相似多边形—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2017九上·鄞州月考）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：
【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵两个相似多边形面积的比为1：5
∴它们的相似比为：1：.
故答案为：D.
【分析】根据相似多边形的性质：面积比等于相似比的平方，即可得出答案.
2．（2024九上·杭州月考）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大了9倍，
∴成本扩大9倍，为
故答案为：C.
【分析】根据题意得到广告牌的面积扩大了9倍，进而即可求解.
3．（2023九上·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，M和N分别为AB和CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形MNCB，那么他们的相似比为（ ）
A． B． C．2：1 D．1：1
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵M和N分别为AB和CD的中点，
∴矩形ABCD的面积是矩形MNCB的面积的2倍，
∵果矩形ABCD∽矩形MNCB
∴矩形ABCD与矩形MNCB的相似比为 .
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的性质，面积的比是相似比的平方，即可得解.
4．图中，有三个矩形，其中相似的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．没有相似的矩形
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：三个矩形的角都是直角， 甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2.5=3：5，1：1.5=2：3，
∴甲和丙相似，
故选B．
【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．
5．（2023九上·宁波期末）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件（ ）
A．四边形和四边形的面积之差
B．四边形和四边形的面积之差
C．四边形和四边形的面积之差
D．四边形和四边形的面积之差
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似多边形
【解析】【解答】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
四边形ABCD四边形HGFA，相似比，
，，，
则，，
，
，选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，根据相似多边形的性质并结合相似比k=3得，CD=3AF=SME，BC=3FG=3BJ，△BCD∽△BJI，从而找出对应图形的面积关系为，，再结合即可得出正确的选项.
6．（2023九上·慈溪期末）一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形.设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：设 ，
则 ，
依题意得：
，
矩形 矩形 ，
，
，
整理得 ，
这个大矩形的面积为：
故答案为：D.
【分析】设BC=a，CD=b，AE=c，IE=d，则ab=m，cd=n，由题意可得BG=a-d，BE=c-b，由相似图形的性质可得 ，代入并整理可得ac+bd=2ab，则这个大矩形的面积为(a+d)(b+c)=ab+cd+(ac+bd)，据此解答.
7．（2023九上·鄞州期末）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，连接相交于点I，且，，矩形矩形，连接交于点P，Q，下列一定能求出面积的条件是（ ）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
故答案为：A.
【分析】设AE=a，BG=b，由矩形的性质及相似矩形的性质设ED=ka，AG=kb，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CHP∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得PH=a，进而根据S△DPQ=S△DPC-S△DCQ，S矩形BGIF=ab，S矩形EDHI=k2ab，即可得出答案.
8．（2023九上·瑞安月考）剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形的面积为，图中阴影部分面积，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OD1，OE1，OF1，
∵正八边形是轴对称图形，
故AD=CD=AE=BE=BF，∠D1CD=∠D1AD=∠E1AB=∠E1BA=∠F1BF=45°，
∴AC=AB，∠CAB=135°，
同理可得，阴影部分的八条边都相等，每一个内角都等于135°，
即阴影部分是正八边形，
则阴影八边形与正八边形A1B1C1D1E1F1G1H1相似，
故阴影八边形与正八边形A1B1C1D1E1F1G1H1的面积比等于相似比的平方，
设AE=BE=AD=a，
∵四边形D1F1H1B1是正方形，
∴∠AD1C=90°，
同理可得，∠AE1B=90°，
∴AD=DD1=a，AE=EE1=a，
则，
，
故；
故答案为：B.
【分析】结合题意和正八边形的对称性可推得阴影部分是正八边形，根据两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，设AE=BE=AD=a，结合正方形的性质和直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方即可求得D1E12的值，结合相似多边形面积比等于相似比的平方即可求解.
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，
∴.
∵矩形AFED与原矩形ABCD相似，
∴，
∴
故
故答案为：.
【分析】根据矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形， 知道小矩形与大矩形的面积比为1：3，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可以得到相似比，从而可得长边与短边的比值.
10．（2020九上·海曙期末）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为 。
【答案】1
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形EBCF∽矩形BCDA，
∴，EF=AD=2
∴
解之：CF=1.
故答案为：1.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例，据此列出比例式，就可求出CF的长。
11．某多边形草坪的面积为4000m2，在市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是 cm．
【答案】10
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设设计图纸上的长度是xcm，
4000m2=40000000cm2， 40m=4000cm，
∴
解得：x=10cm
故答案为：10.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.
