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6.8 余角和补角
课题 6.8 余角和补角 单元 第六单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 余角和补角是初中几何的重要概念。教材从实际角度出发引入，易于学生理解。通过直观图形展示，帮助学生形成初步认识。教材注重知识的递进，由概念到性质，再到实际应用，逐步深化。强调数学与生活的联系，培养学生用数学知识解决实际问题的能力，为后续学习三角形、四边形等知识奠定基础。
核心素养 能力培养 1. 培养空间感知：观察分析图形中余角和补角，建立空间观念。 2. 锻炼逻辑推理：运用性质推理计算，提升逻辑思维。 3. 增强应用意识：用知识解决生活中角度问题。
教学目标 1. 理解余角和补角的概念，准确判断两个角是否互为余角或补角； 2. 掌握余角和补角的性质，能运用性质进行简单的角度计算和推理； 3. 学会运用余角和补角的知识解决实际问题，如在几何图形中求角度、解释生活中的角度现象等。
教学重点 余角和补角的概念及性质，能准确判断两个角的关系。
教学难点 理解余角和补角性质的推导过程，运用性质解决复杂的角度计算和几何证明问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 如图，∠ABC＝60°，∠ABD＝145°，BE平分∠ABC。求∠DBE的度数。 115°【解析】 ∠ABC=60°，BE平分∠ABC ∠ABE=∠ABC=×60°=30° ∠ABD=145° ∠DBE=∠ABD+∠ABE=145-30°= 115° 故∠DBE的度数为115°. 创设情境、导入新课 台球桌面上，A球受击打后的运动轨迹如图。若∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）？ 复习回顾之前学习第六章第七节角的和差内容。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固学习角的和差知识。 用台球的运动轨迹引出余角和补角的相关内容。
新知探究 探究一：引入概念 如图，在Rt∠AOB 的内部画射线 OC，则有∠1＋∠2＝Rt∠AOB。∠3＋∠4与Rt∠AOB相等吗？怎样判断？ 如图，类似地，在平角∠AOB 的内部画射线OC，则有∠AOC＋∠BOC＝∠AOB。∠α＋∠β与平角∠AOB相等吗？怎样判断？ 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。例如，p5页图中，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。∠3与∠4呢？ ∠3与∠4互为余角，∠3是∠4的余角，∠4也是∠3的余角。 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。例如，p6页图中，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角。∠α与∠β呢？ ∠α与∠β互为补角，∠α是∠β的补角，∠β也是∠α的补角。 【强调】：注意 (1)互余、互补是两个角之间的关系,若三个角的和等于 90°或180°,不能称为互余或互补. (2)互余、互补只与两个角的角度有关,与位置无关. (3) ∠α的余角可以记作 90°- ∠α, ∠α的补角可以记作180°-∠α. 方位角：以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。 注意： 方位角在叙述时，一般先说南北,后说东西,如南偏西20°。当与南北方向夹角为45°时,常简称东北、东南、西北、西南,如北偏东45°为东北方向。 探究二：例题讲解 教材第188页： 做一做 1.如图，已知∠1＝42°，∠2＝138°，∠3＝48°。图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。 【解析】 ∠1+∠2=42°+138°=180° ∠1和∠2互为补角 ∠1+∠3=42°+48°=90° ∠1和∠3互为余角。 2.如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线。图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由。 【解析】 ∠AOC+∠BOC=180°，∠AOD+∠BOD=180° ∠AOC与∠BOC，∠AOD与∠BOD分别互补。 ∠BOD+∠DOC=∠BOC=∠AOC=Rt∠. ∠BOD与∠DOC互余。 