A字相似模型—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·茂名期中）如图，在△ABC中，，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则AC的长为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm
2．（2024·河南）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，交BC于点F.若，则EF的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．如图， 在 Rt 中， 是 边上一点， 作 于 于． 设， 则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 中 为边 的三等分点， 在边 上， 为 与 的交点，若 ， 则 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．（浙江省杭州市拱墅区文澜中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
阅卷人 二、填空题
得分
6．（2024九上·宁波期中）如图，B，F，C三点共线，AC与BD交于点E，，若BF：CF＝5：7，则的值为 ．
7． 如图 1， 在 Rt 中， 是 上一点， 且 ， 过点 作 交 于点 ， 将 绕点 顺时针旋转到图 2 的位置， 则图 2 中 的值为
阅卷人 三、解答题
得分
8．（2024九下·西安模拟）如图，在中，点为边的中点，以为直径的切于点，点是上一点，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
9．（2024·陕西）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．
（1）求证：；
（2）若的半径，，，求的长．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，现在有动点Р从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC一CB向终点B运动．如果点Р的速度是1 cm/s，点Q的速度是2 cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）如图⒉，Q在CB上，是否存在某时刻，使得以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
11．（【全品】2024浙江专版全品中考复习方案备考手册第28课时图形的对称、平移与旋转）如图 28-21， 在 Rt 中， ， ， 点 为边 的中点， 连结 ， 将 绕点 逆时针旋转 ．
（1） 如图 ①， 当 时， ； 所在直线相交所成的较小夹角的度数是
（2） 将 绕点 逆时针旋转至图 ② 所示位置时， （1） 中结论是否仍然成立？ 若成立， 请给出证明； 若不成立， 请说明理由．
（3） 在 绕点 逆时针旋转过程中， 的最大值为
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵，∴ △ADE∽ △ABC，∴AD：AB=AE：AC，
∵AD∶DB=3∶2，∴AD：AB=3：（3+2）=3：5.
∴AE：AC=AD：AB=3：5.∵AE=6cm，∴6：AC=3：5，解得AC=10cm.
故答案为：D.
【分析】先根据，得出相似三角形，关于AC的比例式求解.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO=2OC，
又∵ 点E为OC的中点，
∴AC=2OC=4CE，
又∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴AB=.
故答案为：B.
【分析】由目标线段与已知线段AB的位置关系，直接使用平行相似，故将问题转换为利用平行线的性质分析相似三角形的相似比即可.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，
∴由勾股定理得，
∵AB⊥AC，PE⊥AB，PD⊥AC，
∴PE∥AC，PD∥AB
∴△CDP∽△CAB，△BPE∽△BCA
∴，，
∴，，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出BC的长，再根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△CDP∽△CAB，△BPE∽△BCA，根据相似三角形的边对应成比例求出DP和PE的值，再求和即可.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵点D、E为边AB的三等分点，
∴AD=DE=EB，
∴AB=3BE，AE=2AD，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BE：AB，
∵AC=12，AB=3BE，
∴EF：12=BE：3BE，
∴EF=4，
∵DG∥EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF=AD：AE，
∵EF=4，AE=2AD，
∴DH：4=AD：2AD，
∴DH=2.
故答案为：C.
【分析】先根据点D、E为边AB的三等分点得AB=3BE，AE=2AD，再根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△BEF∽△BAC，根据相似三角形的对应边之比相等求出EF=4，同理根据相似三角形的判定和性质得出DH=2.
5．【答案】B
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
设⊙O的半径为r，则，，
∵，
∴，，
∵AC是⊙O的直径，，，
∴，
在中， ，即，
解得，
∴， ， ，
在和中，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：B．
【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，先利用垂径定理、勾股定理求出r的值，再根据线段的和差求出CE的长，根据勾股定理可求出BC的长，然后利用相似三角形的判定与性质即可求得OF的长度．
6．【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再根据题意可得，再根据相似三角形的性质，求解即可.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
则，
∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，
∴∠EAC=∠DAB，
∴△ADB∽△AEC，
∴.
