三角形的重心—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024九下·宁波月考）如图所示，在中，点D是斜边AB的中点，点G是的重心，于点E，若，那么GE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连结BG并延长交AC与F点，
∵G点是三角形的重心，
∴BG=2FG，
∵EG⊥AC，
∴∠GEA=∠BCA=90°，
∴EG∥BC，
∴△FGE∽△FBC
∴==，
∵BC=6cm，
∴GE=2cm，
故答案为：B.
【分析】连结BG并延长交AC与F点，根据重心定理BG=2FG，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得EG∥BC，再由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△FGE∽△FBC，进而根据相似三角形对应边，得到==，即可求解.
2．（2022九上·义乌期中）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵G是重心，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AC，
∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，
∵DE＝2，
∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12，
故答案为：A.
【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.
3．（2024九下·温州模拟）如图，在Rt中，，点为斜边上的中点，点为的重心，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BG并延长与AC相交于E，连接DE.
∵点为的重心，
∴E是AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴，
∴
∴
∵在Rt中，，
∴AB=
∴CD=
∴.
故答案为：C.
【分析】根据重心的定义和相似三角形的判定与性质，可以确定，再又勾股定理和直角三角形斜边中线的性质计算出CD的长，从而求出CG.
4．（2021九上·江干月考）如图，AE，CF分别是等腰Rt△ABC中CB、AB边上的中线，相交于点G，若斜边AB的长为6，则AG长为（ ）
A．3 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的重心及应用；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，F是AB的中点，CA=CB，
∴CF=AF= AB=3，CF⊥AB，
∵△ABC的中线AE，CF相交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴GF= CF=1，
由勾股定理得，AG= .
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质以及等腰三角形的性质可得CF=AF=AB=3，CF⊥AB，易得点G是△ABC的重心，则GF=CF=1，然后在Rt△AGF中，应用勾股定理求解即可.
5．（2024九上·嘉兴期末）如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图：连接PC，
∵ 点是等边三角形ABC的重心，
∴BD平分∠ABC，PC平分∠ACB，BD⊥AC，
∵三角形ABC是等边三角形，AB=3，
∴∠PBC=∠PCB=PCD=30°，.
∴，
∵PQ⊥BP，
∴∠BPQ=∠ADC=90°，
∴PQ//CD.
∴，即
∴BQ=2.
故答案为：D.
【分析】根据点是等边三角形ABC的重心，可得BD平分∠ABC，BD⊥AC.连接PC，有PC平分∠ACB，PC=PB，于是可根据∠PCD=30°，AB=3，求出PD，PC的长.根据PQ⊥BP，可得PQ//CD.根据平行线分线段成比例即可求出BQ的长.
6．（2023九上·江北开学考）如图，点P是△ABC的重心，若△ABC的面积为12，则△BPC的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】∵点P是的重心，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式即可求解．
7．（2021九上·鄞州期末）如图， 是 的角平分线， 交 于点E，若 的重心G在 上，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接AG，并延长AG交BC于点H，
∵G是△ABC的重心，
∴AH是△ABC中线，且
＝2，
∵ED∥BC，
∴ ＝
＝2，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
设EB＝ED＝a，
则AE＝2a，
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∵ ＝
，
∴ ＝
，
解得：BC＝
a，
∴ ＝
＝2.
故答案为：C.
【分析】连接AG，并延长AG交BC于点H，根据重心的概念可得AH是△ABC中线，且
＝2，根据平行线分线段成比例的性质可得
＝
＝2，根据角平分线的概念可得∠EBD＝∠DBC，根据平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，则EB＝ED，设EB＝ED＝a，则AE＝2a，证明△AED∽△ABC，根据相似三角形的性质可得BC，据此求解.
8．（2024九上·鄞州期末）如图，点G是的重心，过点G作分别交AB，AC于点M，N，过点N作交BC于点D，则四边形BDNM与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图：
连接AG并延长交BC于E，连接BG交AC于F，连接EF，
∴EF是中位线，
∴EF//AB，AB=2EF.
∴∠GAB=∠GEF，∠GBA=∠GFE，
∴△ABG∽△EFG.
∴，
∴
∵MN//BC，
∴∠ANM=∠ACB，∠AMN=∠ABC，∠AGM=∠AEB，
∴△AMN∽△ABC，△AMG∽△ABE.
∴，
∴
∵ND//AB，
∴∠CND=∠CAB，∠CDN=∠CBA，
∴△CND∽△CAB.