3. 填空： (1)∠α的余角＝90°－________ ； (2)∠β的余角＝ ________－∠β。 【解析】 (1)∠α的余角＝90°－∠α (2)∠β的余角＝90°－∠β 当∠α＝∠β时，就有∠α的余角与∠β的余角相等，也就是说， 同角或等角的余角相等。 同样可以得到： 同角或等角的补角相等。 例1 如图，已知∠AOC＝∠BOD＝Rt∠。指出图中还有哪些角相等，并说明理由。 【解析】在图中，∠AOB＝∠COD。理由如下： 因为∠AOC＝∠BOD＝Rt∠， 所以∠AOB＋∠BOC＝Rt∠， ∠COD＋∠BOC＝Rt∠， 即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角， 所以∠AOB＝∠COD（同角的余角相等）。 例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。 解：设这个角为x度，则这个角的余角是（90－x）度，补角是（180－x）度。 由题意，得180－x＝4（90－x）， 解方程，得x＝60。 所以这个角的度数为60°。 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 阅读实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。通过例题的解决发现规律，提高学生归纳能力. 激发学生兴趣，引入新课主题，通过对问题的讨论，学生将学习角的和差。
课堂练习 【例1】已知∠a=25°30',则它的余角为（ ） A.25°30' B.64°30' C.74°30' D.154°30' B 【解析】∠a 的余角为 90°-∠a=90°-25°30' =64°30'。故选B。 【例2】若α=70°,则α的补角的度数是（ ） A.130° B.110° C.30° D.20° B【解析】α的补角是180°-α=180°-70°=110°。故选B。 【例3】如图,点O在直线AB上角为∠COB=∠EOD=90°,那么下列说法错误的是( ) A.∠1与∠2相等 B.∠AOE与∠2互余 C.∠AOD与∠1互补 D.∠AOE与∠COD互余 D【解析】A.因为∠COB=∠EOD=90°，所以∠1+ ∠COD=∠2+∠COD=90°,所以∠1=∠2,A选项正确。B.因为∠AOE+∠1=90°，∠1=∠2,所以∠AOE+∠2=90°,即∠AOE与∠2互余,B选项正确. C.因为∠AOD+∠2=180°，∠1=∠2,所以∠AOD+∠1=180°,即∠AOD与∠1互补，C选项正确. D.∠AOE和∠COD的度数未知,故无法判断∠AOE与∠COD是否互余,D选项错误. 故选D. 【例4】如图,若在飞机飞行时,用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向的夹角作为“飞行方位角”,从A到B的“飞行方位角”为35°,即∠NAB=35°,从A到D的“飞行方位角”比从A到B的“飞行方位角”的4倍少10°,从A到C的飞行线恰好是从A到D的“飞行方位角”的平分线,且∠EAD=90° (1)求从A到D的“飞行方位角”的度数; (2)求∠EAC的度数. 北偏东65°【解析】因为A在C的南偏西30°方向上,且∠ACB=145°,所以 145°-30°-90°=25°,90°-25°=65°,所以B在C的北偏东65°方向上,故答案为北 偏东 65°。 【选做】5.如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它北偏东30°的方向上,海岛B在它南偏东60°方向上,则下列结论：①∠NOA=30°；②图中∠NOB的补角有两个,分别是∠SOB和∠EOA；③图中有4对互余的角；④货轮O在海岛B的北偏西60°的方向上。 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 【解析】由题可知∠NOA=30°,故①正确因为∠SOB =60°，∠AON=30°,所以∠NOB=120°，∠EOA= 60°,所以∠NOB的补角有两个,即∠SOB和∠EOA,故②正确;图中互余的角有∠NOA和∠AOE,∠NOA和∠BOS，∠BOE和∠AOE,∠BOE和∠BOS,共4对,故③正确;根据方位角的意义可知,因为海岛B在货轮O的南偏东60°方向上,所以货轮O在海岛B的北偏西60°的方向上,故④正确. 综上所述,正确的结论有4个,故选D. 【选做】6.若∠β是∠α的补角,∠γ是∠α的余角,且∠β与∠γ的和是平角,则∠β是∠α的_____。 11 【解析】由题意得∠β+∠α=180°,∠γ+∠α=90°,∠β+∠γ=×180°=240°,所以∠β=180°-∠α,∠γ=90°-∠α,所以 180°-∠α+90°-∠α=240°,解得∠α=15°，∠β=165°.因为165÷15=11,所以∠β是∠α的11倍,故答案为11. 完成例题和练习. 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对余角和补角的理解。培养学生多角度思考和解决问题的能力.，