12．（2021九上·椒江期末）如图，把矩形Ⅰ、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的 L 型放入矩形 ABCD 中.矩形Ⅰ的一个顶点落在 L 型中正方形的顶点 E 处，其他顶点在矩形 ABCD 的边上； L 型中的正方形有三个顶点恰好在矩形
ABCD 的边上，另有一个顶点和小正方形顶点合.若矩形Ⅰ与矩形
ABCD相似，则 AB：BC 的值为 .
【答案】 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，
在Rt△IJH中，JH= a，
∵四边形ABCD和四边形MEFD是矩形，四边形NBLK是矩形，
4个完全相同的小正方形组成的L型模板如图放置，
∴∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，
∴∠LKJ+∠LJK=∠IJH+∠IHJ=∠GHC+∠HGC=∠EGF+∠GEF=90°，
∠KJL+∠IJH=∠IHJ+∠GHC=∠EGF+∠HGC=90°，
∴∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，
∴△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，
∴BL=KL=HC，LJ=GC，
，
，
即
，
，
∴FG=
，EF=
，BL=KL=HC=
，LJ=GC=
，
∴CD=DF+FG+GC=x+
=
，
BC=BL+LJ+JH+HC=
+
=
，
当矩形MEFD∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
，
AB：BC 的值为
；
当矩形MDFE∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
(负值已舍)，
AB：BC 的值为
；
故答案为：
或
.
【分析】设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，由勾股定理得JH= a，根据矩形的性质得∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，由同角的余角相等得∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，证△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，根据全等三角形的性质可得BL=KL=HC，LJ=GC，根据相似三角形的性质可得FG、EF，进而得到BL、LJ、CD、BC，根据相似矩形的对应边成比例可得x的值，进而可得AB：BC的值.
阅卷人 三、解答题
得分
13．（2024九上·宁波期中）如图，已知四边形ABCD相似于四边形，求∠A的度数及x的值．
【答案】解：由题意可得， 四边形ABCD相似于四边形
∴，，即，
解得；
；
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据相似多边形的性质，对应边成比例，对应角相等，求解即可.
14．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
【答案】（1）解：不相似，理由如下：
∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
∴，
∴
∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D' 不相似；
（2）解：若矩形ABCD和矩形相似，则或，即，或，解得或.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】 （1）因为矩形的对应角都相等，只需证明两个矩形的对应边是否成比例即可判断，根据题中的数据计算可得矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似；
（2）由题知两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，根据对应边成比例，可列式即可求出x的值．
15．已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）求证：F点是AD的黄金分割点．
【答案】证明：（1）∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°，∴四边形ABEF是矩形，由折叠的性质可知AB=AF，∴四边形ABEF是正方形；（2）∵四边形EFDC与矩形ABCD相似∴=，又AB=CD，∴AB2=FD AD，又AB=AF，∴AF2=FD AD，∴F点是AD的黄金分割点．
【知识点】正方形的判定；相似多边形
【解析】【分析】（1）根据题意证明四边形ABEF是矩形，根据折叠的性质得到AB=AF，证明结论；
（2）根据相似多边形的性质得到AB2=FD AD，根据正方形的性质得到答案．
16．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(1，3)，B(1，1)，C(3，2)，D(2，3)．
（1）将四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到一个新的四边形EFGH．在图中画出四边形EFGH．
（2）从四边形ABCD到四边形EFGH属于什么图形变化？
（3）对于这两个四边形，你能得出什么结论？请写出三条你认为正确的结论．
【答案】（1）解：如图所示： 四边形EFGH即为所求，
（2）解：从四边形ABCD到四边形EFGH属于相似变化；
（3）解：这两个四边形的相似比为：1：2，面积比为：1：4，对应边平行，对应顶点连线相交于一点．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）首先根据题意分别求出四边形ABCD的对应点E，F，G，H的坐标，然后描点连线即可解答；
（2）根据相似多边形的定义即可解答；
（3）利用相似多边形的性质可得出这两个四边形的相似比、面积比等相关结论．
17．（2023九下·秦淮月考）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为 .
【答案】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
同理，.
∴.
∵
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是菱形.
（2）
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似多边形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAF，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠EAF=∠AEB，则∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，同理可得AB=AF，则BE=AF，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：四边形ABEF是菱形，则AB=BE=EF=FA，根据平行四边形的性质可得FD=CE，EF=CD，则AB=BE=EF=FA=CD，使劲儿FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则BC=x+y，根据相似图形的对应边成比例可得x，据此求解.
