相似三角形的性质—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、对应角相等
得分
1．如图，若△ABC∽△DEF，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
2．（2023九上·秀峰期中）若，则 ．
3．（2024九上·昌平期中）如图，在矩形中，点分别在边上，，，，．
（1）求的长．
（2）求证：．
阅卷人 二、对应边成比例
得分
4．（2024九上·昌平期中），若，，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
5．（浙江省杭州市拱墅区文澜中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图，已知∠ABC＝∠D＝90°，AC＝10，BC＝6，若△ABC与△BDC相似，则BD＝ ．
6．（2024九上·杭州月考）如图，在中，，点在上，于点．
（1）求证：；
（2），且，求的长．
7．（2020九上·宝安期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 三、对应三线的比等于相似比
得分
8．（2024九下·杭州开学考）两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应边上中线之比是（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
9．（2023九上·合浦期中）两个相似三角形的面积之比是，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为 厘米．
10．（2021九上·黄浦期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 四、对应周长之比等于相似比
得分
11．（广东省深圳市福田区外国语学校（集团）2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题）如图，△ABC 和是以点 P 为位似中心的位似图形，若，△ABC 的周长为 6，则△的周长是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．3
12．（2023九上·永康月考）两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 ．
13．（2024九上·重庆市开学考）如图，与位似，点O为位似中心，已知，周长为8，则的周长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
阅卷人 五、对应面积之比等于相似比的平方
得分
14．（2024九上·蓬溪期末）如果两个相似三角形的周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024九上·宁波期中）如图，B，F，C三点共线，AC与BD交于点E，，若BF：CF＝5：7，则的值为 ．
16．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF=∠DBC，.
（1）求证：△ABC∽△AFD．
（2）若AD=2，BC=5，△ADE的面积为20，求△BCE的面积．
17．（2024九上·乐业期中）如图：把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA'是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
阅卷人 六、相似三角形的性质综合
得分
18．如果△ABC∽△DEF，点A，B分别对应点D，E，且AB：DE=1：2，那么下列等式中一定成立的是（ ）
A．BC：DE=1：2
B．△ABC的面积：△DEF的面积=1：2
C．∠A的度数：∠D的度数=1：2
D．△ABC的周长：ADEF的周长=1：2
19．（2024九上·金沙期末）如图，D，E分别是的边上的点，，，相交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2021九上·沈河期末）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
21．（2023九上·虹口期中）如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为 ．
22．（2024九上·进贤期末）已知，如图，矩形中，、分别是边、上的点，，，，若与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 .
23．（2023九上·义乌月考）矩形ABCD中，M，N分别是边AB，BC上的两个动点.
（1）如图，当 DM⊥ MN，AM=BM时. 求证：①△DAM∽△MBN；②DN=AD+BN.
（2）当 AB=5，BC=3 时，是否存在点 M的某个位置，使得△DAM∽△MBN∽△DCN，
若存在，求 AM的长. 若不存在，说明理由.
（3）是否存在矩形 ABCD，使得△DAM，△MBN，△DCN都和△DMN相似，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=50°，
∵ △ABC∽△DEF，
∴∠C=∠F=50°.
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理求出∠C的度数，再利用相似三角形的对应角相等即可求解.
2．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵，
∴∠D=∠A=30°，
故答案为：30°
【分析】根据相似三角形的性质（对应角相等）即可得到∠D=∠A=30°，进而即可求解。
3．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴在中，；
（2）证明：∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形的性质；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）根据相似三角形性质可得，代值计算可得DF=3，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴在中，；
（2）证明：∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
4．【答案】A
【知识点】相似比；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即相似比为；
故答案为：A
【分析】根据相似三角形相似比性质即可求出答案.