课堂小结 知识点1 余角和补角 1.如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。 3.性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 知识点2 方位角 方位角：以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力
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第六章 几何图形
6.8 余角和补角
学习目标：
1. 理解余角和补角的概念，准确判断两个角是否互为余角或补角;
2. 掌握余角和补角的性质，能运用性质进行简单的角度计算和推理;
3. 学会运用余角和补角的知识解决实际问题，如在几何图形中求角度、解释生活中的角度现象等。
核心素养目标：
1. 培养空间感知：观察分析图形中余角和补角，建立空间观念。
2. 锻炼逻辑推理：运用性质推理计算，提升逻辑思维。
3. 增强应用意识：用知识解决生活中角度问题。
学习重点：余角和补角的概念及性质，能准确判断两个角的关系。
学习难点：理解余角和补角性质的推导过程，运用性质解决复杂的角度计算和几何证明问题。
一、知识链接
1.如果两个锐角的和是一个________，我们就说这两个角________，简称________，也可以说其中一个角是另一个角的________。
2.如果两个角的和是一个_______，我们就说这两个角互为_______，简称_______，也可以说其中一个角是另一个角的_______。
3.当∠α＝∠β时，就有∠α的余角与∠β的余角相等，也就是说，________________________。
同样可以得到：________________________。
4.方位角:以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的_________为方位角。
5.方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西，如南偏西20°。当与南北方向夹角为___________时，常简称东北、东南、西北、西南，如北偏东___________为东北方向。
二、自学自测
1.已知∠α＝60°32′，∠α的余角是多少度？∠α的补角是多少度？
2.（1）已知∠α的余角是∠α 的 2 倍，求∠α 的度数。
（2）已知∠1的补角是∠1的3倍，求∠1的度数。
一、创设情境、导入新课
台球桌面上，A球受击打后的运动轨迹如图。若∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）？
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
如图，在Rt∠AOB 的内部画射线 OC，则有∠1＋∠2＝Rt∠AOB。∠3＋∠4与Rt∠AOB相等吗？怎样判断？
如图，类似地，在平角∠AOB 的内部画射线OC，则有∠AOC＋∠BOC＝∠AOB。∠α＋∠β与平角∠AOB相等吗？怎样判断？
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。例如，p5页图中，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。∠3与∠4呢？
∠3与∠4互为余角，∠3是∠4的余角，∠4也是∠3的余角。
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。例如，p6页图中，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角。∠α与∠β呢？
∠α与∠β互为补角，∠α是∠β的补角，∠β也是∠α的补角。
【强调】：注意
(1)互余、互补是两个角之间的关系，若三个角的和等于 90°或180°，不能称为互余或互补.
(2)互余、互补只与两个角的角度有关，与位置无关.
(3) ∠α的余角可以记作 90°- ∠α， ∠α的补角可以记作180°-∠α.