1 / 1相似多边形—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2017九上·鄞州月考）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：
2．（2024九上·杭州月考）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
3．（2023九上·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，M和N分别为AB和CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形MNCB，那么他们的相似比为（ ）
A． B． C．2：1 D．1：1
4．图中，有三个矩形，其中相似的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．没有相似的矩形
5．（2023九上·宁波期末）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件（ ）
A．四边形和四边形的面积之差
B．四边形和四边形的面积之差
C．四边形和四边形的面积之差
D．四边形和四边形的面积之差
6．（2023九上·慈溪期末）一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形.设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·鄞州期末）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，连接相交于点I，且，，矩形矩形，连接交于点P，Q，下列一定能求出面积的条件是（ ）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
8．（2023九上·瑞安月考）剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形的面积为，图中阴影部分面积，则的值为（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
10．（2020九上·海曙期末）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为 。
11．某多边形草坪的面积为4000m2，在市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是 cm．
12．（2021九上·椒江期末）如图，把矩形Ⅰ、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的 L 型放入矩形 ABCD 中.矩形Ⅰ的一个顶点落在 L 型中正方形的顶点 E 处，其他顶点在矩形 ABCD 的边上； L 型中的正方形有三个顶点恰好在矩形
ABCD 的边上，另有一个顶点和小正方形顶点合.若矩形Ⅰ与矩形
ABCD相似，则 AB：BC 的值为 .
阅卷人 三、解答题
得分
13．（2024九上·宁波期中）如图，已知四边形ABCD相似于四边形，求∠A的度数及x的值．
14．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
15．已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）求证：F点是AD的黄金分割点．
16．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(1，3)，B(1，1)，C(3，2)，D(2，3)．
（1）将四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到一个新的四边形EFGH．在图中画出四边形EFGH．
（2）从四边形ABCD到四边形EFGH属于什么图形变化？
（3）对于这两个四边形，你能得出什么结论？请写出三条你认为正确的结论．
17．（2023九下·秦淮月考）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵两个相似多边形面积的比为1：5
∴它们的相似比为：1：.
故答案为：D.
【分析】根据相似多边形的性质：面积比等于相似比的平方，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大了9倍，
∴成本扩大9倍，为
故答案为：C.
【分析】根据题意得到广告牌的面积扩大了9倍，进而即可求解.
3．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵M和N分别为AB和CD的中点，
∴矩形ABCD的面积是矩形MNCB的面积的2倍，
∵果矩形ABCD∽矩形MNCB
∴矩形ABCD与矩形MNCB的相似比为 .
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的性质，面积的比是相似比的平方，即可得解.
4．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：三个矩形的角都是直角， 甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2.5=3：5，1：1.5=2：3，
∴甲和丙相似，
故选B．
【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似多边形
【解析】【解答】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
四边形ABCD四边形HGFA，相似比，
，，，
则，，
，
，选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，根据相似多边形的性质并结合相似比k=3得，CD=3AF=SME，BC=3FG=3BJ，△BCD∽△BJI，从而找出对应图形的面积关系为，，再结合即可得出正确的选项.
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：设 ，
则 ，
依题意得：
，
矩形 矩形 ，
，
，
整理得 ，
这个大矩形的面积为：
故答案为：D.
【分析】设BC=a，CD=b，AE=c，IE=d，则ab=m，cd=n，由题意可得BG=a-d，BE=c-b，由相似图形的性质可得 ，代入并整理可得ac+bd=2ab，则这个大矩形的面积为(a+d)(b+c)=ab+cd+(ac+bd)，据此解答.
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
故答案为：A.
【分析】设AE=a，BG=b，由矩形的性质及相似矩形的性质设ED=ka，AG=kb，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CHP∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得PH=a，进而根据S△DPQ=S△DPC-S△DCQ，S矩形BGIF=ab，S矩形EDHI=k2ab，即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OD1，OE1，OF1，
∵正八边形是轴对称图形，
故AD=CD=AE=BE=BF，∠D1CD=∠D1AD=∠E1AB=∠E1BA=∠F1BF=45°，
∴AC=AB，∠CAB=135°，
同理可得，阴影部分的八条边都相等，每一个内角都等于135°，
即阴影部分是正八边形，
则阴影八边形与正八边形A1B1C1D1E1F1G1H1相似，
故阴影八边形与正八边形A1B1C1D1E1F1G1H1的面积比等于相似比的平方，
设AE=BE=AD=a，
∵四边形D1F1H1B1是正方形，
∴∠AD1C=90°，
同理可得，∠AE1B=90°，
∴AD=DD1=a，AE=EE1=a，
则，
，
故；
故答案为：B.
