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第六章 几何图形
6.7 角的和差
学习目标：
1. 理解角的和差的概念，知道角的和与差是如何形成的;
2. 掌握角的和差的计算方法，能进行简单的角的度数的加减运算;
3. 学会用几何语言表述角的和差关系，并能根据图形进行角的和差的计算。
核心素养目标：
1. 数学运算：熟练进行角的度数的加减运算，提高运算准确性和速度。
2. 逻辑推理：通过角的和差关系的推导和应用，培养逻辑思维，严谨论证。
3. 空间想象：想象角的组合与拆分，增强对空间图形的感知和构建能力。
学习重点：理解角的和差概念，掌握角的和差计算方法，能运用相关知识解决简单几何问题。
学习难点：准确画出角的和差图形，在复杂图形中识别角的和差关系，灵活运用角的和差解决角度的综合计算和推理问题。
一、知识链接
1.一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的________，那么这个角就叫作________________；如果一个角的度数是另两个角的度数的________，那么这个角就叫作________________。两个角的和或差仍是一个________.
2.∠γ是∠α 与∠β 的和，记作∠γ＝________＋________；
3.∠β 是∠γ 与∠α 的差，记作∠β＝________＋________。
4.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的________。
二、自学自测
1.比较图中∠BOC、∠BOD的大小:因为0B和OB是公共边，0C在∠BOD的内部，(填“＞”,“<”或“=”)，所以∠BOC________2.如图，点0在直线AB上，0M平分∠AOC，ON平分∠B0C，如果∠1:∠2=1:2，求∠1的度数.
一、创设情境、导入新课
给你一张直角三角形纸片，你能通过折叠的方法再折出一个直角来吗？你能把这张纸片折成一个长方形吗？
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
如图，已知∠α＝30°，∠β＝120°，∠γ＝150°。
请议一议，这三个角的度数之间有怎样的关系。拼一拼，有什么发现？
【强调】：注意
(1)角的平分线是射线，不是线段或直线.
(2)角的平分线必须满足三个条件：
①是从角的顶点引出的射线；
②在角的内部；
③将已知角平分。
∠γ是∠α 与∠β 的和，记作∠γ＝∠α＋∠β；
∠β 是∠γ 与∠α 的差，记作∠β＝∠γ－∠α。
探究二：例题讲解
教材第184页：
做一做 1.如图，同一端点的三条射线 OA，OB，OC。请完成下面的填空：
∠AOB＋∠BOC＝∠______＝______度；
∠AOC－∠BOC＝∠______＝______度；
∠BOC＝∠AOC－∠______＝______度。
2.利用图中的角，你能画出90°的角吗？
例1 已知∠1与∠2，用量角器作∠1与∠2的和。
探究三：角平分线
请进行以下活动：
在一张透明纸上任意画一个角∠AOB，把这张透明纸折叠，使角的两边OA与OB重合，然后把这张纸展开、铺平，画出折痕OC。
∠AOC与∠BOC之间有怎样的大小关系？
角平分线的概念：
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
例如，在图中，OC就是∠AOB 的平分线，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝2∠AOC＝2∠BOC。
【强调】：
角的n等分线:
类似角的平分线,若从角的顶点引出的(n-1)条射线将这个角分成相等的n个角,则这(n-1)条射线叫作这个角的n等分线.