方位角:以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。
注意：
方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西，如南偏西20°。当与南北方向夹角为45°时，常简称东北、东南、西北、西南，如北偏东45°为东北方向。
探究二：例题讲解
教材第188页：
做一做 1.如图，已知∠1＝42°，∠2＝138°，∠3＝48°。图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。
2.如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线。图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由。
3. 填空：
(1)∠α的余角＝90°－________ ；
(2)∠β的余角＝ ________－∠β。
你能得出什么结论？
例1 如图，已知∠AOC＝∠BOD＝Rt∠。指出图中还有哪些角相等，并说明理由。
例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。
【例1】已知∠a=25°30'，则它的余角为（ ）
A.25°30'
B.64°30'
C.74°30'
D.154°30'
【例2】若α=70°，则α的补角的度数是（ ）
A.130° B.110° C.30° D.20°
【例3】如图，点O在直线AB上角为∠COB=∠EOD=90°，那么下列说法错误的是( )
A.∠1与∠2相等
B.∠AOE与∠2互余
C.∠AOD与∠1互补
D.∠AOE与∠COD互余
【例4】如图，若在飞机飞行时，用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向的夹角作为“飞行方位角”，从A到B的“飞行方位角”为35°，即∠NAB=35°，从A到D的“飞行方位角”比从A到B的“飞行方位角”的4倍少10°，从A到C的飞行线恰好是从A到D的“飞行方位角”的平分线，且∠EAD=90°
(1)求从A到D的“飞行方位角”的度数;
(2)求∠EAC的度数.
【选做】5.如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它北偏东30°的方向上，海岛B在它南偏东60°方向上，则下列结论:①∠NOA=30°；②图中∠NOB的补角有两个，分别是∠SOB和∠EOA；③图中有4对互余的角；④货轮O在海岛B的北偏西60°的方向上。
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【选做】6.若∠β是∠α的补角，∠γ是∠α的余角，且∠β与∠γ的和是平角，则∠β是∠α的_____。
知识点1 余角和补角
1.如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。
3.性质:同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。
知识点2 方位角
方位角:以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。
必做题：
1.如图，将一副三角尺按不同的方式摆放，下列摆放方式中，∠α与∠β互余的是______(填序号).
2.如图，点O在直线AB上，∠AOC=∠BOD=20°，则图中互补的角的对数是( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
3.如图，将一副三角尺的直角顶点重合摆放在桌面上，若∠BOC=33°，则∠AOD=______。
4.A，B，C三个城的位置如图所示，A在C的南偏西30°方向上，且∠ACB=145°，则B在C的方向上______。
选做题：
5.如图，点O是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90.若∠AOB=∠COD，射线OA，OB分别经过刻度线40和60，∠COD在刻度线OM的右侧，则下列说法:①∠AOC=∠BOD；②若∠AOC与∠BOC互补，则射线OD经过刻度线165；③若∠MOC=3∠COD，则图中共有6对角互为余角，其中正确的是______(填序号)。
6.如图，射线OC，OD在∠AOB内，∠AOB 和∠BOC互为补角，∠BOD=∠AOB，若∠COD比∠BOD大m°
(m<30)，则∠AOC=______(用含m的式子表示).
拓展题：将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O.
(1)如图(1)，若∠AOD=35°，求∠BOC的度数。
(2)若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O顺时针旋转，某一时刻的位置如图(2)所示，试猜想在转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系 请说明理由.
参考答案
【预习自测】
1.【解析】 ∠a=60°32
这个角的余角的度数为:90°-60°32=29°28'
这个角的补角的度数为:180°-60°32=119°28'2.
2.(1)依据题意可知:90°-∠α =2∠α化简得:3∠α =90°，解之得:∠α = 30°
(2)依据题意可知:180°-∠1=3∠1化简得:4∠1=180°，解之得:∠1= 45°
【作业布置】
必做
1.① 【解析】①题图中∠α+∠β=180°-90°=90°，所以∠α与∠β互余，故①符合题意；②题图中∠α=∠β，不一定互余，故②不合题意;③题图中∠α+∠β=180°-45°+180°-45°=余270°，不是互余关系，故③不合题意;④题图中∠α+∠β=180°，不是互余关系，故④不合题意.故答案为①.
2.D 【解析】因为∠AOC=∠BOD=20°，且∠AOB=180°，所以∠AOD=∠BOC=160°，所以互补的角有∠AOC与∠AOD，∠AOC与∠BOC，∠BOD与∠AOD，∠BOD与∠BOC共4对，故选D.
