOC＝（∠AOB﹣∠AOD）﹣∠AOC＝∠AOB﹣（∠AOD+∠AOC）＝90°﹣30°＝60°．
25．已知一副三角板按图1所示摆放，∠AOB＝∠OCD＝90°，∠OAB＝45°，∠COD＝60°，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧．
（1）保持△AOB不动，将△COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则∠BOC﹣∠AOD＝ 30° ；
（2）保持△AOB不动，将△COD绕点O逆时针方向旋转n°（n＜180°），试探究∠BOC与∠AOD的数量关系；
（3）如图3，若△COD按每分钟15°的速度绕点O逆时针方向旋转，同时，△AOB按每分钟9°的速度也绕点O逆时针方向旋转，多少分钟时，OD边第一次与OB边重合？
【思路点拔】（1）由∠BOC＝∠BOA﹣∠COA，∠AOD＝∠COD﹣∠COA，得∠BOC﹣∠AOD＝（∠BOA﹣∠COA）﹣（∠COD﹣∠COA）＝∠BOA﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°．
（2）设∠COA＝α，分三种情况讨论：①当0°＜α≤60°时，②当60°＜α≤90°时，③当90°＜α≤180°时，把∠BOC和∠AOD用含α的式子表示，再计算即可．
（3）先求出OD按每分钟15°的速度旋转，OB按每分钟9°的速度，再按照追击问题得150÷（15﹣9）＝25（分钟）．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝∠BOA﹣∠COA，
又∠AOD＝∠COD﹣∠COA，
∴∠BOC﹣∠AOD＝（∠BOA﹣∠COA）﹣（∠COD﹣∠COA）＝∠BOA﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30°．
（2）设∠COA＝α，
①当0°＜α≤60°时，如图a，由（1）得∴∠BOC﹣∠AOD＝30°．
②当60°＜α≤90°时，如图b，
∠BOC＝90°﹣α，∠AOD＝α﹣60°，
∴∠BOC+∠AOD＝90°﹣α+α﹣60°＝30°．
③当90°＜α≤180°时，如图c，
∠BOC＝60°﹣α，∠AOD＝90°﹣α，
∴∠AOD﹣∠BOC＝90°﹣α﹣（60°﹣α）＝30°．
综上所述，∠BOC﹣∠AOD＝30°，或∠BOC+∠AOD＝30°，或∠AOD﹣∠BOC＝30°．
（3）∵△COD按每分钟15°的速度旋转，
∴OD按每分钟15°的速度旋转，
同理，OB按每分钟9°的速度，
∵∠BOD＝∠BOA+∠AOD＝90°+60°＝150°，
∴150÷（15﹣9）＝25（分钟）．
答：25分钟时，OD边第一次与OB边重合．
26．若两个角的和为60°，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，∠AOB与∠AOD互补，若∠BOC＝10°．
（1）求∠AOB的度数．
（2）若如图2所示，射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM＝4∠AOM，求∠COM的度数．
【思路点拔】（1）已知∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，即∠AOB+∠AOC＝60°，因为∠AOC＝∠AOB+∠BOC，所以∠BOC+2∠AOB＝60°，已知∠BOC＝10°，可得∠AOB的度数；
（2）已知∠AOB与∠AOD互补，可得∠AOD的度数，因为∠DOM＝4∠AOM，∠DOM+∠AOM＝∠AOD，可得∠AOM、∠DOM的度数，又因∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝35°，所以∠COM＝∠AOC﹣∠AOM．
【解答】解：（1）∵∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，
∴∠AOB+∠AOC＝60°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，
∴∠BOC+2∠AOB＝60°，
∵∠BOC＝10°，
∴∠AOB＝25°；
（2）∵∠AOB与∠AOD互补，
∴∠AOD＝155°，
∵∠DOM＝4∠AOM，∠DOM+∠AOM＝∠AOD，
∴5∠AOM＝∠AOD＝155°，
∴∠AOM＝31°，
∴∠DOM＝124°，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝35°，
∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝4°．
27．综合探究
如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝45°，∠CED＝30°．
（1）如图1，∠ACD＝ 135 °；
（2）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使CE刚好落在∠ACB的平分线上．此时，CD是否平分∠ACF？请说明理由；
（3）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使得CE落在∠ACB内部，
当∠ACE＝10°时，则∠BCD＝ 125 °；
当∠BCD＝110°时，则∠ACE＝ 25 °；