例2 如图 6-42，∠ABC＝90°，∠CBD＝30°，BP 平分∠ABD。求∠ABP的度数。
【例1】如图,若∠BOC:∠AOC=1:2,∠AOB=63°,且OC在∠AOB的内部,则∠AOC=( )
A.78° B.42° C.39° D.21°
【例2】如图是一副特制的三角板,用它们可以画出一些特殊角。下列选项中,不能用这副三角板画出的角度是（ ）
A.18° B.55° C.63° D.117°
【例3】如图,OC是∠AOB的平分线，∠AOB=74°，∠COD=10°,则∠AOD 的度数为（ ）
A.17° B.27° C.37° D.64°
【例4】已知OB是∠A0C的平分线,OD是∠COE的平分线，已知∠AOE=128°，则∠BOD=_____度。
【选做】5.如图,三角尺①固定不动,将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合.若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°,则三角尺②的另一条直角边与AB 边的夹角不可能是( )
A.20° B.80° C.100° D.150°
【选做】6.已知∠AOB=70°,以O为端点作射线OC,使∠AOC=42°,则∠BOC=_____。
知识点1 角的和差
一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差。两个角的和或差仍是一个角。
知识点2 角的平分线
1.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。
2.角的n等分线:类似角的平分线,若从角的顶点引出的(n-1)条射线,将这个角分成相等的n个角,则这(n-1)条射线叫作这个角的n等分线。
必做题：
1.如图,已知∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=150°,则∠BOC的度数为______.
2.如图,将三个同样大小的正方形的一个顶点重合放置,如果∠1=50°,∠3=30°,那么∠2的度数是______.
3.如图,∠AOB=90°,OD平分∠BOC,∠AOC=2∠1,则∠1=______.
4.如图,O为直线AB上一点,且∠COD为直角,OE平分∠BOD,OF平分∠AOE,∠BOC=54°求∠COE和∠DOF的度数。
选做题：
5.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BD,
BE为折痕,且点A',C',B在同一直线上.若∠ABE的度数比∠DBC小30°,则∠DBC为______度。
6.已知∠AOB=60°,0C为从O点引出的任意一条射线,若OM平分∠AOC，ON平分∠BOC,则∠MON的度数是____________.
拓展题：已知O为直线AB上的一点,∠COE是直角,OF平分∠AOE.
(1)如图(1),若∠COF=34°,则∠BOE=______；若∠COF=
m°,则∠BOE=______;∠BOE 与∠COF的数量关系为______。(2)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图(2)的位置时,(1)中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立 请说明理由.
参考答案
【预习自测】
1.＜【解析】根据角的大小的比较方法:因为OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC<∠BOD。
2.【解析】0M是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线
∠1=∠B0C，∠2=∠AOC,
∠AOC+∠BOC=180°
∠1+∠2=90°
∠1:∠2=1:2
∠1=30°
答:∠1的度数为30°
【作业布置】
必做
1.30°【解析】因为∠AOC=∠BOD =90°,∠AOD=150°,所以∠BOC=∠AOC+∠BOD-∠AOD=180°-150°=30°,故答案为30°。
2.10°【解析】如图,由题可得
∠BOD=90°-∠3=90°-30°=60°,
∠EOC=90°-∠1=90°-50°=40°，∠2=∠BOD+∠EOC-∠BOE，
所以∠2=60°+40°-90°=10°。
故答案为10°。
3.67.5 【解析】因为∠AOB=90°,所以∠AOC+∠BOC=360°-90°=270°.
因为OD平分∠BOC,所以∠BOC=2∠1.
因为∠AOC=2∠1,所以∠AOC=∠BOC=135°,
所以∠1=67.5°.
故答案为 67.5.
4.【解析】因为∠COD=90°,∠BOC=54°,
所以∠BOD=90°-54°=36°，
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=∠BOE=1/2∠BOD=18°,
所以∠COE=∠BOC+∠BOE=54°+18°=72°
∠AOE=180°-∠BOE=180°-18°=162°。
因为OF平分∠AOE,所以∠EOF=1/2∠AOE=81°,
所以∠DOF=∠EOF-∠DOE=81°-18°=63°。
故∠COE的度数为72°,∠DOF的度数为63°。
选做
5.【解析】60【解析】如图连接BC'，
BD、BE为折痕
BD、BE分别平分∠CBC'、∠ABC.
∠A'BE=∠ABE，∠DBC=∠DBC'，
∠ABE的度数比∠DBC小30°
∠A'BE+∠ABE+∠DBC+∠DBC'= 180.
∠ABE+∠DBC =90°，
∠DBC-30°+∠DBC =90°
∠DBC =60°
故答案为:60.