3.147【解析】因为∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠DOB+∠BOC=90°，所以∠AOB+∠COD=∠AOC
+∠BOC+∠DOB+∠BOC=180°.因为∠AOD=∠AOC+∠DOB+∠COB，所以∠AOD=180°-∠BOC=180°-33°
=147°.故答案为147.
4.【解析】(1)由题可知∠NAB=35°，∠NAD=4∠NAB-10°，所以∠NAD=4×35°-10°=130°，即从A到D的“飞行方位角"的度数为130°
(2)由题可知AC平分∠NAD，所以∠NAC=∠DAC=1/2∠NAD=65°.因为∠EAD=90°，所以∠EAC=∠EAD-∠DAC=90°-65°=25°。
选做
5.①③ 【解析】①因为∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，所以∠AOC=∠BOD，故原说法正确;②由题意可得∠AOB=60°-40°=20°=∠COD.因为∠AOC+∠BOC=180°，所以∠AOB+∠BOC+∠BOC=180°，即20°+∠BOC+∠BOC=180°所以∠BOC=80°，所以∠EOD=60°+80°+20°=160°，即射线OD经过刻度线160°，故原说法错误;③因为∠MOC=3∠COD=60°，∠MOB=90°-60°=30°，所以∠BOC=90°，所以∠BOM和∠COM互为余角.因为射线OM经过刻度线90，所以∠EOM=∠FOM=90°所以∠AOE和∠AOM，∠BOE和∠BOM，∠COM和∠COF，∠DOM和∠DOF，∠BOE和∠COF互为余角，即共有6对角互为余角故原说法正确.综上，正确的有③，故答案为①③.
6.(36-m)【解析】因为∠AOB 和∠BOC互为补角，所以∠AOB+∠BOC=180°.因为∠BOD=∠AOB，所以3∠BOD+∠BOC=180°，即∠BOC=180°-3∠BOD.因为∠COD+∠BOD=∠BOC，所以180°-3∠BOD=∠COD+∠BOD，所以∠COD+4∠BOD=180°，因为∠COD比∠BOD大m°(m<30)，所以∠COD=∠BOD+m°，所以5∠BOD+m°=180°，所以∠BOD=(36+m)°，所以∠COD=(36+m)°，所以∠BOC=(72+m)°，所以∠AOB=180°-∠BOC=(108-m)°，所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=(108-m)°-(72+m)°=(36-m)°.故答案为(36-m).
拓展
【解析】(1)因为∠AOD=35°，∠AOB=∠COD=90°，所以∠BOD=90°-35°=55°，所以∠BOC=90°-∠BOD=90°-55°=35.
(2)∠AOC+∠BOD=180°理由如下:当三角板AOB与三角板DOC有重叠部分时，因为∠AOB=∠COD=90°，
所以∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°，因为∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，所以∠AOC+∠BOD=180°.当三角板AOB与三角板DOC没有重叠部分时，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°。因为∠AOB=∠COD=90°所以∠AOC+∠DOB=180°
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第六章 图形的初步知识
6.8 余角和补角
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1. 理解余角和补角的概念，准确判断两个角是否互为余角或补角;
2. 掌握余角和补角的性质，能运用性质进行简单的角度计算和推理;
3. 学会运用余角和补角的知识解决实际问题，如在几何图形中求角度、解释生活中的角度现象等。
02
新知导入
台球桌面上，A球受击打后的运动轨迹如图。若∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）？
03
新知讲解
如图，在Rt∠AOB 的内部画射线 OC，则有∠1＋∠2＝Rt∠AOB。∠3＋∠4与Rt∠AOB相等吗？怎样判断？
03
新知讲解
如图，类似地，在平角∠AOB 的内部画射线OC，则有∠AOC＋∠BOC＝∠AOB。∠α＋∠β与平角∠AOB相等吗？怎样判断？
03
新知讲解
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
例如，p5页图中，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。∠3与∠4呢？
03
新知讲解
∠3与∠4互为余角，∠3是∠4的余角，∠4也是∠3的余角。
03
新知讲解
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。例如，p6页图中，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角。∠α与∠β呢？
03
新知讲解
∠α与∠β互为补角，∠α是∠β的补角，∠β也是∠α的补角。
03
新知讲解
注意
(1)互余、互补是两个角之间的关系,若三个角的和等于 90°或180°,不能称为互余或互补.