设∠ACE＝α，∠BCD＝β，试猜想α与β的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）∠ACD＝∠ACB+∠BCD可得；
（2）证∠ACD是否等于∠DCF，即CD是否平分∠ACF；
（3）根据∠BCD＝∠ECD+∠ACB﹣∠ACE，∠ACE＝∠ACB﹣（∠BCD﹣∠ECD），∠ACE+∠BCD＝∠ACB+∠ECD可得．
【解答】解：（1）∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝135°，
故答案为：135；
（2）CD是∠ACF 的平分线，
∵CE落在∠ACB 的平分线上，
∴∠ACE＝∠BCE45°＝22.5°，
∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DCF＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠ACD＝∠DCF，
∴CD平分∠ACF；
（3）当∠ACE＝10°时，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝35°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝125°，
当∠BCD＝110°时，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD＝20°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝25°，
α+β＝135°，
∵∠BCD＝∠BCE+∠ECD，
又∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝45°
∴α+β＝∠ACE+∠BCD
＝∠ACE+∠BCE+∠ECD
＝∠ACB+∠ECD
＝45°+90°
＝135°
故答案为：125，25．
28．若两个角的和为60°，我们则称这两个角互为“幸运角”，已知∠AOB＝α（0°＜α＜30°），∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，∠AOB与∠AOD互补．（本题所研究的角均大于0°小于180°）
（1）如图，当点B在∠AOC的内部，且点B、点D在OA的同侧时：
①若∠BOC＝10°，则α＝ 25° ．
②若射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM＝2∠AOM，求∠COM的度数（用含α的式子表示）．
（2）直接写出∠COD所有可能的度数是 120°或120°+2α （用含α的式子表示）．
【思路点拔】（1）①根据题意可得，再由“幸运角”的定义可得∠AOB+∠AOC＝60°，即可求解；②根据补角的性质可得∠AOD＝180°﹣α，再由“幸运角”的定义可得∠AOC＝60°﹣α，然后根据∠DOM＝2∠AOM，可得，即可求解；
（2）根据补角的性质可得∠AOD＝180°﹣α，再由“幸运角”的定义可得∠AOC＝60°﹣α，然后分四种情况：当OB在∠AOC的内部，点B，D在OA的同侧时；当OB在∠AOC的内部，点B，D在OA的两侧时；当OB在∠AOC的外部，点B，D在OA的同侧时；当OB在∠AOC的外部，点B，D在OA的两侧时，即可求解．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝α，∠BOC＝10°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+10°，
∵∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，
∴∠AOB+∠AOC＝60°，
即α+α+10°＝60°，
解得：α＝25°．
故答案为：25°．
②∵∠AOB与∠AOD互补，∠AOB＝α，
∴∠AOD＝180°﹣α，
∵∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，
∴∠AOB+∠AOC＝60°，
∴∠AOC＝60°﹣α，
∵射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM＝2∠AOM，
∴，
∴∠AOC＜∠AOM，
∴；
（2）解：∵∠AOB与∠AOD互补，∠AOB＝α，
∴∠AOD＝180°﹣α，
∵∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，
∴∠AOB+∠AOC＝60°，
∴∠AOC＝60°﹣α，
当OB在∠AOC的内部，点B，D在OA的同侧时，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝（180°﹣α）﹣（60°﹣α）＝120°；
当OB在∠AOC的外部，点B，D在OA的同侧时，∠COD＝360°﹣（∠AOC+∠AOD）＝360°﹣[（60°﹣α）+（180°﹣α）]＝120°+2α；
当OB在∠AOC的内部，点B，D在OA的两侧时，∠COD＝360°﹣（∠AOC+∠AOD）＝360°﹣[（60°﹣α）+（180°﹣α）]＝120°+2α；
当OB在∠AOC的外部，点B，D在OA的两侧时，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝（180°﹣α）﹣（60°﹣α）＝120°，