6.30°或150°【解析】因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,
所以∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BON=∠BOC,如图(1)，
∠MON=∠MOC-∠CON=(∠AOC-∠BOC)=×60°=30°；
如图(2)，∠MON=∠MOC+∠CON=(∠AOC+∠BOC)=1/2(360°-∠AOB)=×300°=150°;
如图(3)，∠MON=∠MOC+∠CON=(∠AOC+∠BOC)=×60°=30°。
故答案为30°或 150°。
拓展
【解析】(1)因为∠COF=34°,∠COE是直角,所以∠EOF=90°-34°=56°.又因为OF平分∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF=112°,所以∠BOE=180°-112°=68°.若∠COF=m°,则∠BOE=(2m)°,故∠BOE=2∠COF.故案为68°;(2m)°;∠BOE=2∠COF.
(2)∠BOE和∠COF的数量关系依然成立.因为∠COE是直角,所以∠EOF=90°-∠COF。又因为OF平分∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF,所以∠BOE=180°-∠AOE=180°-2(90°-∠COF)=2∠COF.
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6.7 角的和差
课题 6.7 角的和差 单元 第六单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 角的和差教材通常从角的基本概念出发，通过实例引入角的和与差。先讲解角的和差的定义，让学生直观理解。接着重点阐述角的和差计算方法，多结合图形帮助学生理解。教材注重引导学生通过观察、思考和操作来掌握知识，培养学生的空间想象力和逻辑推理能力。但对于部分学生，理解角的合成与分解可能存在困难。
核心素养 能力培养 1. 数学运算：熟练进行角的度数的加减运算，提高运算准确性和速度。 2. 逻辑推理：通过角的和差关系的推导和应用，培养逻辑思维，严谨论证。 3. 空间想象：想象角的组合与拆分，增强对空间图形的感知和构建能力。
教学目标 1. 理解角的和差的概念，知道角的和与差是如何形成的; 2. 掌握角的和差的计算方法，能进行简单的角的度数的加减运算; 3. 学会用几何语言表述角的和差关系，并能根据图形进行角的和差的计算。
教学重点 理解角的和差概念，掌握角的和差计算方法，能运用相关知识解决简单几何问题。
教学难点 准确画出角的和差图形，在复杂图形中识别角的和差关系，灵活运用角的和差解决角度的综合计算和推理问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 计算：如图，0C为∠AOB内的一条射线，且∠A0B=70°，∠B0C=30°，则∠A0C的度数为=_________。 40°【解析】 ∠A0C=∠A0B-∠B0C=70°-30°=40° 创设情境、导入新课 给你一张直角三角形纸片，你能通过折叠的方法再折出一个直角来吗？你能把这张纸片折成一个长方形吗？ 复习回顾之前学习第六章第六节角的大小比较内容。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固学习角的大小比较知识。 用折叠直角三角形纸片引出章节内容。
新知探究 探究一：引入概念 如图，已知∠α＝30°，∠β＝120°，∠γ＝150°。 请议一议，这三个角的度数之间有怎样的关系。拼一拼，有什么发现？ 一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差。两个角的和或差仍是一个角。 【强调】：注意 (1)角的平分线是射线，不是线段或直线. (2)角的平分线必须满足三个条件： ①是从角的顶点引出的射线； ②在角的内部； ③将已知角平分。 ∠γ是∠α 与∠β 的和，记作∠γ＝∠α＋∠β； ∠β 是∠γ 与∠α 的差，记作∠β＝∠γ－∠α。 请进行以下活动： 探究二：例题讲解 教材第184页： 做一做 1.如图，同一端点的三条射线 OA，OB，OC。请完成下面的填空： ∠AOB＋∠BOC＝∠______＝______度； ∠AOC－∠BOC＝∠______＝______度； ∠BOC＝∠AOC－∠______＝______度。 【解析】∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝110度； ∠AOC－∠BOC＝∠AOB＝30度； ∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝80度。 