5．【答案】或
【知识点】勾股定理；数学思想；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在和中，，，这两个三角形相似，
∴当时，
∴，即
解得：，
当时，
∴，
∴，
∴由勾股定理可得，
则的长为或．
故答案为或．
【分析】根据相似三角形的性质当时，当时，分别求出即可．
6．【答案】（1）证明：于点，，
，
，
；
（2）解：，
，
，，，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据相似得到解题即可．
（1）证明：于点，，
，
，
；
（2）解：，
，
，，，
，
．
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
故A选项不合题意；
∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，
∴△ACD∽△CBD，
∴
故B选项不合题意；
∵AF⊥BG，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAB+∠GBA＝90°，
∵∠GDB＝90°，
∴∠G+∠GBA＝90°，
∴∠G＝∠FAB，
又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，
∴△ADE∽△GDB，
∴ ，
∴AD BD＝DE DG，
∵△ACD∽△CBD，
∴ ，
∴CD2＝AD BD，
∴CD2＝DE DG，
∴ ，
故C选项不合题意；
∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，
∴△GEF∽△GBD，
∴
故D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】通过证明△ACD∽△ABC，可得 ，通过证明△ACD∽△CBD，可得 ，通过△ADE∽△GDB，△ACD∽△CBD，可得 ，通过证明△GEF∽△GBD，可得 ，即可求解．
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴其对应边上中线之比是1：2，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
9．【答案】3
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个三角形面积比为9：25
∴两个三角形相似比为3：5
设另一三角形对应边上的高为x，
∴，
解得x=3
故答案为：3
【分析】先根据相似三角形的性质得到两个三角形相似比为3：5，设另一三角形对应边上的高为x，进而代入即可求解。
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线之比为1：4，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质可得它们的对应角平分线之比等于相似比且为1：4。
11．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若AP＝A1P，
∴△ABC的周长和△A1B1C1的周长比为1：2，
∴△A1B1C1的周长是12，
故答案为：A．
【分析】利用位似图形的性质可得△ABC的周长和△A1B1C1的周长比为1：2，再结合△ABC 的周长为 6，求出△A1B1C1的周长是12即可.
12．【答案】6
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x，
∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
∴两个相似三角形的周长比为2：3，
∴=，
解得，x=6，
∴较大三角形的周长为6，
故答案为：6．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可。
13．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，点O为位似中心，
∴，，
∵周长为8，
∴周长：的周长，
∴的周长为，
故答案为：C．
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，据此得△ABC∽△DEF，进而根据位似图形的位似比等于对应顶点到位似中心的距离比得AC∶DF=AO∶OD=2∶1，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答．
14．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由题意得这两个三角形的面积之比为，
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再根据题意可得，再根据相似三角形的性质，求解即可.
16．【答案】（1）证明：∵∠BAF=∠DBC，
∴∠BAF+∠ABF=∠DBC+∠ABF，
即∠AFD=∠ABC．
∵
∴△ABC∽△AFD．
（2）解：由(1)得△ABC∽△AFD，
∴∠ADE=∠ACB．
∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∵AD=2，BC=5，
∴
∵S△ADE=20，
∴S△BCE=125．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）由题意可得∠AFD=∠ABC，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）由相似三角形性质可得∠ADE=∠ACB．再根据∠AED=∠BEC，即可根据相似三角形判定定理得△AED∽△BEC，则，即可求出答案.
17．【答案】A
【知识点】平移的性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设BC与A'C'交于点E，
由平移的性质知，AC//A'C'
∴△BEA'∽△BCA
∴S△BEA'：S△BCA=A'B2：AB2=1：2
∵AB=
∴A'B=1
∴AA'=AB-A'B=-1
故答案为：A
【分析】设BC与A'C'交于点E，根据平移性质可得AC//A'C'，再根据相似三角形判定定理可得△BEA'∽△BCA，则S△BEA'：S△BCA=A'B2：AB2=1：2，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：
A：BC：DE=1：2， BC是和EF是对应的，BC：EF＝AB：DE＝1：2，只有当EF＝DE时才能成立。∴A错误；
B：△ABC的面积：△DEF的面积=1：2，面积比等于相似比的平方，△ABC的面积：△DEF的面积=1：4，∴B错误；
C：∠A的度数：∠D的度数=1：2，两三角形相似对应角是相等的，∴C错误；
D：△ABC的周长：ADEF的周长=1：2，两三角形相似，周长比等于相似比，D正确。
故答案为：D
【分析】两三角形相似，对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。要根据相似三角形的这些性质进行判断，注意找准对应边，对应角。
19．【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴.
故答案为：C。
【分析】首先根据同高的两个三角形的性质得出，进一步求得，然后根据相似三角形的性质即可得出则.
20．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴ ，A选项正确；
∴ ，B选项错误；
∴ ，C选项错误；
∴OA：OC＝3：2，D选项错误.
故答案为：A.
【分析】A、由相似三角形的周长的比等于相似比可判断A；
B、由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可判断B；
C、由相似三角形的对应边之比相等可判断C；
D、由相似三角形的对应边之比相等可判断D.
21．【答案】1：4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 两个相似三角形的周长之比1：4，
∴它们的相似比为1：4，
∴ 它们的某一对对应角的角平分线之比为1：4.
故答案为：1：4.
【分析】相似三角形对应线段的比等于相似比，据此解答即可.