综上所述：∠COD所有可能的度数是120°或120°+2α．
29．问题情境：以直线AB上一点O为端点作射线OM、ON，将一个直角三角形的直角顶点放在O处（∠COD＝90°）．
（1）如图1，直角三角板COD的边OD放在射线OB上，OM平分∠AOC，ON和OB重合，则∠MON＝ 135 °；
（2）直角三角板COD绕点O旋转到如图2的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数．
（3）直角三角板COD绕点O旋转到如图3的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，猜想∠MON的度数，并说明理由．
【思路点拔】（1）由∠MON＝∠MOC+∠COD求出即可；
（2）由∠MON＝∠MOC+∠DON+∠COD求出即可；
（3）猜想∠MON的度数是135°，根据∠MON＝∠MOC+∠BON+∠COB说明理由．
【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，OM平分∠AOC，ON和OB重合，
∴∠MOC∠AOC（∠AOB﹣∠COD）＝45°，
∴∠MON＝∠MOC+∠COD＝45°+90°＝135°，
故答案为：135；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC∠AOC，∠DON∠BOD，
∵∠COD＝90°，
∴∠MOC+∠DON∠AOC∠BOD
（∠AOC+∠BOD）
（∠AOB﹣∠COD）
（180°﹣90°）
＝45°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DON+∠COD＝45°+90°＝135°，
即∠MON的度数是135°；
（3）猜想∠MON的度数是135°，理由是：
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC∠AOC，∠BON∠BOD，
∵∠COD＝90°，
∴∠MOC+∠BON∠AOC∠BOD
（∠AOC+∠BOD）
（∠AOB﹣∠COB+∠BOD）
[∠AOB﹣（∠COD﹣∠BOD）+∠BOD]
[∠AOB﹣∠COD+∠BOD+∠BOD]
[180°﹣90°+∠BOD+∠BOD]
＝45°+∠BOD
∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠COB
＝45°+∠BOD+∠COB
＝45°+∠COD
＝135°，
即∠MON的度数是135°．
30．如图，已知∠AOC和∠BOD都是直角．
（1）填空：
①与∠BOC互余的角有 ∠AOB、∠COD ；
②∠AOD和∠BOC的关系是 互补 ．
（2）若∠AOB∠AOD，求∠BOC的度数．
【思路点拔】（1）根据∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，解答即可；
（2）求出∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOD，代入求出即可；
（3）设∠AOB＝3x，∠AOD＝13x，根据∠AOD﹣∠AOB＝90°得出方程13x﹣3x＝90°，求出即可．
【解答】解：（1）因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，
所以∠BOC与∠AOB互余，∠BOC与∠COD互余，
故答案为：∠AOB、∠COD；
（2）∠AOD与∠BOC互补，理由如下：
因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，
又因为∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD，
所以∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC＝180°，
所以∠AOD与∠BOC互补．
故答案为：互补．
（3）设∠AOB＝4x°，则∠AOD＝13x°，
所以∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝13x﹣4x＝9x＝90，
即x＝10，
所以∠AOD＝13x＝130°，
由（2）可知∠AOD与∠BOC互补，
所以∠BOC＝180°﹣130°＝50°．
31．以直线AB上一点O为端点作射线OC使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点放在O处（注：∠DOE＝90°）．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ 30° ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠BOD＝ 30° ；
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD∠AOE，求∠BOD的度数．
【思路点拔】（1）代入∠BOE＝∠COE+∠COB求出即可；
（2）求出∠AOE＝∠COE，根据∠DOE＝90°求出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，推出∠COD＝∠DOB，即可得出答案；
（3）根据平角等于180°求出即可．