2.利用图中的角，你能画出90°的角吗？ 【解析】已知∠α＝30°，∠β＝120°，∠γ＝150°。 所以∠β-∠α=120°-30°=90°。 例1 已知∠1与∠2，用量角器作∠1与∠2的和。 作法： 1. 用量角器量得∠1＝60°，∠2＝45°。 2. 计算：∠1＋∠2＝60°＋45°＝105°。 3. 用量角器作∠AOB＝105°。∠AOB＝∠1＋∠2，∠AOB就是所求作的角。 探究三：角平分线 在一张透明纸上任意画一个角∠AOB，把这张透明纸折叠，使角的两边OA与OB重合，然后把这张纸展开、铺平，画出折痕OC。 ∠AOC与∠BOC之间有怎样的大小关系？ ∠AOC=∠BOC。 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。例如，在图中，OC就是∠AOB 的平分线，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝2∠AOC＝2∠BOC。 【强调】： 角的n等分线: 类似角的平分线,若从角的顶点引出的(n-1)条射线将这个角分成相等的n个角,则这(n-1)条射线叫作这个角的n等分线. 例2 如图 6-42，∠ABC＝90°，∠CBD＝30°，BP 平分∠ABD。求∠ABP的度数。 解：因为∠ABD＝∠ABC＋∠CBD ＝90°＋30° ＝120°， 又因为BP平分∠ABD， 所以∠ABP＝1/2∠ABD＝1/2×120°＝60°。 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 阅读实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。通过例题的解决发现规律，提高学生归纳能力. 激发学生兴趣，引入新课主题，通过对问题的讨论，学生将学习角的和差。
课堂练习 【例1】如图,若∠BOC:∠AOC=1:2,∠AOB=63°,且OC在∠AOB的内部,则∠AOC=( ) A.78° B.42° C.39° D.21° B【解析】因为∠BOC:∠AOC=1:2,所以∠AOC=∠AOB=×63°=42°故选B。 【例2】如图是一副特制的三角板,用它们可以画出一些特殊角。下列选项中,不能用这副三角板画出的角度是（ ） A.18° B.55° C.63° D.117° B【解析】A 选项,18°=90°-72°,故 18°的角能画出;B选项,55°不能写成 36°,72° ,45°90°的和或差的形式,故 55°的角不能画出;C选项,63°=90°-72°+45°,故 63°的角能画出;D选项,117°=72°+45°,故117°的角能画出.故选B. 【例3】如图,OC是∠AOB的平分线，∠AOB=74°，∠COD=10°,则∠AOD 的度数为（ ） A.17° B.27° C.37° D.64° B【解析】因为OC是∠AOB的平分线，∠AOB=74°，∠AOB=74°，所以∠BOC =∠COA=∠AOB=× 74°=37°。因为∠AOC=∠COD+∠DOA,∠COD= 10°,所以∠AOD=∠AOC-∠COD=37°-10°=27°,故选B. 【例4】已知OB是∠A0C的平分线,OD是∠COE的平分线，已知∠AOE=128°，则∠BOD=_____度。 64【解析】因为OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线,所以∠COD=∠COE,∠BOC=∠AOC,所以∠BOD=∠COD+∠BOC=∠COE+∠AOC=(∠COE +∠AOC)=∠AOE=×128°=64°,故答案为64。 【选做】5.如图,三角尺①固定不动,将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合.若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°,则三角尺②的另一条直角边与AB 边的夹角不可能是( ) A.20° B.80° C.100° D.150° D【解析】(1)当OD与AC边的夹角为40°时,①当OD在AC下方时,因为∠CAD=40°∠DAE=90°,所以∠CAE=90°-40°=50°,因为∠BAC=30°，所以∠BAE=30°+50=80°. ②当OD在AC 上方时,因为∠CAD=40°,∠DAE =90°,∠BAC=30°,所以∠BAE=30°+40°+ 90°=160°。 (2)当OE与AC边的夹角为40°时,①当OE在AC下方时,因为∠CAE=40°,∠BAC=30°，所以∠BAE=40°-30°=10°,所以∠BAD=10°+ 90°=100°; ②当OE在AC上方时,因为∠CAE=40°,∠BAC =30°,所以∠BAD=90°-40°-30°=20°. 