∴
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】根据 点G是的重心，可得AG：GE=2：1，根据MN//BC，得△AMN∽△ABC，△AMG∽△ABE.，根据ND//AB，得△CND∽△CAB.于是可得，，根据相似三角形面积比=相似比的平方，得到几个三角形的面积比，从而可得四边形BDNM和△ABC的面积比.
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2023九上·诸暨期末）三角形三边长为5，5，6，则这个三角形的外心和重心的距离为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BO1，
∵△ABC中，AB=AC=5，BC=6，
∴AH是△ABC的中线和角平分线，
∴点O1和点O2在AH上，
∴BH=BC=3，
∴，
∵点O2是△ABC的重心，
∴AO2=2O2H即，
设△ABC的外接圆的半径为r，则BO1=AO1=r，O1H=4-=r
∴32+（4-r）2=r2，
解之：，
∴
∴.
故答案为：
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，连接BO1，利用等腰三角形的性质可知点O1和点O2在AH上，同时可求出BH的长，利用勾股定理求出AH的长；再利用点O2是△ABC的重心，可求出O2H的长，设△ABC的外接圆的半径为r，可表示出O1H的长，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的方程，解方程求出r的值，可得到O1H的长；然后求出O1O2的长.
10．（2023九上·萧山期中）如图，AD、CE是△ABC的中线，若△CDG的面积是1，则△ABC的面积为 ．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：、是的中线，
，，
，
，
，
.
故答案为：6.
【分析】先利用中线的性质可得BC=2CD，AD=3DG，再通过三角形面积公式可得，，进而得到，从而求得△ABC的面积.
11．已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm，8cm，则此直角三角形的重心与外心之间的距离为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，CD为中线，点G为CD的重心，
∴AB==10cm，
在Rt△ABC中，CD为中线，
∴点D为△ABC的外心，CD=AB=5cm，
∴GD=CD=cm，
故答案为：cm.
【分析】在Rt△ABC中，CD为中线，点G为CD的重心，可知点D为△ABC的外心，根据三角形重心的性质可知GD=CD，根据直角三角形斜边中线的性质求出CD的长，继而得解.
12．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点O．若S△BOD=5，则S△AOB= ，S△ABC= .
【答案】10；30
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵ 中线AD，BE相交于点O，
∴AO=2OD，
∵ S△BOD=5，
∴△AOB的面积=2△OBD的面积=10，
∴△ABD的面积=△AOB的面积+△OBD的面积=15，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABC的面积=2△ABD的面积=30，
故答案为：10，30.
【分析】由三角形重心的性质可得AO=2OD，从而得出△AOB的面积=2△OBD的面积=10，即得△ABD的面积=15，由三角形的中线可得△ABC的面积=2△ABD的面积，继而得解.
阅卷人 三、解答题
得分
13．（2023九上·兰溪月考）如图在的网格中，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中，画出的重心G；
（2）在图2中，画线段，点E在上，使得；
（3）图3中，在内寻找一格点N，使，并标注点N的位置．
【答案】（1）解：如图所示，中线和重心点G即为所作；
（2）解：如图所示，即为所作；
（3）解：如图，点O即为所作，
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）找出线段BC和AB上的中线，他们连线的交点即是重心G；
（2）取格点M，N，连接交于点E，连接即可；
（3）取点D，连接，则，根据三边成比例可得，则，点N即为所求.
14．如图，在等边三角形ABC中，P是△ABC的重心，过点P作PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，分别交AC，AB，BC于点D，E，F．
（1）求的值．
（2）若AB=12cm，求PD+PE+PF的值．
【答案】（1）解：如图，连结CP并延长，交AB于，
∵ P是△ABC的重心 ，
∴，
∵是AB的中点，
∴AM=AB，
∵ PD∥AB，
∴△CDP∽△CAM，
∴DP：AM=CP：CM=2：3，
∴.
（2）解：∵PD：AB=1：3，AB=12，
∴PD=4，
同理可得PE=PF=4，
∴PD+PE+PF=12(cm).
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）如图，连结CP并延长，交AB于，由三角形重心的性质可得，由线段的中点可得AM=AB，再利用平行线可证△CDP∽△CAM，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）由（1）结论可求出PD的长，同理求出PE、PF的长，继而求解.
15．（2021九上·宁波期中）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.
（1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，DC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形. （填“是”或“否”）
（2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连接AA'交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心，求 的值.
（3）应用拓展：
如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的 倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B′C，A′C所在直线交l2于点D，直接写出CD的值.