【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠COB＝60°，
∴∠COE＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE∠COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB∠BOC＝30°；
（3）设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．
有两种情况：①如图1，OD在∠AOC内部时，
∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴5x+90°+x+60°＝180°，
解得x＝5°，
即∠COD＝5°．
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝5°+60°＝65°；
②如图2，OD在∠BOC的内部时，如图2，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，∠COD＝x°，∠AOE＝5x°，
∴5x+90﹣x+60＝180，
解得：x＝7.5，
即∠COD＝7.5°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠BOD＝60°﹣7.5°＝52.5°，
∴∠BOD的度数为65°或52.5°．
32．如图，直线AB、CD相交于点O，OF平分∠COD，∠AOE比∠EOD大30°，∠EOD比∠BOD大30°
（1）求∠AOE的度数；
（2）写出图中所有的直角；
（3）写出∠BOD所有的余角；
（4）写出∠BOD所有的补角．
【思路点拔】（1）根据角平分线和平角的定义可得∠COF＝∠DOF＝90°，再根据∠AOE比∠EOD大30°，∠EOD比∠BOD大30°，设未知数，列方程可求出∠BOD，进而求出∠EOD，∠AOE即可；
（2）根据（1）中的结论可得答案；
（3）根据互余的定义结合图形中角的和差关系可得答案；
（4）根据互补的定义结合图形中角的和差关系得出答案．
【解答】解：（1）∵OF平分∠COD，∠COD＝180°，
∴∠COF＝∠DOF∠COD＝90°，
设∠BOD＝x°，
由于∠EOD比∠BOD大30°，∠AOE比∠EOD大30°，
因此∠EOD＝（x+30）°，∠AOE＝（x+60）°，
又∵∠AOB＝180°，
∴x+（x+30）+（x+60）＝180，
解得x＝30，
即∠BOD＝30°，
∴∠EOD＝60°，∠AOE＝90°；
（2）由（1）可得，
∠AOE＝90°＝∠BOE，∠COF＝∠DOF＝90°，
即图中的直角有∠AOE，∠BOE，∠COF，∠DOF；
（3）∵∠BOD+∠EOD＝∠BOE＝90°，∠BOD+∠BOF＝∠DOF＝90°，
∴∠BOD的余角有∠EOD，∠BOF；
（4）∵∠BOD+∠AOD＝∠AOB＝180°，
∠BOD+∠BOC＝∠COD＝180°，
∠BOD+∠EOF＝2∠DOF＝180°，
∴∠BOD的补角有∠AOD，∠BOC，∠EOF．
33．下面是宿州市某集团校社团活动中一个数学兴趣小组研究的“数学实践活动”中三角尺中的数学问题．
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°．
①若∠BCH＝38°，则∠ACD＝ 142 °；若∠ACD＝135°，则∠BCH＝ 45 °；
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系．
【思路点拔】（1）根据已知条件，利用∠ACH＝∠ACB﹣∠BCH，先求出∠ACH，再根据∠ACD＝∠DCH+∠ACH求出∠ACD；先求出∠ACH，再根据∠BCH＝∠ACB﹣∠ACH求出答案即可；
（2）根据已知条件和∠ACD＝∠DCH+∠ACH，∠DCH＝∠ACB＝∠BCH+∠ACH＝90°，求出∠ACD+∠BCH即可；
（3）由题意可知：∠CAB＝∠EAF＝60°，然后根据∠ACD＝∠DCH+∠ACH，∠DCH＝∠ACB＝∠BCH+∠ACH＝90°，求出∠CAF+∠EAB即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCH＝90°，∠BCH＝38°，
∴∠ACH＝∠ACB﹣∠BCH＝90°﹣38°＝52°，
∴∠ACD＝∠DCH+∠ACH＝90°+52°＝142°；
∵∠ACD＝∠DCH+∠ACH，
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCH＝135°﹣90°＝45°，
∵∠ACB＝∠ACH+∠BCH，
∴∠BCH＝∠ACB﹣∠ACH＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：142，45；
（2）∠ACD+∠BCH＝180°，理由如下：
∵∠ACD＝∠DCH+∠ACH，∠DCH＝∠ACB＝∠BCH+∠ACH＝90°，
∴∠ACD+∠BCH
＝∠DCH+∠ACH+∠BCH
＝∠DCH+∠ACB
＝90°+90°
＝180°；
（3）∠CAF+∠EAB＝120°，理由如下：
由题意可知：∠CAB＝∠EAF＝60°，
∵∠CAF＝∠CAB+∠BAF，∠EAF＝∠EAB+∠BAF，
∴∠CAF+∠EAB
＝∠CAB+∠BAF+∠EAB
＝∠CAB+∠EAF
＝60°+60°
＝120°．
