相似三角形的判定—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、对应角相等的两个三角形相似
得分
1．（2024九上·浙江期中）如图，△ABC的中线BD，CE交于点G，且△ABC的面积为12，则（ ）
A．∠ADE＝∠AEC B．BG＝2DG
C．CD2＝DG DB D．△DEG的面积为1.5
2．（2024九上·上海市期中）如图，在中，，是边上的高，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·上海市月考）如图，已知，，，，则 ．
4．（2024九上·浙江期中）如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数．
阅卷人 二、三边对应成比例的两个三角形相似
得分
5．△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是( ）
A．AB=c，AC=b，BC=a，DE=，EF=，DF=
B．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1
C．AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6
D．AB=，AC=，BC=，DE=，EF=3，DF=3
6．（2023九上·宁远期中）如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ．
7．（2020九上·柯桥月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，求证：△ADE∽△ACB.
阅卷人 三、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似
得分
8．下列各组条件中，能判定△ABC与△A'B'C'相似的是（ ）
A． B．，且∠A=∠C'
C．，且∠B=∠A' D．，且∠B=∠B'
9．（2023九上·慈利期中）如图，在中，，D是边上一点，．求证．
10．（2023九上·杭州期末）如图，△ABC的顶点均为网格中的格点.
（1）选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）.
（2）证明：△ADE∽△ABC.
阅卷人 四、相似三角形的判定方法综合应用
得分
11．（2021九上·柯城月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023九上·保定月考）如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023九上·子陵月考） 如图所示，给出下列条件：
①；
②；
③；
④．
其中单独能够判定的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
14．（2024九上·浙江期中）如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（ ）
A．只有方法1对 B．只有方法2对
C．方法1，2都对 D．方法1，2都错
15．（2024九上·井陉期末）如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件： ，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
16．（2023九上·江北开学考）如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2＝∠A；②∠1＝∠CBA；③；④中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是： （填序号）．
17．（2019九上·无锡月考）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似.
18．（2024九下·楚雄模拟）如图，，若，可添加的一个条件是 （填写一个条件即可）
19．（2024九下·临平模拟）如图1，在中，是BC的中点，点，点分别在AB，AC上，连结DE，DF.
（1）若求证：.
（2）如图2，在(1)的条件下，连结EF，若，求DE的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ △ABC的中线BD，CE交于点G，
∴DE∥BC，，
∴∠ADE=∠ACB，∠AED=∠ABC，
∴△DEG∽△BCG，
∴，即 BG＝2DG ；故B正确；
∵D是AC的中点，
∴，
∵E是AB的中点，
∴，
又∵ BG＝2DG ，
∴，故D错误，
A，C选项无法得到，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线得到DE∥BC，，然后证明△DEG∽△BCG，即可得到B正确，然后分局三角形的中线分得的三角形面积是原三角形面积的一半得到，得到D错误，即可解题.
2．【答案】B
【知识点】直角三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵是边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴， 即，
∴，
故答案为：B．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得， 即，再求出CD=2即可.
3．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】结合对顶角相等，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△DEC，进而根据相似三角形对应边成比例解题即可．
4．【答案】（1）证明：
（2）解：∵∠A＝20°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°－20°－40°＝120°，
∵∠ABD＝∠C＝40°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝120°－40°＝80°．
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等证明即可解题；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝120°，然后根据∠ABD＝∠C＝40°即可解题．
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解解：A、不能推出三组对应边的比相等，这两个三角形不相似，A不符合题意；
B、∵AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1，
∴ AB：DF=1，AC：EF=1：6，BC：DE=1：6，
∴三组对应边的比不相等，这两个三角形不相似，B不符合题意；
C、∵AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6，
∴ AB：DF=AC：EF=BC：DE=1：2，
∴△ABC和△DEF相似，C符合题意；
D、AB=，AC=，BC=，DE=，EF=3，DF=3，
∴ AB：DE=：3，AC：EF=：3，BC：DF=：3，
∴三组对应边的比不相等，这两个三角形不相似，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
6．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由图知：一定是钝角；
∵，
，，
，
，
，
，
只有点符合这样的要求，
故P点应该在处，
故答案为：．
【分析】根据三角形相似的判定求解。由图可知一定是钝角，若要，则，可据此进行判断．
7．【答案】证明：∵AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣7＝2，AE＝AC﹣CE＝6﹣3＝3，
∵ ， ，∴
又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用已知条件求出AD，AE的长，再求出AD与AC，AE与AB的比值，可得到这四条线段对应成比例；然后根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、，缺失一个条件，故A错误
B、，且∠A=∠C' ，虽满足两边对应成比例，但不是夹角，故B错误
C、两边对应成比例，且夹角相等，故C正确
D、两边对应成比例，但不是夹角，故D错误
故答案为：D.