【答案】（1）是
（2）解：如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，
∴AD＝BC，
∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，
∴∠ADC＝90°，
∵点B是△AA′C的重心，
∴BC＝2BD，
设BD＝x，则AD＝BC＝2x，CD＝3x，
由勾股定理得AC＝ ，
∴ ；
（3）CD的值为 或2 或2
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：（1）△ABC是“等高底”三角形.
理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AC＝6，
∴ ，
∴AD＝BC＝3，
即△ABC是“等高底”三角形.
故答案为：是.
（3）①当AB＝ BC时，
Ⅰ.如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB＝ BC，
∴BC＝AE＝2，AB＝2 ，
∴BE＝2，即EC＝4，
∴AC＝2 ，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴∠DCF＝45°，
设DF＝CF＝x，
∵l1∥l2，
∴∠ACE＝∠DAF，
∴ ，即AF＝2x，
∴AC＝3x＝2 ，
∴x＝ ，CD＝ x＝ .
Ⅱ.如图4，此时△ABC等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝ AC＝2 .
②当AC＝ BC时，
Ⅰ.如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴A'C⊥l1，
∴CD＝AB＝BC＝2；
Ⅱ.如图6，作AE⊥BC于E，则AE＝BC，
∴AC＝ BC＝ AE，
∴∠ACE＝45°，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上，
∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点，
综上所述，CD的值为 或2 或2.
【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=AC=3，则AD=BC=3，据此判断；
（2）由题意可得AD＝BC，∠ADC＝90°，根据重心的概念可得BC＝2BD，设BD＝x，则AD＝BC＝2x，CD＝3x，由勾股定理表示出AC，据此求解；
（3）①当AB＝BC时，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，则BC＝AE＝2，AB＝2，进而可得EC＝4，AC＝2，由旋转的性质可得∠DCF＝45°，设DF＝CF＝x，则AF＝2x，AC＝3x＝2，求出x，进而可得CD；②当AC＝BC时，此时△ABC是等腰直角三角形，A'C⊥l1，则CD＝AB＝BC；作AE⊥BC于E，则AE＝BC，AC＝BC＝AE，此时∠ACE＝45°，直线A'C与l2无交点，据此解答.
1 / 1三角形的重心—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024九下·宁波月考）如图所示，在中，点D是斜边AB的中点，点G是的重心，于点E，若，那么GE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
2．（2022九上·义乌期中）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
3．（2024九下·温州模拟）如图，在Rt中，，点为斜边上的中点，点为的重心，那么（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·江干月考）如图，AE，CF分别是等腰Rt△ABC中CB、AB边上的中线，相交于点G，若斜边AB的长为6，则AG长为（ ）
A．3 B．3 C． D．
5．（2024九上·嘉兴期末）如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（2023九上·江北开学考）如图，点P是△ABC的重心，若△ABC的面积为12，则△BPC的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2021九上·鄞州期末）如图， 是 的角平分线， 交 于点E，若 的重心G在 上，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·鄞州期末）如图，点G是的重心，过点G作分别交AB，AC于点M，N，过点N作交BC于点D，则四边形BDNM与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2023九上·诸暨期末）三角形三边长为5，5，6，则这个三角形的外心和重心的距离为 .
10．（2023九上·萧山期中）如图，AD、CE是△ABC的中线，若△CDG的面积是1，则△ABC的面积为 ．
11．已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm，8cm，则此直角三角形的重心与外心之间的距离为 .
12．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点O．若S△BOD=5，则S△AOB= ，S△ABC= .
阅卷人 三、解答题
得分
13．（2023九上·兰溪月考）如图在的网格中，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中，画出的重心G；
（2）在图2中，画线段，点E在上，使得；
（3）图3中，在内寻找一格点N，使，并标注点N的位置．
14．如图，在等边三角形ABC中，P是△ABC的重心，过点P作PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，分别交AC，AB，BC于点D，E，F．
（1）求的值．
（2）若AB=12cm，求PD+PE+PF的值．
15．（2021九上·宁波期中）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.
（1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，DC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形. （填“是”或“否”）
（2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连接AA'交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心，求 的值.
（3）应用拓展：
如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的 倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B′C，A′C所在直线交l2于点D，直接写出CD的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连结BG并延长交AC与F点，
∵G点是三角形的重心，
∴BG=2FG，
∵EG⊥AC，
∴∠GEA=∠BCA=90°，
∴EG∥BC，
∴△FGE∽△FBC
∴==，
∵BC=6cm，
∴GE=2cm，
故答案为：B.