故答案为：.
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AC=10，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的边对应成比例求出，即，根据旋转的性质得出∠EAC=∠DAB，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△ADB∽△AEC，根据相似三角形的边对应成比例得出.
8．【答案】（1）证明：连接交于点，如图．
与相切于点．
．
又，
，即，
．
（2）解：点为的中点，，
．
在中，．
，
，
即，解得．
，且为的半径，
．
【知识点】切线的性质；A字型相似模型；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由切线及垂径定理的推论连接圆心与切点，由垂径定理的推论利用三线合一证明OG⊥DE从而判定平行；
（2）利用（1）中所得平行线得出“A型”相似，利用相似解形即可，即最后结合勾股定理求出DE即可.
9．【答案】（1）证明：∵AB是的直径 ，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABF=180°-∠AFB=90°，
又∵ 直线l与相切于点A，
∴∠BAD=90°，
同理，∠ABF+∠ADB=180°-∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠CDB.
（2）解：由（1）得，
在Rt△BAD和Rt△BAC中，
∵AB=2r=12，AC=12，AD=9，
∴CD=AC+AD=12+9=21，
，
.
又∵AE⊥BC，
∴BE=CE=，
又∵
∴∠BEF=∠BAF，
由（1）得∠BAF=∠CDB.
∴∠BEF=∠BDC，
又∵∠CBD=∠FBE，
∴△BEF∽△BDC，
∴，即
解得：.
【知识点】勾股定理；切线的判定；A字型相似模型
【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角及相切得出同角余角相等即得证目标角；
（2）在已知线段和直角三角形中，由勾股定理解出斜边，进一步为解目标线段EF，即找出与目标相关△BEF，利用（1）中角度转换易得等角由相似直接求得目标EF长.
10．【答案】（1）解：①如图 1，
当 时，，
在 Rt 中， AC=8，BC=6，
∴
设
②如图 2，
当 时， ，
综上所述， 当 或 时， 以点 为顶点的三角形与 相似.
（2）解：①如图 3，
，4≤t≤8，
当 时，
即
，
当 时， .
②当 时， ，
解得 (不符合题意， 舍去)，
综上所述， 的值为 .
【知识点】相似三角形的判定与性质；A字型相似模型
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB的长，表示出AQ和AP，再分两种情况讨论，①∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，有；②∠APQ=90° 时，△APQ∽△ACB，有；代入数据得关于t的方程，计算即可.
（2）先表示出BQ和BP，再分两种情况进行讨论：①△BPQ∽△BAC，；②△BPQ∽△BCA，有；代入数据得关于t的方程，计算即可，注意t的取值范围.
11．【答案】（1）2第2空60°
（2）解：中结论仍然成立，
证明：由（1）可知CB1=1，BC=2，AC=1，A1C=0.5，
所以AC：A1C=1：0.5=2，BC：CB1=2：1=2，
所以AC：A1C=BC：CB1，
由旋转可知∠BCB1=∠ACA1=α.
所以△ACA1∽△BCB1，
所以.
（3）
【知识点】旋转的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解： (1) ∵， ，
∴BC=2，
∵点 为边 的中点，
∴AA1=0.5，BB1=1，
∴2.
所在直线相交所成的较小夹角的度数是60°
故答案为：2，60°；
（3）当旋转到A1在AC的延长线上时，
故答案为：.
【分析】先利用含有30度角的直角三角形的性质求出BC，再利用线段中点的意义分别求出AA1与BB1，再求它们的比，根据，可知 所在直线相交所成的较小夹角的度数；
（2）根据△ACA1与△BCB1的两对对应边成比例且夹角相等，可得△ACA1∽△BCB1，从而求得 的比与它们的所在直线相交所成的较小夹角的度数；
（3）当旋转到A1在AC的延长线上时， 最大 .由此求解.