【分析】
本题考查的是利用两边对应成比例，且夹角相等来判定两个三角形相似，两个条件缺一不可
A、两边对应成比例，但∠A不一定等于∠A'
B、∠ A与∠C'不是夹角
C、即满足两边对应成比例，又满足夹角相等
D、 ∠B与∠B'虽然相等，但不是夹角
9．【答案】证明：∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】先证出，再结合，利用相似三角形的判定方法（两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）证出即可.
10．【答案】（1）解：如图，△ADE就是所求的三角形，答案不唯一，
（2）证明：∵AD=2AB，AE=2AC，
∴，
又∵∠BAC=∠DAE，
∴△ △ADE∽△ABC .
【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）延长AB至点D使AD=2AB，延长AC至点E，使AE=2AC，再连接ED，△ADE就是所求的三角形；
（2）由作图过程易得，∠BAC=∠DAE，根据两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△ADE∽△ABC .
11．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故答案为：A不符合题意；
B、由两组对边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故答案为：B不符合题意；
C、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故答案为：C不符合题意；
D、无法证明图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故答案为：D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可对A，C作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对B作出判断；D选项中无法证明图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，可对D作出判断.
12．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】A、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
B、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
C、∵两三角形的对应角不一定相等，∴两三角形不相似，此选项符合题意；
D、∵两三角形对应边成比例且夹角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理“①有两个角对应相等的两个三角形相似；②两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似”对各选项进行逐一判定即可求解．
13．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
①，再结合∠A为△ABC和△ACD的公共角，可证明△ABC∽△ACD ，故①符合；
② ，再结合∠A为△ABC和△ACD的公共角，可证明△ABC∽△ACD ，故②符合；
③； AC和CD的夹角是∠ACD，AB和BC的夹角是∠B，∠ACD和∠B并不一定相等，所以不能证明△ABC∽△ACD ，故③不符合；
④由．可得，AC和AD的夹角是∠A，AB和AC的夹角是∠A，∠A为公共角，可证明 △ABC∽△ACD ， 故④符合.
故答案为：D.
【分析】
两角对应相等，两个三角形相似 ；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
①∠A为△ABC和△ACD的公共角，结合可判定△ABC∽△ACD；
②∠A为△ABC和△ACD的公共角，结合可判定△ABC∽△ACD；
③已知两组边对应成比例，但两边的夹角并不相等，所以不能判定△ABC∽△ACD；
④把变成比例式，再根据两边的夹角都为∠A，可判定△ABC∽△ACD。
14．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：方法一∵AC∥BD，
∴∠ACP=∠PDB，∠CAP=∠PBD，
∴△ACP∽△BDP，
∴，方法正确；
方法二：连接BC，AD，则BC∥AD，
∴∠BCP=∠PDA，∠CBP=∠PAD，
∴△BCP∽△ADP，
∴，方法正确；
故答案为：C.
【分析】根据题意得到三角形相似，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
15．【答案】∠B=∠1或
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】此题答案不唯一，如∠B=∠1或．
∵∠B=∠1，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
故答案为∠B=∠1或
【分析】本题考查相似三角形的判定.此题答案不唯一，根据已知条件是：∠A=∠A，若添加∠B=∠1，利用有两角对应相等的三角形相似，据此可证明△ADE∽△ABC；若添加，再结合∠A=∠A，利用两边对应成比例且夹角相等三角形相似，据此可证明△ADE∽△ABC.
16．【答案】③
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①，时，，故①不符合题意；
②，时，，故②不符合题意；
③，时，不能推出，故③符合题意；
④，时，，故④不符合题意，
故答案为：③
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
17．【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4.∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似.
故答案为： 4或9 .
【分析】此题需要分类讨论：①当△ADP∽△ACB时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长；②当△ADP∽△ABC时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长，综上所述即可得出答案.
18．【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∴若，可添加的一个条件是或或．
故答案为：或或．
【分析】先由根据等式性质推出，再根据相似三角形的判定方法“如果有两组角对应相等的两个三角形相似”可添加或；根据相似三角形的判定方法“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以添加.
19．【答案】（1）证明：
（2）解：由（1）得，
【知识点】相似三角形的性质；线段的中点；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理和AB=AC推出，即推出再根据一线三等角模型，可以推出
(2)由(1)中的可以得出：根据D 是BC的中点， 得出DB=CD，这样可以得出：再根据证明根据对应边成比例，可以得出即可.