【分析】连结BG并延长交AC与F点，根据重心定理BG=2FG，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得EG∥BC，再由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△FGE∽△FBC，进而根据相似三角形对应边，得到==，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵G是重心，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AC，
∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，
∵DE＝2，
∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12，
故答案为：A.
【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BG并延长与AC相交于E，连接DE.
∵点为的重心，
∴E是AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴，
∴
∴
∵在Rt中，，
∴AB=
∴CD=
∴.
故答案为：C.
【分析】根据重心的定义和相似三角形的判定与性质，可以确定，再又勾股定理和直角三角形斜边中线的性质计算出CD的长，从而求出CG.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的重心及应用；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，F是AB的中点，CA=CB，
∴CF=AF= AB=3，CF⊥AB，
∵△ABC的中线AE，CF相交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴GF= CF=1，
由勾股定理得，AG= .
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质以及等腰三角形的性质可得CF=AF=AB=3，CF⊥AB，易得点G是△ABC的重心，则GF=CF=1，然后在Rt△AGF中，应用勾股定理求解即可.
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图：连接PC，
∵ 点是等边三角形ABC的重心，
∴BD平分∠ABC，PC平分∠ACB，BD⊥AC，
∵三角形ABC是等边三角形，AB=3，
∴∠PBC=∠PCB=PCD=30°，.
∴，
∵PQ⊥BP，
∴∠BPQ=∠ADC=90°，
∴PQ//CD.
∴，即
∴BQ=2.
故答案为：D.
【分析】根据点是等边三角形ABC的重心，可得BD平分∠ABC，BD⊥AC.连接PC，有PC平分∠ACB，PC=PB，于是可根据∠PCD=30°，AB=3，求出PD，PC的长.根据PQ⊥BP，可得PQ//CD.根据平行线分线段成比例即可求出BQ的长.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】∵点P是的重心，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式即可求解．
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接AG，并延长AG交BC于点H，
∵G是△ABC的重心，
∴AH是△ABC中线，且
＝2，
∵ED∥BC，
∴ ＝
＝2，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
设EB＝ED＝a，
则AE＝2a，
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∵ ＝
，
∴ ＝
，
解得：BC＝
a，
∴ ＝
＝2.
故答案为：C.
【分析】连接AG，并延长AG交BC于点H，根据重心的概念可得AH是△ABC中线，且
＝2，根据平行线分线段成比例的性质可得
＝
＝2，根据角平分线的概念可得∠EBD＝∠DBC，根据平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，则EB＝ED，设EB＝ED＝a，则AE＝2a，证明△AED∽△ABC，根据相似三角形的性质可得BC，据此求解.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图：
连接AG并延长交BC于E，连接BG交AC于F，连接EF，
∴EF是中位线，
∴EF//AB，AB=2EF.
∴∠GAB=∠GEF，∠GBA=∠GFE，
∴△ABG∽△EFG.
∴，
∴
∵MN//BC，
∴∠ANM=∠ACB，∠AMN=∠ABC，∠AGM=∠AEB，
∴△AMN∽△ABC，△AMG∽△ABE.
∴，
∴
∵ND//AB，
∴∠CND=∠CAB，∠CDN=∠CBA，
∴△CND∽△CAB.
∴
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】根据 点G是的重心，可得AG：GE=2：1，根据MN//BC，得△AMN∽△ABC，△AMG∽△ABE.，根据ND//AB，得△CND∽△CAB.于是可得，，根据相似三角形面积比=相似比的平方，得到几个三角形的面积比，从而可得四边形BDNM和△ABC的面积比.
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BO1，
∵△ABC中，AB=AC=5，BC=6，
∴AH是△ABC的中线和角平分线，
∴点O1和点O2在AH上，
∴BH=BC=3，
∴，
∵点O2是△ABC的重心，
∴AO2=2O2H即，
设△ABC的外接圆的半径为r，则BO1=AO1=r，O1H=4-=r
∴32+（4-r）2=r2，
解之：，
∴
∴.
故答案为：
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，连接BO1，利用等腰三角形的性质可知点O1和点O2在AH上，同时可求出BH的长，利用勾股定理求出AH的长；再利用点O2是△ABC的重心，可求出O2H的长，设△ABC的外接圆的半径为r，可表示出O1H的长，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的方程，解方程求出r的值，可得到O1H的长；然后求出O1O2的长.