1 / 1A字相似模型—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·茂名期中）如图，在△ABC中，，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则AC的长为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵，∴ △ADE∽ △ABC，∴AD：AB=AE：AC，
∵AD∶DB=3∶2，∴AD：AB=3：（3+2）=3：5.
∴AE：AC=AD：AB=3：5.∵AE=6cm，∴6：AC=3：5，解得AC=10cm.
故答案为：D.
【分析】先根据，得出相似三角形，关于AC的比例式求解.
2．（2024·河南）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，交BC于点F.若，则EF的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO=2OC，
又∵ 点E为OC的中点，
∴AC=2OC=4CE，
又∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴AB=.
故答案为：B.
【分析】由目标线段与已知线段AB的位置关系，直接使用平行相似，故将问题转换为利用平行线的性质分析相似三角形的相似比即可.
3．如图， 在 Rt 中， 是 边上一点， 作 于 于． 设， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，
∴由勾股定理得，
∵AB⊥AC，PE⊥AB，PD⊥AC，
∴PE∥AC，PD∥AB
∴△CDP∽△CAB，△BPE∽△BCA
∴，，
∴，，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出BC的长，再根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△CDP∽△CAB，△BPE∽△BCA，根据相似三角形的边对应成比例求出DP和PE的值，再求和即可.
4．如图，在 中 为边 的三等分点， 在边 上， 为 与 的交点，若 ， 则 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵点D、E为边AB的三等分点，
∴AD=DE=EB，
∴AB=3BE，AE=2AD，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BE：AB，
∵AC=12，AB=3BE，
∴EF：12=BE：3BE，
∴EF=4，
∵DG∥EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF=AD：AE，
∵EF=4，AE=2AD，
∴DH：4=AD：2AD，
∴DH=2.
故答案为：C.
【分析】先根据点D、E为边AB的三等分点得AB=3BE，AE=2AD，再根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△BEF∽△BAC，根据相似三角形的对应边之比相等求出EF=4，同理根据相似三角形的判定和性质得出DH=2.
5．（浙江省杭州市拱墅区文澜中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
【答案】B
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
设⊙O的半径为r，则，，
∵，
∴，，
∵AC是⊙O的直径，，，
∴，
在中， ，即，
解得，
∴， ， ，
在和中，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：B．
【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，先利用垂径定理、勾股定理求出r的值，再根据线段的和差求出CE的长，根据勾股定理可求出BC的长，然后利用相似三角形的判定与性质即可求得OF的长度．
阅卷人 二、填空题
得分
6．（2024九上·宁波期中）如图，B，F，C三点共线，AC与BD交于点E，，若BF：CF＝5：7，则的值为 ．
【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再根据题意可得，再根据相似三角形的性质，求解即可.
7． 如图 1， 在 Rt 中， 是 上一点， 且 ， 过点 作 交 于点 ， 将 绕点 顺时针旋转到图 2 的位置， 则图 2 中 的值为
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
则，
∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，
∴∠EAC=∠DAB，
∴△ADB∽△AEC，
∴.
故答案为：.
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AC=10，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的边对应成比例求出，即，根据旋转的性质得出∠EAC=∠DAB，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△ADB∽△AEC，根据相似三角形的边对应成比例得出.
阅卷人 三、解答题
得分
8．（2024九下·西安模拟）如图，在中，点为边的中点，以为直径的切于点，点是上一点，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接交于点，如图．
与相切于点．
．
又，
，即，
．
（2）解：点为的中点，，
．
在中，．
，
，
即，解得．
，且为的半径，
．
【知识点】切线的性质；A字型相似模型；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由切线及垂径定理的推论连接圆心与切点，由垂径定理的推论利用三线合一证明OG⊥DE从而判定平行；
（2）利用（1）中所得平行线得出“A型”相似，利用相似解形即可，即最后结合勾股定理求出DE即可.