34．如图1，点O为直线AB上的任意一点，过点O作射线OC，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，当三角板的一边OD与射线OB重合时，∠COE∠COD．
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，绕点O逆时针转动三角板DOE，使边OD与射线OC重合，在这个转动过程中，是否存在∠AOE＝2∠COD？若存在，求∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）设∠COD＝3x，则∠COE＝2x，根据∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°，建立关于x的方程，解之即可得出结论；
（2）由（1）得∠COB＝54°．设∠BOD＝α，则∠COD＝54°﹣α，∠AOE＝180°﹣∠DOE﹣∠BOD＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α．根据∠AOE＝2∠COD建立方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠COD∠COD，
∴∠COD＝3x，则∠COE＝2x，
∵∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°，
∴3x+2x＝90°，解得x＝18°，
∴∠COD＝3x＝54°．即∠BOC＝54°；
（2）存在，理由如下：
由（1）得∠COB＝54°．
设∠BOD＝α，则∠COD＝54°﹣α，
∠AOE＝180°﹣∠DOE﹣∠BOD＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α．
∵∠AOE＝2∠COD，
∴90﹣α＝2×（54°﹣α），解得α＝18°，
∴∠BOD＝18°．
35．如图，点A，O，B在同一条直线上，从点O引一条射线OC，且∠AOC＝120°．
（l）求∠BOC的度数．
（2）将∠BOC绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°，且α不是60°的整数倍）得到∠B′OC′，在∠AOC′内引射线OP，在∠COB′内引射线OQ，且∠AOP∠POC′，∠COQ∠QOB′．
①若α＝45°，求∠POQ的度数；
②若∠POQ＝2∠COC′，请直接写出α的大小．
【思路点拔】（1）根据邻补角的定义和性质可得出结论；
（2）①根据α的角度可得出∠POC′和∠QOB′的度数，由此可得出∠AOP和∠COQ的度数，根据和差关系可得出结论；
②根据题意，需要对α进行讨论，分别求解即可．
【解答】解：（1）由图可知，∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
即∠BOC的度数为60°；
（2）①若α＝45°，则∠COC′＝∠BOB′＝45°，
∴∠AOC′＝∠AOC+∠COC′＝165°，
∠COB′＝∠BOC+∠BOB′＝105°，
∵∠AOP∠POC′，∠COQ∠QOB′，
∴∠POC′∠AOC′＝110°，
∠COQ∠COB′＝35°，
∴∠POC＝∠POC′﹣∠COC′＝65°，
∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝100°，
即∠POQ的度数为100°；
②若∠POQ＝2∠COC′，则有以下几种情况：
当0°＜α＜60°时，
∵∠AOP∠POC′，∠COQ∠QOB′，
∴∠POC′∠AOC′，∠COQ∠COB′，
∴∠POQ＝∠POC′﹣∠COC′+∠COQ
∠AOC′﹣∠COC′∠COB′
∠AOC∠COC′﹣∠COC′∠COB∠BOB′
＝100°∠COC′∠BOB′，
由旋转可知，∠COC′＝∠BOB′＝α，
∴∠POQ＝100°，
∵∠POQ＝2∠COC′，
∴2α＝100°，即α＝50°；
当60°＜α＜180°且α≠120°，如图，
∵∠AOP∠POC′，∠COQ∠QOB′，
∴∠POC′∠AOC′，∠COQ∠COB′，
∴∠POQ＝∠POC′+∠COC′﹣∠COQ
∠AOC′+∠COC′∠COB′
∠AOC′∠COC′∠COC′∠COB′
＝160°∠BOB′＝140°，
∵∠POQ＝2∠COC′，
∴2α＝140°，即α＝70°；
综上所述，α的大小为50°或70°．中小学教育资源及组卷应用平台
《与角有关的计算》解答题专练
一．解答题（共35小题）
1．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数．
2．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，边CD与BE交于点F，∠D＝30°．
【计算与观察】
（1）若∠ACB＝145°，求∠DCE的度数．
【猜想与证明】
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．
【拓展与运用】
（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠CFB的度数．
3．如图，点A，O，B在同一直线上，∠BOC＝78°，∠DOE＝77°，OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线．
①求∠COE的度数；
②OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由．
4．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一把含45°角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，一直角边OM与直线AB重合，另一直角边ON、斜边MN都在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转60°，如图2所示，此时∠CON＝ ；
（2）将图1中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜360°），
①当旋转的角度α为何值时，射线OC所在的直线是△OMN的对称轴；
②是否存在相应的旋转角度α使得∠COM与∠CON互补？若存在，请直接写出α的值；若不存在，请说明理由．
5．（1）理解计算：如图①，∠AOB＝80°，∠AOC＝40°．射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（2）拓展探究：如图②，∠AOB＝α，∠AOC＝β（α，β为锐角）．射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（3）迁移应用：线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图③，线段AB＝a，延长线段AB到C，使得BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．
6．已知∠AOB＝30°，∠BOP＝m∠AOP（m＞0，且OP不与OA重合）．
（1）当m＝1时，若射线OP在∠AOB内，请用量角器在图1中画出射线OP，则∠AOP的度数为 ；
（2）当m＝2时，OQ平分∠AOP，求∠BOQ的度数．
7．如图，∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，若∠AOB＝120°，求∠EOC的大小．
8．若两个角的差的绝对值等于90°，则称这两个角互为“垂角”．例如：
∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1与∠2互为“垂角”（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）．
（1）已知一个角比它的“垂角”的少20°，求这个角的度数；
（2）如图所示，∠AOB＝120°，∠BOC＝45°，是否存在射线OD，使得∠AOD与∠COD互为“垂角”？若存在，直接写出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．
9．如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线．
（1）如图1，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，已知∠AOB＝20°，∠BOC＝100°，求∠MON的度数；
（2）如图2，若∠AOC＝165°，∠AOM＝∠NOC∠BON，∠BOM：∠BON＝5：4，求∠MON的度数．
10．已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足∠BOE∠BOC，∠DOF∠AOD，求∠EOF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝2：3，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOF的度数．
11．如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB，∠BOE∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC．
12．新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°25′，请直接写出∠M的4倍角的度数；
（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB所有的2倍角；
（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．
13．如图，已知∠AOE＝130°，∠AOB：BOC＝2；1，且3∠COE＝2∠AOB，求∠AOB的度数．
14．已知：射线OC、OD是∠AOB内部的两条射线，且∠AOD＝30°，∠BOC＝60°．
（1）如图①，若∠AOB＝120°，求∠COD的度数；
（2）如图②，若∠AOB＝70°，求∠COD的度数：
（3）若∠AOB＝α（60°＜α＜180°），求∠COD的度数（用含α的代数式表示）．
15．新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数；
（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角；
（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．
16．如图1，将两块直角三角板AOB与COD的直角顶点O重合在一起，其中直角边OB在∠COD内部．