10．【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：、是的中线，
，，
，
，
，
.
故答案为：6.
【分析】先利用中线的性质可得BC=2CD，AD=3DG，再通过三角形面积公式可得，，进而得到，从而求得△ABC的面积.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，CD为中线，点G为CD的重心，
∴AB==10cm，
在Rt△ABC中，CD为中线，
∴点D为△ABC的外心，CD=AB=5cm，
∴GD=CD=cm，
故答案为：cm.
【分析】在Rt△ABC中，CD为中线，点G为CD的重心，可知点D为△ABC的外心，根据三角形重心的性质可知GD=CD，根据直角三角形斜边中线的性质求出CD的长，继而得解.
12．【答案】10；30
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵ 中线AD，BE相交于点O，
∴AO=2OD，
∵ S△BOD=5，
∴△AOB的面积=2△OBD的面积=10，
∴△ABD的面积=△AOB的面积+△OBD的面积=15，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABC的面积=2△ABD的面积=30，
故答案为：10，30.
【分析】由三角形重心的性质可得AO=2OD，从而得出△AOB的面积=2△OBD的面积=10，即得△ABD的面积=15，由三角形的中线可得△ABC的面积=2△ABD的面积，继而得解.
13．【答案】（1）解：如图所示，中线和重心点G即为所作；
（2）解：如图所示，即为所作；
（3）解：如图，点O即为所作，
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）找出线段BC和AB上的中线，他们连线的交点即是重心G；
（2）取格点M，N，连接交于点E，连接即可；
（3）取点D，连接，则，根据三边成比例可得，则，点N即为所求.
14．【答案】（1）解：如图，连结CP并延长，交AB于，
∵ P是△ABC的重心 ，
∴，
∵是AB的中点，
∴AM=AB，
∵ PD∥AB，
∴△CDP∽△CAM，
∴DP：AM=CP：CM=2：3，
∴.
（2）解：∵PD：AB=1：3，AB=12，
∴PD=4，
同理可得PE=PF=4，
∴PD+PE+PF=12(cm).
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）如图，连结CP并延长，交AB于，由三角形重心的性质可得，由线段的中点可得AM=AB，再利用平行线可证△CDP∽△CAM，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）由（1）结论可求出PD的长，同理求出PE、PF的长，继而求解.
15．【答案】（1）是
（2）解：如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，
∴AD＝BC，
∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，
∴∠ADC＝90°，
∵点B是△AA′C的重心，
∴BC＝2BD，
设BD＝x，则AD＝BC＝2x，CD＝3x，
由勾股定理得AC＝ ，
∴ ；
（3）CD的值为 或2 或2
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：（1）△ABC是“等高底”三角形.
理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AC＝6，
∴ ，
∴AD＝BC＝3，
即△ABC是“等高底”三角形.
故答案为：是.
（3）①当AB＝ BC时，
Ⅰ.如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB＝ BC，
∴BC＝AE＝2，AB＝2 ，
∴BE＝2，即EC＝4，
∴AC＝2 ，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴∠DCF＝45°，
设DF＝CF＝x，
∵l1∥l2，
∴∠ACE＝∠DAF，
∴ ，即AF＝2x，
∴AC＝3x＝2 ，
∴x＝ ，CD＝ x＝ .
Ⅱ.如图4，此时△ABC等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝ AC＝2 .
②当AC＝ BC时，
Ⅰ.如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴A'C⊥l1，
∴CD＝AB＝BC＝2；
Ⅱ.如图6，作AE⊥BC于E，则AE＝BC，
∴AC＝ BC＝ AE，
∴∠ACE＝45°，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上，
∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点，
综上所述，CD的值为 或2 或2.
【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=AC=3，则AD=BC=3，据此判断；
（2）由题意可得AD＝BC，∠ADC＝90°，根据重心的概念可得BC＝2BD，设BD＝x，则AD＝BC＝2x，CD＝3x，由勾股定理表示出AC，据此求解；
（3）①当AB＝BC时，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，则BC＝AE＝2，AB＝2，进而可得EC＝4，AC＝2，由旋转的性质可得∠DCF＝45°，设DF＝CF＝x，则AF＝2x，AC＝3x＝2，求出x，进而可得CD；②当AC＝BC时，此时△ABC是等腰直角三角形，A'C⊥l1，则CD＝AB＝BC；作AE⊥BC于E，则AE＝BC，AC＝BC＝AE，此时∠ACE＝45°，直线A'C与l2无交点，据此解答.
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