22．【答案】2或6或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
三角形相似有两种情况
当时
解得BE=2或6
当时
解得
综上，BE=2或6或
故答案为：2或6或
【分析】根据题意分析图，由相似三角形的性质易证得BE的长为2或6，特别容易忽略第二个三角形相似的情况；题中说与以、、为顶点的三角形相似，因为直角已定，另两组角对应相等有两种情况，故对应线段成比例也有两种情况。
23．【答案】（1）解：①∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠DAM+∠AMD=90°，
∵DM⊥MN，
∴∠DMN=90°，
∴∠AMD+∠BMN=90°，
∴∠ADM=∠BMN，
∴△DAM∽△MBN；
②过点M作MG⊥DN于点G，
∵△DAM∽△MBN，
∴，
∵AM=BM，
∴，
∵∠A=∠DMN=90°，
∴△DAM∽△DMN，
∴∠ADM=∠MDN，
∵∠A=∠DGM，
∴∠DMA=∠DMG，
∵AD⊥AB，MG⊥DN，
∴AD=DG，
同理可知BN=NG
∴DN=DG+NG=AD+BN.
（2）解：存在，AM=1
设AM=x，则BM=5-x，
∵△DAM ∽△MBN ∽△DCN，
∴
∴即，
由①×②得
∴，
∴
解之：x1=1，x2=9（舍去），
∴AM=1.
（3）解：存在，
设AD=1，AB=2m，
由（1）可知，
点M是AB的中点时，△DAM∽△MBN∽△DMN，
∴AM=BM=m，
由（2）可知
当△DAM∽△MBN∽△DCN时，
即，
∵m＞0
解之：，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）①利用矩形的性质和垂直的定义可证得∠A=∠B=90°，∠DMN=90°，利用余角的性质可推出∠ADM=∠BMN，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论；②过点M作MG⊥DN于点G，利用相似三角形的性质可证得，由AM=BM，可证得，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△DAM∽△DMN，利用相似三角形的对应角相等，可证得∠ADM=∠MDN，可推出∠DMA=∠DMG，利用角平分线的性质可证得AD=DG，同理可得到BN=NG，据此可证得结论.
（2）设AM=x，则BM=5-x，利用相似三角形的性质可证得，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AM的长.
（3）设AD=1，AB=2m，由（1）可表示出AM，BM的长，由（2），利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
1 / 1相似三角形的性质—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、对应角相等
得分
1．如图，若△ABC∽△DEF，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=50°，
∵ △ABC∽△DEF，
∴∠C=∠F=50°.
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理求出∠C的度数，再利用相似三角形的对应角相等即可求解.
2．（2023九上·秀峰期中）若，则 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵，
∴∠D=∠A=30°，
故答案为：30°
【分析】根据相似三角形的性质（对应角相等）即可得到∠D=∠A=30°，进而即可求解。
3．（2024九上·昌平期中）如图，在矩形中，点分别在边上，，，，．
（1）求的长．
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴在中，；
（2）证明：∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形的性质；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）根据相似三角形性质可得，代值计算可得DF=3，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴在中，；
（2）证明：∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
阅卷人 二、对应边成比例
得分
4．（2024九上·昌平期中），若，，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似比；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即相似比为；
故答案为：A
【分析】根据相似三角形相似比性质即可求出答案.