(2)互余、互补只与两个角的角度有关,与位置无关.
(3) ∠α的余角可以记作 90°- ∠α, ∠α的补角可以记作180°-∠α.
03
新知讲解
1.如图，已知∠1＝42°，∠2＝138°，∠3＝48°。图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。
做一做
【解析】
∠1+∠2=42°+138°=180°
∠1和∠2互为补角
∠1+∠3=42°+48°=90°
∠1和∠3互为余角。
03
新知讲解
2.如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线。图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由。
做一做
【解析】 ∠AOC+∠BOC=180°，∠AOD+∠BOD=180°
∠AOC与∠BOC，∠AOD与∠BOD分别互补。
∠BOD+∠DOC=∠BOC=∠AOC=Rt∠.
∠BOD与∠DOC互余。
03
新知讲解
3. 填空：
(1)∠α的余角＝90°－________ ；
(2)∠β的余角＝ ________－∠β。
做一做
【解析】
(1)∠α的余角＝90°－∠α
(2)∠β的余角＝90°－∠β
03
新知讲解
当∠α＝∠β时，就有∠α的余角与∠β的余角相等，也就是说，
同角或等角的余角相等。
同样可以得到：
同角或等角的补角相等。
03
新知讲解
方位角:以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。
03
新知讲解
注意：
方位角在叙述时，一般先说南北,后说东西,如南偏西20°。当与南北方向夹角为45°时,常简称东北、东南、西北、西南,如北偏东45°为东北方向。
03
新知讲解
例1 如图，已知∠AOC＝∠BOD＝Rt∠。指出图中还有哪些角相等，并说明理由。
【解析】在图中，∠AOB＝∠COD。理由如下：
因为∠AOC＝∠BOD＝Rt∠，
所以∠AOB＋∠BOC＝Rt∠，
∠COD＋∠BOC＝Rt∠，
即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角，
所以∠AOB＝∠COD（同角的余角相等）。
03
新知讲解
例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。
【解析】设这个角为x度，则这个角的余角是（90－x）度，补角是（180－x）度。
由题意，得180－x＝4（90－x），
解方程，得x＝60。
所以这个角的度数为60°。
【例1】已知∠a=25°30',则它的余角为（ ）
A.25°30'
B.64°30'
C.74°30'
D.154°30'
B 【解析】∠a 的余角为 90°-∠a=90°-25°30'
=64°30'。故选B。
04
课堂练习
04
课堂练习
【例2】若α=70°,则α的补角的度数是（ ）
A.130° B.110° C.30° D.20°
B【解析】α的补角是180°-α=180°-70°=110°。
故选B。
04
课堂练习
【例3】如图,点O在直线AB上角为∠COB=∠EOD=90°,
那么下列说法错误的是( )
A.∠1与∠2相等
B.∠AOE与∠2互余
C.∠AOD与∠1互补
D.∠AOE与∠COD互余
04
课堂练习
D【解析】A.因为∠COB=∠EOD=90°，所以∠1+
∠COD=∠2+∠COD=90°,所以∠1=∠2,A选项正确。
B.因为∠AOE+∠1=90°，∠1=∠2,所以∠AOE+∠2
=90°,即∠AOE与∠2互余,B选项正确.
C.因为∠AOD+∠2=180°，∠1=∠2,所以∠AOD+∠1
=180°,即∠AOD与∠1互补，C选项正确.