【分析】结合题意和正八边形的对称性可推得阴影部分是正八边形，根据两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，设AE=BE=AD=a，结合正方形的性质和直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方即可求得D1E12的值，结合相似多边形面积比等于相似比的平方即可求解.
9．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，
∴.
∵矩形AFED与原矩形ABCD相似，
∴，
∴
故
故答案为：.
【分析】根据矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形， 知道小矩形与大矩形的面积比为1：3，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可以得到相似比，从而可得长边与短边的比值.
10．【答案】1
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形EBCF∽矩形BCDA，
∴，EF=AD=2
∴
解之：CF=1.
故答案为：1.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例，据此列出比例式，就可求出CF的长。
11．【答案】10
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设设计图纸上的长度是xcm，
4000m2=40000000cm2， 40m=4000cm，
∴
解得：x=10cm
故答案为：10.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.
12．【答案】 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，
在Rt△IJH中，JH= a，
∵四边形ABCD和四边形MEFD是矩形，四边形NBLK是矩形，
4个完全相同的小正方形组成的L型模板如图放置，
∴∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，
∴∠LKJ+∠LJK=∠IJH+∠IHJ=∠GHC+∠HGC=∠EGF+∠GEF=90°，
∠KJL+∠IJH=∠IHJ+∠GHC=∠EGF+∠HGC=90°，
∴∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，
∴△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，
∴BL=KL=HC，LJ=GC，
，
，
即
，
，
∴FG=
，EF=
，BL=KL=HC=
，LJ=GC=
，
∴CD=DF+FG+GC=x+
=
，
BC=BL+LJ+JH+HC=
+
=
，
当矩形MEFD∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
，
AB：BC 的值为
；
当矩形MDFE∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
(负值已舍)，
AB：BC 的值为
；
故答案为：
或
.
【分析】设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，由勾股定理得JH= a，根据矩形的性质得∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，由同角的余角相等得∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，证△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，根据全等三角形的性质可得BL=KL=HC，LJ=GC，根据相似三角形的性质可得FG、EF，进而得到BL、LJ、CD、BC，根据相似矩形的对应边成比例可得x的值，进而可得AB：BC的值.
13．【答案】解：由题意可得， 四边形ABCD相似于四边形
∴，，即，
解得；
；
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据相似多边形的性质，对应边成比例，对应角相等，求解即可.
14．【答案】（1）解：不相似，理由如下：
∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
∴，
∴
∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D' 不相似；
（2）解：若矩形ABCD和矩形相似，则或，即，或，解得或.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】 （1）因为矩形的对应角都相等，只需证明两个矩形的对应边是否成比例即可判断，根据题中的数据计算可得矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似；
（2）由题知两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，根据对应边成比例，可列式即可求出x的值．
15．【答案】证明：（1）∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°，∴四边形ABEF是矩形，由折叠的性质可知AB=AF，∴四边形ABEF是正方形；（2）∵四边形EFDC与矩形ABCD相似∴=，又AB=CD，∴AB2=FD AD，又AB=AF，∴AF2=FD AD，∴F点是AD的黄金分割点．
【知识点】正方形的判定；相似多边形
【解析】【分析】（1）根据题意证明四边形ABEF是矩形，根据折叠的性质得到AB=AF，证明结论；
（2）根据相似多边形的性质得到AB2=FD AD，根据正方形的性质得到答案．
16．【答案】（1）解：如图所示： 四边形EFGH即为所求，
（2）解：从四边形ABCD到四边形EFGH属于相似变化；
（3）解：这两个四边形的相似比为：1：2，面积比为：1：4，对应边平行，对应顶点连线相交于一点．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）首先根据题意分别求出四边形ABCD的对应点E，F，G，H的坐标，然后描点连线即可解答；
（2）根据相似多边形的定义即可解答；
（3）利用相似多边形的性质可得出这两个四边形的相似比、面积比等相关结论．
17．【答案】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
同理，.
∴.
∵
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是菱形.
（2）
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似多边形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAF，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠EAF=∠AEB，则∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，同理可得AB=AF，则BE=AF，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：四边形ABEF是菱形，则AB=BE=EF=FA，根据平行四边形的性质可得FD=CE，EF=CD，则AB=BE=EF=FA=CD，使劲儿FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则BC=x+y，根据相似图形的对应边成比例可得x，据此求解.
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