5．（浙江省杭州市拱墅区文澜中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图，已知∠ABC＝∠D＝90°，AC＝10，BC＝6，若△ABC与△BDC相似，则BD＝ ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；数学思想；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在和中，，，这两个三角形相似，
∴当时，
∴，即
解得：，
当时，
∴，
∴，
∴由勾股定理可得，
则的长为或．
故答案为或．
【分析】根据相似三角形的性质当时，当时，分别求出即可．
6．（2024九上·杭州月考）如图，在中，，点在上，于点．
（1）求证：；
（2），且，求的长．
【答案】（1）证明：于点，，
，
，
；
（2）解：，
，
，，，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据相似得到解题即可．
（1）证明：于点，，
，
，
；
（2）解：，
，
，，，
，
．
7．（2020九上·宝安期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
故A选项不合题意；
∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，
∴△ACD∽△CBD，
∴
故B选项不合题意；
∵AF⊥BG，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAB+∠GBA＝90°，
∵∠GDB＝90°，
∴∠G+∠GBA＝90°，
∴∠G＝∠FAB，
又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，
∴△ADE∽△GDB，
∴ ，
∴AD BD＝DE DG，
∵△ACD∽△CBD，
∴ ，
∴CD2＝AD BD，
∴CD2＝DE DG，
∴ ，
故C选项不合题意；
∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，
∴△GEF∽△GBD，
∴
故D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】通过证明△ACD∽△ABC，可得 ，通过证明△ACD∽△CBD，可得 ，通过△ADE∽△GDB，△ACD∽△CBD，可得 ，通过证明△GEF∽△GBD，可得 ，即可求解．
阅卷人 三、对应三线的比等于相似比
得分
8．（2024九下·杭州开学考）两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应边上中线之比是（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴其对应边上中线之比是1：2，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
9．（2023九上·合浦期中）两个相似三角形的面积之比是，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为 厘米．
【答案】3
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个三角形面积比为9：25
∴两个三角形相似比为3：5
设另一三角形对应边上的高为x，
∴，
解得x=3
故答案为：3
【分析】先根据相似三角形的性质得到两个三角形相似比为3：5，设另一三角形对应边上的高为x，进而代入即可求解。
10．（2021九上·黄浦期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线之比为1：4，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质可得它们的对应角平分线之比等于相似比且为1：4。
阅卷人 四、对应周长之比等于相似比
得分
11．（广东省深圳市福田区外国语学校（集团）2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题）如图，△ABC 和是以点 P 为位似中心的位似图形，若，△ABC 的周长为 6，则△的周长是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．3
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若AP＝A1P，
∴△ABC的周长和△A1B1C1的周长比为1：2，
∴△A1B1C1的周长是12，
故答案为：A．
【分析】利用位似图形的性质可得△ABC的周长和△A1B1C1的周长比为1：2，再结合△ABC 的周长为 6，求出△A1B1C1的周长是12即可.
12．（2023九上·永康月考）两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 ．
【答案】6
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x，
∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
∴两个相似三角形的周长比为2：3，
∴=，
解得，x=6，
∴较大三角形的周长为6，
故答案为：6．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可。
13．（2024九上·重庆市开学考）如图，与位似，点O为位似中心，已知，周长为8，则的周长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，点O为位似中心，
∴，，
∵周长为8，
∴周长：的周长，
∴的周长为，
故答案为：C．
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，据此得△ABC∽△DEF，进而根据位似图形的位似比等于对应顶点到位似中心的距离比得AC∶DF=AO∶OD=2∶1，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答．
阅卷人 五、对应面积之比等于相似比的平方
得分
14．（2024九上·蓬溪期末）如果两个相似三角形的周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由题意得这两个三角形的面积之比为，
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
15．（2024九上·宁波期中）如图，B，F，C三点共线，AC与BD交于点E，，若BF：CF＝5：7，则的值为 ．
【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再根据题意可得，再根据相似三角形的性质，求解即可.
16．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF=∠DBC，.
（1）求证：△ABC∽△AFD．
（2）若AD=2，BC=5，△ADE的面积为20，求△BCE的面积．
【答案】（1）证明：∵∠BAF=∠DBC，
∴∠BAF+∠ABF=∠DBC+∠ABF，
即∠AFD=∠ABC．
∵
∴△ABC∽△AFD．
（2）解：由(1)得△ABC∽△AFD，
∴∠ADE=∠ACB．
∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∵AD=2，BC=5，
∴
∵S△ADE=20，
∴S△BCE=125．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）由题意可得∠AFD=∠ABC，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）由相似三角形性质可得∠ADE=∠ACB．再根据∠AED=∠BEC，即可根据相似三角形判定定理得△AED∽△BEC，则，即可求出答案.
17．（2024九上·乐业期中）如图：把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA'是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】平移的性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设BC与A'C'交于点E，
由平移的性质知，AC//A'C'
∴△BEA'∽△BCA
∴S△BEA'：S△BCA=A'B2：AB2=1：2
∵AB=
∴A'B=1
∴AA'=AB-A'B=-1
故答案为：A
【分析】设BC与A'C'交于点E，根据平移性质可得AC//A'C'，再根据相似三角形判定定理可得△BEA'∽△BCA，则S△BEA'：S△BCA=A'B2：AB2=1：2，再根据边之间的关系即可求出答案.