综上所述,另一条直角边与AB边的夹角可能是 80°,160°,20°,100°,故选D。 【选做】6.已知∠AOB=70°,以O为端点作射线OC,使∠AOC=42°,则∠BOC=_____。 易错点 对未给出图形的角的位置情况考虑不全致错 112°或 28°【解析】如图所示,当∠AOC 在∠AOB内部时,因为∠AOB=70°，∠AOC=42°,所以∠BOC=70°-42°=28°;当∠AOC在∠AOB外部，即在∠AOC'的位置时,∠BOC'=70°+ 42°=112°.故∠BOC 的度数为112°或 28°. 完成例题和练习. 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对角的和差的理解。培养学生多角度思考和解决问题的能力.，
课堂小结 知识点1 角的和差 一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差。两个角的和或差仍是一个角。 知识点2 角的平分线 1.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。 2.角的n等分线:类似角的平分线,若从角的顶点引出的(n-1)条射线,将这个角分成相等的n个角,则这(n-1)条射线叫作这个角的n等分线。 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力
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第六章 图形的初步知识
6.7 角的和差
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1. 理解角的和差的概念，知道角的和与差是如何形成的；
2. 掌握角的和差的计算方法，能进行简单的角的度数的加减运算；
3. 学会用几何语言表述角的和差关系，并能根据图形进行角的和差的计算。
02
新知导入
给你一张直角三角形纸片，你能通过折叠的方法再折出一个直角来吗？你能把这张纸片折成一个长方形吗？
03
新知讲解
如图，已知∠α＝30°，∠β＝120°，∠γ＝150°。
请议一议，这三个角的度数之间有怎样的关系。拼一拼，有什么发现？
03
新知讲解
一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差。两个角的和或差仍是一个角。
03
新知讲解
∠γ是∠α 与∠β 的和，记作∠γ＝∠α＋∠β；
∠β 是∠γ 与∠α 的差，记作∠β＝∠γ－∠α。
03
新知讲解
1.如图，同一端点的三条射线 OA，OB，OC。请完成下面的填空：
∠AOB＋∠BOC＝∠______＝______度；
∠AOC－∠BOC＝∠______＝______度；
∠BOC＝∠AOC－∠______＝______度。
做一做
【解析】∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝110度；
∠AOC－∠BOC＝∠AOB＝30度；
∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝80度。
03
新知讲解
2.利用图中的角，你能画出90°的角吗？
做一做
【解析】已知∠α＝30°，∠β＝120°，∠γ＝150°。
所以∠β-∠α=120°-30°=90°。
03
新知讲解
例1 已知∠1与∠2，用量角器作∠1与∠2的和。
作法：1. 用量角器量得∠1＝60°，∠2＝45°。
2. 计算：∠1＋∠2＝60°＋45°＝105°。
3. 用量角器作∠AOB＝105°。∠AOB＝∠1＋∠2，∠AOB就是所求作的角。
03
新知讲解
请进行以下活动：
在一张透明纸上任意画一个角∠AOB，把这张透明纸折叠，使角的两边OA与OB重合，然后把这张纸展开、铺平，画出折痕OC。
∠AOC与∠BOC之间有怎样的大小关系？
∠AOC=∠BOC
03
新知讲解
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。
例如，在图中，OC就是∠AOB 的平分线，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝2∠AOC＝2∠BOC。
03
新知讲解
注意
(1)角的平分线是射线，不是线段或直线.
(2)角的平分线必须满足三个条件：
①是从角的顶点引出的射线；
②在角的内部；
③将已知角平分。
03
新知讲解
角的n等分线:
类似角的平分线,若从角的顶点引出的(n-1)条射线将这个角分成相等的n个角,则这(n-1)条射线叫作这个角的n等分线.