9．（2024·陕西）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．
（1）求证：；
（2）若的半径，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB是的直径 ，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABF=180°-∠AFB=90°，
又∵ 直线l与相切于点A，
∴∠BAD=90°，
同理，∠ABF+∠ADB=180°-∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠CDB.
（2）解：由（1）得，
在Rt△BAD和Rt△BAC中，
∵AB=2r=12，AC=12，AD=9，
∴CD=AC+AD=12+9=21，
，
.
又∵AE⊥BC，
∴BE=CE=，
又∵
∴∠BEF=∠BAF，
由（1）得∠BAF=∠CDB.
∴∠BEF=∠BDC，
又∵∠CBD=∠FBE，
∴△BEF∽△BDC，
∴，即
解得：.
【知识点】勾股定理；切线的判定；A字型相似模型
【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角及相切得出同角余角相等即得证目标角；
（2）在已知线段和直角三角形中，由勾股定理解出斜边，进一步为解目标线段EF，即找出与目标相关△BEF，利用（1）中角度转换易得等角由相似直接求得目标EF长.
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，现在有动点Р从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC一CB向终点B运动．如果点Р的速度是1 cm/s，点Q的速度是2 cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）如图⒉，Q在CB上，是否存在某时刻，使得以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：①如图 1，
当 时，，
在 Rt 中， AC=8，BC=6，
∴
设
②如图 2，
当 时， ，
综上所述， 当 或 时， 以点 为顶点的三角形与 相似.
（2）解：①如图 3，
，4≤t≤8，
当 时，
即
，
当 时， .
②当 时， ，
解得 (不符合题意， 舍去)，
综上所述， 的值为 .
【知识点】相似三角形的判定与性质；A字型相似模型
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB的长，表示出AQ和AP，再分两种情况讨论，①∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，有；②∠APQ=90° 时，△APQ∽△ACB，有；代入数据得关于t的方程，计算即可.
（2）先表示出BQ和BP，再分两种情况进行讨论：①△BPQ∽△BAC，；②△BPQ∽△BCA，有；代入数据得关于t的方程，计算即可，注意t的取值范围.
11．（【全品】2024浙江专版全品中考复习方案备考手册第28课时图形的对称、平移与旋转）如图 28-21， 在 Rt 中， ， ， 点 为边 的中点， 连结 ， 将 绕点 逆时针旋转 ．
（1） 如图 ①， 当 时， ； 所在直线相交所成的较小夹角的度数是
（2） 将 绕点 逆时针旋转至图 ② 所示位置时， （1） 中结论是否仍然成立？ 若成立， 请给出证明； 若不成立， 请说明理由．
（3） 在 绕点 逆时针旋转过程中， 的最大值为
【答案】（1）2第2空60°
（2）解：中结论仍然成立，
证明：由（1）可知CB1=1，BC=2，AC=1，A1C=0.5，
所以AC：A1C=1：0.5=2，BC：CB1=2：1=2，
所以AC：A1C=BC：CB1，
由旋转可知∠BCB1=∠ACA1=α.
所以△ACA1∽△BCB1，
所以.
（3）
【知识点】旋转的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解： (1) ∵， ，
∴BC=2，
∵点 为边 的中点，
∴AA1=0.5，BB1=1，
∴2.
所在直线相交所成的较小夹角的度数是60°
故答案为：2，60°；
（3）当旋转到A1在AC的延长线上时，
故答案为：.
【分析】先利用含有30度角的直角三角形的性质求出BC，再利用线段中点的意义分别求出AA1与BB1，再求它们的比，根据，可知 所在直线相交所成的较小夹角的度数；
（2）根据△ACA1与△BCB1的两对对应边成比例且夹角相等，可得△ACA1∽△BCB1，从而求得 的比与它们的所在直线相交所成的较小夹角的度数；
（3）当旋转到A1在AC的延长线上时， 最大 .由此求解.
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