阅卷人 六、相似三角形的性质综合
得分
18．如果△ABC∽△DEF，点A，B分别对应点D，E，且AB：DE=1：2，那么下列等式中一定成立的是（ ）
A．BC：DE=1：2
B．△ABC的面积：△DEF的面积=1：2
C．∠A的度数：∠D的度数=1：2
D．△ABC的周长：ADEF的周长=1：2
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：
A：BC：DE=1：2， BC是和EF是对应的，BC：EF＝AB：DE＝1：2，只有当EF＝DE时才能成立。∴A错误；
B：△ABC的面积：△DEF的面积=1：2，面积比等于相似比的平方，△ABC的面积：△DEF的面积=1：4，∴B错误；
C：∠A的度数：∠D的度数=1：2，两三角形相似对应角是相等的，∴C错误；
D：△ABC的周长：ADEF的周长=1：2，两三角形相似，周长比等于相似比，D正确。
故答案为：D
【分析】两三角形相似，对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。要根据相似三角形的这些性质进行判断，注意找准对应边，对应角。
19．（2024九上·金沙期末）如图，D，E分别是的边上的点，，，相交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴.
故答案为：C。
【分析】首先根据同高的两个三角形的性质得出，进一步求得，然后根据相似三角形的性质即可得出则.
20．（2021九上·沈河期末）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴ ，A选项正确；
∴ ，B选项错误；
∴ ，C选项错误；
∴OA：OC＝3：2，D选项错误.
故答案为：A.
【分析】A、由相似三角形的周长的比等于相似比可判断A；
B、由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可判断B；
C、由相似三角形的对应边之比相等可判断C；
D、由相似三角形的对应边之比相等可判断D.
21．（2023九上·虹口期中）如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为 ．
【答案】1：4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 两个相似三角形的周长之比1：4，
∴它们的相似比为1：4，
∴ 它们的某一对对应角的角平分线之比为1：4.
故答案为：1：4.
【分析】相似三角形对应线段的比等于相似比，据此解答即可.
22．（2024九上·进贤期末）已知，如图，矩形中，、分别是边、上的点，，，，若与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 .
【答案】2或6或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
三角形相似有两种情况
当时
解得BE=2或6
当时
解得
综上，BE=2或6或
故答案为：2或6或
【分析】根据题意分析图，由相似三角形的性质易证得BE的长为2或6，特别容易忽略第二个三角形相似的情况；题中说与以、、为顶点的三角形相似，因为直角已定，另两组角对应相等有两种情况，故对应线段成比例也有两种情况。
23．（2023九上·义乌月考）矩形ABCD中，M，N分别是边AB，BC上的两个动点.
（1）如图，当 DM⊥ MN，AM=BM时. 求证：①△DAM∽△MBN；②DN=AD+BN.
（2）当 AB=5，BC=3 时，是否存在点 M的某个位置，使得△DAM∽△MBN∽△DCN，
若存在，求 AM的长. 若不存在，说明理由.
（3）是否存在矩形 ABCD，使得△DAM，△MBN，△DCN都和△DMN相似，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：①∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠DAM+∠AMD=90°，
∵DM⊥MN，
∴∠DMN=90°，
∴∠AMD+∠BMN=90°，
∴∠ADM=∠BMN，
∴△DAM∽△MBN；
②过点M作MG⊥DN于点G，
∵△DAM∽△MBN，
∴，
∵AM=BM，
∴，
∵∠A=∠DMN=90°，
∴△DAM∽△DMN，
∴∠ADM=∠MDN，
∵∠A=∠DGM，
∴∠DMA=∠DMG，
∵AD⊥AB，MG⊥DN，
∴AD=DG，
同理可知BN=NG
∴DN=DG+NG=AD+BN.
（2）解：存在，AM=1
设AM=x，则BM=5-x，
∵△DAM ∽△MBN ∽△DCN，
∴
∴即，
由①×②得
∴，
∴
解之：x1=1，x2=9（舍去），
∴AM=1.
（3）解：存在，
设AD=1，AB=2m，
由（1）可知，
点M是AB的中点时，△DAM∽△MBN∽△DMN，
∴AM=BM=m，
由（2）可知
当△DAM∽△MBN∽△DCN时，
即，
∵m＞0
解之：，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）①利用矩形的性质和垂直的定义可证得∠A=∠B=90°，∠DMN=90°，利用余角的性质可推出∠ADM=∠BMN，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论；②过点M作MG⊥DN于点G，利用相似三角形的性质可证得，由AM=BM，可证得，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△DAM∽△DMN，利用相似三角形的对应角相等，可证得∠ADM=∠MDN，可推出∠DMA=∠DMG，利用角平分线的性质可证得AD=DG，同理可得到BN=NG，据此可证得结论.
（2）设AM=x，则BM=5-x，利用相似三角形的性质可证得，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AM的长.
（3）设AD=1，AB=2m，由（1）可表示出AM，BM的长，由（2），利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
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