03
新知讲解
例2 如图，∠ABC＝90°，∠CBD＝30°，BP 平分∠ABD。求∠ABP的度数。
解：因为∠ABD＝∠ABC＋∠CBD
＝90°＋30°
＝120°，
又因为BP平分∠ABD，
所以∠ABP＝∠ABD＝×120°＝60°。
【例1】如图,若∠BOC:∠AOC=1:2,∠AOB=63°,且OC在∠AOB的内部,则∠AOC=( )
A.78° B.42° C.39° D.21°
B【解析】因为∠BOC:∠AOC=1:2,所以∠AOC=∠AOB=63°=42°故选B。
04
课堂练习
04
课堂练习
【例2】如图是一副特制的三角板,用它们可以画出一些特殊角.下列选项中,不能用这副三角板画出的角度是（ ）A.18° B.55° C.63° D.117°
B【解析】A 选项,18°=90°-72°,故 18°的角能画出;B选项,55°不能写成 36°,72°
,45°90°的和或差的形式,故 55°的角不能画出;C选项,63°=90°-72°+45°,故 63°的角能画出;D选项,117°=72°+45°,故117°的角能画出.故选B.
04
课堂练习
【例3】如图,OC是∠AOB的平分线，∠AOB=74°，∠COD=10°,则∠AOD 的度数为（ ）
A.17° B.27° C.37° D.64°
B【解析】因为OC是∠AOB的平分线，∠AOB=74°，∠AOB=74°，所以∠BOC =∠COA=∠AOB=×
74°=37°。因为∠AOC=∠COD+∠DOA,∠COD=
10°,所以∠AOD=∠AOC-∠COD=37°-10°=27°,故选B.
04
课堂练习
【例4】已知OB是∠A0C的平分线,OD是∠COE的平分线，已知∠AOE=128°，则∠BOD=_____度。
64【解析】因为OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线,所以∠COD=∠COE,∠BOC=∠AOC,所以∠BOD=∠COD+∠BOC=∠COE+∠AOC=(∠COE
+∠AOC)=∠AOE=128°=64°,故答案为64。
04
课堂练习
【选做】5.如图,三角尺①固定不动,将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合.若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°,则三角尺②的另一条直角边与AB 边的夹角不可能是( )
A.20° B.80° C.100° D.150°
04
课堂练习
D【解析】(1)当OD与AC边的夹角为40°时,
①当OD在AC下方时,因为∠CAD=40°,∠DAE=90°,所以∠CAE=90°-40°=50°,因为∠BAC=30°，所以∠BAE=30°+50=80°.
②当OD在AC 上方时,因为∠CAD=40°,∠DAE
=90°,∠BAC=30°,所以∠BAE=30°+40°+
90°=160°。
04
课堂练习
(2)当OE与AC边的夹角为40°时,
①当OE在AC下方时,因为∠CAE=40°,∠BAC=30°，所以∠BAE=40°-30°=10°,所以∠BAD=10°+90°=100°;
②当OE在AC上方时,因为∠CAE=40°,∠BAC
=30°,所以∠BAD=90°-40°-30°=20°.
综上所述,另一条直角边与AB边的夹角可能是 80°,160°,20°,100°,故选D。
04
课堂练习
【选做】6.已知∠AOB=70°,以O为端点作射线OC,使
∠AOC=42°,则∠BOC=_____。
易错点 对未给出图形的角的位置情况考虑不全致错
112°或 28°【解析】如图所示,当∠AOC 在∠AOB内部时,因为∠AOB=70°，∠AOC=42°,所以∠BOC=70°-42°=28°;当∠AOC在∠AOB外部，即在∠AOC'的位置时,∠BOC'=70°+
42°=112°.故∠BOC 的度数为112°或 28°.
C'
05
课堂小结
知识点1 角的和差
一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差。两个角的和或差仍是一个角。
05
课堂小结
知识点2 角的平分线
1.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。
2.角的n等分线:类似角的平分线,若从角的顶点引出的(n-1)条射线,将这个角分成相等的n个角,则这(n-1)条射线叫作这个角的n等分线。
06
作业布置
【必做】1.如图,已知∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=150°
,则∠BOC的度数为______.