（1）如图2，若∠AOC＝20°，则∠BOC＝ °，∠AOD＝ °；
（2）若∠AOC＝α（0°＜α＜90°）．
①∠AOD和∠BOC有什么关系？请说明理由；
②当∠AOD＝4∠BOC时，求α的度数．
17．已知∠AOB＝∠COD，射线OC在∠AOB的内部，按要求完成下列各小题．
（1）尝试探究：如图1，已知∠AOB＝90°，∠AOD+∠BOC的度数为 °；
（2）初步应用：如图2，若∠AOB＝45°时，求∠AOD+∠BOC的度数，并说明理由；
（3）拓展提升：如图3，若∠AOB＝α（0°＜α＜180°），试判断∠AOD+∠BOC与α之间的数量关系．
18．已知∠AOB，过点O作射线OK，如果，则称∠BOK是∠AOB的“伴随角”．如图1，不难发现∠AOB的“伴随角”有两个，∠BOK1和∠BOK2都是∠AOB的“伴随角”．
（1）已知∠AOB的“伴随角”为20°，求∠AOB的度数；
（2）如图2，点O在直线MN上，满足：①∠AOB＝90°；②∠FOB＝80°；③∠FOM：∠NOB＝1：11，请依据以上条件，计算出∠AON的度数；
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB的余角是∠MON补角的．射线OK和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，射线OK的速度为每秒12°，射线OA的速度为每秒4°，两条射线相遇时停止．在旋转过程中∠BOK能否成为∠AOB的“伴随角”．若能，请求出符合条件的旋转时间；若不能，请说明理由．
19．如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起．观察分析：
（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB＝ ；
若∠ACB＝150°，则∠DCE＝ ；
猜想探究：
（2）请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）如图2，若将两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，请你猜想∠DAB与∠CAE有何关系，请说明理由；
（4）如图3，如果把任意两个锐角∠AOB、∠COD的顶点O重合在一起，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α、β都是锐角），请你直接写出∠AOD与∠BOC的关系．
20．如图，点O是直线AB上的一点，∠COE＝120°，∠AOF∠AOE．
（1）当∠BOE＝15°时，求∠COA的度数；
（2）当∠FOE比∠BOE的余角大40°，求∠COF的度数．
21．（1）如图1，∠AOB＝∠COD＝90°，若∠BOC＝65°，则∠AOD＝ ；若∠AOD＝130°，则∠BOC＝ ；
（2）如图2，∠AOB＝∠COD＝60°，则∠AOD与∠BOC又有怎样的数量关系，请说明理由；
（3）如图3，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），若把它们的顶点O重合一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系，不必说明理由．
22．已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度数．
（2）若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为 ．
（3）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
23．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝45°．
（1）如图1，若∠BOD＝65°，则∠AOC＝ ；若∠AOC＝120°，则BOD＝ ；
（2）如图2，若∠AOC＝150°，则BOD＝ ；
（3）猜想∠BOD与∠AOC的数量关系，并结合图1说明理由；
（4）如图3三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针以1秒钟15°的速度旋转，当时间t（其中0＜t≤6，单位：秒）为何值时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出t的值．
24．如图1，把一副直角三角板的直角边BO和DO分别放在直线MN上，两个三角板分别在直线MN两侧，∠AOB＝90°，∠COD＝30°．
（1）在图1中，∠AOC＝ ，∠BOC＝ ；
（2）如图2，OE为射线，将三角板AOB绕点O旋转，使△AOB的一边OB恰好平分∠NOE．问：此时OA是否平分∠DOE？请说明理由；
（3）将图2中的三角板AOB绕点O旋转至图3的位置，使OA在∠DOC的内部．
①求∠COB+∠DOA的度数；
②求∠BOD﹣∠AOC的度数．
25．已知一副三角板按图1所示摆放，∠AOB＝∠OCD＝90°，∠OAB＝45°，∠COD＝60°，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧．
（1）保持△AOB不动，将△COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则∠BOC﹣∠AOD＝ ；