D.∠AOE和∠COD的度数未知,故无法判断∠AOE与∠COD
是否互余,D选项错误.
故选D.
04
课堂练习
【例4】如图,若在飞机飞行时,用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向的夹角作为“飞行方位角”,从A到B的“飞行方位角”为35°,即∠NAB=35°,从A到D的“飞行方位角”比从A到B的“飞行方位角”的4倍少10°,从A到C的飞行线恰好是从A到D的“飞行方位角”的平分线,且∠EAD=90°
(1)求从A到D的“飞行方位角”的度数;
(2)求∠EAC的度数.
04
课堂练习
【解析】(1)由题可知∠NAB=35°,∠NAD=4∠NAB-10°,所以∠NAD=4×35°-10°=130°,即从A到D的“飞行方位角"的度数为130°
(2)由题可知AC平分∠NAD,所以∠NAC=∠DAC=∠NAD=65°.因为∠EAD=90°，所以∠EAC=∠EAD-∠DAC=90°-65°=25°。
04
课堂练习
【选做】5.如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它北偏东30°的方向上,海岛B在它南偏东60°方向上,则下列结论:①
∠NOA=30°;②图中∠NOB的补角有两个,分别是∠SOB和∠EOA；③图中有4对互余的角;④货轮O在海岛B的北偏西60°的方向上。
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
04
课堂练习
D 【解析】由题可知∠NOA=30°,故①正确;因为∠SOB
=60°，∠AON=30°,所以∠NOB=120°，∠EOA=
60°,所以∠NOB的补角有两个,即∠SOB和∠EOA,故②正确;图中互余的角有∠NOA和∠AOE,∠NOA和∠BOS，∠BOE和∠AOE,∠BOE和∠BOS,共4对,故③正确;根据方位角的意义可知,因为海岛B在货轮O的南偏东60°方向上,所以货轮O在海岛B的北偏西60°的方向上,故④正确. 综上所述,正确的结论有4个,故选D.
04
课堂练习
【选做】6.若∠β是∠α的补角,∠γ是∠α的余角,且∠β与∠γ的和是平角,则∠β是∠α的_____。
11 【解析】由题意得∠β+∠α=180°,∠γ+∠α=90°,
∠β+∠γ=×180°=240°,所以∠β=180°-∠α,∠γ=
90°-∠α,所以 180°-∠α+90°-∠α=240°,解得∠α=15°，∠β=165°.因为165÷15=11,所以∠β是∠α的11倍,故答案为11.
05
课堂小结
知识点1 余角和补角
1.如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。
3.性质:同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。知识点2 方位角
方位角:以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。
06
作业布置
【必做】1.如图,将一副三角尺按不同的方式摆放,下列摆放方式中，∠α与∠β互余的是______(填序号).
① 【解析】①题图中∠α+∠β=180°-90°=90°,所以∠α与∠β互余,故①符合题意；②题图中∠α=∠β,不一定互余,故②不合题意;③题图中∠α+∠β=180°-45°+180°-45°=余270°,不是互余关系,故③不合题意;④题图中∠α+∠β=180°,不是互余关系,故④不合题意.故答案为①.
【必做】2.如图,点O在直线AB上，∠AOC=∠BOD=
20°,则图中互补的角的对数是( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
D 【解析】因为∠AOC=∠BOD=20°,且∠AOB=180°,
所以∠AOD=∠BOC=160°,所以互补的角有∠AOC与∠AOD,∠AOC与∠BOC,∠BOD与∠AOD,∠BOD与∠BOC共4对,故选D.
06
作业布置
06
作业布置
【必做】3.如图,将一副三角尺的直角顶点重合摆放在桌面上，若∠BOC=33°,则∠AOD=______。
147【解析】
∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠DOB+∠BOC=90°，
∠AOB+∠COD=∠AOC+∠BOC+∠DOB+∠BOC=180°.