30°【解析】因为∠AOC=∠BOD =90°,∠AOD=150°,所以∠BOC=∠AOC+∠BOD-∠AOD=180°-150°=30°,故答案为30°。
【必做】2.如图,将三个同样大小的正方形的一个顶点重合放置,如果∠1=50°,∠3=30°,那么∠2的度数是______.
10°【解析】如图,由题可得
∠BOD=90°-∠3=90°-30°=60°,
∠EOC=90°-∠1=90°-50°=40°，∠2=∠BOD+∠EOC-∠BOE，
所以∠2=60°+40°-90°=10°。
故答案为 10°。
06
作业布置
06
作业布置
【必做】3.如图,∠AOB=90°,OD平分∠BOC,∠AOC
=2∠1,则∠1=______.
67.5 【解析】因为∠AOB=90°,所以∠AOC+∠BOC=360°-90°=270°.
因为OD平分∠BOC,所以∠BOC=2∠1.
因为∠AOC=2∠1,所以∠AOC=∠BOC=135°,
所以∠1=67.5°.
故答案为 67.5.
06
作业布置
【必做】4.如图,O为直线AB上一点,且∠COD为直角,OE平分∠BOD,OF平分∠AOE,∠BOC=54°求∠COE和∠DOF的度数。
【解析】因为∠COD=90°,∠BOC=54°,
所以∠BOD=90°-54°=36°，
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=∠BOE=∠BOD=18°,
所以∠COE=∠BOC+∠BOE=54°+18°=72°
∠AOE=180°-∠BOE=180°-18°=162°。
06
作业布置
因为OF平分∠AOE,所以∠EOF=∠AOE=81°,所以∠DOF=∠EOF-∠DOE=81°-18°=63°。故∠COE的度数为72°,∠DOF的度数为63°。
06
作业布置
【选做】5.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BD,
BE为折痕,且点A',C',B在同一直线上.若∠ABE的度数比∠DBC小30°,则∠DBC为______度。
60【解析】如图连接BC'，
BD、BE为折痕
BD、BE分别平分∠CBC'、∠ABC.
∠A'BE=∠ABE，∠DBC=∠DBC'，
∠ABE的度数比∠DBC小30°
∠A'BE+∠ABE+∠DBC+∠DBC'= 180
∠ABE+∠DBC =90° ，
∠DBC-30°+∠DBC =90°
∠DBC =60°
故答案为:60.
06
作业布置
06
作业布置
【选做】6.已知∠AOB=60°,0C为从O点引出的任意一条射线,若OM平分∠AOC，ON平分∠BOC,则∠MON的度数是____________.
30°或150°【解析】因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,所以∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BON=∠BOC, 如图(1)，∠MON=∠MOC-∠CON=(∠AOC-∠BOC)=
×60°=30°；如图(2)，∠MON=∠MOC+∠CON=
06
作业布置
(∠AOC+∠BOC)=(360°-∠AOB)=×300°=150°;如图(3),∠MON=∠MOC+∠CON=(∠AOC+∠BOC)
=×60°=30°。
故答案为30°或 150°。
06
作业布置
【拓展题】已知O为直线AB上的一点,∠COE是直角,OF平分∠AOE.
(1)如图(1),若∠COF=34°,则∠BOE=______；若∠COF=
m°,则∠BOE=______;∠BOE 与∠COF的数量关系为______。(2)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图(2)的位置时,(1)中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立 请说明理由.
【解析】(1)因为∠COF=34°,∠COE是直角,所以∠EOF
=90°-34°=56°.又因为OF平分∠AOE,所以∠AOE=
2∠EOF=112°,所以∠BOE=180°-112°=68°.若∠COF=m°,则∠BOE=(2m)°,故∠BOE=2∠COF.故案为68°;(2m)°;∠BOE=2∠COF.
(2)∠BOE和∠COF的数量关系依然成立.因为∠COE是直角,所以∠EOF=90°-∠COF。又因为OF平分∠AOE,所以∠AOE=2∠EOF,所以∠BOE=180°-∠AOE=180°-2(90°-∠COF)=2∠COF.
06
作业布置
Thanks!
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