1 / 1相似三角形的判定—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、对应角相等的两个三角形相似
得分
1．（2024九上·浙江期中）如图，△ABC的中线BD，CE交于点G，且△ABC的面积为12，则（ ）
A．∠ADE＝∠AEC B．BG＝2DG
C．CD2＝DG DB D．△DEG的面积为1.5
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ △ABC的中线BD，CE交于点G，
∴DE∥BC，，
∴∠ADE=∠ACB，∠AED=∠ABC，
∴△DEG∽△BCG，
∴，即 BG＝2DG ；故B正确；
∵D是AC的中点，
∴，
∵E是AB的中点，
∴，
又∵ BG＝2DG ，
∴，故D错误，
A，C选项无法得到，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线得到DE∥BC，，然后证明△DEG∽△BCG，即可得到B正确，然后分局三角形的中线分得的三角形面积是原三角形面积的一半得到，得到D错误，即可解题.
2．（2024九上·上海市期中）如图，在中，，是边上的高，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵是边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴， 即，
∴，
故答案为：B．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得， 即，再求出CD=2即可.
3．（2024九上·上海市月考）如图，已知，，，，则 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】结合对顶角相等，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△DEC，进而根据相似三角形对应边成比例解题即可．
4．（2024九上·浙江期中）如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数．
【答案】（1）证明：
（2）解：∵∠A＝20°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°－20°－40°＝120°，
∵∠ABD＝∠C＝40°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝120°－40°＝80°．
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等证明即可解题；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝120°，然后根据∠ABD＝∠C＝40°即可解题．
阅卷人 二、三边对应成比例的两个三角形相似
得分
5．△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是( ）
A．AB=c，AC=b，BC=a，DE=，EF=，DF=
B．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1
C．AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6
D．AB=，AC=，BC=，DE=，EF=3，DF=3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解解：A、不能推出三组对应边的比相等，这两个三角形不相似，A不符合题意；
B、∵AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1，
∴ AB：DF=1，AC：EF=1：6，BC：DE=1：6，
∴三组对应边的比不相等，这两个三角形不相似，B不符合题意；
C、∵AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6，
∴ AB：DF=AC：EF=BC：DE=1：2，
∴△ABC和△DEF相似，C符合题意；
D、AB=，AC=，BC=，DE=，EF=3，DF=3，
∴ AB：DE=：3，AC：EF=：3，BC：DF=：3，
∴三组对应边的比不相等，这两个三角形不相似，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
6．（2023九上·宁远期中）如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由图知：一定是钝角；
∵，
，，
，
，
，
，
只有点符合这样的要求，
故P点应该在处，
故答案为：．
【分析】根据三角形相似的判定求解。由图可知一定是钝角，若要，则，可据此进行判断．
7．（2020九上·柯桥月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，求证：△ADE∽△ACB.
【答案】证明：∵AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣7＝2，AE＝AC﹣CE＝6﹣3＝3，
∵ ， ，∴
又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用已知条件求出AD，AE的长，再求出AD与AC，AE与AB的比值，可得到这四条线段对应成比例；然后根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
阅卷人 三、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似
得分
8．下列各组条件中，能判定△ABC与△A'B'C'相似的是（ ）
A． B．，且∠A=∠C'
C．，且∠B=∠A' D．，且∠B=∠B'
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、，缺失一个条件，故A错误
B、，且∠A=∠C' ，虽满足两边对应成比例，但不是夹角，故B错误
C、两边对应成比例，且夹角相等，故C正确
D、两边对应成比例，但不是夹角，故D错误
故答案为：D.
【分析】
本题考查的是利用两边对应成比例，且夹角相等来判定两个三角形相似，两个条件缺一不可
A、两边对应成比例，但∠A不一定等于∠A'
B、∠ A与∠C'不是夹角
C、即满足两边对应成比例，又满足夹角相等
D、 ∠B与∠B'虽然相等，但不是夹角
9．（2023九上·慈利期中）如图，在中，，D是边上一点，．求证．
【答案】证明：∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】先证出，再结合，利用相似三角形的判定方法（两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）证出即可.
10．（2023九上·杭州期末）如图，△ABC的顶点均为网格中的格点.
（1）选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）.
（2）证明：△ADE∽△ABC.
【答案】（1）解：如图，△ADE就是所求的三角形，答案不唯一，
（2）证明：∵AD=2AB，AE=2AC，
∴，
又∵∠BAC=∠DAE，
∴△ △ADE∽△ABC .