因为∠AOD=∠AOC+∠DOB+∠COB,
所以∠AOD=180°-∠BOC=180°-33°=147°.
故答案为147.
06
作业布置
【必做】4.A,B,C三个城的位置如图所示,A在C的南偏西30°方向上,且∠ACB=145°,则B在C的方向上______。
北偏东65°【解析】因为A在C的南偏西30°方向上,且∠ACB=145°,所以 145°-30°-90°=25°,90°-25°=65°,所以B在C的北偏东65°方向上,故答案为北偏东 65°。
06
作业布置
【选做】5.如图,点O是量角器的中心点,射线OM经过刻度线90.若∠AOB=∠COD,射线OA,OB分别经过刻度线40和60
,∠COD在刻度线OM的右侧,则下列说法:①∠AOC=∠BOD
；②若∠AOC与∠BOC互补,则射线OD经过刻度线165；③若∠MOC=3∠COD,则图中共有6对角互为余角,其中正确的是______(填序号)。
06
作业布置
①③ 【解析】①因为∠AOB=∠COD,所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,所以∠AOC=∠BOD,故原说法正确;
②由题意可得∠AOB=60°-40°=20°=∠COD.因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠AOB+∠BOC+∠BOC=180°,即20°+∠BOC+∠BOC=180°所以∠BOC=80°，所以∠EOD=60°+80°+20°=160°,即射线OD经过刻度线160°,故原说法错误;
06
作业布置
③因为∠MOC=3∠COD=60°,∠MOB=90°-60°=30°,所以∠BOC=90°,所以∠BOM和∠COM互为余角.因为射线OM经过刻度线90,所以∠EOM=∠FOM=90°,所以∠AOE和∠AOM，∠BOE和∠BOM,∠COM和∠COF，∠DOM和∠DOF，∠BOE和∠COF互为余角,即共有6对角互为余角故原说法正确.综上,正确的有③,故答案为①③.
06
作业布置
【选做】6.如图,射线OC,OD在∠AOB内,∠AOB 和∠BOC
互为补角，∠BOD=∠AOB,若∠COD比∠BOD大m°
(m<30),则∠AOC=______(用含m的式子表示).
(36-m)【解析】因为∠AOB 和∠BOC互为补角,所以∠AOB
+∠BOC=180°.因为∠BOD=∠AOB,所以3∠BOD+∠BOC
=180°,即∠BOC=180°-3∠BOD.因为∠COD+∠BOD=
∠BOC,所以180°-3∠BOD=∠COD+∠BOD，所以∠COD
+4∠BOD=180°,因为∠COD比∠BOD大m°(m<30),所以
06
作业布置
∠COD=∠BOD+m°，所以5∠BOD+m°=180°，所以
∠BOD=(36+m)°,所以∠COD=(36+m)°,所以∠BOC
=(72+m)°,所以∠AOB=180°-∠BOC=(108-m)°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=(108-m)°-(72+m)°=(36-m)°.故答案为(36-m).
06
作业布置
【拓展题】将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于点O.
(1)如图(1),若∠AOD=35°,求∠BOC的度数。
(2)若三角板AOB保持不动,将三角板COD的边OD与边OA重合,然后将其绕点O顺时针旋转,某一时刻的位置如图(2)所示,试猜想在转过程中,∠AOC与∠BOD有何数量关系 请说明理由.
【解析】(1)因为∠AOD=35°,∠AOB=∠COD=90°,所以∠BOD=90°-35°=55°,所以∠BOC=90°-∠BOD=90°
-55°=35.
(2)∠AOC+∠BOD=180°理由如下:当三角板AOB与三角板DOC有重叠部分时,因为∠AOB=∠COD=90°，
所以∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°,
因为∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
所以∠AOC+∠BOD=180°.当三角板AOB与三角板DOC没有重叠部分时,∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°。因为∠AOB=∠COD=90°所以∠AOC+∠DOB=180°
06
作业布置
Thanks!
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