（2）保持△AOB不动，将△COD绕点O逆时针方向旋转n°（n＜180°），试探究∠BOC与∠AOD的数量关系；
（3）如图3，若△COD按每分钟15°的速度绕点O逆时针方向旋转，同时，△AOB按每分钟9°的速度也绕点O逆时针方向旋转，多少分钟时，OD边第一次与OB边重合？
26．若两个角的和为60°，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，∠AOB与∠AOD互补，若∠BOC＝10°．
（1）求∠AOB的度数．
（2）若如图2所示，射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM＝4∠AOM，求∠COM的度数．
27．综合探究
如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝45°，∠CED＝30°．
（1）如图1，∠ACD＝ °；
（2）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使CE刚好落在∠ACB的平分线上．此时，CD是否平分∠ACF？请说明理由；
（3）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使得CE落在∠ACB内部，
当∠ACE＝10°时，则∠BCD＝ °；
当∠BCD＝110°时，则∠ACE＝ °；
设∠ACE＝α，∠BCD＝β，试猜想α与β的数量关系，并说明理由．
28．若两个角的和为60°，我们则称这两个角互为“幸运角”，已知∠AOB＝α（0°＜α＜30°），∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，∠AOB与∠AOD互补．（本题所研究的角均大于0°小于180°）
（1）如图，当点B在∠AOC的内部，且点B、点D在OA的同侧时：
①若∠BOC＝10°，则α＝ ．
②若射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM＝2∠AOM，求∠COM的度数（用含α的式子表示）．
（2）直接写出∠COD所有可能的度数是 （用含α的式子表示）．
29．问题情境：以直线AB上一点O为端点作射线OM、ON，将一个直角三角形的直角顶点放在O处（∠COD＝90°）．
（1）如图1，直角三角板COD的边OD放在射线OB上，OM平分∠AOC，ON和OB重合，则∠MON＝ °；
（2）直角三角板COD绕点O旋转到如图2的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数．
（3）直角三角板COD绕点O旋转到如图3的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，猜想∠MON的度数，并说明理由．
30．如图，已知∠AOC和∠BOD都是直角．
（1）填空：
①与∠BOC互余的角有 ；
②∠AOD和∠BOC的关系是 ．
（2）若∠AOB∠AOD，求∠BOC的度数．
31．以直线AB上一点O为端点作射线OC使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点放在O处（注：∠DOE＝90°）．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠BOD＝ ；
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD∠AOE，求∠BOD的度数．
32．如图，直线AB、CD相交于点O，OF平分∠COD，∠AOE比∠EOD大30°，∠EOD比∠BOD大30°
（1）求∠AOE的度数；
（2）写出图中所有的直角；
（3）写出∠BOD所有的余角；
（4）写出∠BOD所有的补角．
33．下面是宿州市某集团校社团活动中一个数学兴趣小组研究的“数学实践活动”中三角尺中的数学问题．
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°．
①若∠BCH＝38°，则∠ACD＝ °；若∠ACD＝135°，则∠BCH＝ °；
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系．
34．如图1，点O为直线AB上的任意一点，过点O作射线OC，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，当三角板的一边OD与射线OB重合时，∠COE∠COD．
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，绕点O逆时针转动三角板DOE，使边OD与射线OC重合，在这个转动过程中，是否存在∠AOE＝2∠COD？若存在，求∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．
35．如图，点A，O，B在同一条直线上，从点O引一条射线OC，且∠AOC＝120°．
（l）求∠BOC的度数．
（2）将∠BOC绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°，且α不是60°的整数倍）得到∠B′OC′，在∠AOC′内引射线OP，在∠COB′内引射线OQ，且∠AOP∠POC′，∠COQ∠QOB′．
①若α＝45°，求∠POQ的度数；
②若∠POQ＝2∠COC′，请直接写出α的大小．