【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）延长AB至点D使AD=2AB，延长AC至点E，使AE=2AC，再连接ED，△ADE就是所求的三角形；
（2）由作图过程易得，∠BAC=∠DAE，根据两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△ADE∽△ABC .
阅卷人 四、相似三角形的判定方法综合应用
得分
11．（2021九上·柯城月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故答案为：A不符合题意；
B、由两组对边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故答案为：B不符合题意；
C、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故答案为：C不符合题意；
D、无法证明图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故答案为：D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可对A，C作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对B作出判断；D选项中无法证明图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，可对D作出判断.
12．（2023九上·保定月考）如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】A、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
B、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
C、∵两三角形的对应角不一定相等，∴两三角形不相似，此选项符合题意；
D、∵两三角形对应边成比例且夹角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理“①有两个角对应相等的两个三角形相似；②两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似”对各选项进行逐一判定即可求解．
13．（2023九上·子陵月考） 如图所示，给出下列条件：
①；
②；
③；
④．
其中单独能够判定的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
①，再结合∠A为△ABC和△ACD的公共角，可证明△ABC∽△ACD ，故①符合；
② ，再结合∠A为△ABC和△ACD的公共角，可证明△ABC∽△ACD ，故②符合；
③； AC和CD的夹角是∠ACD，AB和BC的夹角是∠B，∠ACD和∠B并不一定相等，所以不能证明△ABC∽△ACD ，故③不符合；
④由．可得，AC和AD的夹角是∠A，AB和AC的夹角是∠A，∠A为公共角，可证明 △ABC∽△ACD ， 故④符合.
故答案为：D.
【分析】
两角对应相等，两个三角形相似 ；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
①∠A为△ABC和△ACD的公共角，结合可判定△ABC∽△ACD；
②∠A为△ABC和△ACD的公共角，结合可判定△ABC∽△ACD；
③已知两组边对应成比例，但两边的夹角并不相等，所以不能判定△ABC∽△ACD；
④把变成比例式，再根据两边的夹角都为∠A，可判定△ABC∽△ACD。
14．（2024九上·浙江期中）如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（ ）
A．只有方法1对 B．只有方法2对
C．方法1，2都对 D．方法1，2都错
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：方法一∵AC∥BD，
∴∠ACP=∠PDB，∠CAP=∠PBD，
∴△ACP∽△BDP，
∴，方法正确；
方法二：连接BC，AD，则BC∥AD，
∴∠BCP=∠PDA，∠CBP=∠PAD，
∴△BCP∽△ADP，
∴，方法正确；
故答案为：C.
【分析】根据题意得到三角形相似，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
15．（2024九上·井陉期末）如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件： ，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
【答案】∠B=∠1或
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】此题答案不唯一，如∠B=∠1或．
∵∠B=∠1，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
故答案为∠B=∠1或
【分析】本题考查相似三角形的判定.此题答案不唯一，根据已知条件是：∠A=∠A，若添加∠B=∠1，利用有两角对应相等的三角形相似，据此可证明△ADE∽△ABC；若添加，再结合∠A=∠A，利用两边对应成比例且夹角相等三角形相似，据此可证明△ADE∽△ABC.
16．（2023九上·江北开学考）如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2＝∠A；②∠1＝∠CBA；③；④中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是： （填序号）．
【答案】③
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①，时，，故①不符合题意；
②，时，，故②不符合题意；
③，时，不能推出，故③符合题意；
④，时，，故④不符合题意，
故答案为：③
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
17．（2019九上·无锡月考）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似.
【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4.∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似.
故答案为： 4或9 .
【分析】此题需要分类讨论：①当△ADP∽△ACB时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长；②当△ADP∽△ABC时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长，综上所述即可得出答案.
18．（2024九下·楚雄模拟）如图，，若，可添加的一个条件是 （填写一个条件即可）
【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∴若，可添加的一个条件是或或．
故答案为：或或．
【分析】先由根据等式性质推出，再根据相似三角形的判定方法“如果有两组角对应相等的两个三角形相似”可添加或；根据相似三角形的判定方法“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以添加.
19．（2024九下·临平模拟）如图1，在中，是BC的中点，点，点分别在AB，AC上，连结DE，DF.
（1）若求证：.
（2）如图2，在(1)的条件下，连结EF，若，求DE的值.
【答案】（1）证明：
（2）解：由（1）得，
【知识点】相似三角形的性质；线段的中点；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理和AB=AC推出，即推出再根据一线三等角模型，可以推出
(2)由(1)中的可以得出：根据D 是BC的中点， 得出DB=CD，这样可以得出：再根据证明根据对应边成比例，可以得出即可.
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